Θευπήμαηα με αποδείξειρ

Θευπήμη με ποδείξειρ λ i θη i δ γ είλη δπ κηγδηθί ξηζκί, ηόηε: 4 Οη ηδηόηεηεο πηέο κπξύλ λ πδεηρηύλ κε εθηέιεζε ηωλ πξάμεωλ Γη πξάδεηγκ έρπκε: i δ γ δi γ i δi γ i i δ γ Οη πξπάλω ηδηόηεηεο θη ηζρύπλ θη γη πεξηζζόηεξπο πό δπ κηγδ ηθύο ξηζκύο Δίλη δειδή: θη Ιδηίηεξ, λ είλη, ηόηε ε ηειεπηί ηζόηεη γίλεηη: λ, είλη κηγδηθί ξηζκί, ηόηε Πξάγκηη, έρπκε: θη, επεηδή ε ηειεπηί ηζόηεη ηζρύεη, ζ ηζρύεη θη ε ηζδύλκε ξρηθή λάιγ πδεηθλύεηη θη ε δεύηεξε ηδηόηεη Έζηω ηώξ η πιπώλπκ P θη Σύκθωλ κε ηηο πξπάλω ηδηόηεηεο έρπκε: P

Δπκέλωο, P P P 4 Έζηω ε ξεηή ζπλάξηεζε Q Τόηε, P, όππ P, Q πιπώλπκ ηπ θη κε Q Δπκέλωο, P P P Q Q Q P P Q Q, εθόζλ Q 5 ΘΕΩΡΗΜ εδιάμεζυ ηιμώ Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε πί είλη ξηζκέλε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ] λ: ε είλη ζπλερήο ζη [, ] θη ηόηε, γη θάζε ξηζκό ε κεημύ ηωλ θη ππάξρεη έλο, ηπιάρηζηλ, ηέηηο, ώζηε η ΠΟΓΔΙΞΗ ο ππζέζπκε όηη Τόηε ζ ηζρύεη η Σρ 67 λ ζεωξήζπκε ηε ζπλάξηεζε g η, [, ], πξηεξύκε όηη: ε g είλη ζπλερήο ζη [, ] θη g g, θύ g η θη g η Δπκέλωο, ζύκθωλ κε η ζεώξεκ ηπ Bolano, ππάξρεη, ηέηη, ώζηε g η, πόηε η 6 ΘΕΩΡΗΜ λ κη ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζ έλ ζεκεί, ηόηε είλη θη ζπλερήο ζη ζεκεί πηό ΠΟΔΕΙΞΗ Γη έρπκε, πόηε

] [, θύ ε είλη πξγωγίζηκε ζη Δπκέλωο,, δειδή ε είλη ζπλερήο ζη 7 Δζηω ε ζηζεξή ζπλάξηεζε c, c Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή c Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη: c c Δπκέλωο,, δειδή c 8 Έζηω ε ζπλάξηεζε Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη: Δπκέλωο,, δειδή 9 Έζηω ε ζπλάξηεζε, } {, Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη:, πόηε, δειδή

Έζηω ε ζπλάξηεζε ηζρύεη, δειδή Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη, θη Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ,, ηόηε γη ηζρύεη: πόηε, δειδή, Όπωο είδκε ζηελ πξάγξθ ε δε είι ππγυγίζιμη ζηο Έζηω ζπλάξηεζε εκ ζπλ, δειδή εκ ζπλ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε θη ηζρύεη εκ εκ εκ ζπλ ζπλ εκ εκ Δπεηδή έρπκε ζπλ εκ εκ ζπλ εκ ζπλ θη, εκ ζπλ ζπλ Γειδή, εκ ζπλ Έζηω ε ζπλάξηεζε ζπλ εκ, δειδή ζπλ εκ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε θη ηζρύεη: ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ πόηε ζπλ εκ ζπλ εκ,

ζπλ εκ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ εκ εκ Γειδή, ΘΕΩΡΗΜ λ η ζπλξηήζεηο πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη:, g είλη πξγωγίζηκεο ζη, ηόηε ε ζπλάξηεζε g είλη g g ΠΟΓΔΙΞΗ Γη, ηζρύεη: g g g g g g Δπεηδή η ζπλξηήζεηο, g είλη πξγωγίζηκεο ζη, έρπκε: δειδή g g g g g, g g 4 Έζηω ε ζπλάξηεζε θη ηζρύεη,, δειδή * Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη * Πξάγκηη, γη θάζε * έρπκε: Δίδκε, όκωο, πη πξηλ όηη ηόηε, γη θάζε θπζηθό Δπκέλωο, λ κ {,}, 5 Έζηω ε ζπλάξηήζε εθ { ζπλ } θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε έρπκε: κ κ κ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη, δειδή ζπλ εθ ζπλ εκ εκ ζπλ εκζπλ ζπλζπλ εκεκ ζπλ εκ εθ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ

6 Η ζπλάξηεζε, δειδή, είλη πξγωγίζηκε ζη, θη ηζρύεη Πξάγκηη, λ ln e θη ζέζπκε u ln, ηόηε έρπκε u e u u ln e e u e Δπκέλωο, 7 Η ζπλάξηεζε δειδή Πξάγκηη, λ, 8 Η ζπλάξηεζε ln είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη ln, ln e θη ζέζπκε u ln, ln, ηόηε έρπκε u u ln e e u e ln ln * είλη πξγωγίζηκε ζη ln u e Δπκέλωο, * θη ηζρύεη Πξάγκηη λ, ηόηε ln ln, ελώ λ, ηόηε ln ln, πόηε, λ ζέζπκε ln θη u, έρπκε ln u Δπκέλωο, ln u u θη άξ u 9 ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ λ ε είλη ζπλερήο ζη Δ θη γη θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη ζηζεξή ζε όι η δηάζηεκ Δ ln ΠΟΓΔΙΞΗ ξθεί λ πδείμπκε όηη γη πηδήπηε, Δ ηζρύεη Πξάγκηη λ, ηόηε πξθλώο λ, ηόηε ζη δηάζηεκ [, ] ε ηθλπηεί ηηο ππζέζεηο ηπ ζεωξήκηο κέζεο ηηκήο Δπκέλωο, ππάξρεη ξ, ηέηη, ώζηε ξ Δπεηδή η ξ είλη εζωηεξηθό ζεκεί ηπ Δ, ηζρύεη ξ,πόηε, ιόγω ηεο, είλη λ, ηόηε κίωο πδεηθλύεηη όηη Σε όιεο, ιηπόλ, ηηο πεξηπηώζεηο είλη

ΠΟΡΙΜ Έζηω δπ ζπλξηήζεηο, g ξηζκέλεο ζε έλ δηάζηεκ Δ λ η, g είλη ζπλερείο ζη Δ θη g γη θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ππάξρεη ζηζεξά c ηέηη, ώζηε γη θάζε Δ λ ηζρύεη: ΠΟΓΔΙΞΗ Η ζπλάξηεζε g c g είλη ζπλερήο ζη Δ θη γη θάζε εζωηεξηθό ζεκεί Δ ηζρύεη g g Δπκέλωο, ζύκθωλ κε η πξπάλω ζεώξεκ, ε ζπλάξηεζε Άξ, ππάξρεη ζηζεξά C ηέηη, ώζηε γη θάζε g c g είλη ζηζεξή ζη Δ Δ λ ηζρύεη g c, πόηε ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε πί είλη ζ ς ε σ ή ρ ζε έλ δηάζηεκ Δ λ ζε θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζε όι η Δ λ ζε θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη γλεζίωο θζίλπζ ζε όι η Δ ΠΟΓΔΙΞΗ πδεηθλύπκε η ζεώξεκ ζηελ πεξίπηωζε ππ είλη Έζηω, Δ κε Θ δείμπκε όηη Πξάγκηη, ζη δηάζηεκ [, ] ε ηθλπηεί ηηο πξϋπζέζεηο ηπ ΘΜΤ Δπκέλωο, ππάξρεη ξ, ηέηη, ώζηε ξ, πόηε έρπκε ξ Δπεηδή ξ θη, έρπκε, πόηε Σηελ πεξίπηωζε ππ είλη εξγδόκζηε λιόγωο ΘΕΩΡΗΜ Fermat Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζ έλ δηάζηεκ Δ θη έλ εζυηεπικό ζεκεί ηπ Δ λ ε πξπζηάδεη ηοπικό κπόηηο ζη θη είλη ππγυγίζιμη ζη ζεκεί πηό, ηόηε: ΠΟΓΔΙΞΗ ο ππζέζπκε όηη ε πξπζηάδεη ζη ηπηθό κέγηζη Δπεηδή η είλη εζωηεξηθό ζεκεί ηπ Δ θη ε πξπζηάδεη ζ πηό ηπηθό κέγηζη, ππάξρεη δ ηέηη, ώζηε δ, δ Δ θη, γη θάζε δ, δ

Δπεηδή, επηπιέλ, ε είλη πξγωγίζηκε ζη, ηζρύεη Δπκέλωο, λ δ,, ηόηε, ιόγω ηεο, ζ είλη, πόηε ζ έρπκε λ, δ, ηόηε, ιόγω ηεο, ζ είλη, πόηε ζ έρπκε Έηζη, πό ηηο θη έρπκε Η πόδεημε γη ηπηθό ειάρηζη είλη λάιγε ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ λ F είλη κη πξάγπζ ηεο ζη Δ, ηόηε όιεο η ζπλξηήζεηο ηεο κξθήο είλη πξάγπζεο ηεο ζη Δ θη G F c, c, θάζε άιιε πξάγπζ G ηεο ζη Δ πίξλεη ηε κξθή ΠΟΔΕΙΞΗ Κάζε ζπλάξηεζε ηεο κξθήο ζη Δ, θύ G F c, c G F c, όππ c, είλη κη πξάγπζ ηεο G F c F, γη θάζε Δ Έζηω G είλη κη άιιε πξάγπζ ηεο ζη Δ Τόηε γη θάζε Δ ηζρύπλ F θη G, πόηε G F, γη θάζε Δ Άξ, ζύκθωλ κε η πόξηζκ ηεο 6, ππάξρεη ζηζεξά c ηέηη, ώζηε 4 ΘΕΩΡΗΜ G F c, γη θάζε Δ λ είλη κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ Δ θη είλη έλ ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε ζπλάξηεζε F t dt, Δ, είλη κη πξάγπζ ηεο ζη Δ Γειδή ηζρύεη:

t dt, γη θάζε Δ a ΧΟΛΙA Δππηηθά η ζπκπέξζκ ηπ πξπάλω ζεωξήκηο πξθύπηεη Σρ 4 ωο εμήο: F F t dt Άξ, γη κηθξά είλη πόηε Δκδόλ ηπ ρωξίπ Ω, γη κηθξά F F, F F F O F = 4 5 ΘΕΩΡΗΜ Θεμελιώδερ θεώπημ ηος ολοκληπυηικού λογιζμού Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ [, ] λ G είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ], ηόηε t dt G G ΠΟΓΔΙΞΗ Σύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, ε ζπλάξηεζε F t dt είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ] Δπεηδή θη ε G είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ], ζ ππάξρεη c ηέηη, ώζηε G F c πό ηελ, γη Δπκέλωο,, έρπκε G F c t dt c c, πόηε c G G F G, πόηε, γη, έρπκε θη άξ G F G t dt G t dt G G

Σ ΥΟΛΙ ΣΟΤ ΥΟΛΙΚΟΤ ΒΙΒΛΙΟΤ ΓΙ ΔΠΝΛΗΦΗ ΧΟΛΙΟ Σηελ πξπάλω εθξκγή πξηεξύκε όηη go og Γεληθά, λ, g είλη δύ ζπλξηήζεηο θη ξίδληη η go θη og, ηόηε πηέο δ ε ε ί ι ς π ο σ π ε ω η ι κ ά ίζεο λ, g, είλη ηξεηο ζπλξηήζεηο θη ξίδεηη ε o go, ηόηε ξίδεηη θη ε og o θη ηζρύεη o go og o Τε ζπλάξηεζε πηή ηε ιέκε ζύλζεζε ηωλ, g θη θη ηε ζπκιίδπκε κε ogo Η ζύλζεζε ζπλξηήζεωλ γεληθεύεηη θη γη πεξηζζόηεξεο πό ηξεηο ζπλξηήζεηο ΧΟΛΙΟ πό ηλ πξπάλω ξηζκό πξθύπηεη όηη κη ζπλάξηεζε είλη, λ θη κόλ λ: Γη θάζε ζηηρεί ηπ ζπλόιπ ηηκώλ ηεο ε εμίζωζε έρεη θξηώο κη ιύζε ωο πξο Γελ ππάξρπλ ζεκεί ηεο γξθηθήο ηεο πξάζηζεο κε ηελ ίδη ηεηγκέλε πηό ζεκίλεη όηη θάζε ξηδόληη επζεί ηέκλεη ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο η πιύ ζε έλ ζεκεί Σρ A B O συάρτηση - O συάρτηση όχι -

λ κη ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο κλόηλε, ηόηε πξθλώο, είλη ζπλάξηεζε " " Έηζη, η ζπλξηήζεηο,,,,, θη 4 log,, είλη ζπλξηήζεηο Υπάξρπλ, όκωο, ζπλξηήζεηο ππ είλη ιιά δελ είλη γλεζίωο κλόηλεο, όπωο γη πξάδεηγκ ε, ζπλάξηεζε g Σρ 4, =g 4 O ΧΟΛΙΟ πό η πξπάλω ζρήκη πξηεξύκε όηη: Γη λ λδεηήζπκε η όξη ηεο ζη, πξέπεη ε λ ξίδεηη όζ ζέιπκε θληά ζη, δειδή ε λ είλη ξηζκέλε ζ έλ ζύλι ηεο κξθήο,, ή, ή, Τ κπξεί λ λήθεη ζη πεδί ξηζκύ ηεο ζπλάξηεζεο Σρ 9, 9 ή λ κελ λήθεη ζ πηό Σρ 9γ Η ηηκή ηεο ζη, όηλ ππάξρεη, κπξεί λ είλη ίζε κε η όξηό ηεο ζη Σρ 9 ή δηθξεηηθή πό πηό Σρ 9 ΧΟΛΙΟ 4 πό η ζεώξεκ ηπ Bolano πξθύπηεη όηη: λ κη ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ θη δε κεδελίδεηη ζ πηό, ηόηε πηή ή είλη ζεηηθή γη θάζε Δ ή είλη ξλεηηθή γη θάζε Δ, δειδή δηηεξεί πξόζεκ ζη δηάζηεκ Δ Σρ 65 65 > O a O a < ΧΟΛΙΟ 5 λ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζη δηάζηεκ [, ], ηόηε, όπωο θίλεηη θη ζη δηπιλό ζρήκ, δελ πίξλεη ππρξεωηηθά όιεο ηηο ελδηάκεζεο ηηκέο ΧΟΛΙΟ 6 πό η πξπάλω ζεώξεκ θη η ζεώξεκ ελδηάκεζωλ ηηκώλ πξθύπηεη όηη η ζύολο ηιμώ κηο ζπλερύο ζπλάξηεζεο κε πεδί ξηζκύ η [, ] είλη η θιεηζηό δηάζηεκ [ m, M ], όππ m ε ειάρηζηε ηηκή θη Μ ε κέγηζηε ηηκή ηεο ΧΟΛΙΟ 7

S t S t Οηλ έλ θηλεηό θηλείηη πξο η δεμηά, ηόηε θληά ζη t ηζρύεη, πόηε t t είλη ς t, ελώ, όηλ η θηλεηό θηλείηη πξο η ξ ηζηεξά θληά ζη t ηζρύεη S t S t, πόηε είλη ς t t t ΧΟΛΙ 8 Σύκθωλ κε ηλ πξπάλω ξηζκό: Η ζηηγκηί ηρύηεη ελόο θηλεηύ, ηε ρξληθή ζηηγκή t, είλη ε πξάγωγο ηεο ζπλάξηεζεο ζέζεο St ηε ρξληθή ζηηγκή t Γειδή, είλη υ S t t Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο εθπηκέλεο ε ηεο C κηο πξγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο, ζη ζεκεί A, είλη ε πξάγωγο ηεο ζη Γειδή, είλη λ, πόηε ε εμίζωζε ηεο ε θ π η ο μ έ η ρ ε είλη: Τελ θιίζε ηεο εθπηκέλεο ε ζη A, ζ ηε ιέκε θη κλίζη ηηρ C ζηο ή κλίζη ηηρ ζηο ΧΟΛΙΟ 9 λ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζ έλ ζεκεί, ηόηε, ζύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, δελ κπξεί λ είλη πξγωγίζηκ ε ζη ΧΟΛΙΟ Τ πξπάλω ζεώξεκ θζώο θη η πόξηζκά ηπ ηζρύπλ ζε δηάζηεκ θη όρη ζε έλωζε δηζηεκάηωλ Γη πξάδεηγκ, έζηω ε ζπλάξηεζε,, Πξηεξύκε όηη, λ θη γη θάζε,,, εληύηηο ε δελ είλη ζηζεξή ζη,, ΧΟΛΙΟ Τ ληίζηξθ ηπ πξπάλω ζεωξήκηο δε ιζσύει Γειδή, λ ε είλη γλεζίωο ύμπζ ληηζηίρωο γλεζίωο θζίλπζ ζη Δ, ε πξάγωγόο ηεο δε είι ςποσπευηικά ζεηηθή ληηζηίρωο ξλεηηθή ζη εζωηεξηθό ηπ Δ Γη πξάδεηγκ, ε ζπλάξηεζε, λ θη είλη γλεζίωο ύμπζ ζη, εληύηηο έρεη πξάγωγ όκωο γη θάζε ΧΟΛΙΟ ε πί δελ είλη ζεηηθή ζε όι η, θύ i Έλ ηπηθό κέγηζη κπξεί λ είλη κηθξόηεξ πό έλ ηπηθό ειάρηζη Σρ Ιζρύεη

4 O a ma min a O 4 ii λ κη ζπλάξηεζε πξπζηάδεη κέγηζη, ηόηε πηό ζ είλη η κεγιύηεξ πό η ηπηθά κέγηζη, ελώ λ πξπζηάδεη, ειάρηζη, ηόηε πηό ζ είλη η κ ηθξόηεξ πό η ηπηθά ειάρηζη Σρ Τ κεγιύηεξ όκωο πό η ηπηθά κέγηζη κίο ζπλάξηεζεο δελ είλη πάληηε κέγηζη πηήο Δπίζεο η κηθξόηεξ πό η ηπηθά ειάρηζη κίο ζπλάξηεζεο δελ είλη πάληηε ειάρηζη ηεο ζπλάξηεζεο Σρ ΧΟΛΙΟ Σύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, η εζωηεξηθά ζεκεί ηπ Δ, ζη πί ε είλη δηθξεηηθή πό η κεδέλ, δελ είλη ζέζεηο ηπηθώλ θξηάηωλ Δπκέλωο, όπωο θίλεηη θη ζη ζρήκη 9 θη, η π ι θ έ ρ θ έ ζ ε ι ρ η ω η ο π ι κ ώ κ π ο η ά η ω κηο ζπλάξηεζεο ζ έλ δηάζηεκ Δ είλη: Σ εζυηεπικά ζημεί ηος Γ ζη οποί η ππάγυγορ ηηρ μηδείζεηι Σ εζυηεπικά ζημεί ηος Γ ζη οποί η δε ππγυγίζεηι Σ άκπ ηος Γ λ λήθπλ ζη πεδί ξηζκύ ηεο Τ ε ζ ω η ε π ι κ ά ζεκεί ηπ Δ ζη πί ε δελ πξγωγίδεηη ή ε πξάγωγόο ηεο είλη ίζε κε η κεδέλ, ιέγληη κπίζιμ ζημεί ηεο ζη δηάζηεκ Δ ΧΟΛΙΟ 4 πδεηθλύεηη όηη, λ κη ζπλάξηεζε είλη θπξηή ληηζηίρωο θίιε ζ έλ δηάζηεκ Δ, ηόηε ε εθπηκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζε θάζε ζεκεί ηπ Δ ξίζθεηη θάηω ληηζηίρωο πάλω πό ηε γξθηθή ηεο πξάζηζε Σρ 9, κε εμίξεζε η ζεκεί επθήο ηπο ΧΟΛΙΟ 5 Τ ληίζηξθ ηπ ζεωξήκηο δελ ηζρύεη Γη πξάδεηγκ, έζηω ε ζπλάξηεζε Σρ 4 Δπεηδή ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη, ε 4 Δληύηηο, ε δελ είλη ζεηηθή ζη, θύ ΧΟΛΙ 6-7 πδεηθλύεηη όηη: 4 είλη θπξηή ζη Οη πιπωλπκηθέο ζπλξηήζεηο ζκύ κεγιύηεξπ ή ίζ π ηπ δελ έρπλ ζύκπηωηεο P Οη ξεηέο ζπλξηήζεηο, κε ζκό ηπ ξηζκεηή P κεγιύηεξ ηπιάρηζηλ Q θηά δύ ηπ ζκύ ηπ πξλκζηή, δελ έρπλ πιάγηεο ζύκπηωηεο Σύκθωλ κε ηπο πξπάλω ξηζκύο, ζύκπηωηεο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο κηο ζπλάξηεζεο λδεηύκε: Ση άθξ ηωλ δηζηεκάηωλ ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο ζη πί ε δελ ξίδεηη Ση ζεκεί ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο, ζη πί ε δελ είλη ζπλερήο Ση,, εθόζλ ε ζπλάξηεζε είλη ξηζκέλε ζε δηάζηεκ ηεο κξθήο,, ληηζηίρωο, 4

ΧΟΛΙ 8-9 Τ ζεώξεκ ηζρύεη θη γη ηηο κξθέο,, Τ πξπάλω ζεωξήκη ηζρύπλ θη γη πιεπξηθά όξη θη κπξύκε, λ ρξεηάδεηη, λ η εθξκόζπκε πεξηζζόηεξεο θξέο, ξθεί λ πιεξύληη η πξϋπζέζεηο ηπο ΧΟΛΙ - Όπωο είλη γλωζηό, λ κη ζπλάξηεζε κε πεδί ξηζκύ η είλη ά π η ι, ηόηε ε C έρεη άμλ ζπκκεηξίο ηλ άμλ, ελώ λ είλη π ε π ιη η ή, ε C έρεη θέληξ ζπκκεηξίο ηελ ξρή ηωλ μόλωλ Ο Δπκέλωο, γη ηε κειέηε κηο ηέηηο ζπλάξηεζεο κπξύκε λ πεξηξηζηύκε ζη A, κε λ κη ζπλάξηεζε είλη π ε π ι ο δ ι κ ή κε πεξίδ Τ, ηόηε πεξηξίδπκε ηε κειέηε ηεο C ζ έλ δηάζηεκ πιάηπο Τ ΧΟΛΙΟ ΠΡΜΠΟΜΠΗ! πδεηθλύεηη όηη θάζε ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε δηάζηεκ Δ έρεη πξάγπζ ζη δηάζηεκ πηό ΧΟΛΙΟ Σύκθωλ κε η πξπάλω η d είλη ίζ κε η άζξηζκ ηωλ εκδώλ ηωλ ρωξίωλ ππ ξίζθληη πάλω πό ηλ άμλ κείλ η άζξηζκ ηωλ εκδώλ ηωλ ρωξίωλ ππ ξίζθληη θάηω πό ηλ άμλ Σρ 5 Ο a 5 + + ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ-ΜΙΓΓΙΚΟΙ Ν άιεηε ζε θύθι ηε ζωζηή πάληεζε: i λ ζη ζύλι ηωλ κηγδηθώλ ξηζκώλ ηζρύεη u v, ηόηε : u Β v Γ u v Γ Τίπη πό η πξεγύκελ 5 ii Ο ξηζκόο 5i i είλη: Φληζηηθόο Β Μεδέλ Γ Πξγκηηθόο Γ Τίπη πό η πξεγύκελ Πηεο πό ηηο επόκελεο ηζόηεηεο ιεζεύπλ γη θάζε κηγδηθό : Β Γ Δ Γ Σύκθωλ κε ηε ζπλζήθε ππ ηθλπηύλ η κηγδηθί θη λθέξεηη ζηελ πξώηε ζηήιε, λ ηπο ληηζηηρίζεηε ζηελ επζεί ηεο δε ύηεξε ζηήιεο ππ λήθεη ε εηθόλ ηπο:

ςθήκη Ευθεί A i i B Γ i γ δ Γ i ε

ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ-ΤΝΡΣΗΔΙ-ΟΡΙΟΤΝΔΥΔΙ ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ, ιηιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζή ζρ λ ln θη g e, ηόηε * g, g, λ l, ηόηε A Δίλη A Ι 4 λ γη θάζε θη ππάξρεη η, ηόηε θη λάγθε 5 Ιζρύεη: ημ ημ 6 λ θληά ζη, ηόηε 7 λ,,, ηόηε θη λάγθε ζ είλη 8 λ ππάξρεη η g, ηόηε είλη ίζ κε 6 g6 6 9 λ, ηόηε θη λάγθε ζ είλη ή λ, ηόηε λ ε είλη ζπλερήο ζη θη γη 4 ηζρύεη 7, ηόηε η 4 είλη ίζ κε 4 λ ε είλη ζπλερήο ζη [,] θη 4,, ηόηε ππάξρεη πξγκηηθόο ξηζκόο, ηέηηο, ώζηε π

ΙΙ Ν κςκλώζεηε ηη ζυζηή πάηηζη ζε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπη ώζειρ λ l, g m λάγθε ζ είλη:, l, m θη g l m Β l m Γ l m Γ l m Δ m l θληά ζη, ηόηε θη Τ όξη είλη ίζ κε: 8 Β Γ Γ Δ 8 Τ είλη ίζ κε: Β Γ Γ Δ 4 λ η δελ ππάξρεη, ηόηε: Β Γ Γ ΙΙΙ Γίλληη η ζπλξηήζεηο θη πό ηπο Πξθάηω ηζρπξηζκύο ιάζο είλη : g ε g είλη ζπλερήο ζη Β ε είλη ζπλερήο ζη Γ ε g έρεη δπ ζεκεί ζη πί δελ είλη ζπλερήο Γ Πη πό η πξθάηω όξη είλη θιώο ξηζκέλ; 9 Γ Δ [ln ] Β 9 Γ ΣΤ [ln ] Γίλεηη ε ζπλάξηεζε ε πί είλη ζπλερήο ζη δηάζηεκ Γ [,], κε, θη Πηο πό ηπο πξθάηω ηζρπξηζκύο δελ πξθύπηεη θη λάγθε πό ηηο ππζέζεηο; Υπάξρεη, ηέηηο, ώζηε Β

Γ Γ [, ] Γ Δ Η κέγηζηε ηηκή ηεο ζη [,] είλη η θη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο η ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ -ΠΡΓΧΓΟΙ ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ δικιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζη ζρ Ι λ ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζη [,], πξγωγίζηκε ζη, θη γη όι η,, ηόηε λ ε ζπλάξηεζε πξγωγίδεηη ζη [, ] κε, ηόηε ππάξρεη, ηέηη, ώζηε λ η, g είλη ζπλξηήζεηο πξγωγίζηκεο ζη [, ], κε g θη g, ηόηε ππάξρεη, ηέηη, ώζηε ζη ζεκεί A, θη B, g η εθπηόκελεο λ είλη πξάιιειεο 4 λ γη θάζε, ηόηε: η είλη ηπηθό κέγηζη ηεο A η είλη ηπηθό ειάρηζη ηεο 5 Η γξθηθή πξάζηζε κηο πιπωλπκηθήο ζπλάξηεζεο άξηηπ ζκύ έρεη πάληηε ξηδόληη εθπηκέλε Η γξθηθή πξάζηζε κηο πιπωλπκηθήο ζπλάξηεζεο πεξηηηύ ζκύ έρεη πάληηε ξηδόληη εθπηκέλε 6 Η ζπλάξηεζε γ δ κε,, γ, δ θη έρεη πάλη έλ ζεκεί θκπήο 7 λ η ζπλξηήζεηο, g έρπλ ζη ζεκεί θκπήο, ηόηε θη ε g έρεη ζη ζεκεί θκπήο 8 Γίλεηη όηη ε ζπλάξηεζε πξγωγίδεηη ζη θη όηη ε γξθηθή ηεο πξάζηζε είλη πάλω πό ηλ άμλ λ ππάξρεη θάπη ζεκεί A, ηεο C ηπ πίπ ε πόζηζε πό ηλ άμλ είλη κέγηζηε ή ειάρηζηε, ηόηε ζε πηό η ζεκεί ε εθπηκέλε ηεο C είλη ξηδόληη 9 Η επζεί είλη θηθόξπθε ζύκπηωηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζπλάξηεζεο:

g λ γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο δίλεηη πό η πξθάηω ζρήκ, ηόηε: O 4 i η πεδί ξηζκύ ηεο είλη η, 4 ii η πεδί ξηζκύ ηεο είλη η [, 4 ] iii γη θάζε, 4 iv ππάξρεη, 4 : Η ζπλάξηεζε έρεη: κη, ηπιάρηζηλ, ξίδ ζη, κη, θξηώο, ξίδ ζη, γ ηξεηο πξγκηηθέο ξίδεο λ γη ηηο πξγωγίζηκεο ζη ζπλξηήζεηο, g ηζρύπλ 4,, 5 6, g 5, g, g 4, ηόηε g g ΙI ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηη ζυζηή πάηηζη Τ π π εθ εθ 6 6 Β 4 ηζύηη κε: Γ Γ Δ 4 Τ ηζύηη κε: Β Γ Γ Δ λ Γ 5 ηόηε ε 5 Β ηζύηη κε: 5 Δ 5 ln 5 5 Γ ln 5 5 4 λ ζπλ ηόηε ε π ηζύηη κε: ζπλ π εκ π Β ζπλ π

Γ ζπλ π εκ π Γ π ζπλ π 5 λ ηόηε ε έδκε πξάγωγο πηήο ζη ηζύηη κε: Β Γ Γ 7 Δ δελ ππάξρεη 6 λ η εθπηόκελεο ηωλ ζπλξηήζεωλ ln θη ηεηκεκέλε είλη πξάιιειεο, ηόηε η είλη: Β 4 Γ Γ Δ g ζη ζεκεί κε 7 λ e, g e θη ηζύηη κε: Γ Β Δ g, ηόηε η ωο ζπλάξηεζε ηπ g Γ 8 λ γη θάζε [,] θη, ηόηε: Β Γ Γ ΙΙΙ Ν ληηζηηρίζεηε θζεκηά πό ηηο ζπλξηήζεηο,, γ, δ ζε εθείλε πό ηηο ζπλξηήζεηο, Β, Γ, Γ, Δ, Z ππ λκίδεηε όηη είλη ε πξάγωγόο ηεο a γ O δ O O

Β Γ O O O - Γ Δ Ε O O O Κζεκηά πό ηηο πξθάηω ζπλξηήζεηο λ ληηζηηρίζεηε ζηελ επζεί ππ είλη ζύκπηωηε ηεο γξθηθήο ηεο πξάζηζεο ζη ΤΝΡΣΗΗ ΤΜΠΣΩΣΗ e Β Γ Γ Δ ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΧΜ Ι ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ Φ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ δικιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζή ζρ Ιζρύεη g d d g d Ιζρύεη g d d g d λ, ηόηε d

4 λ d, ηόηε θη λάγθε ζ είλη γη θάζε [, ] 5 λ γη θάζε [, ], ηόηε d 6 λ d, ηόηε θη λάγθε ζ είλη γη θάζε [, ] 4 7 d 4 d / 4 8 ln εκ d 9 d / 4, γη θάζε ln ζπλ d d e ln d ln e t dt λ d θη ε δελ είλη πληύ κεδέλ ζη [, ], ηόηε ε πίξλεη δπ, ηπιάρηζηλ, εηεξόζεκεο ηηκέο Τ ιθιήξωκ d πξηζηάλεη η εκδόλ ηπ ρωξίπ ππ πεξηθιείεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο θη ηλ άμλ ηωλ ΙΙ Σε θζεκηά πό ηηο πξθάηω πεξηπηώζεηο λ θπθιώζεηε ηε ζωζηή πάληεζε λ εκπ θη, ηόηε η ηζύηη κε, Β, Γ, Γ π π π π To ιθιήξωκ d 4 ζη 4, είλη ίζ κε ln 4 c, Β ln 4 c, Γ ln 4 c, Γ ln 4 c Τ ιθιήξωκ d ζη, είλη ίζ κε

c, Β, ln Γ c, Γ c, Δ c 4 Τ ιθιήξωκ d είλη ίζ κε 4 4 5, Β, Γ, Γ, Δ 5 Τ ιθιήξωκ ln d είλη ίζ κε c, Β ln c, Γ ln ln, Γ c 6 Έζηω, g δπ πξγωγίζηκεο ζπλξηήζεηο κε ζπλερείο πξγώγπο ζη [, ] λ g γη θάζε [, ], ηόηε θη λάγθε ζ ηζρύεη: g, [, ], Β d g d Γ d g d, [, ], Γ d g d 7 Τ εκδόλ ηπ γξκκζθηζκέλπ ρωξίπ ηπ δηπιλύ ζρήκηο είλη ίζ κε - O 5 5 d, Β d 5 5 Γ d d, Γ d d 8 Aλ g γη θάζε [,] θη g, ηόηε γη θάζε [,] ηζρύεη: g, Β g d 4 Γ g, [,] Γ Οη C, C g έρπλ θηλό ζεκεί ζη [,] 5

9 Έζηω ε ζπλάξηεζε F t dt όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Τόηε ε F είλη ίζε κε C, Β, Γ, Γ O Έζηω ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Aλ E Ω, Ε Ω θη Ε Ω ηόηε η d είλη ίζ κε O γ δ Ω Ω Ω 6, Β 4, Γ 4, Γ, Δ Έζηω ε ζπλάξηεζε F t dt, όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Τόηε Β F,, F,, O Γ, F,, Γ, F, ΙΙΙ Πη πό η πξθάηω ζρήκη ληηπξζωπεύεη ηε γξθηθή πξάζη ζε κηο ιύζεο ηεο δηθξηθήο εμίζωζεο, κε, O O O Β Γ O O Γ Δ Πη πό η πξθάηω ιθιεξώκη είλη θιώο ξηζκέλ;

π d, Β εκ / d, Γ π εθ d Γ ln d, Δ d, Γ d Ν εληπίζεηε η ιάζο ζηηο πξθάηω πξάμεηο: Άξ d d d d d, πόηε! d 4 Ν εληπίζεηε η ιάζο ζηηο πξθάηω πξάμεηο I d ξ u u du u d du I Θέζκε πόηε d u u du I I πόηε I πηό, όκωο, είλη άηπ, θύ I d, επεηδή 5 Θεωξύκε ηε ζπλάξηεζε γη θάζε [,] F t dt, όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Ν ζπκπιεξώζεηε η πξθάηω θελά 4 O 4 C 6 F, F, F, F 4, F 6