94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος είναι αναγκαία χώρος Baach εφόσον ταυτίζεται ισομετρικά με τον. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη αυτοπαθών χώρων έτσι ώστε ο να είναι γραμμικά ισομετρικός με τον φυσικά μέσω της κανονικής απεικόνισης ϕ. ( όχι Ένα τέτοιο παράδειγμα (ο χώρος του James J μπορεί να βρεθεί στα βιβλία [F-H-H-M-P-Z] και [Μ]. Θεώρημα 4.2. Έστω χώρος Baach. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: Ο είναι αυτοπαθής 2 Η είναι συμπαγής χώρος. 3 Ο είναι αυτοπαθής 4 (, w (, w =. Απόδειξη ( (2. Εφόσον ο είναι αυτοπαθής έχουμε ότι (, w (, w, w, w =. Από το θεώρημα Alaoglou έχομε το συμπέρασμα. = και άρα (2 ( Εφόσον η είναι συμπαγής χώρος είναι και ασθενώς συμπαγές υποσύνολο της Β. Από το θεώρημα Goldstie η Β είναι και ασθενώς πυκνό υποσύνολο του Β, συνεπώς Β =Β. Άρα =. ( (4 Η ασθενής τοπολογία επί του επάγεται από τον συζυγή του που είναι ο =. Επίσης η ασθενής τοπολογία επί του επάγεται από τον προσυζυγή του που είναι πάλι ο, έτσι οι δύο τοπολογίες ταυτίζονται.
95 (4 (3. Από την υπόθεσή μας, έπεται αμέσως ότι =, w. Από το θεώρημα Alaoglou η, w είναι συμπαγής χώρος. Άρα η είναι συμπαγής χώρος και από την (2 ( έπεται το συμπέρασμα. (3 (. Εφόσον ο (, w (, w άρα και του υποσύνολο του είναι αυτοπαθής από την ( (4 θα έχουμε ότι =. Η είναι orm κλειστό και κυρτό υποσύνολο του ( και, έπεται από το θεώρημα του Mazur ότι είναι ασθενώς κλειστό. Αλλά τότε από την υπόθεσή μας είναι ασθενώς κλειστό υποσύνολο του. Από το θεώρημα Goldstie έπεται ότι Β =Β. Κατά συνέπεια =. Πόρισμα 4.2.2 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και Y κλειστός διανυσματικός υπόχωρος του. Τότε ο Y είναι επίσης αυτοπαθής. Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι Β Y = Y Β. Επειδή από το θεώρημα του Mazur ο Y είναι ασθενώς κλειστό υποσύνολο του και από το θεώρημα 4.2. η Β είναι ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του, έπεται ότι η Β Y είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο. Έτσι πάλι από το θεώρημα 4.2. ο Y είναι αυτοπαθής χώρος. Πόρισμα 4.2.3 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach. Αν = ώστε ( =., τότε υπάρχει με Απόδειξη Υποθέτομε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι. Το είναι συνεχής συνάρτηση ως προς την ασθενή τοπολογία του και η Β είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο, αφού ο είναι αυτοπαθής. Έπεται ότι υπάρχει y Β ώστε ( ( Παρατηρούμε ότι, ( με { } y = su : = = y y y = Επίσης έχομε ότι υπάρχει a K a = ώστε ( y a ( y ( ay = y =. = =. Έτσι θέτομε = ay και έχομε Παρατηρήσεις Το προηγούμενο αποτέλεσμα δεν ισχύει πάντοτε χωρίς την υπόθεση της αυτοπάθειας. Για παράδειγμα αν ( ( Λ : c R : Λ =, = c ( ( 2 = των μηδενικών ακολουθιών πραγματικών αριθμών τότε ισχύουν: (=ο χώρος
96 (α Το Λ είναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές με Λ = (β Για κάθε c με ( = ( Λ < ( Πρβλ. την άσκηση (2 της παραγράφου 2. 2 Αν είναι χώρος με νόρμα τότε από το θεώρημα Hah-Baach ( αλλά και από το θεώρημα Alaoglou έχομε ότι για κάθε υπάρχει 2 με = ώστε ( =. Έτσι το προηγούμενο αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει θεωρώντας τον ως συζυγή του ( = Θεώρημα 4.2.4 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και Κ. Τότε το Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν το Κ είναι ασθενώς κλειστό και orm φραγμένο. Απόδειξη Έστω ότι το Κ είναι ασθενώς συμπαγές. Τότε βέβαια το Κ είναι ασθενώς κλειστό. Αν τότε επειδή το συμπαγές, έχομε ότι ( { } είναι ασθενώς συνεχές και το Κ ασθενώς su : Κ <+. Από την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος έπεται ότι το Κ είναι orm φραγμένο. Έστω ε > ώστε Κ Β (,ε. Από την αυτοπάθεια του η (, ε Β είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο. Επειδή το Κ είναι ασθενώς κλειστό συμπεραίνουμε ότι είναι ασθενώς συμπαγές.. Παρατηρήσεις 4.2.5 Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται ακολουθιακά συμπαγής, αν κάθε ακολουθία ( έχει κάποια υπακολουθία ( ώστε k. Ένα ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές υποσύνολο Κ ενός χώρου Baach είναι αναγκαία orm φραγμένο. Πράγματι, αν το Κδεν ήταν φραγμένο τότε θα υπήρχε μια ακολουθία ( Κ ώστε υπακολουθία της ( για κάθε. Έστω ( k, τότε βέβαια η ( k μια ασθενώς συγκλίνουσα θα ήταν φραγμένη άτοπο. k 2 Το θεώρημα 4.2.4 είναι συνέπεια ενός γενικότερου αποτελέσματος: Αν χώρος Baach και Κ τότε το Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν είναι ασθενώς κλειστό και orm φραγμένο ( πρβλ. τις ασκήσεις. Έπεται ιδιαίτερα από το αποτέλεσμα αυτό ότι κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι orm φραγμένο ( γιατί;. Λήμμα 4.2.6 Κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο Κ ενός διαχωρίσιμου χώρου Baach είναι μετρικοποιήσιμο.
97 Απόδειξη. Έστω Κ ένα ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του. Από το θεώρημα 4..8 η, w είναι συμπαγής και μετρικοποιήσιμος χώρος επομένως διαχωρίσιμος. Έστω { : } D= ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο της, w. Παρατηρούμε ότι το D διαχωρίζει τα σημεία του. Πράγματι, έστω ώστε ( = για κάθε. Επειδή το = ϕ( είναι ένα ασθενώς συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές επί του ((, w έπεται ότι ( ότι =. =, είναι και συνεχής συνάρτηση αν περιορισθεί στην, w = για κάθε Β και άρα ( = για κάθε.έτσι έχομε Ορίζουμε τον τελεστή T : c ώστε T( = Εύκολα ελέγχεται ότι ο T είναι καλά ορισμένος, γραμμικός ( το D διαχωρίζει τα σημεία του και φραγμένος ( με T. [ Επειδή από το θεώρημα 4..3 ο T είναι ασθενώς συνεχής, έπεται ότι το ασθενώς συμπαγές υποσύνολοκ του είναι ομοιομορφικό με το ασθενώς συμπαγές υποσύνολο T( Κ του c. Όμως το ( T Κ είναι orm φραγμένο από την παρατήρηση 4.2.5 (2 και όπως γνωρίζουμε από το πόρισμα 4..9 η ασθενής τοπολογία στα φραγμένα υποσύνολα ενός χώρου με διαχωρίσιμο συζυγή ( c =l είναι μετρικοποιήσιμη. Έτσι το ( T( Κ, w είναι μετρικοποιήσιμο και συνεπώς και το (, w Από το προηγούμενο Λήμμα έπεται εύκολα το ακόλουθο. Κ είναι μετρικοποιήσιμο. Θεώρημα 4.2.7 Κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο Κ ενός χώρου Baach είναι ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές. Απόδειξη Έστω ( τυχούσα ακολουθία σημείων του Κ. Θέτομε Ω= cl { } Κ και Y cl, w, = (=η κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου {, }. Προφανώς ο Y είναι διαχωρίσιμος χώρος Baach και το Ω είναι ένα ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του Y. Από το Λήμμα 4.2.6 ο χώρος ( Ω, w είναι μετρικοποιήσιμος και συνεπώς η ( έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία μέσα στο Ω Κ. Το αντίστροφο του προηγουμένου αποτελέσματος ισχύει και είναι ένα βαθύ αποτέλεσμα που ανήκει στον Eberlei. Διατυπώνουμε το θεώρημα του Eberlei και για την απόδειξή του παραπέμπουμε στα βιβλία [F-H-H-M-P-Z], [Μ] και [D].
98 Θεώρημα 4.2.8 ( Eberlei Ένα υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι ασθενώς συμπαγές ( αν και μόνο αν είναι ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές. Η ακόλουθη εφαρμογή του θεωρήματος 4.2.7 μας λέει ότι, λόγω της ιδιότητας Schur, ο χώρος l βρίσκεται στον αντίποδα των αυτοπαθών χώρων. Πρόταση 4.2.9 Ένα υποσύνολο Κ του χώρου l είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν είναι orm συμπαγές. Απόδειξη Αν τοκ είναι orm συμπαγές τότε το Κ προφανώς είναι ασθενώς συμπαγές. Έστω ότι το Κ είναι ασθενώς συμπαγές. Από το θεώρημα 4.2.7 κάθε ακολουθία ( έχει ασθενώς συγκλίνουσα και συνεπώς - από την ιδιότητα Schur του l- orm συγκλίνουσα υπακολουθία μέσα στο Κ. Έτσι το Κ είναι orm συμπαγές υποσύνολο του l. Από το θεώρημα του Eberlei έπεται και ο ακόλουθος χαρακτηρισμός των αυτοπαθών χώρων. Θεώρημα 4.2. Έστω χώρος Baach. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (α Ο είναι αυτοπαθής (β Κάθε φραγμένη ακολουθία στον έχει ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Κ Απόδειξη (α (β Η 4.2.7 έπεται το συμπέρασμα. είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο, έτσι από το θεώρημα (β (α Από το θεώρημα 4.2.8 ( Eberlei έπεται ότι η (, w και έτσι ο είναι αυτοπαθής. Παραδείγματα. ( Οι χώροι l και L L [,] Β είναι συμπαγές σύνολο =, για < <+ είναι αυτοπαθείς. Πράγματι, αν + =, τότε ισχύει l = l q = l, υπό την έννοια ότι για κάθε q υπάρχει g l ώστε ( ( = για κάθε ( f g k k= k f l q = k l q. Η δράση του f επί του είναι ίδια με την δράση του g επί του. Έπεται ότι η κανονική απεικόνιση ϕ l l είναι επί του l. Για τον L ο έλεγχος ότι η ϕ είναι επί του (2 Ο χώρος c δεν είναι αυτοπαθής επειδή c L είναι ανάλογος. =l και ο l ως γνωστόν δεν είναι διαχωρίσιμος. Ο χώρος l επίσης δεν είναι αυτοπαθής. Αν ήταν, τότε ο διαχωρίσιμος και συνεπώς ο l = l θα ήταν επίσης διαχωρίσιμος, άτοπο. l θα ήταν :
99 3 Αποδεικνύεται ότι κανένας χώρος από την οικογένεια c και l, <+, δεν είναι ισομορφικός με υπόχωρο κάποιου άλλου μέλους της οικογένειας. Έτσι για παράδειγμα αν q<+ τότε ο l δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον l q. ( Πρβλ. [L-T] σελ. 53-4. Ορισμός 4.2. Έστω ( M, d μετρικός χώρος και A μη κενό υποσύνολο του M. Το A λέγεται προσεγγίσιμο ( roimal αν, για M υπάρχει y A ώστε (, = d(, A ( ( d y { d z z A} = if, :. Σχόλιο. Όπως γνωρίζουμε αν H είναι χώρος Hilbert και A H κλειστό κυρτό τότε για κάθε H υπάρχει y A έτσι ώστε d(, y = d(, A ( και το A είναι συνεπώς προσεγγίσιμο. Η ιδιότητα αυτή των χώρων Hilbert, όχι στην πλήρη της μορφή, κληροδοτείται στους αυτοπαθείς χώρους. Θεώρημα 4.2.2 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και A κλειστό και κυρτό. Τότε το A είναι προσεγγίσιμο. Απόδειξη Έστω ( με A ώστε d A. Θέτομε d = d ( A και επιλέγομε μια ακολουθία. Η ( είναι αυτοπαθής, υπάρχει υπακολουθία ( k, είναι βέβαια φραγμένη ακολουθία και επειδή ο της ( ώστε A είναι κλειστό κυρτό από το θεώρημα Mazur to A. Έστω w k. Επειδή το με = ώστε = (. Τότε έχομε = ( ( k + ( k ( k + k Παίρνοντας όρια, συμπεραίνουμε ότι d Θεώρημα 4.2.3 Έστω χώρος με νόρμα και και έτσι έχομε d d ( A με = =.,. Τότε ο πυρήνας του είναι προσεγγίσιμος αν και μόνο αν υπάρχει με = τέτοιο ώστε ( =. Απόδειξη Η απεικόνιση : / Ker K : ( Ker ( φραγμένη και επί του K με Ker Λ Λ + = είναι γραμμική Λ = ( Πρβλ. την απόδειξη της πρότασης.2. Επομένως είναι ένας ισομορφισμός μονοδιάστατων χώρων Baach, έτσι υπάρχει με υπάρχει + = και Λ ( + Ker y Ker ώστε ( Ker = Λ. Εφόσον ο y = d, Ker = + Ker =. y = = Λ + Ker = Λ =. Έπεται ότι, ( ( ( Ker είναι προσεγγίσιμος,