ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έργο και Κινητική Ενέργεια Έργο Βαρυτικής Δύναμης και Δύναμης Ελατηρίου Έργο Μεταβλητής Δύναμης Ισχύς ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συντηρητικές Δυνάμεις Δυναμική Ενέργεια Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ΕΡΓΟ & ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ALONSO FINN GIANCOLI HALLIDAY RESNICK ALKER YOUNG FREEDMAN 8. έως 8.6 7., 7., 7.4 7. έως 7.7 6., 6. 8.9 έως 8. 7., 8., 8.4 7.8, 7.9 6., 6.4 8.7, 8.8 8., 8., 8.5, 8.6 8. έως 8.8 7. έως 7.5 Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Επίδραση σταθερής δύναμης F σε σωματίδιο μάζας m F F d F cosθ d F d v θ d v F d Ηδύναμηαυτήεπιφέρειαλλαγήστηνκινητικήκατάστασητουσωματιδίου: a dv dt dv d d dt dv d v v dv a d v v dv v a d v v a( ) a d mv mv ma d F d K K K K Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έργο που εκτελείται από την βαρυτική δύναμη K K Το σώμα ρίπτεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα mv mv mg d cos8 v mv mv mg d (-) mv mv mgd Η βαρυτική δύναμη παράγει στην περίπτωση αυτή αρνητικό έργο και ελαττώνει την κινητική ενέργεια του σώματος. Staths STILIARIS, UoA 6-7 4
ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έργο που εκτελείται από τη δύναμη ελατηρίου Νόμος του Hooke F k s F d kd s k k Το έργο είναι θετικό όταν το σώμα καταλήγει πιο κοντά ( < ) στη θέση ισορροπίας. Για ισχύει: s k Staths STILIARIS, UoA 6-7 5
ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Ανάλυση σε μία διάσταση Το έργο μεταβλητής δύναμης σε μια διάσταση υπολογίζεται : Δ F Δ lm F Δ Δ F() d Staths STILIARIS, UoA 6-7 6
ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Ανάλυση σε τρεις διαστάσεις Το έργο μεταβλητής δύναμης σε τρεις διαστάσεις υπολογίζεται ως ακολούθως: F F î F ĵ F kˆ d d î d ĵ d kˆ d F d F d F d F d Κατά συνέπεια: d F d Fd F d F d Fd F d Staths STILIARIS, UoA 6-7 7
ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Παράδειγμα Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F από το σημείο (,) στο σημείο (,), όπου: F î 4 ĵ Γνωρίζουμε ότι F d F d οπότε: F d F d d 4d 4 (7 8) ( ) 7J Staths STILIARIS, UoA 6-7 8
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Το έργο που παράγεται από μια συντηρητική δύναμη σε ένα σωματίδιο που κινείται από το σημείο a στο σημείο b δεν εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σωματίδιο. ab, ab, Κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής μια συντηρητική δύναμη δίνει συνολικό έργο μηδέν. ab, ab, ba, ab, ba, ab, ba, Staths STILIARIS, UoA 6-7 9
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Αν μια δύναμη F είναι συντηρητική, δηλαδή το παραγόμενο έργο εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση, τότε μπορεί να βρεθεί μια συνάρτηση U η οποία να αποδίδει ποσοτικά τη διαφορά αυτή ως: F() d U( ) U( ) ΔU Η συνάρτηση αυτή καλείται Δυναμικό ή Δυναμική Ενέργεια. Για το U ισχύει: F() d U( ) U( ) F() d du() F() - du() d Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Για το δυναμικό γενικότερα ισχύει: F U U U gadu U î ĵ kˆ Για να είναι μια δύναμη συντηρητική αποδεικνύεται πως πρέπει να ισχύουν: F F, F F, F F Τότε μπορεί να προσδιορισθεί η συνάρτηση U(,,) έτσι ώστε F - U Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Παράδειγμα F ( ) î ĵ Να βρεθεί το έργο της δύναμης αυτής από το σημείο (,) στο (,4) κατά μήκοςτης καμπύλης: (α) (β) a F d F d ( )d d ( 4 )d 4 4 d 5 4 4 64 4 b 4 F d F d ( )d d ( )d 4 4 / d 5 5 4 5 5/ Staths STILIARIS, UoA 6-7 4 8 5 8 5 4
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Στο προηγούμενο παράδειγμα βρέθηκε a b, όπως ήταν αναμενόμενο, δεδομένου ότι: F () ( Άρα μπορεί να βρεθεί μια συνάρτηση U(,) τέτοια ώστε: ) F F ( ) U g() U U F U () () - g() C U(, ) - C Εύκολα παρατηρούμε πως: 8 U(,) - U(,4) 6 4 Staths STILIARIS, UoA 6-7
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔK ΔU - ΔK ΔU K U K U Staths STILIARIS, UoA 6-7 4
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ du/d F() - du() d Staths STILIARIS, UoA 6-7 5
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΔΥΝΑΜΗΣ F() - du() d Staths STILIARIS, UoA 6-7 6