Σν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Σζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltimegr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α (β +γ )=α β +α γ Δ= δ π+ υ Πξάμεηο κε πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο (επαναλήυεις - ζσμπληρώζεις ) Τα μαθηματικά είναι μια αλυσίδα Για να προχωρήσουμε στην ύλη της Γ Γυμνασίου θα πρέπει να γνωρίζουμε πλήρως την ύλη της Β Γυμνασίου Επειδή όμως αυτό δεν είναι εφικτό, για να καλύψετε τυχόν κενά, σας παραπέμπουμε στο ένθετο τεύχος μας όπου θα βρείτε όλη τη θεωρία της Β Γυμνασίου με παραδείγματα Παρακάτω θα βρείτε συνοπτικά τη θεωρία που μας είναι απαραίτητη για να προχωρήσουμε στη λύση των ασκήσεων της παραγράφου
Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πξαγκαηηθνί αξηζκνί είλαη όινη νη αξηζκνί πνπ γλσξίζακε ζηηο πξνεγνύκελεο ηάμεηο Πρ,65,, -7 Οη πξαγκαηηθνί αξηζκνί απνηεινύληαη από ηνπο ξεηνύο θαη ηνπο άξξεηνπο αξηζκνύο Σν ζύλνιν ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ην ζπκβνιίδνπκε κε Ρεηόο ιέγεηαη θάζε αξηζκόο πνπ κπνξεί λα γξαθεί κε ηε κνξθή θιάζκαηνο θ ι, όπνπ θ, ι αθέξαηνη αξηζκνί θαη ι 0 Σν ζύλνιν ησλ ξεηώλ αξηζκώλ ην ζπκβνιίδνπκε κε Πρ 6 = 6 = 6, 0, 7,5= 75 8 00 Άξξεηνο ιέγεηαη θάζε αξηζκόο πνπ δελ είλαη ξεηόο Πρ 4,666,π, 5 Οη πξαγκαηηθνί αξηζκνί παξηζηάλνληαη κε ζεκεία πάλσ ζε έλαλ άμνλα Απόιπηε ηηκή Η απόιπηε ηηκή ελόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α ζπκβνιίδεηαη κε α θαη είλαη ίζε κε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ, πνπ παξηζηάλεη ηνλ αξηζκό α, απν ηελ αξρή ηνπ άμνλα Ιζρύεη όηη 0 = 0 Η απόιπηε ηηκή ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ είλαη ν ίδηνο ν αξηζκόο Η απόιπηε ηηκή ελόο αξλεηηθνύ αξηζκνύ είλαη ν αληίζεηνο ηνπ Πρόσθεση Γηα λα πξνζζέζνπκε δύν νκόζεκνπο αξηζκνύο, πξνζζέηνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην άζξνηζκα απηό βάδνπκε ην πξόζεκό ηνπο πρ -7 + -5 =-7 +5 =- Γηα λα πξνζζέζνπκε δύν εηεξόζεκνπο αξηζκνύο, αθαηξνύκε ηε κηθξόηεξε απόιπηε ηηκή από ηε κεγαιύηεξε θαη ζηε δηαθνξά απηή βάδνπκε ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ πνπ έρεη ηε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή Αλ ε δηαθνξά ησλ απόιπησλ αξηζκώλ είλαη κεδέλ, ηόηε θαη ην άζξνηζκα είλαη κεδέλ πρ (-) + (+5)= -( -5) = -8, (-6) + (+6) =0
Ιδιότητες της πρόσθεσης α + 0 = α α + (-α) = 0 α + β = β + α (ανηιμεηαθεηική ηδηόηεηα) (α + β) + γ = α + (β+γ), (προζεηαιριζηική ηδηόηεηα) Με ηε βνήζεηα ησλ παξαπάλσ ηδηνηήησλ κπνξνύκε λα βξίζθνπκε ην άζξνηζκα πνιιώλ πξνζζεηέσλ Αφαίρεση Δίλαη γλσζηό όηη δηαθνξά ηνπ αξηζκνύ β από ηνλ αξηζκό α είλαη έλαο αξηζκόο γ, πνπ όηαλ ηνλ πξνζζέζνπκε ζηνλ β λα πξνθύπηεη ην α Γειαδή α - β = γ, όηαλ α = β + γ Η δηαθνξά ηνπ β από ηνλ α βξίζθεηαη, αλ ζηνλ α πξνζζέζνπκε ηνλ αληίζεηό ηνπ β Γειαδή α - β = α + (-β) πρ (+) -(-5) = (+) + (+5) = +8 Με ηε βνήζεηα ηεο αθαίξεζεο, ιύλνληαη νη εμηζώζεηο: ρ + α = β, ηόηε ρ = β α ρ - α = β, ηόηε ρ = α +β α- ρ = β, ηόηε ρ + β = α, νπόηε ρ = α -β Απαλοιφή παρενθέσεων Όηαλ κία παξέλζεζε έρεη κπξνζηά ηεο ην + (ή δελ έρεη πξόζεκν) κπνξνύκε λα ηελ απαιείςνπκε καδί κε ην + (αλ έρεη) θαη λα γξάςνπκε ηνπο όξνπο πνπ πεξηέρεη κε ηα πξόζεκά ηνπο πρ (- -5 +) + ( -8 +)= - -5 + + -8 += = - Όηαλ κία παξέλζεζε έρεη κπξνζηά ηεο ην -, κπνξνύκε λα ηελ απαιείςνπκε καδί κε ην - θαη λα γξάςνπκε ηνπο όξνπο πνπ πεξηέρεη κε αιιαγκέλα πξόζεκα πρ - ( -5 +) - (- +5-8)= - +5 - + -5 +8 = =5 Πολλαπλασιασμός Γηα λα πνιιαπιαζηάδνπκε δύν ξεηνύο αξηζκνύο ζα εξγαδόκαζηε σο εμήο:
4 α) Θα πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ησλ αξηζκώλ, δειαδή ηνπο αξηζκνύο ρσξίο πξόζεκα β) ην απνηέιεζκα (ην γηλόκελό ηνπο) ζα βάδνπκε έλα πξόζεκν (+) ή (-) κε βάζε ηνλ επόκελν θαλόλα (+) επί (+) καο δίλεη (+) Γειαδή όηαλ θαη νη δύν αξηζκνί είλαη ζεηηθνί ην γηλόκελό ηνπο ζα είλαη ζεηηθόο αξηζκόο (-) επί (-) καο δίλεη (+) Γειαδή όηαλ θαη νη δύν αξηζκνί είλαη αξλεηηθνί ην γηλόκελό ηνπο ζα είλαη ζεηηθόο αξηζκόο (+) επί (-) καο δίλεη (-) Όηαλ ν έλαο αξηζκόο είλαη ζεηηθόο θαη ν άιινο είλαη αξλεηηθόο ηόηε ην γηλόκελό ηνπο ζα είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο 4 (-) επί (+) καο δίλεη (-) Ιζρύεη ό,ηη θαη ζηελ πεξίπησζε (+) (+) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) ( ) = (+) ( ) (+) = ( ) Γελ πξέπεη λα κπεξδεύνπκε ηελ πξόζζεζε ή ηελ αθαίξεζε δύν αξηζκώλ κε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό Από ηνπο ηέζζεξηο θαλόλεο γηα ηνλ «πνιιαπιαζηαζκό» ησλ πξνζήκσλ, πξνθύπηνπλ νη παξαθάησ θαλόλεο γηα ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ξεηώλ αξηζκώλ Ιδηόηεηεο ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ α) Όηαλ πνιιαπιαζηάδνπκε έλαλ ξεηό αξηζκό (είηε ζεηηθό είηε αξλεηηθό) κε ην κεδέλ, ην απνηέιεζκα ζα είλαη κεδέλ: α 0=0 α=0 Πρ (-) 0 = 0(-) = 0, 0 (+) = (+) 0 = 0, 0 = 0 = 0 β) Όηαλ πνιιαπιαζηάδνπκε έλαλ ξεηό αξηζκό κε ην + ην απνηέιεζκα ζα είλαη ν ίδηνο ν αξηζκόο: Πρ (-4) = (-4) = -4 α = α=α
5 γ) Με όπνηα ζεηξά θαη λα πνιιαπιαζηάζνπκε δύν ξεηνύο αξηζκνύο ην απνηέιεζκα δελ αιιάδεη Απηή είλαη ε αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ Πρ (-) (+)=(+) (-)=-6 α β = β α δ) Δπίζεο ηζρύεη ε πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ Πρ [ (-)] (-)= [(-) (-)] (αβ) γ = α (β γ) ε) Γύν ξεηνί αξηζκνί πνπ έρνπλ γηλόκελν + ιέγνληαη αληίζηξνθνη Πρ Ο αληίζηξνθνο ηνπ + είλαη ν αθνύ : α β =β α= ζη) Η ηδηόηεηα πνπ ζπλδέεη ηνλ πνιιαπιαζηαζκό κε ηελ πξόζζεζε ξεηώλ αξηζκώλ είλαη ε επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ σο πξνο ηελ πξόζζεζε πρ 6 9 ή ( ) () 9 Διαίρεση Αλάινγε κε ηε ζρέζε πνπ έρεη ε αθαίξεζε πξνο ηελ πξόζζεζε, είλαη θαη ε ζρέζε ηεο δηαίξεζεο πξνο ηνλ πνιιαπιαζηαζκό Έρνπκε ινηπόλ, ηα παξαθάησ «δεπγάξηα» ΠΡΟΘΕΗ ΑΦΑΙΡΕΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ ΔΙΑΙΡΕΗ Έηζη γηα λα δηαηξέζνπκε δύν ξεηνύο: α(β + γ) =αβ + αγ ή αβ + αγ= α (β +γ) α) Δηαηξνύκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο (δειαδή ηνπο αξηζκνύο ρσξίο πξόζεκα) β) Βάδνπκε ζην απνηέιεζκα πξόζεκν, ζθεπηόκελνη όπσο ΑΚΡΙΒΩ ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό (αληί «επί» έρνπκε ηε ιέμε δηά») Έηζη : (+) δηα (+) = (+) (+) δηα ( ) = ( ) ( ) δηα ( ) = (+) ( ) δηα (+) = ( )
6 Γειαδή αλ νη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη δίλνπλ (+) ελώ αλ είλαη εηεξόζεκνη δίλνπλ (-) Γηαίξεζε ηνπ ξεηνύ α δηα ηνπ ξεηνύ β νλνκάδεηαη ε πξάμε θαηά ηελ νπνία βξίζθεηαη έλαο ξεηόο, έζησ ρ, ν νπνίνο πνιιαπιαζηαδόκελνο κε ηνλ β καο δίλεη ηνλ α Η δηαίξεζε ηνπ α δηα ηνπ β ζπκβνιίδεηαη κε «:» ή κε, δειαδή αλ β ρ = α, ηόηε: a α: β=ρ ή Ο α λέγεηαι διαιρεηέος, ο β διαιρέηης και ο τ πηλίκο Πξνζνρή Δηαίξεζε δηα ηνπ κεδελόο (0) δελ έρεη λόεκα Γη απηό ζε θάζε θιάζκα ν παξoλνκαζηήο πξέπεη λα είλαη δηαθνξεηηθόο ηνπ 0 Ιδηόηεηεο ηεο δηαίξεζεο ) Η δηαίξεζε ελόο αξηζκνύ α (δηάθνξνπ ηνπ 0) κε ηνλ εαπηό ηνπ δίλεη πειίθν α : α = ή α = α ) Η δηαίξεζε ελόο αξηζκνύ α κε ην δίλεη ηνλ ίδην αξηζκό α, ελώ ε δηαίξεζή ηνπ κε ην δίλεη ηνλ αληίζεην ηνπ α, ηνλ α α : = α ή α = α α : -= -α ή α = - α - ) Η δηαίξεζε ηνπ 0 (κεδέλ) κε έλαλ αξηζκό α (δηάθνξν από ην 0) δίλεη 0 0 : α = 0
7 Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα Α = (-) + (-5) + (+) + (+5) + (-7) νο ηξόπνο νο ηξόπνο 7 5 7 4 5 7 9 7 Α = (-) + -5 5 7 Α= - + -5 + + + (+5) + -7 = - + + -7 = + + - + -7 = + + -9 =+ νο ηξόπνο Α = - + -5 + + + +5 + -7 = - - 5 ++ 5-7 = - +- 7 = - - 7 = - 9 = (παξαιείπνπκε ηηο παξελζέζεηο) (Γηαγξάθνπκε ηνπο αληίζεηνπο όξνπο) (Χωξίδνπκε ζεηηθνύο θαη αξλεηηθνύο) (Πξνζζέηνπκε ρωξηζηά ζεηηθνύο, ρωξηζηά αξλεηηθνύο) Να βξείηε ην γηλόκελν (6-7) (6-7)=6-7=8- Δδώ έρνπκε αθαίξεζε, ζα ηελ κεηαηξέςνπκε ζε πξόζζεζε 8-=8+(-)=-(-8)=- Άξα (6-7)=- ή (6-7)=(-)=(+) (-) = - = -
8 Να βξεζνύλ ηα πειίθα : i) α : α ii) α : iii) α : (-) θαη iv) 0 : α i) Όπσο γλσξίδνπκε ε δηαίξεζε ελόο αξηζκνύ κε ηνλ εαπηό ηνπ καο δίλεη πειίθν, έηζη α : α = ii) Η δηαίξεζε ελόο αξηζκνύ κε ηε κνλάδα καο δίλεη ηνλ ίδην αξηζκό, νπόηε α : = α iii) Eδώ έρνπκε ηε δηαίξεζε ηνπ α κε ην Αθνύ α:= α ζα είλαη α:(-)=-α iv) Όπσο ηζρύεη θαη ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό, ε δηαίξεζε ηνπ κεδελόο κε έλαλ αξηζκό (δηάθνξν ηνπ κεδελόο) δίλεη πειίθν 0, έηζη 0:α=0
9 x + + 5 47 x+(6-5 5 5 x 45 Πώς προζθέηοσμε δύο εηερόζημοσς αριθμούς; Γηα λα πξνζζέζνπκε δύν εηεξόζεκνπο αξηζκνύο, αθαηξνύκε ηε κηθξόηεξε απόιπηε ηηκή από ηε κεγαιύηεξε θαη ζηε δηαθνξά απηή βάδνπκε ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ πνπ έρεη ηε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή Αλ ε δηαθνξά ηωλ απόιπηωλ αξηζκώλ είλαη κεδέλ, ηόηε θαη ην άζξνηζκα είλαη κεδέλ Πώς πολλαπλαζιάζοσμε δύο ρηηούς αριθμούς; Θα πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηωλ αξηζκώλ, δειαδή ηνπο αξηζκνύο ρωξίο πξόζεκα θαη ζην απνηέιεζκα (ην γηλόκελό ηνπο) ζα βάδνπκε έλα πξόζεκν (+) ή (-) κε βάζε ηνλ επόκελν θαλόλα Πώς διαιρούμε δύο ρηηούς; Γηαηξνύκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο (δειαδή ηνπο αξηζκνύο ρωξίο πξόζεκα) β)βάδνπκε ζην απνηέιεζκα πξόζεκν, ζθεπηόκελνη όπωο ΑΚΡΙΒΩ ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό (αληί «επί» έρνπκε ηε ιέμε δηά») Η διαίρεζη ηοσ 0 με έναν αριθμό α ηι αποηέλεζμα μας δίνει; Η δηαίξεζε ηνπ 0 (κεδέλ) κε έλαλ αξηζκό α (δηάθνξν από ην 0) δίλεη 0
0 Γηα ηε ιύζε ησλ αζθήζεσλ ζα αθνινπζήζνπκε ηα παξαθάησ βήκαηα: Πξόζζεζε ξεηώλ αξηζκώλ ν βήκα Δμεηάδνπκε αλ νη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη ή εηεξόζεκνη ν βήκα Δάλ νη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη (δειαδή θαη νη δύν ζεηηθνί ή θαη νη δύν αξλεηηθνί) πξνζζέηνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηνπο θαη ζην απνηέιεζκα βάδνπκε ην θνηλό πξόζεκν ησλ αξηζκώλ Δάλ νη αξηζκνί είλαη εηεξόζεκνη από ηε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή αθαηξνύκε ηελ κηθξόηεξε θαη ζην απνηέιεζκα βάδνπκε ην πξόζεκν πνπ είρε ε κεγαιύηεξε απόιπηε ηηκή Όηαλ πξνζζέηνπκε πεξηζζόηεξνπο από δύν ξεηνύο αξηζκνύο: ν βήκα Δάλ ππάξρνπλ αληίζεηνη αξηζκνί ηνπο δηαγξάθνπκε ν βήκα Χσξίδνπκε ηνπο αξηζκνύο ζε ζεηηθνύο θαη αξλεηηθνύο ν βήκα πξνζζέηνπκε όινπο ηνπο ζεηηθνύο θαη όινπο ηνπο αξλεηηθνύο 4 ν βήκα ζην ηέινο κέλνπλ δύν αξηζκνί, έλαο ζεηηθόο θαη έλαο αξλεηηθόο, ηνπο νπνίνπο πξνζζέηνπκε θαη παίξλνπκε ην ηειηθό απνηέιεζκα Αθαίξεζε ξεηώλ αξηζκώλ Η κεζνδνινγία πνπ ζα αθνινπζήζνπκε ζηελ πξώηε θαηεγνξία είλαη ε εμήο: ν βήκα Δληνπίδνπκε πνύ ππάξρνπλ αθαηξέζεηο θαη ηηο κεηαηξέπνπκε ζε πξνζζέζεηο αιιάδνληαο ηαπηόρξνλα ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ πνπ αθνινπζεί ν βήκα Βγάδνληαο ή όρη ηηο παξελζέζεηο πξνζζέηνπκε όινπο ηνπο ζεηηθνύο, όινπο ηνπο αξλεηηθνύο θαη ζηνπο δύν αξηζκνύο πνπ απνκέλνπλ θάλνπκε κία
αθαίξεζε Όπνπ ρξεηάδεηαη κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ηδηόηεηεο ηεο πξόζζεζεο: Πνιιαπιαζηαζκόο ξεηώλ αξηζκώλ ν βήκα Θα εμεηάδνπκε αλ νη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη ή εηεξόζεκνη Δάλ είλαη νκόζεκνη ην πξόζεκν ηνπ γηλνκέλνπ ζα είλαη (+) Δάλ είλαη εηεξόζεκνη ην πξόζεκν ηνπ γηλνκέλνπ ζα είλαη (-) ν βήκα Θα πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο θαη ζην απνηέιεζκα ζα βάδνπκε ην πξόζεκν πνπ βξήθακε ζην ν βήκα Όηαλ ζε κηα παξάζηαζε ππάξρνπλ πνιιαπιαζηαζκνί, πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο ζα αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα: ν βήκα Θα θάλνπκε πξώηα ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο θαη ηα γηλόκελα ζα ηα γξάθνπκε κέζα ζε παξελζέζεηο ν βήκα Έπεηηα ζα θάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο ν βήκα θαη ηέινο ζα θάλνπκε ηηο αθαηξέζεηο (ζα ηηο κεηαηξέπνπκε ζε πξνζζέζεηο) θαη ζα βξίζθνπκε ην ηειηθό απνηέιεζκα Όηαλ έρνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ελόο αξηζκνύ κε έλα άζξνηζκα πνπ είλαη κέζα ζε παξέλζεζε ζα ρξεζηκνπνηνύκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ν βήκα Θα θάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ αξηζκνύ κε θάζε έλαλ από ηνπο όξνπο ηνπ αζξνίζκαηνο ν βήκα Θα ππνινγίδνπκε ην άζξνηζκα θάλνληαο πξώηα ηηο πξνζζέζεηο θαη έπεηηα ηηο αθαηξέζεηο Δηαίξεζε ξεηώλ αξηζκώλ ν βήκα Γηαηξνύκε ηηο απόιπηεο ηηκέο ησλ αξηζκώλ ν βήκα: Βξίζθνπκε ην πξόζεκν ηνπ απνηειέζκαηνο ζύκθσλα κε ηνπο θαλόλεο Γηα λα δηαηξέζνπκε δύν θιάζκαηα εξγαδόκαζηε σο εμήο: ν βήκα Αληηζηξέθνπκε ην δεύηεξν θιάζκα (ην δηαηξέηε) ν βήκα Μεηαηξέπνπκε ηε δηαίξεζε ζε πνιιαπιαζηαζκό ε θάπνηεο από ηηο αζθήζεηο ζα ρξεηαζηεί λα βξνύκε ηνπο αληίζηξνθνπο θαη ηνπο αληίζεηνπο ξεηώλ αξηζκώλ Γηα δύν αληίζηξνθνπο αξηζκνύο α θαη α ηζρύεη α = α Αληίζεηνο ελόο αξηζκνύ είλαη ν ίδηνο αξηζκόο κε αιιαγκέλν πξόζεκν
Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο: θαη β) α) - - - - + - + - - + - Γηα λα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ αθνινπζνύκε ηα εμήο βήκαηα: α) ο βήμα: Πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο ο βήμα: Πνιιαπιαζηαζκνύο θαη δηαηξέζεηο ο βήμα: Βγάδνπκε παξελζέζεηο 4 ο βήμα: Πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο β) Έρνπκε έλα ζύλζεην θιάζκα ο βήμα: Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο θαη ηηο αθαηξέζεηο ζηνλ αξηζκεηή θαη ηνλ παξαλνκαζηή αληίζηνηρα ο βήμα: Βξίζθνπκε έλα θιάζκα ζηνλ αξηζκεηή θαη έλα ζηνλ παξαλνκαζηή ο βήμα: Κάλνπκε ην ζύλζεην θιάζκα απιό α) Κάλνπκε ηηο πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο
9 8 9 8 6 Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο Βγάδνπκε ηελ παξέλζεζε 9 8 6 7 6 = 6 6 6 6 6 = β) 6 6 6 5 5 5 5 Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε Κάλνπκε ηελ απινπνίεζε Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε - αθαίξεζε Κάλνπκε ην ζύλζεην θιάζκα απιό Απινπνηνύκε ην θιάζκα
4 Γηα λα πξνζζέζνπκε - αθαηξέζνπκε θιάζκαηα πξέπεη λα ηα θάλνπκε νκώλπκα κε ην ΕΚΠ Γηα λα πνιιαπιαζηάζνπκε θιάζκαηα, πνιιαπιαζηάδνπκε αξηζκεηή κε αξηζκεηή θαη παξαλνκαζηή κε παξαλνκαζηή Αλ α + β = - θαη γ + δ = -5, λα βξεζεί ε αξηζκεηηθή ηηκή ηεο δ παξάζηαζεο: A =-γ - α +β - Γηα λα βξνύκε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο ο βήμα: Εθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ο βήμα: Εθαξκόδνπκε ηελ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα ο βήμα: Εθαξκόδνπκε θαη πάιη ηελ επηκεξηζηηθή ώζηε λα πξνθύςνπλ ηα γλσζηά αζξνίζκαηα 4 ο βήμα: Κάλνπκε αληηθαηάζηαζε 5 ο βήμα: Κάλνπκε ηηο πξάμεηο δ Δθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα =- γ - α + β - Α =-γ + α + β - δ Κάλνπκε ηελ απινπνίεζε = -γ +α +β -δ Δθαξκόδνπκε ηελ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα =α +β -γ -δ Δθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα = (α+β) - (γ + δ) Αληηθαζηζηνύκε ηα γλωζηά αζξνίζκαηα:
5 όπνπ (α+β) = - θαη (γ+δ) = -5 = (-) - (-5) Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = -6 +5 Κάλνπκε απαινηθή παξελζέζεωλ = - Κάλνπκε ηηο πξάμεηο Ερωηήζεις Καηανόηζης Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα ζεκεηώλνληαο «x» ζηελ θαηάιιειε ζέζε Αθέξαηνο Ρεηόο Άξξεηνο - 6 0, -0,8 6,4 π 7 Τν ζύλνιν ησλ ακέραιων αξηζκώλ είλαη ην ζύλνιν πνπ πεξηέρεη ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο θαη ηνπο αξλεηηθνύο αξηζκνύο, πνπ πξνθύπηνπλ από ηνπο θπζηθνύο κε ηελ πξνζζήθε ηνπ ζπκβόινπ «-» Ρητός ιέγεηαη θάζε αξηζκόο πνπ έρεη ή κπνξεί λα πάξεη ηε κνξθή θιάζκαηνο,, όπνπ κ, λ αθέξαηνη αξηζκνί θαη λ 0 Άρρητος ιέγεηαη θάζε αξηζκόο πνπ δελ είλαη ξεηόο
6 Σν - είλαη αθέξαηνο αιιά κπνξεί λα γξαθεί θαη κε ηελ κνξθή θιάζκαηνο σο Άξα είλαη θαη ξεηόο Σν είλαη ξεηόο γηαηί έρεη ηε κνξθή θιάζκαηνο Σν 6 είλαη αθέξαηνο αιιά κπνξεί λα γξαθεί θαη κε ηελ κνξθή θιάζκαηνο σο 6 Άξα είλαη θαη ξεηόο Σν 0, 0, είλαη ξεηόο επεηδή γξάθεηαη κε ηελ κνξθή θιάζκαηνο σο, ην νπνίν ηζνύηαη κε 0, Σν -0,8 είλαη ξεηόο επεηδή γξάθεηαη κε ηε κνξθή θιάζκαηνο σο 8 0 Σν είλαη άξξεηνο επεηδή δελ είλαη νύηε ξεηόο αιιά νύηε αθέξαηνο Σν 6 είλαη ξεηόο επεηδή γξάθεηαη κε ηελ κνξθή θιάζκαηνο σο 6 = 4 = 4, δειαδή είλαη 4 Άξα είλαη θαη αθέξαηνο εθόζνλ ε ξίδα ηνπ 6 δίλεη απνηέιεζκα 4 Σν,4 είλαη ξεηόο επεηδή γξάθεηαη κε ηε κνξθή θιάζκαηνο σο 4 00 Σν π =,45 έρεη άπεηξα δεθαδηθά ςεθία θαη δελ είλαη πεξηνδηθόο, άξα είλαη άξξεηνο Σν 7 είλαη ξεηόο, έρεη ηε κνξθή θιάζκαηνο κ λ Οπόηε ν πίλαθαο γίλεηαη: - Αθέξαηνο Χ Χ 6 0, -0,8 6,4 π 7 Ρεηόο Χ Χ Χ Χ Χ Άξξεηνο Χ Χ Χ
7 Να ζπκπιεξώζεηε ηηο ηζόηεηεο: α) - +7= β) -6 +6 = γ) --9= δ) - = ε) 0 7 ζη) 4 5 - - 5 4 δ) -6 : - ε) 5 8 : +4 = 5 ζ) 4 4 : + = Θα θάλνπκε ηηο πξάμεηο πνπ δίλνληαη Σηα θιάζκαηα πξέπεη λα ζπκόκαζηε όηη: - Γηα λα πνιιαπιαζηάζνπκε θιάζκαηα, πνιιαπιαζηάδνπκε αξηζκεηή κε αξηζκεηή θαη παξαλνκαζηή κε παξαλνκαζηή - Γηα λα δηαηξέζνπκε θιάζκαηα, αθήλνπκε ην πξώην θιάζκα όπσο είλαη αληί γηα δηαίξεζε θάλνπκε πνιιαπιαζηαζκό θαη αληηζηξέθνπκε ηνπο όξνπο ηνπ δεύηεξνπ θιάζκαηνο α) - +7 = +4 β) -6 +6 = 0 Οη αξηζκνί -6, +6 είλαη αληίζεηνη Αληίζεηνη είλαη νη αξηζκνί πνπ δίλνπλ άζξνηζκα 0 γ) - -9 = - Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε δ) = Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό
8 ε) 0-0 7 Όηαλ έλαο από ηνπο παξάγνληεο γηλνκέλνπ είλαη 0 ηόηε ην γηλόκελν είλαη 0 ζη) 4 5 0 5 4 0 Οη αξηζκνί πνπ έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα ιέγνληαη αληίζηξνθνη δ) 6 : 5 Κάλνπκε ηε δηαίξεζε 6 5 Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό 0 : 6 : 6 5 ε) 8 4 : 5 Κάλνπκε ηε δηαίξεζε 8 5 4 Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό 8 : 4 0 : 4 4 5 ζ) 4 4 : Κάλνπκε ηε δηαίξεζε 4 4 Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό
9 : : Να ζπκπιεξώζεηε ηηο ηζόηεηεο: α) (- - 5) ρ= β) - ( -5ρ) = γ) - ( -5)ρ = δ) - (ρ ) = +6 ε) (+ρ) ( +y) = ζη) 4 ( + ) = ρ +8 Γηα λα ζπκπιεξώζνπκε ηηο ηζόηεηεο: - Θα θάλνπκε πξώηα ηηο πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο - Δλώ όηαλ καο δίλεηαη ην απνηέιεζκα ζα πξέπεη λα εθαξκόζνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα α) 5 x Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = (-6-5) x Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε = -x β) 5x Δθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα = - 6 + 5x
0 Πξνζνρή Δελ κπνξνύκε λα θάλνπκε πξάμεηο κεηαμύ αξηζκώλ θαη κεηαβιεηώλ γ) - ( -5) x Δθαξκόδνπκε ηελ πξάμε ζηελ παξέλζεζε = - (-) x Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = 9 x δ) - (x ) = + 6 Δθαξκόδνπκε ηελ πξάμε ζηελ παξέλζεζε Θα εθαξκόζνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα γηα ην - επί ην ρ θαη ην απνηέιεζκα ζα κπεη κεηά ην ίζνλ Δθόζνλ ην απνηέιεζκα είλαη γλωζηό θαη μέξνπκε επίζεο όηη πξέπεη λα πνιιαπιαζηαζηεί απηόο ν αξηζκόο κε ην - έρνπκε: - (x -) = -x + 6 ε) x y Δθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα Κάζε όξνο ηεο παξέλζεζεο πνιιαπιαζηάδεη θαη ηνπο δύν όξνπο ηεο εο παξέλζεζεο = 6 + y +x + xy ζη) 4 ( + ) = x + 8 Δδώ καο δίλεηαη ην απνηέιεζκα Δπίζεο δίλεηαη όηη ην 4 είλαη θνηλόο παξάγνληαο Άξα κέζα ζηελ παξέλζεζε ζα έπξεπε λα έρνπκε ηνπο αξηζκνύο απηνύο πνπ έρνπλ πνιιαπιαζηαζηεί κε ην 4 λα καο δώζνπλ ην απνηέιεζκα ηεο άζθεζεο Έρνπκε: 4 (x + ) = x + 8
Να επηιέμεηε ηε ζσζηή απάληεζε: i) Αλ δύν αξηζκνί είλαη αληίζεηνη ηόηε: α) είλαη νκόζεκνη γ) έρνπλ γηλόκελν κεδέλ β) έρνπλ ίζεο απόιπηεο ηηκέο δ) έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα ii) Αλ δύν αξηζκνί είλαη αληίζηξνθνη, ηόηε: α) είλαη εηεξόζεκνη γ) έρνπλ ίζεο απόιπηεο ηηκέο β) έρνπλ άζξνηζκα κεδέλ δ) έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα i) Αλ δύν αξηζκνί είλαη αληίζεηνη, δειαδή, έρνπλ άζξνηζκα κεδέλ (0) ηόηε β) έρνπλ ίζεο απόιπηεο ηηκέο Γελ είλαη δπλαηόλ γηα δύν αληίζεηνπο αξηζκνύο: λα είλαη νκόζεκνη λα έρνπλ γηλόκελν κεδέλ λα έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα ii) Αλ δύν αξηζκνί είλαη αληίζηξνθνη, δειαδή, έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα () ηόηε δ) έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα Γελ είλαη δπλαηόλ γηα δύν αληίζηξνθνπο αξηζκνύο: λα είλαη εηεξόζεκνη λα έρνπλ ίζεο απόιπηεο ηηκέο λα έρνπλ άζξνηζκα κεδέλ Να ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε () αλ είλαη ζσζηέο ή κε (Λ) αλ είλαη ιαλζαζκέλεο: α) Οη αληίζηξνθνη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη β) Σν άζξνηζκα δύν νκόζεκσλ αξηζκώλ είλαη ζεηηθόο αξηζκόο
γ) Η απόιπηε ηηκή θάζε πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ είλαη ζεηηθόο αξηζκόο δ) Δύν αξηζκνί κε γηλόκελν ζεηηθό θαη άζξνηζκα αξλεηηθό είλαη αξλεηηθνί α) Οη αληίζηξνθνη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη Πξάγκαηη, νη αληίζηξνθνη είλαη νκόζεκνη θαη έρνπλ γηλόκελν ηε κνλάδα β) Σν άζξνηζκα δύν νκόζεκσλ αξηζκώλ δελ είλαη πάληα έλαο ζεηηθόο αξηζκόο Μπνξεί λα είλαη θαη αξλεηηθόο γ) Η απόιπηε ηηκή θάζε πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ είλαη ζεηηθόο αξηζκόο Πξάγκαηη, ε απόιπηε ηηκή είλαη ίζε κε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ, πνπ παξίζηαλε έλαο αξηζκόο, από ηελ αξρή ελόο άμνλα, γη απηό είλαη πάληα ζεηηθόο αξηζκόο δ) Γύν αξηζκνί κε γηλόκελν ζεηηθό θαη αξλεηηθό είλαη αξλεηηθνί Πξάγκαηη, δύν αξηζκνί κπνξεί λα έρνπλ γηλόκελν ζεηηθό Γειαδή: (-) (-) = + θαη άζξνηζκα αξλεηηθό (-) + (-) = - Λ
Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Α Σν π α ξ ό λ ε θπ α ηδ ε π ηηθό π ιηθό π ε ξ ηια κ β ά λε η ην ν η κ ή κ α η ε ο π α ξ α γ ξ ά θ ν π