Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ), ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο R. Λύση: Όλες οι ιδιότητες προκύπτουν άμεσα. Δείχνουμε ενδεικτικά τις (i), (ii), (iii). (i) Έστω u = (u, u ) R. Έχουμε u, u = u + 5u. (ii) Έστω u = (u, u ) R. Τότε u, u = u + 5u = u = και u = u =. (ii) Έστω u = (u, u ), v = (v, v ), w = (w, w ) R. Τότε u, v + w = u (v + w ) + 5u (v + w ) = u v + u w + 5u v + 5u w = (u v + 5u v ) + (u w + 5u w ) = u, v + u, w. Άσκηση. (i) Έστω W R, ώστε W = (x, y) R y = 5x. Βρείτε το ορθογώνιο συμπλήρωμα W. (ii) Έστω W R, ώστε W = (x, y, z) R z y + x =. Βρείτε το ορθογώνιο συμπλήρωμα W. Λύση:
(i) Υπενθυμίζουμε ότι W = u R u, z =, z W. Έστω u = (v, w) R. Τότε u W (v, w), (x, 5x) = για κάθε x R. Ισοδύναμα v x + 5 w x = x(v + 5 w) = για κάθε x R. Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε x R, θα ισχύει ισοδύναμα ότι v + 5 w = w = 5 v. W = (x, y) R y = 5 x. Παρατήρηση: Όπως δείξαμε παραπάνω, o W είναι η ευθεία y = ( /5) x, γεγονός που το περιμέναμε, καθώς ψάχναμε μία ευθεία που να είναι κάθετη στην y = 5 x (το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης ισούται με ) και να περνάει από το (, ) (αφού ο W είναι υπόχωρος). (ii) Έστω (u, v, w) R. Τότε (u, v, w) W (u, v, w), (x, y, y x) = για κάθε (x, y) R. Ισοδύναμα u x + v y + w(y x) = (u w) x + (v + w) y = για κάθε (x, y) R. Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε (x, y) R, θα ισχύει ισοδύναμα ότι u w = και v + w = u = w και v = w. (u, v, w) W (u, v, w) = (w, w, w) = w (,, ) w R. Δηλαδή, το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W, είναι ο υπόχωρος που παράγεται από το διάνυσμα (,, ). Οπότε W = (,, ). Παρατήρηση: Σε συνέχεια της παραπάνω Παρατήρησης, o W είναι η ευθεία που παράγεται από το κάθετο δίανυσμα στο επίπεδο (,, ) ( Θυμηθείτε ότι αν η εξίσωση ενός επιπέδου στο R, είναι A x + B y + Γ z + Δ =, τότε το κάθετο διάνυσμα είναι το n = (A, B, Γ) ). Άσκηση. Έστω ο διανυσματικός χώρος M (R), των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς.
(i) Δείξτε ότι η απεικόνιση A, B = tr(a T B), ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο M (R). Όπου με tr(a) συμβολίζουμε το ίχνος του πίνακα A. (ii) Έστω W M (R), ώστε W = A M (R) A = A T. Βρείτε το ορθογώνιο συμπλήρωμα W. Λύση: (i) Εστω A, B M (R), ώστε Τότε Α = a a a a, B = b b b b. A, B = tr(a T B) = a b + a b + a b + a b () Όλες οι ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, προκύπτουν άμεσα από την () και τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Δείχνουμε μόνο τις πρώτες δύο. Έχουμε ενώ A, Α = tr(a T Α) = a + a + a + a, A, Α = a + a + a + a = a ij = για κάθε i, j, A = O. (ii) Εστω B = b b b b M (R). Τότε B W B, A = για κάθε A W. Ο τυχαίος πίνακας A W, θα έχει την παρακάτω μορφή Οπότε, έχουμε Ισοδύναμα Α = a a a a, καθώς a = a. B W a b + a b + a b + a b = a b + a (b + b ) + a b =. Επειδή τώρα τα a, a, a, είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι b =, b = b, b =.
B W B = b b = b, όπου b R. W =. Παρατήρηση: Θυμηθείτε απο το Quiz, ότι dim(w) =. Οπότε περιμέναμε ο W, να είναι διάστασης, καθώς ισχύει όπου dim(m (R)) = 4. dim(w) + dim(w ) = dim(m (R)), Άσκηση 4. Έστω τα διανύσματα του R u = (,, ), v = (,, ), v = (,, ). Αν W = {v, v }, ο υπόχωρος που παράγουν τα v, v, βρείτε την προβολή του διανύσματος u, στον W. Hint: Θυμηθείτε από το μάθημα ότι ισχύει: proj W u = u, v v v + u, v v v. Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω σχέση. Οπότε, θα υπολογίσουμε όλους τους εμπλεκόμενους όρους. Όμοια u, v = (,, ), (,, ) = + ( ) + = 4. u, v = (,, ), (,, ) = + + =. Για τον υπολογισμό των νορμών v, v, έχουμε v = + ( ) + = 6, v = + + = 5. Οπότε, αντικαθιστώντας τα παραπάνω, έχουμε proj W u = 4 6,, +,, 5 =, 4, + 4 5, 5, = 5, 4 5,. Άσκηση 5. Έστω η βάση S = u, u, u του R, όπου u = (,, ), u = (,, ), u = (,, ). Κατασκευάστε μία ορθοκανονική βάση. 4
Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Gram Schmidt, για να κατασκευάσουμε μία ορθογώνια βάση S = v, v, v και στη συνέχεια μία ορθοκανονική S = w, w, w. Θυμίζω εδώ πέρα, ότι το βασικό συστατικό της μεθόδου, είναι το παρακάτω Θεώρημα Θεώρημα: Έστω V διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και W υπόχωρος του V. Τότε για κάθε u W, ισχύει u = proj W u + proj W u. Οπότε για την κατασκευή της ορθογώνιας βάσης S, έχουμε: Βήμα : Θέτουμε v = u. Βήμα : Για το v θέτουμε v = u u, v v v. Παρατήρηση: Παρατηρείστε εδώ ότι αν W = v, τότε ο όρος u,v v v στην παραπάνω σχέση, είναι το διάνυσμα proj W u, ενώ v = proj W u. Οπότε, για τον υπολογισμό του v, έχουμε u, v = (,, ), (,, ) =, v = + + =. v = u = (,, ) (εδώ τα u, u, τυχαίνει να είναι κάθετα). Βήμα : Για το v θέτουμε v = u u, v v v u, v v v. Παρατήρηση: Εδώ W = v, v, και ο όρος u,v v v + u,v v v, είναι το διάνυσμα proj W u, ενώ v = proj W u. Για τον υπολογισμό του v, έχουμε u, v = (,, ), (,, ) = 4, u, v = (,, ), (,, ) = και v = ( ) + + =. Αντικαθιστώντας, έχουμε v = (,, ) 4,,,, = 6, 6, 7 6. Οπότε S = (,, ), (,, ), (/6, /6, 7/6). 5
Βήμα 4: Από την S, θα κατασκεύασουμε μία ορθοκανονική βάση θέτοντας w i = v i, i,,. Έχουμε v i w =,, S = w, w, w,, w =,,, w =,, 7. Άσκηση 6. Έστω o διανυσματικός χώρος P [, ], των πολυωνύμων μέχρι ου βαθμού που ορίζονται στο [, ], με εσωτερικό γινόμενο p, q = p(x) q(x) dx. Αν S = p, p, p, μία βάση του P [, ], όπου να κατασκευαστεί μία ορθοκανονική βάση. p (x) =, p (x) = x, p (x) = x, x [, ], Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Gram Schmidt, όπως στην Άσκηση 5, για να κατασκευάσουμε μία ορθογώνια βάση S = q, q, q και στη συνέχεια μία ορθοκανονική S = φ, φ, φ. Για την κατασκευή της ορθογώνιας βάσης S, έχουμε: Βήμα : Θέτουμε q = p. Βήμα : Για το q θέτουμε q = p p, q q q. Οπότε, για τον υπολογισμό του q, έχουμε p, q = p (x) q (x) dx = x dx =, q = p q. Δηλαδή q = q, q = dx =. q (x) = x, x [, ]. Βήμα : Για το q θέτουμε Για τον υπολογισμό του q, έχουμε q = p p, q q q p, q q q. p, q = p (x) q (x) dx = x dx =, 6
p, q = p (x) q (x) dx = x dx = 4. Επίσης, για την νόρμα q, έχουμε q = q, q = ( x / ) dx =. Αντικαθιστώντας, έχουμε q = p q q. q (x) = x x, x [, ]. Άρα, μία ορθογώνια βάση αποτελεί το σύνολο S = q, q, q, όπου q (x) =, q (x) = x, q (x) = x x, x [, ]. Βήμα 4: Από την S, θα κατασκεύασουμε μία ορθοκανονική βάση θέτοντας φ i = q i, i,,. Έχουμε q i S = φ, φ, φ, φ (x) =, φ (x) = x 7, φ (x) = 9 x x, x [, ]. 7