8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα της μορφής,...,, { : ε,,2,..., } V = < =, ( = B ε ) όπου ε,...,, N, ε >. Ένα δίκτυο σημείων του, και μόνο αν ( ) Η ασθενής τοπολογία T του I { } (, ),..., συγκλίνει ασθενώς στο, δηλαδή για κάθε. έχει ως βάση περιοχών του { } μορφής V = ( ) < ε =, ( B{ }( ε) ε,...,, :,,2,...,,...,, N, ε >. Ένα δίκτυο σημείων του, ( ) I αν και μόνο αν συγκλίνει ασθενώς στο αν όλα τα σύνολα της = ) όπου,,...,, δηλαδή για κάθε. Επίσης παρατηρούμε ότι: ) Από τον ορισμό τους τόσο η ασθενής τοπολογία του όσο και ασθενής τοπολογία του είναι μικρότερες των αντιστοίχων orm τοπολογιών. Δηλαδή T και T T T. 2) Ο ταυτίζεται ισομετρικά με έναν υπόχωρο του απεικόνισης 3) Έστω Πράγματι sup ( ) N ϕ : : ϕ =,. και ώστε <+ για κάθε φράγματος έχουμε το συμπέρασμα. 4) Έστω ακολουθία και μέσω της φυσιολογικής, τότε η ακολουθία είναι φραγμένη., επομένως από την αρχή του ομοιομόρφου. Αν ο είναι χώρος Baach και τότε η είναι φραγμένη. Το συμπέρασμα έπεται όπως προηγουμένως από την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος.
82 5) Αν είναι απειροδιάστατος χώρος με νόρμα τότε οι περιοχές του στην ασθενή τοπολογία, δεν είναι φραγμένα σύνολα αφού Ker V ισχύει και για την ασθενή τοπολογία. =,...,, ε. Ανάλογη παρατήρηση 4..Παραδείγματα. ) Έστω = c ή l p (< p<+ ) και έστω ( e ) η ακολουθία που ορίζεται ως e( ) = αν = και αν. Τότε orm-συγκλίνουσα. Αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα για ανάλογη. Έστω Επομένως =l q ( + = ), τότε p q e =. e αλλά η e δεν είναι =l p, η απόδειξη για το c είναι = e q <+. = = Για το δεύτερο συμπέρασμα, παρατηρούμε ότι αν μια ακολουθία είναι orm-συγκλίνουσα τότε είναι και ασθενώς συγκλίνουσα στο ίδιο όριο ( γιατί; ). Επομένως η ( e ) δεν είναι orm συγκλίνουσα, αφού e =, N. Σημειώνουμε ότι η ακολουθία ( e ) ονομάζεται η «συνήθης βάση» των χώρων 2) Η ιδιότητα Schur στον l. Στον χώρο Baach p l p ή c. l, μια ακολουθία συγκλίνει ασθενώς αν και μόνο αν είναι orm συγκλίνουσα. Η μια κατεύθυνση είναι προφανής, κάθε orm συγκλίνουσα ακολουθία είναι και ασθενώς συγκλίνουσα στο ίδιο όριο ( η τοπολογία της νόρμας είναι λεπτότερη της ασθενούς ). Έστω ( ) ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία. Υποθέτομε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι. Ας υποθέσομε ότι δεν συγκλίνει στο. Θεωρώντας εν ανάγκη μια υπακολουθία της ( ) και κανονικοποιώντας μπορούμε να υποθέσομε ότι = για κάθε. Παρατηρούμε ότι j, j N () ( Η ακολουθία ( e ) l = l, άρα ej j =.) Επιλέγομε με επαγωγή ακολουθίες μη αρνητικών ακεραίων = < 2 <... < <... και < < <... < <... έτσι ώστε: N N N N ( j) < και j j= N 9 j= N + (2) Η επαγωγή έχει ως εξής: Θέτομε N =, = και επιλέγομε N > ώστε η δεύτερη από τις ανισότητες (2) να ισχύει ( η πρώτη ισχύει τετριμμένα αφού το άθροισμα σε αυτήν είναι το κενό).
83 Κατόπιν επιλέγομε 2 > ώστε η πρώτη από τις (2) να ισχύει και μετά N2 > N ώστε η δεύτερη από τις (2) να ικανοποιείται. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο σημειώνοντας ότι στην επιλογή των χρησιμοποιούμε την () ενώ στην επιλογή των N ότι παράδειγμα (2)). =. ( Πρβλ. και την παρατήρηση μετά το Θεωρούμε τώρα την ακολουθία a l = l με a j sg( j ) =, j [ N N ] +,, =, 2,... Τότε έχουμε, ( ) a j a j N N = = ± ( j) + ( j) + ± ( j) j= 9, άτοπο διότι j= j= N + j= N+ και συνεπώς, a. Παρατηρήσεις. ) Τα δύο πρώτα βήματα της επαγωγής τουl είναι τα ακόλουθα: στο απόδειξη της ιδιότητας Schur Θέτομε N = και =. Επειδή =, υπάρχει N > N = ώστε N j= ( j) 9 Έστω 2 N > ώστε ( j) < 2 j= ( { } ) ma j : j N Επιλέγομε τώρα N2 N N 9 2 j= N+ 2 > ώστε, ( j) ( = ) 2 2) Καθώς- όπως θα αποδείξουμε αργότερα- τα ασθενώς συμπαγή υποσύνολα ενός διαχωρίσιμου χώρου με νόρμα είναι μετρικοποιήσιμα, το παραπάνω αποτέλεσμα μας λέει ότι τα ασθενώς συμπαγή και τα orm συμπαγή υποσύνολα του l συμπίπτουν. 3) Αποδεικτικές τεχνικές ως η παραπάνω ονομάζονται «sldg hump argumets». Θεώρημα 4..2 Έστω χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν () =, και (2) (, ) =
84 Απόδειξη () Αν Λ :(, ) K συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές τότε, επειδή η orm τοπολογία είναι λεπτότερη της ασθενούς τοπολογίας, το Λ. Έστω τώρα Λ, αν ε > τότε το Λ είναι βέβαια φραγμένο στην ασθενώς ανοικτή περιοχή V Λ, ε του, επομένως από την πρόταση 3.. το Λ είναι συνεχής συνάρτηση όταν ο έχει την Λ,. ασθενή τοπολογία, δηλαδή (2) Έστω τότε το μπορεί να θεωρηθεί ως (φραγμένο ) γραμμικό συναρτησοειδές επί του μέσω της φυσιολογικής ταύτισης του με έναν υπόχωρο του ϕ =, ( ( ) και βέβαια το ϕ 3.. το ϕ ). Αν ε > τότε η V, ε είναι ασθενώς ανοικτή περιοχή του = είναι φραγμένο στην V, ε, επομένως από την πρόταση = είναι συνεχής συνάρτηση όταν ο συνεπώς (, ). Έστω τώρα Λ (, ) φραγμένο σε μια ασθενώς ανοικτή περιοχή του ε > ώστε V ε ( ) και Λ <.,...,, έχει την ασθενή τοπολογία,, από την πρόταση 3.. το Λ είναι, δηλαδή υπάρχουν,..., Αν Ker και m = N τότε m m Ker V,...,, ε. = Έπεται ότι ( ) = Ker Λ < για κάθε m N και άρα m KerΛ. Τελικά έχουμε, KerΛ. Έτσι από την πρόταση 3.3.8 το Λ είναι γραμμικός συνδυασμός των,..., και άρα Λ. Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης. Σχόλιο Παρατηρούμε ότι η ασθενής τοπολογία επί του είναι η μικρότερη τοπολογία η οποία κάνει όλα τα συναρτησοειδή τοπολογία επί του της μορφής ϕ συνεχείς συναρτήσεις. Αντίστοιχα η ασθενής είναι η μικρότερη τοπολογία η οποία κάνει όλα τα συναρτησοειδή { : } συναρτήσεις επί του ( πρβλ. την απόδειξη του θεωρήματος 4..2 (2)) συνεχείς.. Αποδεικνύουμε στην συνέχεια το σημαντικό θεώρημα του Mazur και εξετάζουμε κάποιες συνέπειές του. Θεώρημα 4..3 ( Mazur)Έστω (, ) χώρος με νόρμα και Κ κυρτό σύνολο. Τότε, μ c l l. Κ= c Κ
85 ( Η ασθενής και η orm κλειστότητα ενός κυρτού συνόλου σε ένα χώρο με νόρμα ταυτίζονται.) Απόδειξη Επειδή T T, έπεται ότι c l Κ c l Κ. Έστω ότι υπάρχει cl Κ \ cl Κ. Εφαρμόζοντας το διαχωριστικό θεώρημα Hah Baach ( θεώρημα 3.5.8 ) στα ξένα κλειστά κυρτά σύνολα { } και cl Κ του (, ) ( το { } και λ, λ2 R ώστε Re ( ) λ λ Re είναι συμπαγές ), βρίσκουμε Λ < < 2 < Λ, για κάθε c Επειδή, από το θεώρημα 4..2, ισχύει ότι U { : Re λ } =, το σύνολο l Κ. = Λ < είναι ασθενώς ανοικτή περιοχή του τέτοια ώστε U Κ =, άτοπο αφού cl Κ. Πόρισμα 4..4 Έστω χώρος με νόρμα και Κ κυρτό. Τότε έχουμε: (α) Το Κ είναι ασθενώς κλειστό αν και μόνο αν είναι orm κλειστό. (β) Το Κ είναι ασθενώς πυκνό στον αν και μόνο αν είναι orm πυκνό στον ( Ιδιαίτερα, το Κ μπορεί να είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του.) Απόδειξη: Προφανής συνέπεια του θεωρήματος του Mazur. Μια άλλη αξιοσημείωτη συνέπεια του θεωρήματος του Mazur είναι η ακόλουθη. Θεώρημα 4..5 Έστω χώρος με νόρμα, ( ) ακολουθία στον και ώστε. Τότε υπάρχει ακολουθία ( y ) ώστε: Λ (α) Κάθε (β) y είναι κυρτός συνδυασμός μελών της y και ( Το (α) μας λέει ότι, υπάρχουν αριθμοί am ώστε am =, κάθε, μόνο πεπερασμένα a m είναι.) m= y = a και για m m m= ( ) Απόδειξη Έστω H co { : } = ( = η κυρτή θήκη του Κ ) και Κ = cl H. Τότε Κ. Από το θεώρημα του Mazur συμπεραίνουμε ότι l Κ. Έπεται προφανώς ότι υπάρχει ακολουθία ( y) H ώστε y. c
86. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την σημασία του προηγούμενου αποτελέσματος ας το εξετάσουμε στην περίπτωση ενός χώρου Baach της μορφής C( Κ ) με Κ συμπαγή χώρο. Θα χρειαστούμε πρώτα το ακόλουθο αποτέλεσμα. Λήμμα 4..6 Έστω Κ συμπαγής χώρος Hausdorff f : συναρτήσεων ώστε ακόλουθα είναι ισοδύναμα. (ι) f f κατά σημείο επί του Κ. Κ K, ακολουθία συνεχών f Μ<+,, και f : Κ K συνεχής συνάρτηση. Τα (ιι) f C Κ. f στον χώρο Baach Απόδειξη Είναι αρκετό να αποδείξουμε το αποτέλεσμα για τον χώρο C( Κ ) των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του Κ. (ιι) (ι) Αν t Κ τότε η απεικόνιση δ : Κ R : δ t( f ) = f ( t), είναι ένα φραγμένο ( t ) t δ = γραμμικό συναρτησοειδές επί του Κ. Τα συναρτησοειδή δ, t Κ, ονομάζονται μέτρα Drac επί του Κ. Επειδή δ f f έπεται ότι ( f ) f ( t) δ ( f ) f ( t) = =, για κάθε t Κ. t t (ι) (ιι) θα χρησιμοποιήσουμε δύο σημαντικά αποτελέσματα από τη θεωρία μέτρου, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue και το θεώρημα αναπαράστασης μέτρων του Resz Έστω Λ :C( Κ) R θετικό γραμμικό συναρτησοειδές επί του C( Κ ) ( δηλαδή, f C( Κ ) και f τότε ( f) Λ ). Το Λ αναπαριστάνεται από ένα ( μοναδικό ) κανονικό θετικό μέτρο Borel µ επί του Κ έτσι ώστε, ( f) ( Θεώρημα Resz). Επειδή η( f ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη, f Λ = fdµ, f C( Κ ). Κ f κατά σημείο επί του Κ και τοµ είναι ( αναγκαία ) φραγμένο μέτρο επί του Κ, έπεται από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue ότι ( f ) f dµ fdµ ( f ) Κ Κ Λ = =Λ t
87 Το συμπέρασμα έπεται τώρα από το γεγονός ότι κάθε φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές Λ :C Κ R είναι ίσο με την διαφορά δύο θετικών γραμμικών συναρτησοειδών Λ, Λ2 : C Κ R, ( δηλαδή 2 Λ=Λ Λ ). Σχόλιο Έπεται από το θεώρημα 4..5 και το Λήμμα 4..6 ότι αν f : Κ K, είναι ομοιόμορφα φραγμένη ακολουθία συνεχών συναρτήσεων επί του συμπαγούς χώρου Κ, η οποία συγκλίνει κατά σημείο επί του Κ στην συνεχή συνάρτηση f τότε υπάρχει g κυρτών συνδυασμών μελών της ακολουθίας( f ) η οποία συγκλίνει ακολουθία ομοιόμορφα επί του Κ στην f. Θεώρημα 4..7 ( Alaoglou ). Έστω (, ) σφαίρα Β = { : } σύνολο. Απόδειξη Για κάθε θέτομε προφανώς κάθε Επίσης θέτομε χώρος με νόρμα. Τότε η κλειστή μοναδιαία του συζυγούς { λ : λ } A = K, A είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του K. Ω= A του είναι ασθενώς συμπαγές και θεωρούμε το καρτεσιανό γινόμενο Ω με την τοπολογία γινόμενο έστω τ. Από το θεώρημα Tychooff της τοπολογίας ο χώρος ( Ω,τ) είναι συμπαγής. Ορίζουμε την απεικόνιση : : Φ Β Ω Φ = ( ) ( ) και παρατηρούμε ότι η Φ είναι καλά ορισμένη, αφού και για κάθε Β. Περαιτέρω παρατηρούμε τα ακόλουθα: για κάθε () Η Φ είναι ένας ομοιομορφισμός μεταξύ των χώρων Β, και του Φ Β με την σχετική τοπολογία από τον συμπαγή χώρο ( Ω,τ). Πράγματι, είναι σαφές ότι η Φ είναι
88. Έστω ( ) δίκτυο στον Β και τότε έχουμε ότι, τ ( ) ( ) για κάθε Φ Φ. Έτσι έχουμε το συμπέρασμα. (2) Το Φ Β είναι κλειστό υποσύνολο του ( Ω,τ ). Λ= Λ c ΩΦ Β Πράγματι, έστω ( τ ) Φ Λ Λ για κάθε. Είναι απλό να ελέγξουμε ότι: (α) + y y l. Τότε υπάρχει δίκτυο ( ) Λ =Λ +Λ και (β) Λ c = cλ, c K,, y. I Β ώστε Επειδή Λ,, έπεται από τις (α) και (β) ότι η απεικόνιση Λ K, =Λ, ορίζει ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές επί του. Άρα, θέτοντας, έχουμε ότι Φ ( ) =Λ και έτσι το Φ Β είναι κλειστό στον χώρο ( Ω,τ ). Είναι τώρα προφανές από τους ισχυρισμούς () και (2) ότι ο χώρος, Β είναι συμπαγής. Ειδικότερα αν ο (, ) συμπέρασμα. Θεώρημα 4..8 Έστω (, ) συμπαγής μετρικοποιήσιμος χώρος. Απόδειξη Έστω D { : } όπου A { λ K : λ } είναι διαχωρίσιμος, το θεώρημα Alaoglou δίνει ένα ισχυρότερο διαχωρίσιμος χώρος με νόρμα. Τότε η Β, είναι = ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του. Θέτομε =,. Ω= A = Παρατηρούμε ότι ο χώρος Ω με την τοπολογία γινόμενο είναι συμπαγής μετρικοποιήσιμος χώρος ως αριθμήσιμο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών μετρικοποιήσιμων χώρων.
89 Από το θεώρημα 3.3. ( πρβλ. και το παράδειγμα 3.3.7 ) έπεται ότι μια μετρική η οποία επάγει την τοπολογία του Ω είναι η ακόλουθη (, ) d a b a b, όπου = 2 + a b = Ορίζουμε όπως πριν την απεικόνιση, ( ) a= a b= b Ω Φ : Β Ω με ( ) ( ) Φ = και παρατηρούμε ότι η Φ είναι καλά ορισμένη, ( αφού το D είναι πυκνό στον ) και συνεχής. Από το θεώρημα Alaoglou ( θεώρημα 4.5 ) ο Β, είναι συμπαγής χώρος, συνεπώς και ο Φ Β είναι με την τοπολογία γινόμενο συμπαγής χώρος ομοιομορφικός με τον Β,. Επειδή ο Ω είναι μετρικοποιήσιμος έχουμε το συμπέρασμα... Σημείωση. Έστω χώρος Baach. Ένα υποσύνολο και μόνο αν είναι ασθενώς κλειστό και φραγμένο ( Άσκηση). Πόρισμα 4..9 Έστω (, ) Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν χώρος με νόρμα. Υποθέτουμε ότι ο συζυγής του είναι διαχωρίσιμος τότε η Β, είναι μετρικοποιήσιμος χώρος. ( Έπεται προφανώς ότι κάθε φραγμένο υποσύνολο του είναι με την ασθενή τοπολογία μετρικοποιήσιμος χώρος. ) Απόδειξη Από την Παρατήρηση που ακολουθεί έχουμε ότι Β Β και ότι η ασθενής τοπολογία της Β επάγει στην Β την ασθενή τοπολογία. Επειδή ο χώρος Β, είναι συμπαγής και μετρικοποιήσιμος έπεται το συμπέρασμα. Σημείωση Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο του παραπάνω αποτελέσματος ( Άσκηση ). Παρατήρηση 4.. Έστω (, ) εμφύτευση του στον χώρος με νόρμα και ϕ : η κανονική ϕ =,, ( δηλαδή ( ) ). Υπενθυμίζουμε ότι (όπως έπεται από το θεώρημα Hah-Baach) η ϕ είναι γραμμική ισομετρία. Τότε η ασθενής σχετική τοπολογία επί του θεωρούμενου ως υποχώρου του
9 ( μέσω της ϕ ) συμπίπτει με την ασθενή τοπολογία του. Έτσι μπορούμε να γράφουμε ϕ,,. Πράγματι, έστω δίκτυο στον και. I Παρατηρούμε ότι, ( ) ϕ( )( ) ( ϕ ) για κάθε για κάθε ϕ( ) ϕ. Με άλλα λόγια η ϕ είναι επί πλέον ένας ομοιομορφισμός του (, ) επί του ϕ Έχοντας υπόψη την προηγούμενη παρατήρηση διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα Goldste. Θεώρημα 4.. ( Goldste ) Έστω (, ) του είναι πυκνή στην κλειστή μοναδιαία σφαίρα Β του ασθενή τοπολογία. Δηλαδή έχουμε (. ) χώρος με νόρμα. Τότε η κλειστή σφαίρα Β θεωρούμενη με την cl Β =Β Απόδειξη Επειδή η ϕ είναι ισομετρία έχουμε ότι Β Β. Συνεπώς, cl Β Β. \ Έστω ότι υπάρχει Β c l Β. Από το θεώρημα Alaoglou η σφαίρα Β, είναι συμπαγής χώρος, άρα και το cl Β είναι με την ασθενή τοπολογία συμπαγές και κυρτό σύνολο. Από το διαχωριστικό θεώρημα Hah- Baach ( θεώρημα 3.5.8) υπάρχουν, = και λ, λ2 R ώστε, λ λ2 Re Re < < < για κάθε cl Β. < < < για κάθε Β. Έπεται ιδιαίτερα ότι Re λ λ2 Re Έστω με =. Από το αριστερό μέλος της ανισότητας έχουμε ότι, = a για κάποιο έπεται ότι λ. a =. Άρα Re Από το δεξί μέλος έχουμε ότι, = a = a < λ, από όπου λ < Re. 2 Έτσι καταλήγουμε σε αντίφαση και η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης.
9 Παρατήρηση 4..2 Έστω (, ) Golsdste ότι cl =. χώρος με νόρμα. Έπεται αμέσως από το θεώρημα Επίσης αποδεικνύεται με την υπόθεση ο είναι απειροδιάστατος ότι: cl S =Β, όπου S { : } δίκτυο = =. Αυτό σημαίνει ότι αν ώστε : I. ( Πρβλ. τις ασκήσεις.) S τότε υπάρχει Έστω T : Y γραμμικός τελεστής, όπου και Y χώροι με νόρμα. Θα λέμε ότι ο T είναι ασθενώς συνεχής, αν είναι συνεχής συνάρτησης ως προς τις ασθενείς τοπολογίες των και Y. Αποδεικνύεται το ακόλουθο ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Θεώρημα 4..3 Έστω και Y χώροι Baach και T : Y ένας γραμμικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο T είναι φραγμένος (β) Ο T είναι ασθενώς συνεχής. Απόδειξη (α) (β). Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο T είναι ασθενώς συνεχής στο. Έστω U μια βασική περιοχή του Y στην ασθενή τοπολογία, δηλαδή { :,, 2,..., ε } U = y Y y y < = όπου Θέτομε, = y ot, =, 2,...,. Κάθε του, αφού y T y,..., y Y και ε >. είναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές επί. Ορίζουμε, Η V είναι ασθενής περιοχή του και αν V τότε ( ) = < ε, =, 2,...,, δηλαδή T y T Άρα T( V) { :,,2,..., ε } V = < =. U. U και ο T είναι ασθενώς συνεχής στο. (β) (α). Θα αποδείξουμε ότι ο T έχει κλειστό γράφημα, έτσι από το ομώνυμο θεώρημα ο T θα είναι φραγμένος. y Y = Y, Παρατηρούμε ότι επειδή ο T είναι ασθενώς συνεχής αν (, ) y ot = ( πρβλ. το θεώρημα 4.2). Κατά συνέπεια, y Y y ot ()., τότε
92 ( ) Έστω, T( ),, ακολουθία στο γράφημα T y. Για κάθε y Αφού T y και Y έχουμε ( y ot) = y ( T ) y ( y) ( y ot) ( y ot) = y ( T ) Αφού y ot και. Έπεται ότι, για κάθε y ( ) y T y y =. Επειδή ο συμπεραίνουμε ότι y T G T του T, ώστε και Y ισχύει ότι Y διαχωρίζει τα σημεία του Y ( πρβλ. θεώρημα 3.5.4 ) = και έτσι το γράφημα του T είναι κλειστό.. Από την μέθοδο απόδειξης του προηγουμένου θεωρήματος, συμπεραίνουμε ότι αν T : Y είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής μεταξύ των χώρων με νόρμα και Y τότε η απεικόνιση y Y y ot Είναι καλά ορισμένη και προφανώς γραμμική Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται ο συζυγής τελεστής του T και συμβολίζεται με T. Έχομε δηλαδή T y y ot y Y =, ορ Πρόταση 4..4 Έστω, Y χώροι με νόρμα και T : Y φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε ο Απόδειξη Παρατηρούμε ότι sup sup y ( T ) = y T είναι επίσης φραγμένος και sup T = T. = = = T sup T ( y ) sup sup y T y y T = T. Παρατήρηση Το θεώρημα 4..3 ισχύει και χωρίς την υπόθεση ότι οι και Y είναι χώροι Baach. Η απόδειξη αυτή αφήνεται ως άσκηση. ( Πρβλ. επίσης το [M], Th 2.5., p.24.)
93 Αποδεικνύεται επίσης ότι ο συζυγής τελεστής T ενός φραγμένου γραμμικού τελεστή T : Y είναι συνεχής και για τις αντίστοιχες ασθενώς τοπολογίες. ( Άσκηση.) Υπενθυμίζουμε ότι ένα υποσύνολο D η κλειστή γραμμική θήκη του D ισούται με το, δηλαδή ενός χώρου με νόρμα λέγεται ολικό στον αν = D. Θεώρημα 4..5. Έστω χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα. (ι) Ένα φραγμένο δίκτυο ( a) ισχύει ( ) a a A συγκλίνει ασθενώς στο αν και μόνο αν για κάθε D, όπου D ένα ολικό υποσύνολο του (ιι) Αν D είναι ένα ολικό υποσύνολο του τότε, ένα φραγμένο δίκτυο ( a) συγκλίνει ασθενώς στο. a A αν και μόνο αν ισχύει για κάθε D. Απόδειξη. Έστω M > ώστε, M και a M για κάθε a A. Θεωρούμε τυχόν στοιχείο και έστω ( ) μια ακολουθία γραμμικών συνδυασμών στοιχείων του D η οποία συγκλίνει ως προς την νόρμα στο a ( το D είναι πυκνό υποσύνολο του ). Έστω ε > τυχόν θετικός αριθμός τότε υπάρχει N ώστε. < ε για κάθε Έπεται ότι αν a A τότε έχουμε, ( a) ( a) a + a + ε ε M + M + () Επειδή το a είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του D ισχύει ότι, lm =. Έτσι αν επιλέξουμε ( το ε αρκετά μικρό και ) a a A a a A ώστε < ε για κάθε a a, το δεξί μέλος της () γίνεται όσο μικρό επιθυμούμε. lm =, δηλαδή Έπεται ότι, ( ) a A a a (ιι) Η απόδειξη αυτή είναι ανάλογη και έτσι παραλείπεται.