KEΦΑΛΑΙΟ Θεωρία Χαρτοφυλακίου.1 Απόδοση και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοση και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίσουμε τον υπολογισμό ανάλογα με το εάν ο επενδυτής χρησιμοποιεί ιστορικά στοιχεία ή αναμενόμενα στοιχεία στα οποία προσάπτει μια πιθανότητα πραγματοποίησης. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συνοπτικά οι διαφορές στους ορισμούς και στους τύπους υπολογισμού ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Μέση Απόδοση = i1 i Αναμενόμενη Απόδοση E( ) i i i i1 Διακύμανση αποδόσεων i1 ( ) i 1 Διακύμανση αποδόσεων i ( i E( i )) i1 Τυπική απόκλιση (κίνδυνος) Τυπική απόκλιση (κίνδυνος) Συνδιακύμανση αποδόσεων δύο αξιογράφων Α και Β i1 ( )( ) i i 1 Συνδιακύμανση αποδόσεων δύο αξιογράφων Α και Β i[( i i i1 E( )( E( )] Συντελεστής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοσης) Συντελεστής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοσης) ( ) Συντελεστής συσχέτισης των αποδόσεων δύο αξιογράφων Α και Β * Συντελεστής συσχέτισης των αποδόσεων δύο αξιογράφων Α και Β *
.1.1 Απόδοση και κίνδυνος σε ιστορικά στοιχεία Όταν γνωρίζουμε τα ιστορικά στοιχεία για τις τιμές και τα μερίσματα ενός αξιογράφου τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πραγματοποιηθείσα απόδοση του αξιογράφου ως = HP t t D P -P t t t -1 Pt 1 Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι μας δίνονται τα παρακάτω ιστορικά στοιχεία για την τιμή και τα μερίσματα της μετοχής Α. Μετοχή Α Χρόνος (σε μήνες) Τιμή Μέρισμα 1 57.75 59.87 0.65 3 55.37 0.73 4 55.50 0.75 5 56.5 0.7 6 59 0.70 7 60.5 0.7 Η απόδοση κάθε μήνα θα υπολογίζεται από τον τύπο t D P -P P t t t-1 t Ειδικότερα οι αποδόσεις στους μήνες, 3,4,5,6 & 7 υπολογίζονται όπως παρακάτω ( ΠΡΟΣΟΧΗ! Για να υπολογίσω την απόδοση σε κάποια χρονική στιγμή θα πρέπει να
γνωρίζω την τιμή τη προηγούμενη χρονική περίοδο. Αυτός είναι ο λόγος που δεν μπορώ να υπολογίσω απόδοση τον μήνα 1) D P -P 0, 65 59,87 57, 75 1 P1 57,75 D P -P 0, 73 55,37 59,87 0, 0480 4,80% 3 3 3 P 59,87 D P -P 0, 75 55,50 55,37 4 4 3 4 P3 55,37 D P -P 0, 7 56, 5 55,50 0, 0630 6,30% 0, 0159 1,59% 5 5 4 5 P4 55,50 D P -P 0, 70 59 56, 5 6 6 5 6 P5 56, 5 0, 065, 65% 0, 0613 6,13% 7 D P -P 0, 7 60, 5 59 P 59 7 7 6 6 0, 0334 3,34% Επομένως για τη μετοχή Α υπολογίσαμε τις μηνιαίες αποδόσεις Μετοχή Α Χρόνος (σε μήνες) Τιμή Μέρισμα Μηνιαία Απόδοση 1 57.75 59.87 0.65 4.80% 3 55.37 0.73-6.30% 4 55.50 0.75 1.59% 5 56.5 0.7.65% 6 59 0.70 6.13% 7 60.5 0.7 3.34% Η μέση απόδοση της μετοχής θα δίνεται από = i1 i
Συνεπώς 3 4 5 6 7 6 Εάν αντικαταστήσουμε τις αποδόσεις η μέση απόδοση θα είναι 0, 0480 ( 0, 0630) 0, 0159 0, 065 0, 0613 0, 0334 0, 003, 03% 6 Προκειμένου να βρούμε τον κίνδυνο των αποδόσεων πρέπει να βρούμε αρχικά τη διακύμανση των αποδόσεων Η διακύμανση των αποδόσεων θα βρεθεί από Επομένως i1 ( ) i 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 61 3 4 5 6 7 Εάν αντικαταστήσουμε τις αποδόσεις η μέση διακύμανση των αποδόσεων θα είναι (0, 0480 0, 003) ( 0, 063 0, 003) (0, 0159 0, 003) (0, 065 0, 003) (0, 0613 0, 003) (0, 0334 0, 003) 5 0,001641 Ο κίνδυνος των αποδόσεων μετράται από την τυπική απόκλιση σ 0, 001641 0, 0405 4, 05% Ο κίνδυνος των αποδόσεων ανά μονάδα κινδύνου μετράται με το συντελεστή μεταβλητότητας ΣΜ 0,0405 1,99 0, 003
ΠΡΟΣΟΧΗ! Όταν είναι να επιλέξουμε μεταξύ αξιόγραφων θα επιλέγουμε αυτό με τον μικρότερο συντελεστή μεταβλητότητας Εάν έχουμε τις ιστορικές αποδόσεις αξιόγραφων θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τη συνδιακύμανση και το συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων αξιογράφων. Παράδειγμα Έστω ότι οι ετήσιες αποδόσεις των μετοχών Α και Β δίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτος Απόδοση μετοχής Α ( ia) Απόδοση μετοχής Β ( ib ) 004 15% 1% 005 10% 15% 006 3% 5% 007-5% -10% 008-1% -8% 009 9% 4% Να υπολογιστεί η συνδιακύμανση και ο συντελεστής συσχέτισης των αποδόσεων των μετοχών Αρχικά υπολογίζουμε τη μέση απόδοση κάθε μετοχής Η μέση απόδοση της μετοχής Α είναι A ia i1 0,15 0,10 0, 03 ( 0, 05) ( 0,1) 0, 09 0, 0333 6 Η μέση απόδοση της μετοχής Β είναι B ib i1 0,1 0,15 0, 05 ( 0,10) ( 0, 08) 0, 04 0,03 6 Ο κίνδυνος κάθε μετοχής δίνεται από την τυπική απόκλιση των αποδόσεων
Προκειμένου να βρούμε την τυπική απόκλιση των αποδόσεων αρχικά βρίσκουμε τη διακύμανση των αποδόσεων κάθε μετοχής. ia A i1 A ( ) (0,15 0, 0333) (0,10 0, 0333) 0, 05... (0, 09 0, 0333) 0, 00866 1 5 ib B i1 B ( ) (0,1 0, 03) (0,15 0, 03) 0, 05... (0, 04 0, 03) 0, 00866 1 5 H τυπική απόκλιση κάθε μετοχής δίνεται από A 0, 00866 0, 093 0, 00866 0, 093 Η συνδιακύμανση των αποδόσεων των μετοχών είναι ίση με A ia A i i1 ( )( ) 1 (0,15 0,0333)*(0,1 0,03)... (0,09 0,0333)*(0,04 0,03) 0, 006416 5 Ο συντελεστής συσχέτισης των αποδόσεων των μετοχών είναι 0,006416 0,74 * 0,093*0,093 Παρατηρήσεις για το συντελεστή συσχέτισης 1. Ο συντελεστής συσχέτισης μας δείχνει το κατά πόσο υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ μεταβλητών. Στην περίπτωση του παραδείγματος ο συντελεστής συσχέτισης μας δείχνει κατά πόσο ευσταθεί μια εξίσωση της μορφής A *. Οι τιμές του συντελεστή συσχέτισης κυμαίνονται από 1 1 Εάν
ρ=-1 υπάρχει τέλεια αρνητική γραμμική σχέση μεταξύ των αποδόσεων ρ=0 δεν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των αποδόσεων ρ=1 υπάρχει τέλεια θετική γραμμική σχέση μεταξύ των αποδόσεων. 1.1. Απόδοση και κίνδυνος σε αναμενόμενα στοιχεία Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε πως υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοση και τον κίνδυνο ενός αξιογράφου όταν μας δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων σχετικά με τις αποδόσεις του. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουμε την απόδοση που αναμένουμε στο μέλλον γι αυτό και προσάπτουμε πιθανότητες για κάθε πιθανή απόδοση. πιθανότητα Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός Δείκτης (Αγορά) Κρατικό Ομόλογο 0. -15% 1% -8% 5% 0.3 10% 5% 4% 5% 0.5 5% -5% 10% 5% Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοση, ο κίνδυνος, ο συντελεστής μεταβλητότητας (σχετικός κίνδυνος), η συνδιακύμανση και ο συντελεστής συσχέτισης των αξιογράφων Αναμενόμενη απόδοση Η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής Α δίνεται από E( ) 0, 0*( 0,15) 0,3*0,10 0,5*0, 5 0,15 i1 i i Η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής Β δίνεται από E( ) 0, 0*0,1 0,3*0, 05 0,5*( 0, 05) 0, 014 i1 i i Η αναμενόμενη απόδοση του γενικού δείκτη ή αγοράς δίνεται από
E( ) 0, 0*( 0, 08) 0,3*0, 04 0,5*0,10 0, 046 i1 i i Η αναμενόμενη απόδοση του κρατικού ομολόγου είναι ίση με E( ) 0, 0*0, 05 0,3*0, 05 0,5*0, 05 0, 05 i1 i i Διακύμανση αποδόσεων Η διακύμανση της απόδοσης της μετοχής Α δίνεται από i i E i1 ( ( )) 0, *( 0,15 0,15) 0,3*(0,10 0,15) 0,5*(0, 5 0,15) 0.031 Η διακύμανση της απόδοσης της μετοχής Β δίνεται από i i E i1 ( ( )) 0, *(0,1 0, 014) 0,3*(0, 05 0, 014) 0,5*( 0, 05 0, 014) 0.0046 Η διακύμανση της απόδοσης του γενικού δείκτη (αγοράς) δίνεται από i i E i1 ( ( )) 0, *( 0, 08 0, 046) 0,3*(0, 04 0, 046) 0,5*(0,1 0, 046) 0, 0046 Η διακύμανση της απόδοσης του κρατικού ομολόγου δίνεται από i i E i1 ( ( )) 0, *(0, 05 0, 05) 0,3*(0, 05 0, 05) 0,5*(0, 05 0, 05) 0 Τυπική απόκλιση ( κίνδυνος) Η τυπική απόκλιση (κίνδυνος) των αποδόσεων της μετοχής Α δίνεται από 0.031 0,15 15, % Η τυπική απόκλιση (κίνδυνος) των αποδόσεων της μετοχής Β δίνεται από 0, 0046 0, 068 6,8% Η τυπική απόκλιση (κίνδυνος) των αποδόσεων της αγοράς δίνεται από 0, 0046 0, 068 6,8% Η τυπική απόκλιση (κίνδυνος) των αποδόσεων του κρατικού ομολόγου δίνεται από
0 0 Συντελεστής μεταβλητότητας ( σχετική μέτρηση του κινδύνου κίνδυνος ανά μονάδα απόδοσης) Ο συντελεστής μεταβλητότητας της μετοχής Α είναι 0,15 1, ( ) 0,15 Ο συντελεστής μεταβλητότητας της μετοχής Β είναι 0,068 4,88 ( ) 0,014 Επομένως εάν ο επενδυτής έπρεπε να επιλέξει μεταξύ των μετοχών Α και Β θα έπρεπε να επιλέξει τη μετοχή Α που έχει το μικρότερο συντελεστή μεταβλητότητας κίνδυνο ανά μονάδα απόδοσης Συνδιακύμανση Η συνδιακύμανση των αποδόσεων της μετοχής Α με τη μετοχή Β δίνεται από [( E( )( E( )] i i i i1 0, 0*(-0,15-0,15)*(0,1-0,014) 0,3*(0,10 0,15)*(0,05 0,014) 0,5*(0, 5 0,15)*( 0,05 0,014) 0,01010 Η συνδιαοκύμανση των αποδόσεων της μετοχής Α με την αγορά δίνεται από [( E( )( E( )] i i i i1 0, 0*(-0,15-0,15)*( 0,08-0,046) 0,3*(0,10 0,15)*(0,04 0,046) 0,5*(0, 5 0,15)*(0,10 0,046) 0,01035 Η συνδιακύμανση των αποδόσεων της μετοχής Β με την αγορά δίνεται από
[( E( )( E( )] i i i i1 0, 0*(0,1-0,014)*( 0,08-0,046) 0,3*(0,05 0,014)*(0,04 0,046) 0,5*(0, 5 0,15)*( 0,05 0,0164) 0,0044 Τέλος οι συνδιακύμανσεις της μετοχής Α με το κρατικό ομόλογο, της μετοχής Β με το κρατικό ομόλογ και της αγοράς Μ με το κρατικό ομόλογο είναι ίσες με μηδέν 0 0 0 Συντελεστής συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης της μετοχής Α με τη Β είναι 0, 01010 0,97 * 0,15*0, 068 Παρατηρούμε ότι οι μετοχές Α και Β έχουν σχεδόν τέλεια γραμμική αρνητική συσχέτιση. Αυτό σημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόσεις της μετοχής Α μειώνονται οι αποδόσεις της μετοχής Β Ο συντελεστής συσχέτισης της μετοχής Α με την αγορά είναι 0, 01035 0,99 * 0,15*0, 068 M Παρατηρούμε ότι οι μετοχή Α και ο γενικός δείκτης (αγορά) έχουν σχεδόν τέλεια γραμμική θετική συσχέτιση. Αυτό σημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόσεις της αγοράς (γενικού δείκτη) αυξάνονται οι αποδόσεις της μετοχής Α - Η μετοχή Α ακολουθεί την αγορά Ο συντελεστής συσχέτισης της μετοχής Β με την αγορά είναι B B 0, 0044 0,9571 * 0, 068*0, 068 B M Παρατηρούμε ότι η μετοχή Β και η αγορά έχουν σχεδόν τέλεια γραμμική αρνητική συσχέτιση. Αυτό σημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόσεις της αγοράς (γενικού δείκτη) μειώνονται οι αποδόσεις της μετοχής Β - Η μετοχή Β κινείται αντίθετα από την αγορά
Τέλος οι συντελεστές συσχέτισης της μετοχής Α, Β και της αγοράς με το κρατικό ομόλογο μηδενικού κινδύνου είναι ίσοι με μηδέν. Οι αποδόσεις του κρατικού ομολόγου είναι σταθερές και δεν σχετίζονται με τις αποδόσεις των μετοχών και της αγοράς. 0 0 0 Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝΔΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός Δείκτης Κρατικό Ομόλογο Αναμενόμενη Απόδοση 1,5% 1,4% 4,6% 5% Κίνδυνος 15,% 6,8% 6,8% 0% ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανση Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός Δείκτης Κρατικό Ομόλογο Μετοχή Α 0,031-0,01010 0,01035 0 Μετοχή Β -0,01010 0,0046-0,0044 0 Γενικός Δείκτης 0,01035-0,0044 0,0046 0 Κρατικό Ομόλογο 0 0 0 0 ΠΡΟΣΟΧΗ! Η συνδιακύμανση των αποδόσεων μιας μετοχής με τις αποδόσεις της ι ίδιας της μετοχής μας δίνει τη διακύμανση των αποδόσεων της δηλαδή
. Απόδοση και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε πως υπολογίζουμε την απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου τόσο εάν μας δίνονται ιστορικά στοιχεία και έχουμε υπολογίσει τις μέσες αποδόσεις και του κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο όσο εάν έχουμε στη διάθεση μας τις κατανομές των αποδόσεων και έχουμε υπολογίσει τις αναμενόμενες αποδόσεις και κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο. Με w θα συμβολίζουμε το ποσοστό ( συντελεστή στάθμισης) όπου κάθε αξιόγραφο συμμετέχει στο χαρτοφυλάκιο. Σε ότι αφορά τα ιστορικά στοιχεία θα έχουμε Μέση απόδοση χαρτοφυλακίου w i i i1 Διακύμανση αποδόσεων χαρτοφυλακίου N N i1 j1 ww jij Για 3 αξιόγραφα η διακύμανση των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου είναι σ = w σ + w σ + w σ + w w σ + w w σ + w w σ 1 1 3 3 1 1 1 3 13 3 3 Για αξιόγραφα η διακύμανση των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου είναι σ = w σ + w σ + w w σ 1 1 1 1 ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούσε να μας έδινε σαν δεδομένο το συντελεστή συσχέτισης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικαταστήσουμε τη συνδιακύμανση. Θυμηθείτε ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με * * 1 1, 1 1, 1 1* Επομένως ο τύπος της διακύμανσης μπορεί να γραφτεί και ως w w w w 1 1 1 1, 1 Τυπική απόκλιση ενός χαρτοφυλακίου (απόλυτη μέτρηση του κίνδυνου)
σ = σ Παράδειγμα : Tα παρακάτω στοιχεία αφορούν τις ετήσιες αποδόσεις των μετοχών της Geeral Motors () και της Microsoft (MSFT) για τα έτη 1990-1999. Για να υπολογίσουμε την μέση απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυση στη και 50% επένδυση στη ΜSFT θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα. Χαρτοφυλάκιο με μετοχές της ( Geeral Motors) και της MSFT (Microsoft) ποσοστά συμμετοχής στο χαρτοφυλάκιο ποσοστό συμμετοχής - w 50% ποσοστό συμμετοχής MSFT - w 50% Ημερομηνία Αποδόσεις μετοχών Αποδόσεις Χαρτοφυλακίου MSFT Δεκ-90-11.54% 7.99% 30.73% Δεκ-91-11.35% 11.76% 55.1% Δεκ-9 16.54% 15.11% 15.8% Δεκ-93 7.64% -5.56% 33.54% Δεκ-94-1.78% 51.63% 14.93% Δεκ-95 8.13% 43.56% 35.84% Δεκ-96 8.46% 88.3% 48.39% Δεκ-97 19.00% 56.43% 37.71% Δεκ-98 1.09% 114.60% 67.85% Δεκ-99 1.34% 68.36% 44.85% Μέση Απόδοση 14.5% 6.7% 38.49%
Διακύμανση αποδόσεων 6.38% 14.43%.44% Τυπική απόκλιση 5.5% 37.99% 15.6% Συνδιακύμανση, σ,msft=cov(r,rmsft) -5.5% Αρχικά υπολογίζουμε τη μέση απόδοση, τον κίνδυνο και τη συνδιακύμανση των μετοχών Μέσες αποδόσεις και ΜSFT H μέση απόδοση της μετοχής είναι i i 1 14, 5% Η μέση απόδοση της μετοχής MSFT είναι MSFT i imsft 1 6, 7% Διακυμάνσεις αποδόσεων και ΜSFT (i i1 1 ) 6,38% MSFT (imsft MSFT i1 1 ) 14, 43% Tυπικές αποκλίσεις ( κίνδυνοι) αποδόσεων και MSFT 0, 0638 5, 5% MSFT 0,1443 37,99% MSFT Συνδιακύμανση αποδόσεων και ΜSFT, MSFT i1 ( i )( MSFTi MSFT ) 0,055 1
Η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυση στη ( w 50% ) και κατά το υπόλοιπο 50% από επένδυση στη ΜSFT ( wmsft 50% θα δίνεται από w w * w * i i MSFT MSFT i1 0,5*0,145 0,5*0, 67 0,3849 38, 49% Η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου θα δίνεται από w w w w MSFT MSFT MSFT, MSFT 0,5 *0, 0638 0,5 *0,1443 *0,5*0,5*( 0, 055) 0, 044 ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούσε να μας έδινε σαν δεδομένο το συντελεστή συσχέτισης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικαταστήσουμε τη συνδιακύμανση. Θυμηθείτε ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με, MSFT, SFT, MSFT, SFT * * MSFT * MSFT Επομένως ο τύπος της διακύμανσης μπορεί να γραφτεί και ως w w w w * * * MSFT MSFT MSFT, SFT MSFT Η τυπική απόκλιση ( κίνδυνος) των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου είναι 0, 044 0,156 15, 6% Οι ίδιοι τύποι θα χρησιμοποιούνται και όταν μας δίνονται αναμενόμενες αποδόσεις και κίνδυνοι ( μελλοντικά στοχεία). Συγκεκριμένα Αναμενόμενη απόδοση χαρτοφυλακίου ( με αξιόγραφα) ( ) w E( ) w * E( ) w * E( ) i i i1 1 1 Διακύμανση αποδόσεων χαρτοφυλακίου ( αξιόγραφα) σ = w σ + w σ + w w σ 1 1 1 1
ή w1 1 w w1 w 1, 1. Αποτελεσματικό σύνορο χαρτοφυλακίων Στο προηγούμενο παράδειγμα υπολογίσαμε την αναμενόμενη απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου με δεδομένο ότι έχουμε επενδύσει 50% στη και 50% στη ΜSFT. Ο παραπάνω πίνακας μας δίνει την μέση απόδοση και τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου για διάφορα χαρτοφυλάκια που έχουν δημιουργηθεί από τις μετοχές και ΜSFT με διαφορετικά ποσοστά επένδυσης στις μετοχές ποσοστό ποσοστό επένδυσης επένδυσης τυπική Μέση στη στη MSFT απόκλιση απόδοση 0% 100% 37.99% 6.7% 10% 90% 3.80% 57.87% 0% 80% 7.79% 53.03% 30% 70% 3.08% 48.18% 40% 60% 18.88% 43.33% 50% 50% 15.6% 38.49% 60% 40% 13.98% 33.64% 70% 30% 14.51% 8.79% 80% 0% 17.01% 3.95% 90% 10% 0.78% 19.10% 100% 0% 5.5% 14.5% Eαν αναπαραστήσουμε γραφικά τη σχέση μεταξύ της απόδοσης και του κινδύνου (τυπική απόκλιση των αποδόσεων) των παραπάνω χαρτοφυλακίων εξάγουμε το παρακάτω γράφημα Τα χαρτοφυλάκια που δημιουργήθηκαν είναι δυνατόν να διαχωριστούν σε αποτελεσματικά και μη αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια. Αποτελεσματικό είναι ένα χαρτοφυλάκιο που
Για το ίδιο επίπεδο κινδύνου αποδίδει μεγαλύτερη απόδοση από οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Για το ίδιο επίπεδο απόδοσης έχει το μικρότερο κίνδυνο σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Το άνω τμήμα της καμπύλης που αποτελείται από τα αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια ονομάζεται αποτελεσματικό σύνορο. Αναμενόμενη απόδοση, E(r ).700 Απόδοση και κίνδυνος χαρτοφυλακίου- Αποτελεσματικό Σύνορο.600.500.400.300.00.100 Το χαρτοφυλάκιο ελάχιστης διακύμανσης Tα χαρτοφυλακία στο πάνω μέρος είναι αποτελεσματικά - εμφανίζουν μια θετική σχέση μεταξύ κινδύνου και απόδοσης. Το τμήμα της καμπύλης με τα αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια είναι το αποτελεσματικό σύνορο.000.000.100.00.300.400 Τυπική απόκλιση αποδόσων χαρτουφυλακίου, σ Το χαρτοφυλάκιο ελάχιστης διακύμανσης υπολογίζεται εάν ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση της διακύμανσης ως προς το ποσοστό στάθμισης της μίας μετοχής Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι w w w w MSFT MSFT MSFT, MSFT και ότι w w 1 w 1 w MSFT MSFT Εάν αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση της διακύμανσης έχουμε w (1 w ) w *(1 w )* MSFT, MSFT Μια συνάρτηση έχει ελάχιστο όταν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες
d Συνθήκη ά τάξης : dw 0 Συνθήκη B τάξης d 0 dw Ειδικότερα εάν υπολογίσουμε τις παραγώγους έχουμε d dw w (1 w ) MSFT ( 4 w ), MSFT d 4 MSFT, MSFT 0 dw Καθώς σύμφωνα με τα ευρήματα μας, MSFT <0 Θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίση με το μηδέν και λύνοντας ως προς το ποσοστό επένδυσης της έχουμε w (1 w ) MSFT ( 4 w ), MSFT 0 w MSFT, MSFT MSFT, MSFT Εάν αντικαταστήσουμε έχουμε ότι στο χαρτοφυλάκιο ελάχιστης διακύμανσης πρέπει να επενδύσουμε στη w 0,1443 ( 0, 055) 0, 6184 61,84% 0, 0638 0,1443 *( 0, 055) MSFT, MSFT MSFT, MSFT Και το ποσοστό που πρέπει να επενδύσουμε στη MSFT είναι w 1 w w 10,6184 0,3816 38,16% MSFT MSFT Στην περίπτωση αυτή η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου θα ήταν w w * w * i i MSFT MSFT i1 0, 6184*0,145 0,3816*0, 67 0,374 3, 74%
η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν w w w w MSFT MSFT MSFT, MSFT 0, 6184 *0, 0638 0,3816 *0,1443 *0, 6184*0,3816*( 0, 055) 0, 0193 Η τυπική απόκλιση ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιστης διακύμανσης είναι 0, 0193 0,1391 13,91%.3 Συντελεστής συσχέτισης, διαφοροποίηση και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στο προηγούμενο αριθμητικό παράδειγμα με τα προηγούμενα δεδομένα ο συντελεστής συσχέτισης ήταν αρνητικός, SFT 0, 055 * 0, 55*0,3799, MSFT MSFT 0,57 Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε κατά πόσο ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων των αξιογράφων έχει σημασία για τη μείωση του κινδύνου όλου του χαρτοφυλακίου Η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου δίνεται ως w w w w MSFT MSFT MSFT, MSFT Εάν αντικαταστήσουμε τη συνδιακύμανση, MSFT,,, * * * SFT MSFT SFT MSFT MSFT Καταλήγουμε ότι η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου w w w w * * * MSFT MSFT MSFT, SFT MSFT Διακρίνουμε τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις Έστω οι μετοχές έχουν θετική συσχέτιση (ρ,msft =0,5) Στην περίπτωση αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεσματικό σύνορο έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά καθώς για όλα τα υπο εξέταση χαρτοφυλάκια έχει αυξηθεί ο κίνδυνος για δεδομένη απόδοση.
Έστω οι μετοχές έχουν τέλεια θετική συσχέτιση (ρ,msft =1) Στην περίπτωση αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεσματικό σύνορο είναι ευθεία γραμμή και όλα τα υπό εξέταση χαρτοφυλάκια έχουν το μέγιστο κίνδυνο για δεδομένη απόδοση.. Όπως θα δούμε η διαφοροποίηση δεν μειώνει τον κίνδυνο. Ο κίνδυνος του επενδυτή είναι ο ίδιος με αυτόν που θα είχε εάν επένδυε στις μετοχές ξεχωριστά. Γνωρίζουμε ότι w w w w * * * MSFT MSFT MSFT, SFT MSFT Για ρ,msft =1 καταλήγουμε w w w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT ( w w ) MSFT MSFT w w MSFT MSFT Δηλαδή ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι ο σταθμικός μέσος των επι μέρους κινδύνων των μετοχών. Δεν υπάρχει κέρδος από την διαφοροποίηση
Έστω οι μετοχές έχουν τέλεια αρνητική συσχέτιση (ρ,msft = -1) Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να σχηματίσουμε ένα χαρτοφυλάκιο που θα προσομοιώνει μια επένδυση μηδενικού κινδύνου. Αυτό θα είναι το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου. Το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου στη περίπτωση αυτή θα βρεθεί εάν ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση διακύμανσης με δεδομένα ότι και w w 1 w 1 w, MSFT 1 MSFT MSFT Γνωρίζουμε ότι w w w w * * * MSFT MSFT MSFT, SFT MSFT Για ρ,msft =-1 καταλήγουμε w w w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT w (1 w ) w (1 w )* * MSFT MSFT Εάν ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση διακύμανσης καταλήγουμε σε w MSFT 0, 67 0, 60066 60, 066% 0, 67 0,145 SFT
Αντίστοιχα το ποσοστό επένδυσης στη MSFT για το οποίο έχουμε ελάχιστο κίνδυνο είναι w MSFT 1 w 1 0,60066 0,39934 39,934% Στην περίπτωση αυτή η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου θα ήταν w w * w * i i MSFT MSFT i1 0, 60066*0,145 0,39934*0, 67 0,3361 33, 61% η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν w w w w * * * MSFT MSFT MSFT, SFT MSFT 0, 60066 *0, 0638 0,39934 *0,1443 *0, 60066*0, 39934*0, 55*0,3799*( 1) 0 Η τυπική απόκλιση ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιστης διακύμανσης είναι 0 0 Επομένως όταν έχουμε τέλεια αρνητική συσχέτιση μεταξύ των μετοχών 1. Η διαφοροποίηση μειώνει τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου. Είναι δυνατό να δημιουργήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μηδενικό κίνδυνο
Συμπεράσματα Όταν έχουμε αρνητική συσχέτιση των αποδόσεων μετοχών (-1<ρ<0) τότε η διαφοροποίηση της επένδυσης μας σε ένα χαρτοφυλάκιο με τις αυτές μετοχές μειώνει τον κίνδυνο μας σε σχέση με την μεμονωμένη επένδυση στις μετοχές Ότάν έχουμε τέλεια αρνητική συσχέτιση (ρ=-1) μεταξύ των αυτών μετοχών τότε μπορούμε να πετύχουμε απόδοση με μηδενικό κίνδυνο, δηλαδή με τη διαφοροποίηση μειώνουμε τον κίνδυνο στον ελάχιστο βαθμό. Όταν έχουμε τέλεια θετική συσχέτιση μεταξύ των αποδόσεων των μετοχών (ρ=1) τότε η διαφοροποίηση της επένδυσης μας δεν μειώνει τον κίνδυνο.4 Απόδοση και κίνδυνος χαρτοφυλακίου με ακίνδυνο αξιόγραφο Έστω ότι κατασκευάζουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μία μετοχή Α και ένα αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου F, όπως πχ ένα έντοκο γραμμάτιο του δημοσίου Η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου θα είναι ( ) w E( ) w * E( ) w * i i f f i1 Όπου E ( ) = αναμενόμενη απόδοση της μετοχής Α f = απόδοση μηδενικού κινδύνου ( δεν βάζουμε το σύμβολο της αναμενόμενης τιμής Ε γιατί η απόδοση είναι σίγουρη και όχι αναμενόμενη!) Η διακύμανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου θα είναι w w w w A A F F A F A, F Mε δεδομένο ότι το αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου δεν έχει κίνδυνο θα έχουμε ότι F 0 και, A F =0 καθώς η συνδιακύμανση αναλύεται σε
,, * * A F F F Επομένως η διακύμανση καταλήγει σε w A A wa Δηλαδή ο κίνδυνος του νέου χαρτοφυλακίου θα είναι ίσος με το τι ποσοστό επενδύσαμε στο επικίνδυνο αξιόγραφο επί τον κίνδυνο του επικίνδυνου αξιογράφου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ 1. Έστω τα παρακάτω δεδομένα για τις αναμενόμενες αποδόσεις και κινδύνους των μετοχών Α και Β, του Γενικού Δείκτη και ενός κρατικού ομολόγου μηδενικού κινδύνου με απόδοση 5% ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝΔΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός Δείκτης Αναμενόμενη Απόδοση 1,5% 1,4% 4,6% Κίνδυνος 15,% 6,8% 6,8% ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανση Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός Δείκτης Μετοχή Α 0,031-0,01010 0,01035 Μετοχή Β -0,01010 0,0046-0,0044 Γενικός Δείκτης 0,01035-0,0044 0,0046 Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοση και κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από α) 50% από τη μετοχή Α και 50% από τη μετοχή Β β) 50% από τη μετοχή Α και 50% από το κρατικό ομόλογο γ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 40% από το κρατικό ομόλογο
δ) 50% από τη μετοχή Α και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη ε) 50% από τη μετοχή Β και 50% και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη στ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 0% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη και 0% από ένα κρατικό ομόλογο. Έστω ότι γνωρίζετε τα ακόλουθα στοιχεία για τις μετοχές των εταιριών Α και Β Μετοχή Α Μετοχή Β Αναμενόμενη απόδοση 5% 48% Διακύμανση αποδόσεων Συντελεστής συσχέτισης αποδόσεων 0,08 0,16 0,03094 α) Να βρείτε την αναμενόμενη απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου όπου η μετοχή Α συμμετέχει κατά 90% και κατά το υπόλοιπο 10% η μετοχή Β β) Προτείνετε ένα συγκεκριμένο χαρτοφυλάκιο όπου βελτιώνεται η απόδοση σε σχέση με το ερώτημα α) αλλά διατηρείται το ίδιο επίπεδο κινδύνου γ) Υπολογίστε τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου ελαχίστου κινδύνου. 3. Έστω ότι έχετε τα παρακάτω δεδομένα για τις μετοχές «ΑΒΓ» και «ΔΕΖ» Αναμενόμενη Απόδοση (%) Τυπική απόκλιση απόδοσης (%) Μετοχή «ΑΒΓ» 15 33 Μετοχή «ΔΕΖ» 5 46 Συνδιακύμανση αποδόσεων 0,0865 Α) Υπολογίστε την αναμενόμενη απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται κατά 5% από τη μετοχή «ΑΒΓ» και κατά 75% από τη μετοχή «ΔΕΖ» Β) Υπολογίστε τις αποδόσεις των χαρτοφυλακίων για συνδυασμούς των μετοχών με τους συντελεστές στάθμισης να αυξάνονται με βήμα 10% ( από 0%,10%, 100%). Παραστήστε γραφικά αυτούς τους συνδυασμούς Γ) Βρείτε το χαρτοφυλάκιο ελάχιστης διακύμανσης 4. Δίνονται τα παρακάτω ιστορικά δεδομένα για 3 μετοχές Μετοχή 1 Μετοχή Μετοχή 3
Χρόνος (σε μήνες) Τιμή Μέρισμα Τιμή Μέρισμα Τιμή Μέρισμα 1 57.75 333 106.75 59.875 368 108.5 3 55.375 0.75 368.5 1.35 14 0.4 4 55.5 38.5 1.5 5 56.5 386 135.5 6 59 0.75 397.75 1.35 141.75 0.4 7 60.5 39 165.75 α) Να υπολογίσετε την μηνιαία πραγματοποιηθείσα απόδοση για κάθε μετοχή β) Να υπολογίσετε την μέση απόδοση κάθε μετοχής, τον κίνδυνο και τον συντελεστή μεταβλητότητας γ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ και των τριών μετοχών δ) Να βρείτε την μέση απόδοση, τον κίνδυνο των αποδόσεων και των συντελεστή μεταβλητότητας των αποδόσεων που είχαν τα παρακάτω χαρτοφυλάκια Συμμετοχή στο χαρτοφυλάκιο ΧΑΡTOΦΥΛΑΚΙΟ Μετοχή 1 Μετοχή Μετοχή 3 Α 30% 40% 30% Β 40% 60% - Γ 45% - 55%