Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019
Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής
Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος τύχης που αποτελείται από N ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και A το γεγονός που περιέχει N A από τα απλά γεγονότα. Τότε η πιθανότητα P(A) να συµβεί το γεγονός A δίνεται από τη σχέση P(A) = N A N πλήθος ευνοϊκών για το Α αποτελεσµάτων =. πλήθος δυνατών αποτελεσµάτων
Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Μια συνολοσυνάρτηση P η οποία σε κάθε γεγονός ενός πειράµατος τύχης αντστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό P(A) που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες P(A) 0 P(Ω) = 1 P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i), όπου A i, i = 1, 2,..., n είναι µια πεπερασµένη ακολουθία ασυµβίβαστων ανά δύο ενδεχοµένων, ϑα ορίζει πιθανότητα στο δειγµατοχώρο Ω.
Βασικές Ιδιότητες των Πιθανοτήτων P( ) = 0 και P(Ω) = 1 0 P(A) 1 P(A ) = 1 (A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Κανόνας της προσθέσεως για τρια γεγονότα A 1, A 2, A 3 P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ). P(A B) = P(A) P(A B). Αν A B, τότε P(B A) = P(B) P(A). Αν A B, τότε P(A) P(B).
Ασκηση 1 Οι πρωτοετείς ϕοιτητές του µαθηµατικού επιλέγουν στο πρώτο έτος τη ϑεµατική ενότητα ΜΑΘ1 σε ποσοστό 60%, τη ϑεµατική ενότητα ΜΑΘ2 σε ποσοστό 50%, ενώ το ποσοστό των ϕοιτητών που επιλέγουν και τις 2 ϑεµατικές ενότητες είναι 30%. Αν διαλέξουµε ένα τυχαίο πρωτοετή ϕοιτητή του ΜΑΘ, τότε : α) ποία είναι η πιθανότητα του γεγονότος ο ϕοιτητής να έχει επιλέξει τουλάχιστον µια από τις δυο ϑεµατικές ενότητες, ϐ) ποία είναι η πιθανότητα του γεγονότος ο ϕοιτητής να έχει επιλέξει ακριβώς µια από τις δυο ϑεµατικές ενότητες.
Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής
Βασική Αρχή Απαρίθµησης ή Αρχή του Γινοµένου Εχουµε ένα πείραµα το οποίο µπορεί να αναλυθεί σε r υποπειράµατα. Το 1ο υποπείραµα έχει ν 1 δυνατά αποτελέσµατα, το 2ο υποπείραµα έχει ν 2 δυνατά αποτελέσµατα, ανεξάρτητα από τα αποτελέσµατα που ϑα εµφανιστούν στο 1ο υποπείραµα,..., το r υποπείραµα έχει ν r δυνατά αποτελέσµατα, ανεξάρτητα από τα αποτελέσµατα που ϑα εµφανιστούν στα (r-1) προηγούµενα υποπειράµατα. Τότε, ο συνολικός αριθµός των αποτελεσµάτων ν για όλο το πείραµα ϑα είναι ν = ν 1 ν 2... ν r.
Παράδειγµα Εστω ότι έχουµε να επιλέξουµε ανάµεσα σε 5 διαφορετικές µπλούζες, 4 διαφορετικά παντελόνια και 3 Ϲευγάρια παπούτσια. Τότε, όλα τα δυνατά διαφορετικά ντυσίµατα που µπορούµε να πάρουµε είναι ν = 5x4x3 = 60.
Αρχή του Αθροίσµατος Εχουµε ένα πείραµα το οποίο µπορεί να αναλυθεί σε r υποπειράµατα ξένα µεταξύ τους ανά δύο, δηλαδή κάθε στοιχείο ανήκει σε µια κατηγορία και σε καµία άλλη. Τότε αν το 1ο υποπείραµα έχει ν 1 δυνατά αποτελέσµατα, το 2ο υποπείραµα έχει ν 2 δυνατά αποτελέσµατα,..., το r υποπείραµα έχει ν r δυνατά αποτελέσµατα και ν είναι ο συνολικός αριθµός των αποτελεσµάτων για όλο το πείραµα ϑα δίνεται ν = ν 1 + ν 2 +... + ν r.
Τρόποι Απαρίθµησης των Γεγονότων Θεώρουµε ένα σύνολο ν στοιχείων από τα οποία επιλέγουµε k και δηµιούργουµε µια k-αδα. Υπάρχουν δυο περιπτώσεις : ιάταξη : σε αυτή την περίπτωση µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία τοποθετούνται τα k στοιχεία. Εχουµε µια διατεταγµένη k-αδα Συνδυασµός : σε αυτή την περίπτωση δε µας ενδιαφέρει η διάταξη των k στοιχείων απλά µας νοιάζει µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να πάρουµε την k-αδα
Θεώρουµε ένα σύνολο A = {α 1, α 2,..., α ν }, το οποίο αποτελείται από ν στοιχεία. Από αυτά επιλέγουµε k στοιχεία, µε 1 k ν. Κάθε στοιχείο που επιλέγεται δεν επανατοποθετείται στο σύνολο και τα k στοιχεία τα διατάσσουµε. Τότε, λέµε ότι έχουµε µια διάταξη των ν στοιχείων ανά k χωρίς επανατοποθέτηση. Το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων δίνεται από τη σχέση : R(ν, k) = R ν,k = (ν) k = ν(ν 1)(ν 2)...(ν k + 1) = ν! (ν k)!. ιάταξη ν αντικειµένων ανά ν = Μετάθεση των ν στοιχείων : R ν,ν = ν!
Θεώρουµε ένα σύνολο A = {α 1, α 2,..., α ν }, το οποίο αποτελείται από ν στοιχεία. Από αυτά επιλέγουµε k στοιχεία ως εξής : ιαλέγουµε το πρώτο, καταγράφουµε το αποτελέσµα το τοποθετούµε πίσω. ιαλέγουµε το δεύτερο, καταγράφουµε το αποτελέσµα το τοποθετούµε πίσω. ιαλέγουµε το k, καταγράφουµε το αποτέλεσµα το τοποθετούµε πίσω. Τότε, λέµε ότι έχουµε µια διάταξη µε επανάληψη των ν στοιχείων ανά k. Το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων δίνεται από το σχέση : Παρατηρήσεις R ν,k = ν k Το k σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητα µικρότερο του ν. Για κάθε µια ϑέση στην k-αδα ϑα έχω ν επιλογές, αφού κάνω επανατοποθέτηση.
Θεώρουµε ένα σύνολο A = {α 1, α 2,..., α ν }, το οποίο αποτελείται από ν στοιχεία. Από αυτά επιλέγουµε k στοιχεία στην τύχη, χωρίς επανατοποθέτηση. Τότε, κάνουµε συνδυασµό των ν στοιχείων ανά k χωρίς επανατοποθέτηση. Το πλήθος των διαφορετικών συνδυασµών δίνεται από το σχέση : ( ν k ) = (ν) k k! = ν! (ν k)!k!
Θεώρουµε ένα σύνολο A = {α 1, α 2,..., α ν }, το οποίο αποτελείται από ν στοιχεία. Από αυτά επιλέγουµε k επανατοποθετώντας. Τότε, κάνουµε συνδυασµό των ν στοιχείων ανά k µε επανατοποθέτηση. Το πλήθος των διαφορετικών συνδυασµών δίνεται από το σχέση : [ ν k ] ( ) ν + k 1 = = k (ν + k 1)! (ν 1)!k!
Οι τύποι της συνδυαστικής ϐοηθούν στον υπολογισµό του αριθµού των τυχαίων δειγµάτων στα διάφορα είδη δειγµατοληψίας. Ειδος ειγµατοληψίας ειγµατοληψία χωρίς επανάθεση ειγµατοληψία µε επανάθεση είγµα µεγέθους k ειγµατοληψία µε επανάθεση χωρίς διάταγη Τύπος (ν) k ν k ( ν k [ ν k ) ]
Ασκήσεις 2. Οι αριθµοί κυκλοφορίας των αυτοκινήτων αποτελούνται από 3 γράµµα και 4 αριθµούς από το 0 ως το 9. Τα τρία γράµµατα επιλέγονται από τα {A, B, E, Z, H, I, K, M, N, P, T, Y, X, Z}, ενώ στην πρώτη ϑέση του αριθµού δε µπορεί να είναι το 0. Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες : α) να έχει αριθµό κυκλοφορίας που αρχίζει από ϕωνήεν, ϐ) το τελευταίο ψηφίο να είναι 8 ή 9, γ) να έχει αριθµό κυκλοφορίας που αρχίζει από ϕωνήεν και το τελευταίο ψηφίο είναι 8 ή 9. 3. Πόσες είναι οι δυνατές διατάξεις τριών γραµµάτων {α, β, γ} ανά δύο χωρίς επανάληψη ; 4. Πόσες είναι οι δυνατές διατάξεις 10 αριθµηµένων σφαιρών ανά τρείς χωρίς επανάληψη ;
5. Πόσες είναι οι διατάξεις µε επανάληψη τεσσάρων γραµµάτων {α, β, γ, δ} ανά 2 ; 6. Εχουµε 9 αριθµηµένα σφαιρίδια από το 1 µέχρι το 9 σε ένα δοχείο. Εξάγουµε χωρίς επαντοποθέτηση 6 σφαιρίδια και καταγράφουµε τον αριθµό που δηµιουργείται. Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες : α) να προκύψει αριθµός που δε περιέχει καθόλου το ψηφίο 2, ϐ) να προκύψει αριθµός που περιέχει µια τουλάχιστον ϕορά το 2 ή µια τουλάχιστον ϕορά το 5. Να υπολογιστούν οι παραπάνω πιθανότητες αν κάναµε το πείραµα ως εξής :µετά από κάθε εξαγωγή γίνεται καταγραφή του αριθµού που ϕέρει το σφαιρίδιο και επανατοποθετείται στο δοχείο.
7. Μια παρτίδα εξαρτηµάτων περιέχει 20 εξαρτήµατα από τα οποία τα 6 είναι ελαττωµατικά. Βρείτε την πιθανότητα να περιέχονται 2 ελαττωµατικά εξαρτήµατα µεταξύ των 5 εξαρτηµάτων που επιλέχτηκαν στην τύχη (χωρίς επανατοποθέτηση). 8. Μια εταιρεία διαθέτει 25 ϕορτηγά, από τα οποία τα 10 είναι ϱυπογόνα. Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη 6 από τα 25 ϕορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων. Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει α) ακριβώς 3 ϱυπογόνα ϕορτηγά, ϐ) το πολύ 2 ϱυπογόνα ϕορτηγά, γ) τουλάχιστον 1 ϱυπογόνο και 1 µη ϱυπογόνο ϕορτηγό.