Δημητριος Θανος Ομολογικες και Συνομολογικες Ομαδες Πτυχιακη Εργασια AΠανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Σάμος 14 Σεπτεμβρίου 2017

Δημητριος Θανος Ομολογικες και Συνομολογικες Ομαδες Πτυχιακη Εργασια AΠανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Σάμος 14 Σεπτεμβρίου 2017

Εισηγητης: Ευστράτιος Πρασίδης Επιτροπη Ευστράτιος Πρασίδης Βασίλειος Μεταφτσής Γεώργιος Τσαπόγας

Περιεχόμενα Εισαγωγή ix 1 Βασικοί Οροι 1 1.1 Θεμελιώδης Ομάδες και Καλυπτικοί Χώροι 1 1.1αʹ Θελιώδης Ομάδες 1 1.1βʹ Καλυπτικοί Χώροι 5 1.2 CW-complexes 9 2 Αλυσίδες και Modules 11 2.1 Modules βασικοί ορισμοί 11 2.2 Αλυσιδωτά Σύμπλοκα (Chain Complexes) 18 2.3 Ελεύθερες Αναλύσεις (free resolutions) 25 2.4 Ομάδες Δακτύλιοι (group rings) 26 2.5 Αναλύσεις του Z πάνω στον ZG 27 2.6 Μοναδικότητα αναλύσεων 28 2.7 Άλλα θεωρήματα για Προβολικά Modules 31 3 Γινόμενα 33 3.0αʹ Τανυστικό γινόμενο 33 3.0βʹ Σταυρωτό γινόμενο 38 3.0γʹ Το δυικό του σταυρωτού γινομένου 39 3.0δʹ Γινόμενο cup 44 4 Δυικά Module και Ομάδα Ομολογίας 47 4.1 Δυικά Module 47 4.2 Συν-αναλλοιωτα (co-invariants ) 48 4.3 Ομάδα Ομολογίας 49 Αʹ Ελεύθερες Ομάδες 51

viii Περιεχόμενα Βιβλιογραφία 53

Εισαγωγή Οι ομολογικές και οι συνομολογικές ομάδες αποτελούν μια κλάση αλγεβρικών αναλλοίωτων των χώρων και των ομάδων. Σ αυτήν την πτυχιακή θα δώσουμε τον ορισμό αυτών των ομάδων για ειδικούς τοπολογικούς χώρους (σύμπλοκα) και για τις ομάδες. Θα εξετάσουμε την σύνδεσή τους και θα παρουσιάσουμε κάποιους βασικούς υπολογισμούς. Οι ομάδες αυτές, τοπολογικά, δίνουν πολλές πληροφορίες για την συνδυαστική δομή του χώρου, δηλαδή πως μπορεί να κατασκευαστεί από βασικά αντικείμενα (simplices). Στις ομάδες, αντίστοιχα, δίνουν πληροφορίες για το πως επεκτείνονται οι ομάδες καθώς και για την δομή των υποομάδων. Το βασικό σημείο είναι η στενή σύνδεση μεταξύ των τοπολογικών εννοιών (ομοτοπία, συσταλτότητα) με τα αντίστοιχα αλγεβρικά αντικείμενα στα αλυσιδωτά σύμπλοκα. Στα πρώτα κεφάλαια θα οριστούν οι βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την κατασκευή αυτών των αναλλοίωτων και την απόδειξη των σχετικών προτάσεων, στην συνέχεια θα οριστούν αναλυτικά κάποια χρήσιμα γινόμενα. Τα γινόμενα αυτά μπορούν να περιγράψουν τον τρόπο που σχετίζονται μεταξύ τους διάφοροι χώροι ή ομάδες ως προς τις ομάδες ομολογίας τους κάνοντας τους διάφορους υπολογισμούς εφικτούς. Τέλος θα παρουσιάσουμε τους ακριβείς ορισμούς των Ομάδων Ομολογίας και κάποιες βασικές προτάσεις.

Κεφάλαιο 1 Βασικοί Οροι 1.1 Θεμελιώδης Ομάδες και Καλυπτικοί Χώροι 1.1αʹ Θελιώδης Ομάδες Ορισμός 1.1.1 (μονοπάτι). Εστω X ένας τοπολογικός χώρος με a, b X. Ενα μονοπάτι στον X από το a στο b είναι μια συνεχής συνάρτηση f : [0, 1] X τέτοια ώστε f(0) = a και f(1) = b. Τα σημεία a και b ονομάζονται άκρα του μονοπατιού. Το αντίστροφο μονοπάτι ενός μονοπατιού f στον χώρο X, είναι το μονοπάτι f(s) = f(1 s). Ορισμός 1.1.2 (ομοτοπία μονοπατιών). Εστω X ένας τοπολογικός χώρος στον οποίον ανήκουν δύο μονοπάτια f 0 και f 1, τα οποία έχουν άκρα τα a, b X. Μια ομοτοπία από το f 0 στο f 1 είναι μια οικογένεια μονοπατιών f t : [0, 1] X τέτοια ώστε για κάθε t [0, 1] η f t να ικανοποιεί τα ακόλουθα: (i) f t (0) = a και f t (1) = b. (ii) Η απεικόνιση F : [0, 1] [0, 1] X που ορίζεται ως F (s, t) = f t (s) είναι συνεχής. Παρατήρηση 1.1.3. Οταν υπάρχει μια ομοτοπία μεταξύ των f 0 και f 1, λέμε πως τα δύο αυτά μονοπάτια είναι ομοτοπικά και γράφουμε f 0 f 1. Η κλάση ομοτοπιάς με αντιπρόσωπο f, συμβολίζεται με [f] και είναι η κλάση ομοτοπίας του μονοπατιού f που επάγεται από την σχέση ισοδυναμίας της ομοτοπίας. Πρόταση 1.1.4. Εστω ένας τοπολογικός χώρος X και δύο άκρα μονοπατιών a,b που περιέχονται σε αυτόν. Τότε η ομοτοπία μονοπατιών είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των μονοπατιών με άκρα τα a και b. Απόδειξη. Για να δείξουμε ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας, θα δείξουμε ότι είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Εστω f,g,h μονοπάτια με άκρα τα a και b. Είναι προφανές πως ισχύει f f λόγω της σταθερής ομοτοπίας. Δηλαδή η F (s, t) = F (s) = f(s) που δεν εξαρτάται από το t. Επίσης αν f g μέσω της ομοτοπίας f t, τότε g f μέσω της ομοτοπίας f 1 t. Για την μεταβατικότητα υποθέτουμε πως f g μέσω της ομοτοπίας f t και g h

2 Βασικοι Οροι μέσω μιας ομοτοπίας g t. Τότε βλέπουμε πως f h μέσω της ομοτοπίας h t την οποία ορίζουμε ως την f 2t στο [0, 1 2 ] και ως την g 2t 1 στο [ 1 2, 1]. Ορισμός 1.1.5. Ενας βρόγχος ή κύκλωμα σε έναν τοπολογικό χώρο X είναι ένα μονοπάτι f τέτοιο ώστε f(0) = x 0 = f(1) για κάποιο x 0 X. Το x 0 το οποίο είναι ταυτόχρονα αρχικό και τελικό άκρο του μονοπατιού, ονομάζεται σημείο βάση. Ορισμός 1.1.6. Εστω δύο μονοπάτια f, g : [0, 1] X τέτοια ώστε f(1) = g(0), τότε το γινόμενο μονοπατιών f g ορίζεται από τον τύπο { f(2s), 0 s 1 f g(s) = 2 1 g(2s 1), 2 s 1 Παρατήρηση 1.1.7. Αυτή η πράξη σέβεται τις κλάσεις ομοτοπίας. Δηλαδή αν f 0 f 1 μέσω της ομοτοπίας f t και g 0 g 1 μέσω της g t ώστε f 0 (1) = g 0 (0), τότε f 0 g 0 f 1 g 1 μέσω της f t g t. Απόδειξη. Δηλαδή έχουμε f 0 g 0 (s) = { f 0 (2s), 0 s 1 2 g 0 (2s 1), 1 2 s 1 και αντίστοιχα f 1 g 1 (s) = { f 1 (2s), 0 s 1 2 g 1 (2s 1), 1 2 s 1 γιατί οι απεικονίσεις είναι τέτοιες ώστε f(1) = g(0), και επομένως τα παραπάνω γινόμενα σχετίζονται μέσω της ομοτοπίας f t g t, t [0, 1]. Ορισμός 1.1.8 (αναπαραμετρικοποίηση). Εστω f ένα μονοπάτι και φ : [0, 1] [0, 1] μια οποιαδήποτε συνεχή απεικόνιση τέτοια ώστε φ(0) = 0 και φ(1) = 1. Τότε αναπαραμετρικοποίηση ονομάζουμε την σύνθεση f φ. Θεώρημα 1.1.9. Εστω ένας τοπολογικός χώρος X, το σύνολο των κλάσεων ομοτοπίας [f] από κυκλώματα f : [0, 1] X και σημείο βάση x 0 σχηματίζει ομάδα με πράξη το γινόμενο [f] [g] = [f g]. Απόδειξη. Εφόσον το γινόμενο που ορίστηκε σέβεται τις κλάσεις ομοτοπίας, το [f] [g] = [f g] είναι καλά ορισμένο και η πράξη κλειστή. Θεωρούμε τρία κυκλώματα f, g, h : [0, 1] X με σημείο βάση το x 0 X. Παρατηρούμε πως μια αναπαραμετρικοποίηση f φ, όπως ορίστηκε παραπάνω, διατηρεί τις κλάσεις ομοτοπίας γιατί f φ f μέσω της γραμμικής ομοτοπίας. Ετσι βλέπουμε πως η f (g h) είναι μια αναπαραμετρικοποίηση του (f g) h μέσω της συνάρτησης

1.1 Θεμελιωδης Ομαδες και Καλυπτικοι Χωροι 3 1 2, 0 s 1 2 φ(s) = s 1 4, 1 2 s 3 4 3 2s 1, 4 s 1 Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε πως [f] ([g] [h]) = [f (g h)] = [(f g) h] = ([f] [g]) [h]. Το ταυτοτικό στοιχείο της ομάδας είναι η κλάση ομοτοπίας του σταθερού κυκλώματος e x0 (s) = x 0 για κάθε s [0, 1]. Ετσι αν το f είναι ένας βρόγχος με σημείο βάση το x 0, τότε βλέπουμε πως το f e x0 είναι μια αναπαραμετρικοποίηση του f από την απεικόνιση φ(s) = { 2s, 0 s 1 2 1, 1 2 2 1 Ομοια το e x0 f είναι μια αναπαραμετρικοποίηση του f και επομένως βλέπουμε πως η κλάση ομοτοπίας της σταθερής απεικόνισης είναι ταυτοτική από δεξιά αλλά και αριστερά. Για να δείξουμε πως το f f είναι ομοτοπικό με το e x0 θα χρησιμοποιήσουμε την ομοτοπία h t = f t g t όπου f t είναι το μονοπάτι που ταυτίζεται με το f στο [0, 1 t] και είναι σταθερό στο [1 t, 1], ενώ το g t είναι το αντίστροφο μονοπάτι του f t. Εφόσον f 0 = f και f 1 = e x0, βλέπουμε πως f f e x0. Ομοια παρατηρούμε πως f f e x0. Επομένως το [ f] είναι αντίστροφο από δεξιά και αριστερά, για οποιονδήποτε βρόγχο f. Παρατήρηση 1.1.10. Η ομάδα που ορίστηκε παραπάνω ονομάζεται θεμελιώδης ομάδα και συμβολίζεται ως π 1 (X, x 0 ). Οπου X ο χώρος και x 0 το σημείο βάσης. Ορισμός 1.1.11. Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται συνεκτικός κατά μονοπάτια αν για κάθε x, y X, υπάρχει ένα συνεχές μονοπάτι f τέτοιο ώστε f(0) = x και f(1) = y. Θεώρημα 1.1.12. Εστω X συνεκτικός κατά μονοπάτια τοπολογικός χώρος και x 0, x 1 X. Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ των ομάδων π 1 (X, x 1 ) και π 1 (X, x 0 ). Απόδειξη. Εφόσον ο X είναι συνεκτικός κατά μονοπάτια, θεωρούμε ένα μονοπάτι h από το x 0 στο x 1 και το αντίστροφο του μονοπάτι h από το x 1 πίσω στο x 0. Ετσι μπορούμε να συσχετίσουμε κάθε βρόγχο f με βάση στο x 1 με τον βρόγχο h f h το οποίο έχει βάση το x 0. Ορίζουμε την απεικόνιση β h : π 1 (X, x 1 ) π 1 (X, x 0 ) ως [f] [h f h]. Επομένως, αν η f t είναι ομοτοπία κυκλωμάτων που έχουν βάση το x 1, τότε το h f t h είναι ομοτοπία κυκλωμάτων με βάση στο x 0. Επομένως η β h είναι καλά ορισμένη. Η β h είναι ομομορφιμός διότι β h [f g] = [h f g h] = [h f h h g h] = β h [f] β h [g]

4 Βασικοι Οροι Τέλος η β h είναι ισομορφισμός επειδή αν συνθέσουμε με την αντίστροφη β h, έ- χουμε β h β h[f] = β h [ h f h] = [h h f h h] = [f] Ομοίως β hβ h [f] = [f]. Λόγω του παραπάνω θεωρήματος, στην περίπτωση των κατά μονοπάτια συνεκτικών χώρων μπορούμε να γράφουμε απλώς π 1 (X) αντί για π 1 (X, x 0 ). Ορισμός 1.1.13. Ενας τοπολογικός χώρος θα καλείται απλά συνεκτικός εάν είναι συνεκτικός κατά μονοπάτια και έχει τετριμμένη θεμελιώδη ομάδα. Ορισμός 1.1.14. Ενας τοπολογικός χώρος θα καλείται ημι-τοπικά απλά συνεκτικός εάν για κάθε x X, υπάρχει μια γειτονιά U στην οποία περιέχεται το x και είναι τέτοια ώστε κάθε βρόγχος f με βάση x να είναι ομοτοπικός με τον τετριμμένο βρόγχο. Ορισμός 1.1.15. Εστω X και Y δύο τοπολογικοί χώροι και έστω μια συνεχής απεικόνιση f : X Y τέτοια ώστε να στέλνει το σημείο βάση x 0 X στο σημείο βάση y 0 Y. Συμβολίζουμε ως f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ). Ορίζουμε τον επαγόμενο ομομορφισμό για κυκλώματα α x0 με βάση στο x 0. f : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) [α x0 ] [f α x0 ] Παρατήρηση 1.1.16. Παρατηρούμε πως ο επαγόμενος ομομορφισμός ικανοποιεί τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: (i) f [e x0 ] = [e y0 ] (ii) (f g) = f g (iii) (f 1 ) = f 1 Ορισμός 1.1.17 (Ομάδες ομοτοπίας υψηλότερης τάξης). Για n 0 και X τοπολογικό χώρο με x 0 X, ορίζουμε π n (X) = {f : (I n, I n ) (X, x 0 )}/ όπου η είναι η συνήθης ομοτοπία απεικονίσεων. Τότε έχουμε το παρακάτω διάγραμμα συνόλων: (I n, I n ) (X, x 0 ) (I n / I n, I n / I n ) g f και επειδή (I n / I n, I n / I n ) (S n, s 0 ), μπορούμε επίσης να ορίσουμε και ως: π n (X, x 0 ) = {g : (S n, s 0 ) (X, x 0 )}/

1.1 Θεμελιωδης Ομαδες και Καλυπτικοι Χωροι 5 Παρατήρηση 1.1.18. Στην περίπτωση που n = 0, το π 0 (X) είναι το σύνολο των συνεκτικών μερών του X. Βλέπουμε πως το I 0 θα είναι σημείο και I 0 =, επομένως το π 0 αποτελείται από τις κλάσεις ομοτοπίας απεικονίσεων από σημείο στον χώρο X. Πρόταση 1.1.19. Αν n 1, τότε το π n (X, x 0 ) είναι ομάδα με την παρακάτω πράξη +: { f(2s 1, s 2,..., s n ) 0 s 1 1 (f + g)(s 1, s 2,..., s n ) = 2 1 g(2s 1 1, s 2,..., s n ) 2 s 1 1 (παρατηρούμε ότι για n = 1, έχουμε την συνήθης αλληλουχία μονοπατιών ή κυκλωμάτων) Απόδειξη. Παρατηρούμε πως εφόσον στον ορισμό της πράξης εμπλέκεται μόνο η πρώτη συντεταγμένη, μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα ίδια επιχειρήματα που χρησιμοποιήθηκαν για να δείξουμε πως η π 1 είναι ομάδα. Επομένως το ταυτοτικό στοιχείο θα είναι η σταθερή απεικόνιση που απεικονίζει όλο το I n στο x 0 και τα αντίστροφα στοιχεία θα δίνονται ως f = f(1 s 1, s 2,..., s n ). Πρόταση 1.1.20. Η ομάδα π n (X, x 0 ) είναι αβελιανή ομάδα για n 2. 1.1βʹ Καλυπτικοί Χώροι Ορισμός 1.1.21. Εστω ένας τοπολογικός χώρος X, θα ονομάζουμε καλυπτικό χώρο του X τον χώρο X μαζί με την απεικόνιση p : X X τέτοια ώστε να υπάρχει ένα ανοιχτό κάλυμμα U a του X το οποίο για κάθε a η αντίστροφη εικόνα p 1 (U a ) να είναι μια ξένη ένωση ανοιχτών υποσυνόλων του X, καθένα από τα οποία να απεικονίζεται από την p στο U a ομοιομορφικά. Ορισμός 1.1.22. Εστω X και Y δύο τοπολογικοί χώροι και ένας καλυπτικός χώρος p : X X. Επιπλέον έστω η απεικόνιση f : Y X. Τότε η απεικόνιση f : Y X θα ονομάζεται ανύψωση της απεικόνισης f εάν p f = f. Δηλαδή γραφικά: Y f f X X p Λήμμα 1.1.23 (ιδιότητα της ανύψωσης ομοτοπίας). Εστω ένας καλυπτικός χώρος p : X X, μια ομοτοπία ft : Y X και μια απεικόνιση f 0 : Y X η οποία ανυψώνεται στην f 0. Τότε υπάρχει μοναδική ομοτοπία f t : Y X που ανυψώνει την f t. Δηλαδή γραφικά: Y {0} Y Y [0, 1] f t f t f t X X p

6 Βασικοι Οροι Απόδειξη. Από ιδιότητες ομοτοπίας, το παραπάνω είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε πως δεδομένης μιας ομοτοπίας F : Y [0, 1] X και μιας ανύψωσης f 0 της απεικόνισης f 0 = F Y {0}, υπάρχει μοναδική ανύψωση F : Y [0, 1] X της F τέτοια ώστε F Y {0} = f 0. Εφόσον η p είναι καλυπτική απεικόνιση, επιλέγουμε ένα ανοιχτό κάλυμμα U a του X τέτοιο ώστε για κάθε a, η p 1 (U a ) να είναι μια ξένη ένωση ανοιχτών υποσυνόλων του X καθένα από τα οποία να απεικονίζεται ομοιομορφικά επάνω στο U a μέσω της p. Επιλέγουμε ένα y Y. Για κάθε t [0, 1] θεωρούμε μια γειτονιά V t του y και ένα ανοιχτό διάστημα I t του t ώστε F (V t I t ) U a για κάποιο a. Μπορούμε να καλύψουμε το [0, 1] με πεπερασμένα διαστήματα I t και να θέσουμε το V να είναι μια τομή του αντίστοιχου V t. Επομένως τώρα μπορούμε να επιλέξουμε μια διαμέριση 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 1 ώστε F (V [t i, t i+1 ]) U ai για κάποιο a i. Τώρα θα βασιστούμε σε επαγωγή του i για να κατασκευάσουμε την ανύψωση F : V [0, t i ] X. Στην περίπτωση του i = 0 είναι απλώς η f. Υποθέτουμε πως η F : V [0, t i ] X έχει κατασκευαστεί. Εφόσον F (V [0, t i ]) U ai, γνωρίζουμε πως υπάρχει υποσύνολο Ũa i του X που περιλαμβάνει την F (y, t i ) ώστε το Ũ ai να είναι ομοιομορφικό με το U ai υπό την p. Αντικαθιστώντας το V {t i } με V {t i } ( F V {ti}) 1 (Ũa i ) μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι F (V {ti }) Ũa i. Επομένως μπορούμε να ορίσουμε την F V [ti,t i+1] να είναι η p 1 F όπου η p 1 είναι ο ομοιομορφισμός p 1 : U ai Ũa i. Ετσι έχουμε ορίσει την απεικόνιση F : V [0, 1] X η οποία ανυψώνει την F V [0,1] για κάποια γειτονιά V του ψ. Εστω F, F δύο ανυψώσεις της F : y 0 [0, 1] X τέτοιες ώστε F (y 0, 0) = F (y 0, 0). Οπως και πιο πάνω, επιλέγουμε μια πεπερασμένη διαμέριση του [0,1] τέτοια ώστε F ({y 0 } [t i, t i+1 ]) U ai για κάποιο a i. Ισχυριζόμαστε ότι F = F στο [0, t i ] για κάθε i, και συνεχίζουμε επαγωγικά. Για i = 0 ισχύει από υπόθεση. Υποθέτουμε πως ισχύει για i. Επειδή τα F ({y 0 } [0, t i ]) και F ({y 0 } [0, t i ]) είναι συνεκτικά σύνολα και F (y0, t i ) = F (y 0, t i ), πρέπει και τα δύο να περιέχονται στο ίδιο ανοιχτό υποσύνολο του X, Ũ ai το οποίο είναι ομοιομορφικό με το U ai υπό την p. Εφόσον η p Ũai είναι μονομορφισμός, έχουμε ότι p F = F = p F από όπου προκύπτει ότι F = F στο {y 0 } [t i, t i+1 ]. Τώρα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω πληροφορίες θα αποδείξουμε το θεώρημα. Παρατηρούμε ότι οι διάφορες F που κατασκευάζονται για τα διάφορα V [0, 1] είναι μοναδικές όταν περιοριστούν στο {y} [0, 1] και πρέπει επίσης να συμφωνούν όταν δύο V [0, 1] επικαλύπτονται. Επομένως έχουμε μια καλά ορισμένη F για όλο το Y [0, 1]. Γνωρίζουμε ότι αυτή είναι συνεχής, διότι είναι συνεχής σε κάθε V [0, 1] και είναι μοναδική, διότι είναι μοναδική στο {y} [0, 1] για κάθε y Y. Πόρισμα 1.1.24 (ιδιότητα της ανύψωσης μονοπατιών). Εστω ο καλυπτικός χώρος p : X X και ένα μονοπάτι f τέτοιο ώστε f(0) = x0. Αν x 0 είναι ένα σημείο στην ίνα (= {x D(f) f(x) = y, y R(f)}) του x 0, τότε υπάρχει μοναδική ανύψωση του f του f τέτοια ώστε f(0) = x 0. Συγκεκριμένα, κάθε ανύψωση ενός σταθερού μονοπατιού είναι σταθερή. Πρόταση 1.1.25. Αν p : X X είναι ένας καλυπτικός χώρος, η απεικόνιση p : π 1 ( X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) είναι 1 1. Απόδειξη. Εστω [ f] Ker(p ). Τότε υπάρχει μια ομοτοπία f t από το p f στον τετριμμένο βρόγχο e x0. Επομένως, λόγω της ιδιότητας ανύψωσης της ομοτοπίας,

1.1 Θεμελιωδης Ομαδες και Καλυπτικοι Χωροι 7 υπάρχει μοναδική ανύψωση ομοτοπίας f t του f t μεταξύ των κυκλωμάτων f και e x0. Επομένως, [ f] = e x0 και ο Ker(p ) είναι τετριμμένος. Ορισμός 1.1.26. Ενας τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά συνεκτικός κατά μονοπάτια αν για κάθε σημείο x U X όπου το U ανοιχτό, υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο V U το οποίο είναι συνεκτικό κατά μονοπάτια και περιέχει το x. Πρόταση 1.1.27 (κριτήριο ανύψωσης). Εστω p : ( X, x 0 ) (X, x 0 ) ένας καλυπτικός χώρος και f : (Y, y 0 ) (X, x 0 ) μια απεικόνιση όπου ο Y είναι συνεκτικός κατά μονοπάτια. Τότε υπάρχει μια ανύψωση αν και μόνο αν f (π 1 (Y, y 0 )) p (π 1 ( X, x 0 )). Απόδειξη. Το ευθύ είναι προφανές γιατί f = p f. Για το αντίστροφο: Θεωρούμε ένα y 1 Y. Εφόσον το Y είναι συνεκτικό κατά μονοπάτια, υπάρχει ένα μονοπάτι g από το y 0 στο y 1, από το οποίο προκύπτει πως υπάρχει ένα μονοπάτι fg στον X από το x 0 στο f(y 1 ). Επειδή το p είναι καλυπτική απεικόνιση, επιλέγουμε ένα σημείο στην ίνα του f(y 1 ) και την καλούμε f(y 1 ). Λόγω της ιδιότητας ανύψωσης μονοπατιών, υπάρχει ένα μονοπάτι fg στον X από το x 0 στο f(y 1 ). Επειτα ορίζουμε ως f(y 1 ) = fg(1). Τώρα θα δείξουμε πως αυτό είναι καλά ορισμένο. Θεωρούμε ένα άλλο μονοπάτι g από το y 0 στο y 1 τέτοιο ώστε g g. Εστω h 0 = (fg )( fg), και άρα [h 0 ] f (π 1 (Y, y 0 )) p (π 1 ( X, x 0 )). Αυτό σημαίνει πως υπάρχει μια ομοτοπία h t από τον βρόγχο h 0 στον βρόγχο h 1 που ανυψώνεται σε έναν βρόγχο h 1. Τότε από την ιδιότητα ανύψωσης της ομοτοπίας κατά μονοπάτια, η h t ανυψώνεται σε μια ομοτοπία h t. Εφόσον το h 0 είναι βρόγχος στο x 0, από την μοναδικότητα της ανύψωσης, γνωρίζουμε ότι το h 0 είναι ένας βρόγχος ο οποίος πρώτα διασχίζει το fg και έπειτα το fg με αντίθετη φορά. Επομένως fg(1) = fg (1) και το f είναι καλά ορισμένο. Σχετικά με την συνέχεια του f, αν επιλέξουμε ένα ανοιχτό υποσύνολο του X τότε γνωρίζουμε πως υπάρχει ένα μικρότερο ανοιχτό σύνολο που απεικονίζεται ομοιομορφικά σε ανοιχτά σύνολα στον X, και των οποίων η αντίστροφη εικόνα υπό την f είναι ανοιχτή στον Y εφόσον η f είναι συνεχής. Ορισμός 1.1.28. Το καθολικό κάλυμμα ενός συνεκτικού κατά μονοπάτια, τοπικά συνεκτικού κατά μονοπάτια, ημι-τοπικά απλά συνεκτικού τοπολογικού χώρου X είναι ένας απλά συνεκτικός καλυπτικός χώρος X, ο οποίος είναι καλυπτικός χώρος κάθε άλλου συνεκτικού κατά μονοπάτια καλυπτικού χώρου του X. Πρόταση 1.1.29. Εστω X ένας χώρος συνεκτικός κατά μονοπάτια, τοπικά συνεκτικός κατά μονοπάτια και ημι-τοπικά απλά συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Τότε για κάθε υποομάδα H π 1 (X), υπάρχει ένας καλυπτικός χώρος p : X H X ώστε p = (π 1 (X H, x 0 )) = H για κατάλληλα επιλεγμένο σημείο βάσης x 0 X H. Απόδειξη. Υποθέτουμε πως έχουμε τον απλά συνεκτικό καλυπτικό χώρο X. Εστω [γ], [γ ] X, όπου την σχέση ισοδυναμίας [γ] [γ ] την ορίζουμε ως γ(1) = γ (1) και [γ γ ] H. Εστω X H = X/. Τότε εάν δύο σημεία που ανήκουν στα U [γ] και U [γ ] αντίστοιχα, ταυτίζονται μέσα στην ομάδα πηλίκο X H, τότε ταυτίζονται ολόκληρες οι γειτονιές τους. Ετσι συμπεραίνουμε πως η φυσική απεικόνιση X H X που επάγεται από [γ] γ(1) είναι καλυπτικός χώρος. Τώρα σχετικά με την επιλογή του σημείου βάσης. Εάν επιλέξουμε το x 0 να είναι το σταθερό μονοπάτι e x0 στο x 0, τότε παρατηρούμε πως η εικόνα του π 1 (X H, x 0 )

8 Βασικοι Οροι υπό την επαγόμενη απεικόνιση p είναι ακριβώς η H. Αυτό επειδή κάθε βρόγχος β στον X με βάση το x 0, ανυψώνεται σε έναν βρόγχο στον X το οποίο αρχίζει από το [e x0 ] και τελειώνει στο [β]. Επομένως η εικόνα του ανυψωμένου μονοπατιού είναι ένας βρόγχος αν και μόνο αν [β] [e x0 ] το οποίο είναι ισοδύναμο με [β] H. Ορισμός 1.1.30. Ισομορφισμός μεταξύ δύο καλυπτικών χώρων p 1 : X1 X και p 2 : X2 X είναι ένας ομοιομορφισμός f : X1 X 2 τέτοιος ώστε να μετατίθεται το παρακάτω διάγραμμα: f X 1 X2 p 1 p 2 X Αυτό σημαίνει πως η f διατηρεί την δομή των καλυπτικών χώρων στέλνοντας το p 1 1 (x) στο p 1 2 (x) για κάθε x X. Πρόταση 1.1.31. Αν X είναι ένας συνεκτικός κατά μονοπάτια και τοπικά συνεκτικός κατά μονοπάτια τοπολογικός χώρος με δύο συνεκτικούς κατά μονοπάτια καλυπτικούς χώρους p 1 : X1 X και p 2 : X2 X, τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός f : X1 X 2 ο οποίος στέλνει ένα σημείο βάσης x 1 p 1 1 (x) στο x 2 p 1 2 αν και μόνο αν p 1 (π 1 ( X 1, x 1 )) = p 2 (π 1 ( X 2, x 2 )). Απόδειξη. Το ευθύ μπορούμε να δούμε ότι ισχύει, κάνοντας χρήση του διαγράμματος που είδαμε παραπάνω, δηλαδή ισχύει λόγω της ύπαρξης του ισομορφιμού. Για το αντίστροφο, υποθέτουμε ότι p 1 (π 1 ( X 1, x 1 )) = p 2 (π 1 ( X 2, x 2 )). Αυτό σημαίνει πως μπορούμε να ανυψώσουμε το p 1 στο p 1 : ( X 1, x 1 ) ( X 2, x 2 ) ώστε p 1 p 2 = p 2. Επειδή αυτές οι ανυψώσεις είναι μοναδικές λόγω της μοναδικότητας της ιδιότητας ανύψωσης, γνωρίζουμε ότι p 1 p 2 = 1 = p 2 p 1. Επομένως οι ανυψώσεις αυτές είναι αντίστροφοι ισομορφισμοί και έχουμε το παρακάτω μεταθετικό διάγραμμα: X 1 p 1 p 2 p 1 p 2 X2 X Ορισμός 1.1.32. Εστω H μια υποομάδα της G με στοιχεία h i. Αν g είναι ένα στοιχείο που ανήκει στην G αλλά όχι στην H, τότε ο μετασχηματισμός gh i x 1, (i = 1, 2,...) παράγει την ομάδα xhx 1 η οποία λέγεται συζυγής υποομάδα. Θεώρημα 1.1.33. Εστω X ένας χώρος συνεκτικός κατά μονοπάτια, τοπικά συνεκτικός κατά μονοπάτια και ημιτοπικά απλά συνεκτικός. Τότε υπάρχει επιμορφισμός μεταξύ του συνόλου των κλάσεων ισομορφισμού των κατά μονοπάτια συνεκτικών καλυπτικών χώρων p : ( X, x 0 ) (X, x 0 ) που διατηρούν τα σημεία βάσης και του συνόλου των υποομάδων της π 1 (X), τον οποίο παίρνουμε σχετίζοντας την υποομάδα p (π 1 ( X, x 0 )) π 1 (X) με τον καλυπτικό χώρο p : ( X, x 0 ) (X, x 0 ). Αν αγνοήσουμε τα σημεία βάσης, τότε θα έχουμε έναν επιμορφισμό μεταξύ του συνόλου των κλάσεων ισομορφισμού των κατά μονοπάτια συνεκτικών καλυπτικών χώρων που διατηρούν τα σημεία βάσης και των κλάσεων συζυγών υποομάδων της π 1 (X).

1.2 CW-complexes 9 Απόδειξη. Το πρώτο μέρος το αποδείξαμε παραπάνω. Για να δείξουμε το δεύτερο, αρκεί να δείξουμε πως αν έχουμε έναν καλυπτικό χώρο p : ( X, x 0 ) (X, x 0 ) και αλλάξουμε το σημείο βάσης x 0 σε ένα άλλο στοιχείο της ίνας του x 0, αντιστοιχεί με το να αλλάξουμε το p (π 1 ( X, x 0 )) με μια συζυγή υποομάδα της π 1 (X). Εστω πως το x 1 είναι ένα διαφορετικό σημείο της ίνας του x 0, και έστω γ ένα μονοπάτι στον X από το x 0 στο x 1. Επειδή x 0, x 1 p 1 (x 0 ), το γ προβάλλεται στον βρόγχο γ X με βάση στο x 0. Ο βρόγχος γ αναπαριστά κάποιο g π 1 (X). Θέτουμε H i = p (π 1 ( X, x i )) για i = 0, 1. Επομένως αν f είναι ένας βρόγχος στο x 0, τότε το γ f γ είναι ένας βρόγχος με βάση το x 1. Ετσι προκύπτει ο εγκλεισμός g 1 H 0 g H 1 και όμοια gh 1 g 1 H 0. Από το τελευταίο, παίρνοντας την συζυγία με g 1 βλέπουμε πως H 1 g 1 H 0 g H 1 από όπου καταλήγουμε πως g 1 H 0 g = H 1 1.2 CW-complexes Ορισμός 1.2.1. Ενα n-κελί, είναι ένας χώρος ομοιομορφικός με τον ανοιχτό n-δίσκο int(d n ). Κελί είναι ένας χώρος ο οποίος είναι n-κελί για κάποιο n 0. Παρατήρηση 1.2.2. Το int(d m ) είναι ομοιομορφικό με το int(d n ) αν και μόνο αν m = n. Τα παραπάνω προκύπτουν από το γεγονός ότι το int(d n ) είναι ομοιομορφικό με το R n μέσω της απεικόνισης x tan(π x /2)x, και από το γεγονός ότι το R m είναι ομοιομορφικό με το R n ανν m = n. Επομένως μπορούμε να μιλάμε απλά για την διάσταση των κελιών. Δηλαδή για ένα n-κελί, μπορούμε να λέμε απλά πως είναι ένα κελί με διάσταση n. Ορισμός 1.2.3 (n-σκελετός). Για μη-αρνητικό ακέραιο n, το σύνολο n := { (λ 0, λ 1,..., λ n ) n λ i, 0 λ i 1 i } ονομάζεται σύμπλοκο δέλτα και το ελάχιστο κυρτό σύνολο που περιέχει τις το σύμπλοκο δέλτα (διάστασης n) ονομάζεται n-simplex. Ο n-σκελετός ορίζεται επαγωγικά ως i=0 X (n) := ( X (n 1) n,i ) / όπου x σ i (x) για κάθε απεικόνιση συγκόλλησης σ i : k,i X (n 1). Ορισμός 1.2.4. Ενα ζεύγος (X, Θ) αποτελούμενο από έναν χώρο Hausdorff (δηλ. ένας χώρος στο οποίο δύο διαφορετικά σημεία ανήκουν σε ξένες γειτονιές) και μια αποσύνθεση Θ του X σε κελιά, καλείται CW -complex εάν ικανοποιούνται οι παραπάνω τρεις ιδιότητες: (i) Για κάθε n-κελί e Θ υπάρχει μια απεικόνιση Φ e : D n X η οποία μπορεί να περιοριστεί σε έναν ομοιομορφισμό Φ e int(d n ) : int(d n ) e που απεικονίζει τον S n 1 μέσα στον X (n 1). (ii) Για κάθε κελί e Θ η κλειστή του θήκη ē να τέμνει μόνο πεπερασμένο αριθμό άλλων κελιών στην Θ. (iii) Ενα υποσύνολο A X να είναι κλειστό αν και μόνο αν A ē είναι κλειστό στον X για κάθε e Θ.

10 Βασικοι Οροι Παρατήρηση 1.2.5. Οι δύο τελευταίες ιδιότητες χρησιμεύουν μόνο στην περίπτωση που η οικογένεια Θ είναι άπειρη. Παρατήρηση 1.2.6. Εναλλακτικά το CW -complex, μπορεί να οριστεί ως ο χώρος που κατασκευάζεται ως εξής: Εστω X ένας χώρος και μια απεικόνιση f : S n X. Κατασκευάζουμε τον χώρο πηλίκο ( D n+1 X ) / όπου η σχέση ισοδυναμίας ταυτίζει x S n με f(x) X. Λέμε πως αυτός ο χώρος παράγεται από την εγκόλληση ενός n + 2-κελιού στον χώρο X μέσω της f, και συμβολίζουμε με D n+1 X f. Πρόταση 1.2.7. Εστω (X, Θ) ένας χώρος Hausdorff X με μια αποσύνθεση σε κελιά Θ. Αν ο (X, Θ) ικανοποιεί την πρώτη ιδιότητα του ορισμού των CW - complex, τότε ισχύει ē = Φ e (D n ) για κάθε κελί e Θ. Συγκεκριμένα ο ē είναι συμπαγής υπόχωρος του X και το σύνορο του κελιού ē = Φ e (S n 1 ) βρίσκεται μέσα στον X n 1. Απόδειξη. Για οποιαδήποτε απεικόνιση f : Y Z μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων Y και Z, για οποιοδήποτε υποσύνολο B Y ισχύει f( B) f(b). Επομένως ē = Φ e (int(d n )) Φ e (D n ) e Ομως το Φ e (D n ) είναι συμπαγές και επομένως κλειστό στο X επειδή ο X είναι χώρος Hausdorff. Άρα Φ e (D n ) = ē. Από την πρώτη ιδιότητα που απαιτεί ο ορισμός 1.2.4, έχουμε Φ e (int(d n )) = e και Φ e (S n 1 ) e = επομένως Φ e (S n 1 ) = ē. Σημειώνουμε ότι αν ο X δεν ήταν Hausdorff πάλι θα ίσχυε Φ e (D n ) ē όμως δεν θα ίσχυε απαραίτητα η ισότητα επειδή δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε αν το Φ e (D n ) είναι κλειστό στον X.

Κεφάλαιο 2 Αλυσίδες και Modules 2.1 Modules βασικοί ορισμοί Ενας διανυσματικός χώρος είναι μια αβελιανή ομάδα όπου ένα σώμα δρα με βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Αντίστοιχα, ένα module είναι μια αβελιανή ομάδα όπου ένας δακτύλιος δρα με βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Ορισμός 2.1.1 (R-module). Αν R είναι δακτύλιος και 1 R το πολλαπλασιαστικό μοναδιαίο στοιχείο, τότε ένα αριστερό R-module M, είναι μια αβελιανή ομάδα (M, +) και μια πράξη τ.ω. για κάθε r, s R και x, y M : (i) r (x + y) = r x + r y, (ii) (r + s) x = r x + s x, (iii) (r s) x = r (s x), (iv) 1 R x = x. : R M M, (r, m) r m Παρατήρηση 2.1.2. Ομοια μπορούμε να ορίσουμε και τα δεξιά R-modules. Γενικά θα αναφερόμαστε σε αριστερά R-modules εκτός αν αναφέρουμε κάτι διαφορετικό. Συμβολισμός: Συμβολίζουμε με R M ένα αριστερό R-module και με M R ένα δεξί R-module. Ορισμός 2.1.3 (Ομομορφισμός R-modules). (i) Ενας R-module ομομορφισμός είναι μια απεικόνιση f : M N, μεταξύ των R-modules η οποία διατηρεί την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Πιο συγκεκριμένα: f(x + y) = f(x) + f(y), x, y M. f(ax) = af(x), x M, a R (ii) Ο πυρήνας του f ορίζεται ως Ker(f) = f 1 (0 N ) = {m M : f(m) = 0 n }.

12 Αλυσιδες και Modules (iii) Ο συν-πυρήνας της f ορίζεται ως Coker(f) = N/Im(f). (iv) Η συν-εικόνα της f ορίζεται ως Coim(f) = N/Ker(f). Παρατήρηση 2.1.4. (i) Αν ο δακτύλιος R αντικατασταθεί με ένα σώμα K τότε αυτές οι συνθήκες ταυτίζονται πλήρως με τον ορισμό της f για μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σώμα K. (ii) Είναι κλασικό αποτέλεσμα ότι η f είναι 1-1 (μονομορφισμός) αν και μόνο αν Ker(f) = {0 M }. Ορισμός 2.1.5 (Ελεύθερο module). Το R-module F ονομάζεται ελεύθερο πάνω από ένα υποσύνολο T F, αν κάθε στοιχείο του F μπορεί να αναπαρασταθεί με μοναδικό τρόπο, ως ένας πεπερασμένος R-γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του T. Δηλαδή κάθε x F γράφεται μοναδικά ως x = n r i t i, r i R, t i T i=1 Πρόταση 2.1.6 (καθολική ιδιότητα της βάσης). Υποθέτουμε ότι F είναι ένα ελεύθερο R-module, το X μία βάση του και το N ένα οποιοδήποτε R-module. Αν f : X N είναι μια συνάρτηση, τότε υπάρχει μοναδικός R-module ομομορφισμός φ f : F N, ώστε φ f (x) = f(x) για κάθε x X. Με άλλα λόγια, υπάρχει μοναδικός R-module ομομορφισμός φ f : F N τέτοιος ώστε το διάγραμμα X i f φ f N F όπου i : X F η απεικόνιση εγκλεισμού i(x) = x, να μετατίθεται. Απόδειξη. Πρώτα θα αποδείξουμε την ύπαρξη αυτού του ομομορφισμού. Υποθέτουμε ότι X = {x i i I}. Τότε αν m F, m = i I r ix i όπου r i R και μόνο πεπερασμένου πλήθους r i είναι διάφορα του 0. Επομένως, το άθροισμα έχει πεπερασμένου πλήθους μη-μηδενικούς όρους και είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα. Ορίζουμε φ f (m) = i I r if(x i ). Εφόσων οι συντελεστές r i για κάθε i I ορίζονται μοναδικά για το m, επομένως και η απεικόνιση φ f είναι καλά ορισμένη. Για να δείξουμε ότι η φ f είναι R-γραμμική, υποθέτουμε ότι m 1, m 2 F και r R. Άρα m 1 = i I r ix i και m 2 = i I s ix i. Τότε εφόσον το σύνολο όλων των i I με r i 0 ή s i 0 είναι πεπερασμένο, έχουμε ( φ f (rm 1 + m 2 ) = φ f r r i x i + ) s i x i i I i I ( ) = φ f (rr i + s i )x i i I = i I (rr i + s i )f(x i ) = r i I r i f(x i ) + i I = rφ f (m 1 ) + φ f (m 2 ). s i f(x i )

2.1 Modules βασικοι ορισμοι 13 από τον ορισμό της φ f έπεται ότι φ f (x) = f(x) για x X, διότι x = 1 x. Για να αποδείξουμε την μοναδικότητα, υποθέτουμε ότι ψ : F M είναι ένας R-module ομομορφισμός και ψ(x) = f(x) για κάθε x X. Αν m = i I r ix i ανήκει στο F, τότε Επομένως ψ = φ f. ( ) ψ(m) = ψ x i r i = i I = i I i I = φ f (m) r i ψ(x i ) r i f(x i ) Πρόταση 2.1.7. Κάθε module M είναι το πηλίκο ενός ελεύθερου module Απόδειξη. Εστω F ένα ελεύθερο module παραγόμενο από το σύνολο X, το σύνολο όλων των μη μηδενικών στοιχείων του Μ. Τότε η απεικόνιση εγκλεισμού X M επάγει έναν επιμορφισμό f : F M που δίνεται από τον τύπο: f( r i (x i )) r i x i με το (x i ) συμβολίζουμε το στοιχείο του X που αντιστοιχεί στο στοιχείο x i M. Επομένως το M είναι ισόμορφο με το πηλίκο: M = F/kerf Ορισμός 2.1.8. Μια ακολουθία R-ομομορφισμών μεταξύ R-modules είναι ακριβής αν Ker(f i ) = Im(f i+1 ). f i+1 f i A i+1 Ai Ai 1... Παρατήρηση 2.1.9. (i) Η ακολουθία 0 A f B είναι ακριβής αν και μόνο αν ο f είναι μονομορφισμός. (ii) Η ακολουθία B g C 0 είναι ακριβής αν και μόνο αν ο g είναι επιμορφισμός. (iii) Μια ακριβής ακολουθία της μορφής 0 A f B g C 0 ονομάζεται βραχεία ακριβής ακολουθία.

14 Αλυσιδες και Modules (iv) Η κλασική βραχεία ακριβής ακολουθία δίνεται: 0 A (i 0) A B p2 B 0 όπου ο πρώτος ομομορφισμός είναι η εμφύτευση στον πρώτο παράγοντα και ο δεύτερος είναι η προβολή στην δεύτερη συντεταγμένη. (v) Μια βραχεία ακριβής ακολουθία, όπως η παραπάνω, ονομάζεται διασπάσιμη αν υπάρχει R-ομομορφισμός s : C B έτσι ώστε g s = 1 C. (vi) Η ακριβής ακολουθία αβελιανών ομάδων (Z-modules) δεν είναι διασπάσιμη: 0 Z.n Z p Z n 0 όπου η πρώτη συνάρτηση είναι πολλαπλασιασμός επί n και ο δεύτερος είναι η προβολή. Ο λόγος είναι ότι ο μόνος ομομορφισμός από το Z n στο Z είναι ο τετριμμένος (αποδεικνύουμε παρακάτω). Απόδειξη. Εστω φ : Z n Z ένας ομομορφισμός. Τότε φ(1) = s για κάποιο s Z. Αν f(n) είναι ο τετριμμένος ομομορφισμός, τότε f(n 1) = 0 n s = 0 s = 0 και επομένως ο μόνος δυνατός ομομορφισμός είναι ο τετριμμένος. Πρόταση 2.1.10. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (i) Η ακολουθία 0 A f B g C 0 είναι βραχεία διασπάσιμη ακριβής ακολουθία. (ii) Υπάρχει ένα ισομορφισμός βραχέων ακριβών ακολουθιών: 0 A f B g C 0 0 A 1 A h 1 C (i 0) A C p 2 C 0 Απόδειξη. (i) (ii) Υποθέτουμε πως υπάρχει R-ομομορφισμός s : C B τ.ω. gs = 1 C. Για b B έχουμε g(b) = c. Ετσι g(b) = gs(c) = c g(b s(c)) = 0 b s(c) Ker(g) = Im(f). Αρα τα στοιχεία του B μπορούν να γραφούν στην μορφή b = s(c) + f(a) με a A. Αν έχουμε s(c) + f(a) = s(c ) + f(a ), c, c C, a, a A, τότε s(c c) = f(a a ). Επομένως 0 = gf(a a ) = gs(c c) = c c c = c. Τότε θα έχουμε επίσης a = a γιατί ο f είναι μονομορφισμός. Επομένως κάθε στοιχείο του B μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως s(c)+f(a). Άρα μπορούμε να ορίσουμε την απεικόνιση t : B A, t(b) = a, αν b = s(c) + f(a).

2.1 Modules βασικοι ορισμοι 15 Η t είναι καλά ορισμένος ομομορφισμός και, από τον ορισμό, tf = 1 A. Ορίζουμε p : B A C, p(b) = (t(b), g(b)). Τώρα θα ορίσουμε την αντίστροφη συνάρτηση. Αν c C, τότε υπάρχει b B τ.ω. g(b) = c, επειδή ο g είναι επιμορφισμός. Ορίζουμε r(c) = b ft(b). Θα δείξουμε ότι ο r είναι καλά ορισμένος: Εστω b B, g(b ) = c. Τότε g(b) = g(b ) g(b b ) = 0 b b Kerg = Imf b b = f(a) b = b +f(a). Και έτσι, b ft(b) = b + f(a) ft(b ) ftf(a) Ομως, f(a) = ftf(a) και επομένως ο r είναι καλά ορισμένος. Ορίζουμε Για τις συνθέσεις των συναρτήσεων: q : A C B, q(a, c) = f(a) + r(c). qp(b) = q(t(b), g(b)) = ft(b) + rg(b) = ft(b) + b ft(b) = b. Επίσης Επομένως pq(a, c) = p(f(a) + b ft(b)), όπου g(b) = c. pq(a, c) = (tf(a) + t(b) tft(b), gf(a) + g(b) gft(b)). Αλλά gf = 0, tft = t και tf = 1 A. Επομένως qp(a, c) = (a, c) και οι s και t είναι ομομορφισμοί. Επίσης pf(a) = (tf(a), g(f(a)) = (t, 0) = i(a), και p 2 p(b) = p 2 (t(b), g(b)) = g(b) που κάνει το διάγραμμα αντιμεταθετικό. (ii) (i) Εστω πως p : B A C είναι ισομορφισμός. Ορίζουμε s : C i A C p 1 B Λόγω του ότι το διάγραμμα μετατίθεται, έχουμε: gs(c) = gp 1 i (c) = p 2 pp 1 i (c) = p 2 i (c) = c Λήμμα 2.1.11 (λήμμα φιδιού). Υποθέτουμε ότι οι οριζόντιες γραμμές στο παρακάτω μεταθετικό διάγραμμα, είναι ακριβείς: B C D 0 β b 0 B C D. γ c b c δ

16 Αλυσιδες και Modules Τότε η ακολουθία Ker(β) b Ker(γ) c Ker(δ) θ Coker(β) b Coker(γ) c Coker(δ) είναι ακριβής. Παρατήρηση 2.1.12. Οι δύο πρώτες απεικονίσεις είναι περιορισμοί των β και γ, αντίστοιχα οι δύο τελευταίες είναι φυσικές απεικονίσεις επαγόμενες από τις b και c, και τέλος η απεικόνιση που μεσολαβεί, είναι ομομορφισμός καλούμενος ως συνδετικός ομομορφισμός. Σχετικά με τον συνδετικό ομομορφισμό: Εστω x Ker(δ). Εφόσον ο c είναι επιμορφισμός, υπάρχει y C τέτοιο ώστε x = c(y). Εφόσον το διάγραμμα μετατίθεται, c γy = δcy = δx = 0, ώστε γy Ker(c ) = Im(b ). Επομένως γy = b (z) για κάποιο z B. Άρα ο συνδετικός ομομορφισμός, στέλνει το x στην εικόνα του z στον συ-πυρήνα του β. Απόδειξη. Πρώτα θα δείξουμε ότι οι ακολουθίες (i) Ker(β) b Ker(γ) c Ker(δ) και (ii) Coker(β) b Coker(γ) c Coker(δ) όπου b, c, b, c που επάγονται από τις b, b, c και c αντίστοιχα (ως περιορισμοί τους) είναι ακριβείς. Για την ακρίβεια της (i): Εχουμε b = b Ker(β) και c = Ker(γ). Αυτό συνεπάγεται ότι Ker(c ) = Im(b ). Επιπλέον Ker(b) = {0} και Ker(b ) = Ker(b) Ker(β) = {0} Ker(β) = {0}. Επομένως Ker(b ) = 0. Για την ακρίβεια της (ii): Εχουμε ότι b = b /Imγ και c = c /Im(δ). Εστω x d Coker(δ), τότε x d = x d + δ(x d ) εφόσον το διάγραμμα του 2.1.11 είναι ακριβές, c, c είναι επί και άρα υπάρχει x c C, x c C τ.ω. x d = c (x c ) και x d = c(x c ). Παίρνουμε ότι x d = c ( x c ) όπου x c = x c + γ(x c ) Coker(γ). Επομένως c είναι επιμορφισμός και η ακολουθία είναι ακριβής στο Coker(δ). Ισχύει Im(b ) Ker(c ). Για τον αντίστροφο εγκλεισμό, έστω x c Ker(c ). Τότε c ( x c ) = 0 Coker(γ), που σημαίνει ότι c (x c ) = δ(x d ) για κάποιο x d D. Εφόσον η c είναι επιμορφισμός, υπάρχει x c C τ.ω. c(x c ) = x d. Επειδή το διάγραμμα είναι μεταθετικό: c (x c ) = δ(x d ) = δ(c(x c )) = c (γ(x c )) επομένως c (x c γ(x c )) = 0 και άρα x c γ(x c ) Ker(c ) = Im(b ). Αρα υπάρχει x b B τ.ω. b (x b ) = x c γ(x c ). Παίρνοντας το πηλίκο με Im(γ) έχουμε b ( x b ) = x c και άρα x c Im(b ). Σχετικά με τον συνδετικό ομομορφισμό: Κατασκευάζουμε έναν φυσικό ομομορφισμό θ : Ker(δ) Coker(β) που συνθέτει τις δύο ακριβείς ακολουθίες (i), (ii) σε μία επιμήκης ακριβής ακολουθία.

2.1 Modules βασικοι ορισμοι 17 Εστω x d Ker(δ) D. Το ανυψώνουμε σε κάποιο x c C με την c(x c ) = x d. Εστω x c = γ(x d ). Τότε c (x c ) = c (γ(x c )) = δ(c(x c )) = δ(x d ) = 0 Επομένως x c Ker(c ). Λόγω ακρίβειας, Ker(c ) = Im(b ) και άρα υπάρχει x b B τ.ω. x c = b (x b ) και αυτό το x b είναι μοναδικό γιατί η b είναι μονομορφισμός. Θέτουμε θ(x d ) = x b = x b /β(b). Αυτό μπορεί να ελεγχθεί ότι είναι καλά ορισμένο και ανεξάρτητο της ανύψωσης. Πράγματι, αν ανυψώσουμε το x d σε x c x c και κατασκευάσουμε το x b όπως περιγράφηκε παραπάνω, τότε c (x c ) = δ(x d) = 0 και b (x b x b ) = x c x c = γ(x c) γ(x c) = γ(x c x c) και εφόσον x c x c Ker(c), υπάρχει x b B τ.ω. x c x c = c(x b ). Επομένως b (x b x b ) = γ(x c x c) = γ(b(x b )) = b(β(x b )) και επειδή η b είναι μονομορφισμός x b x b = β(x b) και άρα ταυτίζονται στο πηλίκο προς Im(β). Ακρίβεια στον συνδετικό ομομορφισμό: Τώρα θα δείξουμε ότι η ακολουθία είναι ακριβής στον Ker(δ) και στον Coker(β). ( ): Εστω c (x c ) = x d Ker(δ). Μπορούμε να επιλέξουμε την ανύψωση x c Ker(γ). Τότε x c = γ(x c ) = 0 και γράφοντας ως 0 = x c = b (x b ) παίρνουμε x b = 0 εφόσων b είναι μονομορφισμός. Άρα x b = 0 και θ(x d ) = 0. ( ): Εστω x d Ker(θ) και έστω x c C να είναι ανύψωση του x d. Τότε x b = β(x b ) για κάποιο x b B και έχουμε b (x b ) = γ(x c ). Επομένως b (x b ) = b (β(x b )) = γ(b(x b )) εφόσον το διάγραμμα είναι μεταθετικό και παίρνουμε γ(x c ) = γ(b (x b )). Από τα παραπάνω έπεται x c = x c b(x b ) Ker(γ). Τώρα, c(x c b(x b )) = c(x c ) c b(x b ) = c(x b ) 0 = x d και άρα x b είναι επίσης ανύψωση του x d και x c Ker(γ). Επομένως x d Im(c ). Για να δείξουμε ακρίβεια στον Coker(β), θα δείξουμε ότι Im(θ) = Ker(b ). ( ): Εστω x b Im(θ). Τότε υπάρχει x d Ker(δ) τ.ω. x b = θ(x d ). Επιλέγουμε έναν αντιπρόσωπο x b του x b. Από την κατασκευή b (x b ) = γ(x c ), παίρνοντας το ως πηλίκο προς Im(γ), παίρνουμε b ( x b ) = 0 εφόσον γ(x c ) Im(γ).

18 Αλυσιδες και Modules ( ): Εστω x b Ker(b ). Τότε για κάποια ανύψωση x b του x b έχουμε b (x b ) = γ(x c ). Παίρνουμε x d = c(x c ), και έτσι έχουμε δ(x d ) = δ(c(x c )) = c (γ(x c )) = c (b (x b )) = c b (x b ) = 0 γιατί c b = 0 λόγω ακρίβειας. Άρα x d Ker(δ). Τέλος x b x b Im(θ). = θ(x d ) και έτσι 2.2 Αλυσιδωτά Σύμπλοκα (Chain Complexes) Ορισμός 2.2.1 (Διαβαθμισμένο module:). Αν R είναι δακτύλιος, ονομάζουμε διαβαθμισμένο ή βαθμωτό (graded) module μια ακολουθία C = [C n ] n Z από R- modules. Αν x C n τότε λέμε ότι το x είναι βαθμού n και γράφουμε degx = n. Μια απεικόνιση βαθμού p, από ένα βαθμωτό R-module C σε ένα βαθμωτό R- module C είναι μια οικογένεια f = (f n : C n C n+p), n Z από ομομορφισμούς R-module. Άρα deg(f(x)) = degf + degx Ορισμός 2.2.2. (i) Ενα αλυσιδωτό σύμπλοκο (chain complex) στον R είναι ένα ζεύγος ( C, d) όπου C είναι διαβαθμισμένο R-module και d : C C μια απεικόνιση βαθμού -1 τ.ω. d 2 = 0. Η απεικόνιση d ονομάζεται διαφορικό (differential) ή συνοριακός τελεστής (boundary operator) του C. Πολλές φορές το d παραλείπεται από τον συμβολισμό και λέμε απλά πως το C είναι αλυσιδωτό σύμπλοκο. (ii) Ορίζουμε τους κύκλους του C (cycles) Z n ( C) = Ker(d n : C n C n 1 ). (iii) Ορίζουμε τα σύνορα (boundaries) του C, (iv) Ορίζουμε την ομολογία H n ( C) ως: Αυτά είναι όλα βαθμωτά module. B n ( C) = Im(d n : C n C n 1 ). H n ( C) = Z n ( C)/B n+1 ( C). Παρατήρηση 2.2.3. (i) Ο ορισμός της ομολογίας έχει νόημα γιατί d n d n+1 = 0 B n+1 ( C) Z n ( C). (ii) Ενα αλυσιδωτό σύμπλοκο είναι μια ακριβής ακολουθία αν και μόνο αν H n ( C) = 0 γιά κάθε n Z. Τώρα ορίζουμε το δυικό του αλυσιδωτού σύμπλοκου. Ορισμός 2.2.4. Ενα διαβαθμισμένο module C με έναν ενδομορφισμό d μηδενικού τετραγώνου τ.ω. να έχει βαθμό +1 ονομάζεται συν-αλυσιδωτό σύμπλοκο (cochain complex). Σε αυτή την περίπτωση έχει καθιερωθεί η χρήση εκθετών αντί δεικτών για την υποδήλωση του βαθμού, δηλαδή: C = (C n ) n Z και d = (d n : C n C n+1 ). Οι συν-κύκλοι (cocycles) ορίζονται ως Z n ( C) = Ker(d n : C n C n+1 ).

2.2 Αλυσιδωτα Συμπλοκα (Chain Complexes) 19 Τα συν-σύνορα (coboundaries) ορίζονται ως B n ( C) = Im(d n : C n C n+1 ). Η συνομολογία ορίζεται ως H n ( C) = Z n ( C)/B n 1 ( C). Παρατήρηση 2.2.5. Δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά μεταξύ αλυσιδωτών και συν-αλυσιδωτών συμπλόκων εφόσον μπορούμε πάντα να μετατρέψουμε το ένα στο άλλο, θεωρώντας C n = C n. Ορισμός 2.2.6. (i) Μία αλυσιδωτή απεικόνιση (chain map) βαθμού 0, f : ( C, d) ( C, d ) μεταξύ αλυσιδωτών συμπλόκων, είναι ένας βαθμωτός R-ομομορφισμός βαθμού 0 τ.ω. d f = fd. f n : C n C n (ii) Εστω f και g είναι δύο αλυσιδωτές συναρτήσεις από το ( C, d) στο ( C, d ), ομοτοπία είναι ένας βαθμωτός ομορφισμός βαθμού +1, h : C C για τον οποίο ισχύει f n g n = h n 1 d n + d n+1 h n. Γράφουμε f g και λέμε ότι f είναι ομοτοπικό (homotopic) με το g εάν υπάρχει ομοτοπία από το f στο g. (iii) Μια αλυσιδωτή απεικόνιση f : C C ονομάζεται ομοτοπική ισοδυναμία αν υπάρχει μια αλυσιδωτή απεικόνιση f : C C τ.ω. f f id C και ff id C. (iv) Μια αλυσιδωτή απεικόνιση, ονομάζεται ασθενής ισοδυναμία αν η απεικόνιση H(f) : H( C) H( C ) είναι ισομορφισμός. Πρόταση 2.2.7. Η σχέση της ομοτοπίας είναι σχέση ισοδυναμίας. Η κλάση ισοδυναμίας με εκπρόσωπο την f : C C θα συμβολίζεται ως [f] και θα καλείται κλάση ομοτοπίας της f. Απόδειξη. (i) ανακλαστικότητα, f f: f n f n = h n 1 d n + d n+1 h n 0 = h n 1 d n + d n+1 h n. που ισχύει αν θέσουμε ως h την τετριμμένη ομοτοπία. (ii) μεταθετικότητα, f g g f: θέτουμε h = h, και έτσι h n 1 d n + d n+1 h n = f n g n h n 1 d n + d n+1 h n = h n 1 d n d n+1 h n = (f n g n ) = g n f n διότι f,g είναι ομομορφισμοί αβελιανών ομάδων.

20 Αλυσιδες και Modules (iii) μεταβατικότητα, f g, g k f k: f n g n = h n 1 d n + d n+1 h n, g n k n = h n 1 d n + d n+1 h n προσθέτοντας τις παραπάνω κατά μέλη, f n g n + g n k n = h n 1 d n + h n 1 d n + d n+1 h n + d n+1 h n f n k n = (h n 1 + h n 1) d n + d n+1 (h n + h n ) θέτω h + h = h 2 και έτσι έχω f n k n = h 2 d n + d n+1 h 2 Πρόταση 2.2.8. Η σύνθεση διατηρεί την σχέση της ομοτοπίας, δηλ. αν f g και f g τότε f f g g. Άρα μπορούμε να ορίσουμε την πράξη την σύνθεσης των κλάσεων ομοτοπίας ως [f] [f ] = [f f ]. Απόδειξη. Εστω h : f g τότε f f f g γιατί f (d h + hd) = f (f g) d f h + hf d = f f f g f f f g. Ομοια αν f g f g g g και λόγω τις μεταβατικότητας έχουμε f f g g Πρόταση 2.2.9. Εστω C και C είναι δυο αλυσιδωτά σύμπλοκα. (i) Μια αλυσιδωτή απεικόνιση f : C C επάγει μια απεικόνιση H(f) : H( C) H( C ) (ii) Αν f g τότε H(f) = H(g). (iii) Αν C f C g C είναι αλυσιδωτές συναρτήσεις, τότε H(gf) = H(g)H(f). Απόδειξη. Ισχύει fd = d f. Άρα, αν x Z n ( C), τότε d f(x) = fd(x) = 0 και συνεπώς f(x) Z n ( C ). Ομοια αν y B n+1 ( C), τότε υπάρχει y C n+1 έτσι ώστε y = d(y ) f(y) = fd(y ) = d f(y ) B n+1 (C ). Εστω h : f g. Θα δείξουμε ότι H(f) = H(g). Συμβολίζουμε με f την H(f) και με g την H(g). Από τον ορισμό έχουμε d n+1 d n C n+1 C n C n 1 h n d n+1 g f h n 1 d n C n+1 C n C n 1 Επίσης έχουμε f : H n ( C) H n ( C ), x + B n+1 ( C) f(x) + B n+1 ( C ), g : H n ( C) H n ( C ), x + B n+1 ( C) g(x) + B n+1 ( C ).

2.2 Αλυσιδωτα Συμπλοκα (Chain Complexes) 21 Θέλουμε να δείξουμε ότι f n g n = d n+1h n + h n 1 d n f = g Εχουμε f (x + B n+1 ( C)) = f(x) + B n+1 ( C ) = g(x) + d n+1h n (x) + h n 1 d n (x) + B n+1 ( C ) = g(x) + d n+1h n (x) + B n+1 ( C ) = g(x) + B n+1 ( C ) Η τρίτη ισότητα ισχύει γιατί d n (x) = 0. Άρα f = g Η τελευταία σχέση είναι αποτέλεσμα των ορισμών. Πόρισμα 2.2.10. Μία ομοτοπική ισοδυναμία f : C C επάγει έναν ισομορφισμό f n : H n ( C) H n ( C ) για κάθε n. Παρατήρηση 2.2.11. Η αβελιανή ομάδα κλάσεων ομοτοπίας των αλυσιδωτών απεικονίσεων C C θα γράφεται ως [ C, C ]. Συχνά είναι χρήσιμο να παρουσιάζεται η [ C, C ] ως η μηδενική ομολογική ομάδα, του συμπλόκου συναρτήσεων function complex Hom R ( C, C ) Ορισμός 2.2.12 (σύμπλοκο συναρτήσεων(function complex) ). Hom R ( C, C ) n είναι το σύνολο των διαβαθμισμένων module ομομορφισμών βαθμού n από το C στο C. Ετσι Hom R ( C, C ) n = q Z Hom R (C q, C q+n). Ο συνοριακός τελεστής D n : Hom R ( C, C ) n Hom R ( C, C ) n 1 ορίζεται ως D n (f) = d f ( 1) n fd. Το πρόσημο δίνει D 2 = 0. Επίσης είναι συμβατό με άλλες καθιερωμένες συμβάσεις προσήμου. Hom R ( C, C ) n είναι το σύνολο των διαβαθμισμένων module ομομορφισμών βαθμού n από το C στο C. Ετσι Hom R ( C, C ) n = q Z Hom R (C q, C q+n). Ο συνοριακός τελεστής D n : Hom R ( C, C ) n Hom R ( C, C ) n 1 ορίζεται ως D n (f) = d f ( 1) n fd. Το πρόσημο εδώ δίνει D 2 = 0. Επίσης είναι συμβατό με άλλες καθιερωμένες συμβάσεις προσήμου. Ορισμός 2.2.13 (n-οστή Εναιώρηση). Θεωρούμε το σύμπλοκο (Σ n C, Σ n d) που ορίζεται ως εξής: (Σ n C) p = C p+n, Σ n d = ( 1) n d. Αυτό το σύμπλοκο ονομάζεται το n-οστή εναιώρηση (n-fold suspention) του C. Αν n = 1, γράφουμε Σ C αντί για Σ 1 C. Παρατήρηση 2.2.14. παρατηρούμε ότι [ C, C ] n = [Σ n C, C ]. Τότε έχουμε H n (Hom R ( C, C )) = [ C, C ] n. Τα στοιχεία του [, ] n ονομάζονται κλάσεις ομοτοπίας των chain απεικονίσεων βαθμού n. Ορισμός 2.2.15. Μια αλυσιδωτή απεικόνιση ονομάζεται ασθενής ισοδυναμία εάν H(f) : H( C) H( C ) είναι ισομορφισμός. Πρόταση 2.2.16. Κάθε ομοτοπική ισοδυναμία είναι και ασθενής ισοδυναμία. Απόδειξη. Είναι άμεση συνέπεια του Πορίσματος 2.2.10. Ορισμός 2.2.17. (i) Ενα αλυσιδωτό σύμπλοκο C ονομάζεται συσταλτό (contractible) εάν είναι ομοτοπικά ισοδύναμο με το μηδενικό σύμπλοκο ή ισοδύναμα, εάν id C 0. Μια ομοτοπία από το id C στο 0 καλείται συσταλτή ομοτοπία ή συστολή.

22 Αλυσιδες και Modules (ii) Ενα αλυσιδωτό σύμπλοκο C ονομάζεται άκυκλο (acyclic) αν H( C) = 0. Παρατήρηση 2.2.18. Κάθε συσταλτό αλυσιδωτό σύμπλοκο είναι άκυκλο. Παράδειγμα. Μια βραχεία ακριβής ακολουθία από R-modules 0 A f B g C 0 είναι ένα άκυκλο αλυσιδωτό σύμπλοκο. Αν το σύμπλοκο είναι συσταλτό, τότε η συστολή δίνει μια συνάρτηση h : C B έτσι ώστε 1 C = gh. Άρα η ακολουθία είναι διασπάσιμη. Από την άλλη μεριά, αν η ακολουθία είναι διασπάσιμη, τότε έχουμε διασπάσεις s : C B και σ : B A. Μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτές οι συναρτήσεις ορίζουν μια ομοτοπία από την ταυτοτική στην μηδενική συνάρτηση. Άρα μια βραχεία ακριβής ακολουθία είναι πάντα ένα άκυκλο αλυσιδωτό σύμπλοκο αλλά είναι συσταλτό αν και μόνο αν είναι διασπάσιμη. Συνεπώς το σύμπλοκο είναι άκυκλο αλλά δεν είναι συσταλτό. 0 Z.2 Z p Z 2 0 Πρόταση 2.2.19. Το C είναι συσταλτό αν και μόνο αν είναι άκυκλο και κάθε βραχεία ακριβής ακολουθία 0 Z n+1 C n+1 d Zn 0 είναι διασπάσιμη, όπου η d επάγεται από την d. Απόδειξη. Εστω C ένα άκυκλο αλυσιδωτό σύμπλοκο. Τότε H( C) = 0 Z n = B n+1. Αν h είναι μια συσταλτή ομοτοπία, θα ισχύει id C 0 d h + hd = id c 0 = id C Επομένως η (h Z) : Z C διασπά την επί απεικόνιση d : C Z, όπως φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα 0 Z n+1 C n+1 Z n 0 id C h id C h d 0 Z n+1 C n+1 Z n 0 όπου h = (h Z) και id C = (id C Z). Αντιστρόφως, υποθέτουμε πως έχουμε μια διάσπαση s : Z C, όπου C = Kerd Im(s) = Z Im(s) Στην συνέχεια παίρνουμε μια συσταλτή ομοτοπία h : C C θέτοντας h Z = s και h Im(s) = 0. Επομένως 0 Z n+1 C n+1 C n 0 id C (h Z) id C (h Z) 0 Z n+1 ker d Im(s) C n 0 και έτσι id C 0 d

2.2 Αλυσιδωτα Συμπλοκα (Chain Complexes) 23 Πρόταση 2.2.20. Μια βραχεία ακριβής ακολουθία 0 C i C π C 0 από αλυσιδωτά σύμπλοκα, δίνει μια επιμήκης (long) ακριβή ακολουθία με ομολογίες:... H n ( C ) H(i) H n ( C) H(π) H n ( C ) θ H n 1 ( C )... Οι απεικονίσεις H(i),H(π) επάγονται μόνο από τις i, π και ο θ είναι ο συνδετικός ομομορφισμός, όπως στο λήμμα 2.1.11. Ο «συνδετικός ομομορφισμός» θ είναι φυσικός, με την έννοια ότι ένα μεταθετικό διάγραμμα: 0 C C C 0 h f g 0 D D D 0 Οδηγεί σε ένα μεταθετικό «τετράγωνο»: H n ( C ) h θ H n 1 ( C ) f H n (D ) θ H n 1 (D ) Απόδειξη. Από την υπόθεση έχουμε το παρακάτω μεταθετικό διάγραμμα με τις οριζόντιες γραμμές ακριβείς ακολουθίες. H n(i) 0 C n C n C d n H n 1(i) H n(π) 0 C n 1 C n 1 C n 0 d n d n H n 1(π) n 1 0. Από το λήμμα του φιδιού 2.1.11, παίρνουμε τις παρακάτω ακριβείς ακολουθίες για όλα τα n: 0 ker(d n) Hn(i) ker(d n ) Hn(π) ker(d n), coker(d n) Hn(i) coker(d n ) Hn(π) coker(d n) 0, Επομένως έχουμε το παρακάτω μεταθετικό διάγραμμα με ακριβείς τις οριζόντιες ακολουθίες: H n(i) coker(d n) coker(d n ) coker(d n) 0 d n H n 1(i) H n(π) d n d n H n 1(π) 0 ker(d n 1) ker(d n 1 ) ker(d n 1). Εφαρμόζοντας το λήμμα του φιδιού 2.1.11, παίρνουμε την επιθυμητή ακριβή ακολουθία. Πόρισμα 2.2.21. Ο εγκλεισμός i : C C είναι μια ασθενής ισοδυναμία αν και μόνο αν το C είναι άκυκλο.

24 Αλυσιδες και Modules Ορισμός 2.2.22 (Κώνος απεικόνισης). Ο κώνος απεικόνισης (mapping cone) του f : ( C, d ) ( C, d) ορίζεται ως το σύμπλοκο ( C, d ) με C = C Σ C = C n C n+1 (ως graded module) και d (c, c ) = ( d c, fc + dc). Σε σημειογραφία πινάκων, έχουμε: [ ] d d 0 = f d π.χ.: υποθέτουμε πως δίνονται τα παρακάτω αλυσιδωτά σύμπλοκα με αλυσιδωτή απεικόνιση f: d d n+1... A n+1 A n A n 1... d n d n 1 f n+1 f n f n 1 d d n+1 d n d n 1... B n+1 B n B n 1... τότε ο κώνος απεικόνισης θα είναι C = A ΣB = A n B n+1 και το διαφορικό θα δίνεται ως: [ ] [ ] [ ] d 0 a d d(a) = f d = b f(a) + d (b) για a A, b B. Το διαφορικό θα είναι τάξης δύο γιατί: [ ] [ ] [ ] [ ] d 0 d 0 d f d f d = 2 0 0 0 df d f d 2 = 0 0 Πρόταση 2.2.23. Εστω f : C C να είναι αλυσιδωτή απεικόνιση με κώνο απεικόνισης C. Τότε υπάρχει μια επιμήκης ακριβής, ομολογική ακολουθία:... H n ( C ) H(f) H n ( C) H(f) H n ( C ) θ H n 1 ( C )... Συγκεκριμένα η f είναι ασθενής ισοδυναμία αν και μόνο αν C είναι άκυκλο. Απόδειξη. C = C Σ C = C n C n+1 με διαφορικό d όπως ορίστηκε παραπάνω. Επομένως, από το διαβαθμισμένο module που παράγει ο κώνος απεικόνισης, μπορούμε να κατασκευάσουμε την βραχεία ακριβή ακολουθία: 0 C n+1 C n C n+1 C n 0 και εφαρμόζοντας ξανά το λήμμα του φιδιού κατασκευάζουμε την επιμήκης ομολογική και ακριβή ακολουθία της πρότασης. Τώρα θα αποδείξουμε το δεύτερο σκέλος της πρότασης. ( )Αν ο κώνος απεικόνισης είναι άκυκλος, τότε προφανές από το πόρισμα 2.2.21. ( )Αν f είναι ασθενής ισοδυναμία, τότε θα υπάρχει μία f τ.ω. H(f) : H( C ) H( C) να είναι ισομορφισμός και επομένως, θ H(f) H(f) είναι ισομορφισμός (όπου θ είναι ο συνδετικός ομομορφισμός όπως έχει οριστεί νωρίτερα). Ομως επειδή η ομολογία H(C n+1 ) = x + B(C) = x + C, x Z(C) έχει μόνο ένα στοιχείο, πρέπει το C να είναι άκυκλο. Πρόταση 2.2.24. Μια αλυσιδωτή απεικόνιση f : C C είναι ασθενής ισοδυναμία ανν ο κώνος απεικόνισής της, C είναι άκυκλος.

2.3 Ελευθερες Αναλυσεις (free resolutions) 25 Απόδειξη. Από πρόταση 2.2.23, μπορούμε να φτιάξουμε την επιμήκη ακριβή ακολουθία ομολογιών. Θα έχουμε δηλαδή... H(f) H n ( C ) H(f) H n ( C ) H(f) H n ( C) θ H n 1 ( C )... και εφόσον ο κώνος της f, C είναι άκυκλος H(C ) = 0 εξ ορισμού. Επομένως οι ακριβής ακολουθία θα πάρει την μορφή 0 H n ( C ) Hn(f) H n ( C) 0 για όλα τα n. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας και ο συ-πυρήνας του H n (f) είναι τετριμμένοι για κάθε n, άρα ο H n (f) είναι ισομορφισμός για όλα τα n. Επομένως η f είναι ασθενής ισοδυναμία. Παρατήρηση 2.2.25. Ειδική περίπτωση της παραπάνω πρότασης είναι η πρόταση: Μια αλυσιδωτή απεικόνιση f : C C είναι ομοτοπική ισοδυναμία αν και μόνο αν ο κώνος απεικόνισής της C είναι συσταλτός. 2.3 Ελεύθερες Αναλύσεις (free resolutions) Ορισμός 2.3.1. Ενα υπο-module ενός R-module, ορίζεται ως μια προσθετική υποομάδα N M η οποία είναι κλειστή υπό την δράση του R. Επομένως: (i) 0 N (ii) N +N = N (κλειστό στην πρόσθεση: N +N N όμως αυτό είναι ισοδύναμο του N + N = N γιατί 0 N) (iii) RN = N (N κλειστό υπό τον πολλαπλασιασμό με στοιχεία του R: RN N. Αυτό είναι ισοδύναμο του RN = N εφόσον 1 R) Πρόταση 2.3.2. Αν N είναι ένα υπο-module του M, τότε το σύνολο των προσθετικών συμπλόκων: σχηματίζει ένα R-module. M/N = {x + N x M} Πρόταση 2.3.3. Αν f : M L είναι ένας ομομορφισμός R-module τότε: kerf είναι υπο-module του M. imf είναι υπο-module του L. imf = M/kerf. Ορισμός 2.3.4 (Ελεύθερες αναλύσεις). Εστω R ένας δακτύλιος (μεταθετικός με μονάδα) και M ένα (αριστερό) R-module. Μια ανάλυση του M είναι μια ακριβής ακολουθία από R-modules:... F 2 2 1 ε F1 F0 M 0 Αν κάθε F i είναι ελεύθερο τότε η ακριβής ακολουθία ονομάζεται ελεύθερη ανάλυση.

26 Αλυσιδες και Modules Παρατήρηση 2.3.5. (i) Υπάρχουν 2 χρήσιμοι τρόποι να παρουσιάσει κανείς μια ανάλυση ως αλυσιδωτό σύμπλοκο. Ενας είναι να θεωρηθεί η ίδια η ανάλυση ως ένα άκυκλο αλυσιδωτό σύμπλοκο. Αυτό θα το ονομάζουμε «επαυξημένο αλυσιδωτό σύμπλοκο» (augmented chain complex) ή επαύξηση. Ο δεύτερος τρόπος είναι να θεωρήσουμε ένα μη-αρνητικό αλυσιδωτό σύμπλοκο F = (F i, i ) i 0 και να δούμε την ε : F M ως μια απεικόνιση αλυσίδων (chain map).στην δεύτερη περίπτωση το ότι έχουμε ακριβή ακολουθία, υποδηλώνει πως η ε είναι ασθενής ισοδυναμία. (ii) Στην περίπτωση που υπάρχει ακέραιος τ.ω. F i = 0 για i > n, θα λέμε ότι η ανάλυση είναι μήκους n, και θα παραλείπονται όλα τα μηδενικά τα οποία υπονοούνται. Παρατήρηση 2.3.6. Ελεύθερες αναλύσεις υπάρχουν για οποιοδήποτε module M, και μπορούν να κατασκευαστούν βήμα προς βήμα ως εξής: (i) επιλέγουμε έναν επιμορφισμό ε : F 0 M με F 0 να είναι ελεύθερο (ii) στην συνέχεια επιλέγουμε έναν επιμορφισμό F 1 kerε με F 1 ελεύθερο (iii) συνεχίζουμε όμοια Το αρχικό τμήμα F 1 F 0 M 0 μιας ελεύθερης ανάλυσης, είναι μια παράσταση του M με γεννήτορες και σχέσεις. 2.4 Ομάδες Δακτύλιοι (group rings) Ορισμός 2.4.1 (Ομάδες δακτύλιοι). Εστω G μια ομάδα και R ένας δακτύλιος. Συμβολίζουμε με RG το ελεύθερο R-module που παράγεται από την ομάδα G. Συνεπώς κάθε στοιχείο του RG γράφεται με μοναδικό τρόπο στην μορφή g G (a g)g, όπου a g R και a g = 0 για σχεδόν όλα τα g. Ο πολλαπλασιασμός της G εκτείνεται μοναδικά στο R-διγραμμικό γινόμενο RG RG RG. Αυτό κάνει το RG δακτύλιο και ονομάζεται ομάδα δακτύλιος (group ring) Παρατήρηση 2.4.2. Εστω η ομάδα δακτύλιος R[G], όπου R είναι δακτύλιος και G ομάδα. Και έστω δύο στοιχεία m = g G (m g)g και k = g G (k g)g του R[G] με m g, k g R. Τότε η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ορίζονται ως: m + k = g G (m g )g + (k g )g = g + k g )g g G g G(m και mk = ( (m g1 )g 1 )( (k g2 )g 2 ) = (m g1 )(k g2 )g 1 g 2 = (l g3 )g 3 g 1 G g 2 G g 1,g 2 G g 3 G όπου l g3 = (m g1 )(k g2 ) = (m g1 )(k g 1 g3) = (m 1 g3g 1 )(k g2 ) 2 g 1g 2=g 3 g 2 g 1 και οι πράξεις όπως ορίζονται παραπάνω, ικανοποιούν τον ορισμό του δακτυλίου.