ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΕΛΕΓΚΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2013 1

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ Ή ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ (SIMPLE INTEREST) 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ (DISCOUNT) 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΙΑ 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ) 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΧΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (ΡΑΝΤΕΣ) 63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΔΑΝΕΙΑ 89 3

4

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τα Μαθηματικά στην Αγορά Οι δραστηριότητες του εμπορίου, της τιμολόγησης, της νομισματοκοπίας, του δανεισμού, αποτέλεσαν μια πλούσια πηγή για τη δημιουργία αφηρημένων εννοιών στα μαθηματικά. Πέρα από την προσωρινή συνωμοσία σιωπής, πολλά είναι γνωστά για την αλληλεπίδραση ανάμεσα στις επιχειρήσεις και τα μαθηματικά. Στο εμπόριο βρίσκουμε τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση για να βρούμε το σύνολο, αφαίρεση για να βρούμε τα ρέστα, πολλαπλασιασμό για αναπαραγωγή, διαίρεση για ίση κατανομή. Λογικά πριν από αυτές τις πράξεις, αν και όχι χρονολογικά, υπάρχει ένας αριθμός από πιο πρωτόγονες έννοιες. Υπάρχει η ανταλλαγή ή η ισοδυναμία: δύο πρόβατα ισοδυναμούν με μια κατσίκα. Υπάρχει μια αφηρημένη απόδοση μιας αφηρημένης μέτρησης της αξίας: καθετί έχει την τιμή του. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται κλάσεις ισοδυναμίας για προϊόντα που έχουν την αυτή τιμή. Τα αφηρημένα αυτά στοιχεία, που αντιπροσωπεύουν τις τάξεις ισοδυναμίας, τα νομίσματα, στην αρχή είχαν τόση αξία, όση και το υλικό από το οποίο ήταν κατασκευασμένα, αλλά βαθμιαία αυτή η αξία τείνει να γίνει συμβολική, καθώς κινούμαστε προς το χαρτονόμισμα, τις επιταγές, τα δάνεια και τα bit στη μνήμη του υπολογιστή. Καθώς κάποιος κινείται από τον αρχαίο κόσμο στις πιο σύγχρονες εποχές, μπορεί να υποδείξει μια πολλαπλότητα πράξεων και εννοιών που εισέρχονται στα μαθηματικά άμεσα από την εμπειρία του χρήματος και ενισχύονται με τη χρήση αυτής της εμπειρίας. Οι αλγόριθμοι της αριθμητικής, δημιουργήθηκαν κάτω από την επίδραση των επιχειρήσεων και βρίσκονται σε αναπροσαρμογή. Οι αλγόριθμοι που διδάσκονται στο δημοτικό έχουν μόλις και μετά βίας ζωή εκατό ετών. Ποιός ξέρει πώς θα κάνουν πράξεις τα παιδιά της επόμενης γενιάς, όταν θα έχουν στη διάθεσή τους υπολογιστές τσέπης ή κάτι καλύτερο. Η ιδέα του τόκου, του ανατοκισμού, της έκπτωσης, έχουν αναλογίες και εφαρμογές στον απειροστικό λογισμό και από εκεί σε μια ποικιλία θεωριών της αύξησης. ( Από το βιβλίο: «Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ» των:p. J. DAVIS - R. HERSH) 5

6

EIΣΑΓΩΓΗ Τα μαθηματικά χωρίζονται σε θεωρητικά ή «καθαρά μαθηματικά» και εφαρμοσμένα μαθηματικά. Τα Οικονομικά μαθηματικά, είναι κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών και ασχολούνται με τη μαθηματική έκφραση και επίλυση των διαφόρων προβλημάτων της Οικονομικής Επιστήμης. Χωρίζονται σε δύο βασικούς τομείς: -Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά -Οικονομετρία Τα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ή Μαθηματικά Των Οικονομικών Συναλλαγών ασχολούνται με τη λύση των προβλημάτων που δημιουργούνται από τις εμπορικές πράξεις και τις οικονομικές συναλλαγές καθώς και με την αξιολόγηση επενδύσεων. Υποδιαιρούνται σε δύο κλάδους: Ι. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΙΣΤΕΩΣ ΙΙ. ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Στο μάθημα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά, θα ασχοληθούμε με τα Μαθηματικά πίστεως, και πιο συγκεκριμένα με τα Μαθηματικά των Βραχυπρόθεσμων αλλά και Μακροπρόθεσμων Οικονομικών Συναλλαγών χωρίς κίνδυνο: -Απλή κεφαλαιοποίηση (καταθέσεις προεξοφλήσεις) -Σύνθετη κεφαλαιοποίηση (ανατοκισμός) -χρηματικές ροές (ράντες) - δάνεια 7

Στόχος του μαθήματος είναι να μελετηθεί η μεταβολή των κεφαλαίων σε σχέση με το χρόνο στις παραπάνω συναλλαγές και να διαπιστωθεί η χρονική αξία του χρήματος. Υπάρχει ακόμα ένας κλάδος των χρηματοοικονομικών μαθηματικών, τα Μαθηματικά των Οικονομικών Συναλλαγών, που εμπεριέχουν κίνδυνο (π.χ. Χρηματιστήριο ). Αυτός ο κλάδος απαιτεί τη χρήση εκλεπτυσμένων μαθηματικών μοντέλων, που βασίζονται σε πιθανοθεωρητικές μεθόδους προκειμένου να γίνει ανάλυση και περιγραφή της συμπεριφοράς των αγορών καθώς και προσδιορισμός των αναμενομένων τιμών (πρόβλεψη). 8

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Χρήμα: Το χρήμα επινοήθηκε για να διευκολυνθεί η ανταλλαγή των διαφόρων αγαθών, που παράγονται με τον καταμερισμό εργασίας στις οργανωμένες κοινωνίες των ανθρώπων. Και είναι χρήμα : το οικονομικό αγαθό, που χρησιμεύει σαν μέσο για να γίνονται οι συναλλαγές, αλλά είναι και μέτρο αποτίμησης της αξίας όλων των άλλων αγαθών. Με τη μεσολάβηση του χρήματος, η ανταλλαγή των διαφόρων αγαθών, χωρίστηκε σε δύο πράξεις, την αγορά και την πώληση, που αποτελούν τη συναλλαγή. Σαν χρήμα, οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν κατά καιρούς διάφορα αγαθά, όπως δημητριακά, ζώα, λάδι, αλάτι, κοχύλια κ.α. για να καταλήξουν στα διάφορα πολύτιμα μέταλλα, ασήμι, χρυσό, πλατίνα. Επειδή όμως με την πάροδο του χρόνου, τα πολύτιμα μέταλλα φθείρονται, ενώ παράλληλα υπήρξε κατά καιρούς δυσπιστία για τη γνησιότητα τους, επινοήθηκαν τα χαρτονομίσματα, και στην εποχή μας έχει προστεθεί και το "πλαστικά χρήμα" με τις διάφορες πιστωτικές κάρτες που εκδίδουν οι τράπεζες. Η βασική μονάδα με την οποία μετριέται το χρήμα σε κάθε χώρα, λέγεται νόμισμα ή νομισματική μονάδα. Στα Οικονομικά μαθηματικά, η έννοια του χρήματος ταυτίζεται με την έννοια του κεφαλαίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ (Κ) ή () (Capital) λέγεται κάθε χρηματικό ποσό ή άλλο αγαθό, το οποίο όταν δανεισθεί ή αποταμιευθεί παράγει νέο χρηματικό ποσό και γενικότερα έχει παραγωγική δυνατότητα. Δηλαδή χρήματα που φυλάσσονται κλεισμένα σε χρηματοκιβώτιο και δεν χρησιμοποιούνται, ή που δανείζονται χωρίς τόκο σε κάποιον, δεν αποτελούν κεφάλαιο. ΤΟΚΟΣ (INTEREST) (I) είναι η αμοιβή που παίρνει ο δανειστής από το δανειζόμενο, επειδή ο δεύτερος θα χρησιμοποιήσει ή θα επενδύσει το κεφάλαιο του πρώτου, για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Γενικότερα είναι η αύξηση του κεφαλαίου που επιτυγχάνεται όταν γίνει χρήση της παραγωγικής του δυνατότητας. Ο τόκος επίσης δίνεται και σαν ασφάλιστρο του κεφαλαίου. Το μέγεθος του τόκου που παράγεται κατά τον τοκισμό ενός κεφαλαίου εξαρτάται: Από το μέγεθος του τοκιζόμενου κεφαλαίου Από το χρονικό διάστημα για το οποίο τοκίζεται το κεφάλαιο. Το χρονικό αυτό διάστημα, λέγεται Χρόνος ( t ) στα μαθηματικά πίστεως. 9

Από έναν συντελεστή τόκου (Interest rate), ο οποίος λέγεται Επιτόκιο (i). Σαν επιτόκιο ορίζουμε τον τόκο κεφαλαίου μιας νομισματικής μονάδας, για μια ορισμένη χρονική περίοδο. Στην Ελλάδα το επιτόκιο εκφράζει τον τόκο των 100 Ευρώ σε ένα έτος. Το χρησιμοποιούμε στο υπολογισμό του τόκου ενός κεφαλαίου, με τη μορφή ποσοστού επί τοις εκατό π.χ. α% δηλαδή υπό μορφή κλάσματος της μορφής α/100, όπου α είναι ένας φυσικός ή δεκαδικός αριθμός. Το επιτόκιο, ανάλογα με τη χρονική περίοδο ( έτος, εξάμηνο, κ.λπ.) στην οποία αναφέρεται, ονομάζεται ετήσιο, εξαμηνιαίο, τριμηνιαίο κ.λπ. Το επιτόκιο διακρίνεται επίσης σε νόμιμο, συμβατικό και προεξοφλητικό. α) Νόμιμο είναι το ανώτατο επιτόκιο που καθορίζει κάθε φορά ο νόμος για τις οικονομικές συναλλαγές. Η συναλλαγή με επιτόκιο ανώτερο του νόμιμου, χαρακτηρίζεται τοκογλυφία και τιμωρείται από το νόμο(άρθρο 404 του ποινικού κώδικα). β) Συμβατικό λέγεται το επιτόκιο που καθορίζεται με συμφωνία μεταξύ των συμβαλλομένων και δεν μπορεί να υπερβεί το νόμιμο. γ) Προεξοφλητικό λέγεται το επιτόκιο που καθορίζει η πολιτεία για τις προεξοφλήσεις γραμματίων και συναλλαγματικών που γίνονται από τις τράπεζες. Το ύψος του καθορίζεται κάθε φορά από το Διοικητικό Συμβούλιο της Εκδοτικής Τράπεζας ( Τράπεζα Ελλάδος ). Παρατήρηση: Το επιτόκιο μεταβάλλεται κατά τόπο, χρόνο και οφείλεται και εξαρτάται: α) από την πίστη του δανειζομένου: εάν είναι μικρή, το επιτόκιο είναι υψηλό, γιατί σ' αυτό περιλαμβάνεται και ποσοστό ασφαλίσεως. β) από το νόμο της προσφοράς και της ζήτησης: εάν η ζήτηση σε μια εποχή είναι πολύ μεγάλη, σε σχέση με την προσφορά, το επιτόκιο αυξάνεται. Αντιθέτως μειώνεται. γ) από την πολιτική και οικονομική κατάσταση της χώρας. Όταν ο δανειστής είναι τράπεζα, τότε το βασικό επιτόκιο δεν είναι η μοναδική παροχή που καταβάλλει ο δανειζόμενος. Η τράπεζα υπολογίζει επίσης: -Την προμήθεια της, -τα μεσιτικά, τα συμβολαιογραφικά δικαιώματα, -τα τέλη χαρτοσήμου και τους φόρους. Υπάρχουν δύο παραδοχές από μαθηματικής απόψεως για τον υπολογισμό του τόκου (δύο είδη κεφαλαιοποίησης): 10

Ι. Ότι το κεφάλαιο παράγει τόκο μόνο κατά τη λήξη του συνολικού χρονικού διαστήματος τοκισμού και όχι ενδιάμεσα (τοκισμός με απλό τόκο ή απλή κεφαλαιοποίηση ). ΙΙ. Ότι το κεφάλαιο παράγει τόκο κατά τη λήξη κάθε μίας χρονικής περιόδου τοκισμού (έτους, εξαμήνου, τριμήνου κ.λπ.). Ο τόκος αυτός προστίθεται στο κεφάλαιο και την επόμενη χρονική περίοδο τοκίζεται το κεφάλαιο μαζί με τον τόκο της προηγούμενης περιόδου(σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός). Οριακά μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε κάθε χρονική στιγμή το κεφάλαιο μας παράγει τόκο, ο οποίος ενσωματώνεται σ αυτό και το σύνολο παράγει τόκο την αμέσως επόμενη στιγμή και ο νέος τόκος πάλι ενσωματώνεται στο κεφάλαιο και αυτό συμβαίνει συνέχεια(συνεχής παραγωγή τόκου ή συνεχής κεφαλαιοποίηση). Ο τοκισμός με απλό τόκο (απλή κεφαλαιοποίηση) εφαρμόζεται στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, που έχουν συνήθως διάρκεια μέχρι ένα έτος. Τα προβλήματα που λύνονται με το σύστημα της απλής κεφαλαιοποίησης είναι προβλήματα υπολογισμού του απλού τόκου, προβλήματα προεξόφλησης συναλλαγματικών και γραμματίων και προβλήματα ισοδυναμίας τίτλων. Ο τοκισμός με σύνθετο τόκο ή σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός εφαρμόζεται στις μακροπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, που είναι συνήθως διάρκειας πέραν του έτους, για τη λύση προβλημάτων ανατοκισμού, χρηματικών ροών και απόσβεσης δανείων (χρεολυσίας). 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ Ή ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ(Simple Interest) 1.1. Απλή κεφαλαιοποίηση ή Απλός τόκος. Όταν ο παραγόμενος τόκος αποδίδεται με οποιοδήποτε τρόπο στο δανειστή στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου τοκισμού και κατά την επόμενη χρονική περίοδο τοκίζεται πάλι μόνο το αρχικό κεφάλαιο και αυτό συμβαίνει συνεχώς, όταν δηλαδή σε όλες τις χρονικές περιόδους τοκίζεται μόνο το αρχικό κεφάλαιο, τότε έχομε τοκισμό με απλό τόκο. Και είδαμε ότι: Τόκος ( Interest ) (Ι) είναι η παραγόμενη αξία στη μονάδα του χρόνου (t) ( time ) από ένα συγκεκριμένο Kεφάλαιο (Capital) και με ορισμένο επιτόκιο (interest rate) (i). Άρα λοιπόν το μέγεθος του απλού τόκου (Ι) είναι ανάλογο με τα τρία άλλα ποσά: α) το Kεφάλαιο ( K ή C ) β) το χρόνο ( n ή t ) γ) το επιτόκιο ( i ) Δηλαδή : Κεφάλαιο μιας νομισματικής μονάδας (Κ=1), που τοκίζεται για μια χρονική περίοδο με επιτόκιο i, παράγει τόκο i. Κεφάλαιο 1 νομισματικής μονάδας που τοκίζεται για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i, παράγει τόκο n. i. Κεφάλαιο Κ νομισματικών μονάδων, που τοκίζεται για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i, θα δώσει τόκο: Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται και με τα σύμβολα: Παρατηρήσεις: I = Κ n i I =C t i 1. Κατά την εφαρμογή του παραπάνω τύπου πρέπει να προσέχουμε ώστε ο χρόνος n να εκφράζεται στην ίδια χρονική περίοδο στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο, δηλαδή αν το επιτόκιο είναι ετήσιο, εξαμηνιαίο, τριμηνιαίο κ.λπ. πρέπει αντίστοιχα και η διάρκεια τοκισμού να είναι n έτη, n εξάμηνα, n τρίμηνα κ.λπ. 12

2. Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε μήνες, τότε ο τύπος του τόκου θα γίνει: Κ. µ. i Ι = 12 όπου ο αριθμός των μηνών τοκισμού μ, δηλαδή η διάρκεια τοκισμού, εκφράζεται σε κλάσμα του έτους. 3. Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε ημέρες, τότε ο βασικός τύπος του τόκου θα γίνει: Ι = Κν.. i 365 ή Ι = Κν.. i για δίσεκτο έτος 366 όπου ο αριθμός των ημερών τοκισμού ν, εκφράζεται πάλι σε κλάσμα του έτους (έτος πολιτικό). Αν στον παραπάνω τύπο θεωρήσουμε, για διευκόλυνση των υπολογισμών, ότι το έτος περιλαμβάνει 360 ημέρες και κάθε μήνας 30 ημέρες (έτος εμπορικό), ο τύπος γίνεται: Κν.. i I = 360 Επειδή ο τρόπος υπολογισμού με εμπορικό έτος είναι άδικος για τον οφειλέτη, μια συμβιβαστική λύση είναι να θεωρείται ότι το έτος έχει 360 ημέρες, αλλά ο κάθε μήνας να έχει τον πραγματικό αριθμό ημερών του, όπως και στο πολιτικό έτος (έτος μικτό). Ο τύπος είναι πάλι: Κν.. i I = 360 Παρατήρηση. Για τον υπολογισμό των τοκοφόρων ημερών πρέπει να έχομε υπ' όψη μας ότι ενώ η ημέρα της κατάθεσης δεν είναι τοκοφόρος, η ημέρα της ανάληψης είναι τοκοφόρος. Τα χρήματα όμως που δανείζουν οι πιστωτικοί οργανισμοί, τράπεζες κ.λπ. φέρουν τόκο από την ημέρα που δίνονται στον πελάτη. Εφαρμογές: Παράδειγμα 1ο : Πόσο τόκο φέρουν 1000 σε 3 έτη αν τοκιστούν με ετήσιο επιτόκιο 17%; Λύση: I =K n i = 1000 x 3 x 0,17 = 510. 13

Παράδειγμα 2ο: Πόσο τόκο φέρουν 20.000 σε 3 μήνες, αν τοκιστούν με ετήσιο επιτόκιο 15%; Λύση: K μ i 20.000 x 3 x 0,15 I = --------- = ----------------------- = 750. 12 12 Παράδειγμα 3ο: Πόσο τόκο φέρουν 1800 σε 90 ημέρες αν τοκιστούν με ετήσιο επιτόκιο 15%; Λύση: α) για έτος πολιτικό : K ν i 1800 x 90 x 0,15 Ι = -------- = --------------------- = 66,575. 365 365 β) για έτος εμπορικό: K ν i 1800 x 90 x 0,15 Ι= -------- = --------------------------- = 67,50. 360 360 Παράδειγμα 4ο : Πόσο τόκο έφεραν 15.000 αν τοκίστηκαν από 17-2-11 έως 24-5-11 προς 16% για μικτό και εμπορικό έτος; Λύση: α) για μικτό έτος: Από 17 Φεβρουαρίου μέχρι 24 Μαΐου: ν= 11+31+30+24=96 ημέρες. Κ ν i 15.000 x 96 x 0,16 Ι=------ = -------------------------- = 640. 360 360 β) για εμπορικό έτος: Από 17 Φεβρουαρίου μέχρι 17 Μαΐου μεσολαβούν 90 ημέρες και από 17 έως 24 Μαΐου επτά ημέρες. Άρα συνολικά οι τοκοφόρες ημέρες είναι: ν=90+7=97 ημέρες. K v i 15.000 x 97 x 0,16 I= ------- = --------------------------- = 646,66. 360 360 Παράδειγμα 5ο : Τοκίζει κάποιος το 1/6 του κεφαλαίου του προς 18% και το υπόλοιπο προς 15%. Το δεύτερο μέρος φέρει ετήσιο τόκο μεγαλύτερο του πρώτου κατά 9.500 Ευρώ. Να βρεθεί το κεφάλαιο. 14

Λύση: Έστω Κ 1 το πρώτο μέρος του κεφαλαίου και Κ 2 το δεύτερο και Ι 1, Ι 2 οι τόκοι. Ι 1 = 1/6Κ x 0,18 x 1 έτος Ι 2 = 5/6Κ x 0,15 x 1 έτος Ι 2 - Ι 1 =9.500. Άρα: 5/6Κ x 0,15-1/6Κ x 0,18 = 9.500. Λύνοντας την εξίσωση θα βρούμε Κ = 100.000. Παράδειγμα 6ο: Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 20.000, που τοκίστηκε με απλό τόκο και με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8% για 3 έτη και 8 μήνες. Λύση: Επειδή ο χρόνος πρέπει να εκφράζεται στην ίδια μονάδα που αναφέρεται το επιτόκιο, μετατρέπουμε το χρόνο σε εξάμηνα: n= 7 6 2 = 6 44 = 3 22 εξάμηνα. Και: Ι = k n i = 20.000 x 3 22 x0,08=11.733,33. Σημείωση: Το παραπάνω πρόβλημα μπορούσε να λυθεί και ως εξής: Nα βρούμε το ανάλογο ετήσιο επιτόκιο του εξαμηνιαίου 0,08, να μετατρέψουμε το χρόνο σε μήνες Κ. µ. i και να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: Ι =, οπότε θα έχουμε: 12 i =0,08x2 =0,16,μ =3x12+18 =44 μήνες. Κ. µ. i Ι = = 12 20.000x44x0,16 12 =11.733,33. Παράδειγμα 7ο: Ποιό κεφάλαιο τοκίστηκε με απλό τόκο και με ετήσιο επιτόκιο 18% και μετά 150 ημέρες έφερε τόκο 6.000. (έτος μικτό); Λύση: Κ ν i 360 Ι 360 x 6.000 I = -------- K = -------- = -------------- = 80.000. 360 v i 150 x 0.18 Παράδειγμα 8ο : Με ποιό ετήσιο επιτόκιο ένα κεφάλαιο 12.000, που τοκίστηκε με απλό τόκο για 18 μήνες έφερε τόκο 2700 ; Λύση: Κ μ i 12 I 12x 2700 I= --------- i = -------- = --------------- = 0,15. 12 Kμ 12.000 x 18 15

Τοκάριθμος - Σταθερός Διαιρέτης Τους υπολογισμούς στην εύρεση του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε ημέρες, διευκολύνουν ο τοκάριθμος και ο σταθερός διαιρέτης: Κν.. i Κν.. i Αν πάρουμε τους τύπους I = και Ι = 360 365 και διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος δια i, θα έχουμε: I = Κ.ν. i / i ή Ι = 360/ i K.ν 360/ i και Ι = Κ.ν. i / i ή Ι = 365/ i K.ν 365/ i To γινόμενο Κν λέγεται Τοκάριθμος και συμβολίζεται με Ν. Το πηλίκο 360/i ή 365 / i λέγεται Σταθερός διαιρέτης και συμβολίζεται με Δ. Τότε ο τύπος γίνεται: Ι = Kν. ή Ι = Ν όπου Δ = 360 i ή Δ = 365. i 1.2. Εύρεση Του Τόκου Πολλών Κεφαλαίων Αν έχουμε πολλά κεφάλαια π.χ. Κ 1,Κ 2...Κ μ, που τοκίζονται αντίστοιχα επί ν 1,ν 2,...ν μ ημέρες με το ίδιο επιτόκιο i, τότε ο συνολικός τόκος θα είναι το άθροισμα των μερικών τόκων τους. Δηλ. Ι = Ι 1 +Ι 2 +Ι 3 +...+ Ι μ ή K 1 ν 1 Κ 2 ν 2 Κ 3 ν 3 Κ μ ν μ Ι = -------- + --------- + ----- +... + ---------- = Δ Δ Δ Δ Ν 1 Ν 2 Ν μ Ν 1 +Ν 2 +... + Ν μ = ------ + ------ +... + ------- = ----------------------- = Δ Δ Δ Δ 1 1 μ 1 μ = ---- ( Ν 1 +Ν 2 +...+Ν μ ) = ------ Νi ή Ι = ---- Ν i. Δ Δ ι=1 Δ ι=1 Μπορεί να γραφεί και: μ 16

Ι= 1 Κ i ν i ι=1 Παράδειγμα 9o: Κάποιος καταθέτει σε μια τράπεζα τα εξής ποσά: την 15η Σεπτεμβρίου 2.000, στις 25 Σεπτεμβρίου 3200, στις 30 Οκτωβρίου 4.000 και στις 15 Νοεμβρίου 3500. Πόσο τόκο θα πάρει στις 31 Δεκεμβρίου; i=15%, έτος μικτό. Λύση: Σ Ο Ν Δ το 1ο κεφ.(κ 1 ) θα τοκισθεί 15 + 31 + 30 + 31 = 107 ημέρες το 2ο κεφ (Κ 2 ) " " 5 + 31 + 30 + 31 = 97 " το 3ο κεφ (Κ 3 ) " " 1 + 30 + 31 = 62 " το 4ο κεφ.(κ 4 ) " " 15 + 31 = 46 " Δ =360/ i = 360/0,15 = 2.400. Άρα ο συνολικά τόκος θα είναι: 1 4 I = ----- Κi νi = Δ ι=1 1 = ----- (2.000x107+3200x97+3.000x62 +3500x46 )=363,083. 2400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ, ΧΡΟΝΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ ΟΤΑΝ ΔΙΝΕΤΑΙ Ο ΤΟΚΟΣ 1) Ποιό κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο για 5 έτη με επιτόκιο 18% και δίνει τόκο 6750. (απ. 7500 ) 2) Ποιό κεφάλαιο, όταν τοκίζεται προς 9% σε 5 μήνες, δίνει τόκο 2.000 ; (απ. 53333,33 ) 3) Ποιό κεφάλαιο όταν τοκίζεται προς 10% για 80 ημέρες δίνει τόκο 250 ; (έτος μικτό και πολιτικό)(απ.11.250, 11406,25 ) 4) Μετά πόσα έτη κεφάλαιο 40.000, που τοκίζεται με 7% θα δώσει τόκο 3.500 ; ( απ. n = 1.25 έτη) 5) Για πόσους μήνες τοκίσθηκε κεφάλαιο 30.000 με ετήσιο επιτόκιο 9% και έδωσε τόκο 1400 ; (απ. 6 μήνες 6 ημέρες) 6) Μετά πόσες ημέρες κεφάλαιο7200, που τοκίζεται με 8% ετησίως, δίνει τόκο 225 ; ( έτος εμπορικό); (απ. 141 ημέρες) 17

7) Με ποιό επιτόκιο κεφάλαιο 140.000 Ευρώ μετά 2 έτη θα δώσει τόκο 50.400 ; (απ. 18%) 8) Με ποιό επιτόκιο πρέπει να τοκισθεί κεφάλαιο 24.000 επί 16 μήνες για να δώσει τόκο ίσο με το 1/6 της αξίας του;(απ. 12,5%) 9) Αν τα κεφάλαια 10.000, 8.000 και 5.000 τοκισθούν για 90, 80 και 70 ημέρες αντίστοιχα με επιτόκιο10%,με έτος εμπορικό, ποιός είναι ο συνολικός τόκος; (απ.525 ) 10) Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε επί 18 μήνες και έδωσε τόκο το 1/12 της αξίας του. Να βρείτε το επιτόκιο. (απ.5.55%) 1.3. Τελική Αξία Η τελική αξία Κ n ενός κεφαλαίου Κ ο μετά απο n έτη θα είναι: Κ n = K o + I δηλ. K n = K o + K o n i ή K n =K o (1+ni) Δηλαδή η τελική αξία είναι ο n + 1 όρος αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο Κ ο και λόγο K o i. Όταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, η τελική αξία θα είναι Κ μ = Κ ο ( 1 + 12 µ i ) Όταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, η τελική αξία θα είναι: ν K v = K o (1+ i) και K v = K o (1+ 365 ν i) 360 και στον τύπο με τον Τοκάριθμο - Σταθερό διαιρέτη: K ν = K o + Κ 0 ν ν ή K ν = K o (1 + ) Oι παραπάνω τύποι μπορούν να λυθούν ως προς Κ ο και τότε θα δώσουν την παρούσα αξία (αρχικό κεφάλαιο) συναρτήσει της τελικής του αξίας. 18

1.4. Διπλασιασμός Κεφαλαίου Με την τελική αξία ενός τοκιζόμενου κεφαλαίου, σχετίζεται και το πρόβλημα του διπλασιασμού ( τριπλασιασμού κλπ.) ενός κεφαλαίου, όπως φαίνεται παρακάτω: Πρόβλημα: Σε πόσο χρόνο ένα κεφάλαιο διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.λπ. Λύση: Αντικαθιστούμε στον κατάλληλο τύπο, όπου K n = 2K o ή K n = 3K o κ.λπ. Π.χ. Αν θέσουμε στον τύπο: K n = K o (1+ni), K n = 2K o, θα βρούμε n= i 1. Αν θέσουμε στον τύπο:k ν = Ko(1 + ν ), όπου K ν = 2K o, θα βρούμε ν= Δ Επίσης, για Κ ν =3Κο,, θα βρούμε: ν =2Δ. Άρα: Το κεφάλαιο θα διπλασιασθεί σε n= i 1 έτη, ή σε τόσες ημέρες, όσος είναι ο σταθερός διαιρέτης. Το κεφάλαιο θα τριπλασιασθεί σε μέρες ίσες με το διπλάσιο του σταθερού διαιρέτη. 1.5. Εφαρμογές 1) Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε προς 21% για 6 έτη και έγινε μαζί με τους τόκους του 3.390. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιός ο τόκος του; Λύση : Κ μ 3.390 3.390 Κ ο = ---------- = -------------- = ----------- = 1.500. 1+ ni 1+6 x 0,21 2,26 Άρα ο τόκος του θα είναι το υπόλοιπο ποσό: Ι = Κ n - Κ ο = 3.390-1.500 = 1.890. 2) Κεφάλαιο 250.000 τοκίστηκε επί 3 έτη προς 19%. Να βρεθεί η τελική του αξία. Λύση: K n =K o (1+ ni) = 250.000 (1 +3x0,19) =250.000 x 1,57 = = 392.500. 19

3) Κεφάλαιο τοκίστηκε επί 180 ημέρες με έτος μικτό και ετήσιο επιτόκιο 15% και έγινε με τον τόκο του 430.000. Να βρεθεί το κεφάλαιο. Λύση: 360 Κ ν 360 x 430.000 154.800.000 K o = ------------ = ---------------------- = -------------- = 400.000. 360 + v i 360 + 180 x 0,15 387 ή 360 360 Δ = ---------- = ----------- = 2.400 και: ν 15 Δ Κ ν 2.400 x 430.000 Κ ο = --------- = --------------------- = 400.000. Δ + ν 2.400 + 180 4) Κεφάλαιο τοκίσθηκε προς 18% επί 5 μήνες και το τοκοκεφάλαιο τοκίσθηκε πάλι προς 24% και έδωσε μηνιαίο τόκο 4.300. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο; Λύση: 12 Κ μ Κ ο = ---------- 12 +μ i Κ μ μ i Κ μ 1 x 0,24 I = ----------------- = ---------------------------- = 4.300. 12 12 ή 4.300 x 12 K μ = ---------------- = 215.000. 0,24 5) Κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 90 ημέρες και έγινε με τους τόκους του 145.250. Το τοκοκεφάλαιο ξανατοκίσθηκε για άλλες 120 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους του 152.512,5. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο(έτος μικτό). Λύση: Ο τόκος του δεύτερου διαστήματος τοκισμού είναι: 152.512,5 145.250 = 7.262,5. Από τον τύπο του τόκου θα έχουμε: K v i 360x I 360 x 7262, 5 I = --------- ή i = ------------ = ------------------- = 0,15 = 15%. 360 K V 145.250 x 120 Δ= 360/ i =360/0.15 = 2.400. Οπότε το αρχικό κεφάλαιο θα είναι: 20

Κ ν Δ 145.250 x 2.400 348.600.000 K o = ------- = ------------------- = --------------==140.000. Δ + ν 2.400 +90 2.490 1.6. Προκαταβολή τόκου Συμβαίνει πολλές φορές στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, ο δανειστής να κρατήσει προκαταβολικά τον τόκο από το δανειζόμενο, έτσι ώστε ο δανειζόμενος να λάβει το δάνειο μειωμένο κατά τον τόκο. α) Εύρεση ελαττωμένου κεφαλαίου Αν παραστήσουμε με Κ το αρχικό κεφάλαιο που δανείσθηκε ο οφειλέτης για ν ημέρες προς επιτόκιο i και με Κ* το ελαττωμένο κεφάλαιο, δηλαδή το κεφάλαιο που θα εισπράξει ο δανειζόμενος μετά την αφαίρεση του τόκου, τότε: Κ ν Κ*= Κ - ---------- Δ β) Εύρεση του αρχικού κεφαλαίου: Λύνοντας τον προηγούμενο τύπο ως προς Κ, παίρνω τον τύπο που μου δίνει το αρχικό κεφάλαιο, όταν είναι γνωστό το ελαττωμένο: ν Κ* K* K*Δ Κ*= Κ (1 - -----) ή Κ = ----------- = ------------ = --------- Δ ν Δ-ν Δ -ν 1 - ---- ------ Δ Δ Κ* Δ Κ= -------- Δ -ν γ) Εύρεση του τόκου Κ* Δ Επειδή Κ = Κ* + Ι ή Ι = Κ - Κ* = --------- - Κ* Δ - ν Κ*Δ - Κ*(Δ -ν) Κ*ν = ---------------- =-------. Δηλαδή: Δ - ν Δ-ν Κ*ν I = ------- Δ ν 21

Παραδείγματα 1) Στις 20 Φεβρουαρίου, ο έμπορος Χ δανείσθηκε ένα χρηματικό ποσό με τη συμφωνία να το εξοφλήσει την 20η Απριλίου του ίδιου έτους. Ο πιστωτής κράτησε προκαταβολικά τον τόκο του ποσού που δάνεισε προς 30% και ο Χ εισέπραξε 237.500. Ποιό είναι το οφειλόμενο ποσό; Έτος μικτό. Λύση: ν = 9 + 31 + 20 = 60 ημέρες Δ = 360/0,30 = 1.200 Κ* Δ 237.500 x 1200 285.000.000 K = --------- = ---------------------- = -------------- = 250.000. Δ - ν 1.200-60 1140 2) Ο έμπορος Ε δανείσθηκε από τον πιστωτή Π ένα χρηματικό ποσό προς 25% για 90 ημέρες. Ο Π αφού κράτησε προκαταβολικά τον τόκο έδωσε στον Ε 56.250. Να βρεθεί ο τόκος που κράτησε ο πιστωτής και το ποσό που δανείστηκε ο Ε. Έτος εμπορικό. Λύση: Αν i = 0,25 Δ=1440 ν = 90, Κ* το ελαττωμένο κεφάλαιο, ο τόκος θα είναι: Κ* ν 56.250 x 90 5.062.500 I = ---------- = ----------------------- = ---------------= 3.750. Δ - ν 1440-90 1350 Κ = 56.250 + 3.750 = 60.000. 3) Μια βιομηχανική επιχείρηση δανείσθηκε από την Εμπορική Τράπεζα Ελλάδος ένα χρηματικό ποσό για 72 ημέρες προς 25%. Η τράπεζα κράτησε προκαταβολικά τον τόκο του δανεισθέντος ποσού και η επιχείρηση έλαβε τελικά 950.000. Ποιό είναι το ποσό που δανείστηκε η επιχείρηση ; ( έτος μικτό). Λύση: ν= 72 i = 0,25 Δ = 1440 Κ* Δ 950.000 x 1440 1.368.000.000 K = ---------- = ------------------- = -----------------= 1.000.000. Δ - ν 1440-72 1368 4) Ο Α ζήτησε από τον Β δάνειο 730.000, για 120 ημερών με ετήσιο επιτόκιο 20% και συμφωνήθηκε να κρατηθεί ο τόκος προκαταβολικά. Αν χρησιμοποιηθεί έτος πολιτικό, να βρεθεί τι ποσό πήρε στα χέρια του ο Α. Λύση: ν= 120 i = 0,20 Δ =365/0.20 = 1825 Κ ν 730.000x120 87.600.000 K* =Κ - ---- = 730.000 - ------------- = 730.000 - ------------=730.000-48.000= Δ 1825 1825 = 682.000. 22

5) Τι ποσό δανείου πρέπει να συμφωνηθεί ώστε αν κρατηθεί προκαταβολικά ο τόκος με ετήσιο επιτόκιο18% για 120 ημέρες να εισπραχθούν 188.000 ; (έτος μικτό). Λύση: ν= 120 i = 0,18 Δ = 2000 Κ*Δ 188.000 x 2000 376.000.000 K = -------- = ------------------ = ---------------- =200.000. Δ - ν 2000-120 1880 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ 1) Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε προς 21% για 6 έτη και έγινε μαζί με τους τόκους του 3.390. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιός ο τόκος του; (απ. Κ =1.500, Ι=1.890 ) 2) Κεφάλαιο τοκίστηκε επί 180 ημέρες προς 15% και έγινε με τον τόκο του 430.000. Ποιό είναι το κεφάλαιο ; (έτος μικτό). (απ. K = 400.000 ) 3)Κεφάλαιο τοκίσθηκε προς 18% επί 5 μήνες και το τοκοκεφάλαιο τοκίσθηκε πάλι προς 24% και έδωσε μηνιαίο τόκο 4.300. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο; (απ.200.000 ) 4) Κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 90 ημέρες και 145.250. Το ποσό αυτό ξανατοκίσθηκε για άλλες 120 ημέρες και έγινε 152.512,5. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο (έτος μικτό). (απ. i=15%, Ko =140.000 ) 5) Στις 20 Φεβρουαρίου, ένας έμπορος δανείσθηκε ένα ποσό με 30% και με τη συμφωνία να το εξοφλήσει την 20η Απριλίου του ίδιου έτους. Ο πιστωτής κράτησε προκαταβολικώς τον τόκο και ο έμπορος εισέπραξε 237.500. Ποιό είναι το οφειλόμενο ποσό; Έτος μικτό.(απ. K=250.000 ) 6) Ο έμπορος Ε δανείσθηκε από τον πιστωτή Π ένα χρηματικό ποσό προς 25% για 90 ημέρες. Ο Π αφού κράτησε προκαταβολικά τον τόκο έδωσε στον Ε 562.500. Να βρεθεί ο τόκος και το ποσό που δανείστηκε ο Ε. Έτος εμπορικό. (απ. I =37.500, K =600.000 ) 7) Μια βιομηχανία δανείσθηκε ένα χρηματικό ποσό για 72 ημέρες προς25%. Η τράπεζα κράτησε προκαταβολικά τον τόκο και η επιχείρηση έλαβε τελικά 950.000. Ποιό είναι το ποσό που δανείσθηκε η επιχείρηση; (έτος μικτό). (απ. K=1.000.000 ) 8) Ο Α ζήτησε από τον Β δάνειο 730.000, για 120 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 20% και έτος πολιτικό. Αν ο τόκος κρατήθηκε προκαταβολικά, τι ποσό πήρε στα χέρια του ο Α; (απ.682.000 ) 9) Ένας έμπορος πλήρωσε στις 25 Ιανουαρίου 524.000, για τόκους και κεφάλαιο ενός δανείου που είχε πάρει στις 30 Αυγούστου του προηγούμενου έτους με επιτόκιο 12%. Ποιό ήταν το αρχικό χρέος; Έτος μικτό. (απ.500.000 ) 10) Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα ένα ποσό προς 15% και ένα ίσο ποσό προς 18 %. Μετά από 18 μήνες πήρε συνολικά τόκους και κεφάλαιο 299.400.Να βρεθούν τα ποσά που κατέθεσε και οι αντίστοιχοι τόκοι. (απ.120.000, τόκοι 27.000, 32.400 ) 23

11) Ένα κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 80 ημέρες και έγινε με τους τόκους του 208.000. Το ποσό αυτό ξανατοκίσθηκε για άλλες 120 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε 220.480. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο, αν ισχύει έτος μικτό. (απ.200.000 ) 12) Τι ποσό πρέπει να ζητήσει κάποιος σαν δάνειο με ετήσιο επιτόκιο 24% για 150 ημέρες, ώστε αν κρατηθεί προκαταβολικά ο τόκος, να εισπράξει 100.000 ; (απ. 111.111,11 ) 13) Κάποιος κατέθεσε στις 21-3-11ένα κεφάλαιο. Στις 2-9-11 τα χρήματα αυτά είχαν γίνει 213.750. Το ποσό αυτό ξανατοκίστηκε για 160 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε 228.000. Να βρείτε το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο. Έτος μικτό. (απ.200.000, 15%) 14) Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα 250 στις 4 Ιουλίου και 100 στις 20 Οκτωβρίου. Στις 31 Δεκεμβρίου του ιδίου έτους ο συνολικός τόκος στο βιβλιάριο ήταν 29. Να βρεθεί το επιτόκιο. (απ.20%) 15) Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 5.000. Το μεγαλύτερο τοκίσθηκε με επιτόκιο 4% και το μικρότερο με 5%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν και οι ετήσιοι τόκοι τους, θα γίνουν ίσα. Να βρεθούν τα αρχικά κεφάλαια. (απ.525.000,520.000 ) 16) Δύο κεφάλαια τοκίσθηκαν το πρώτο στις 31 Ιανουαρίου και το δεύτερο στις 16 Απριλίου του ιδίου έτους με επιτόκιο 9% και 18% αντίστοιχα. Αν το δεύτερο είναι 2πλάσιο του πρώτου και στις 8 Οκτωβρίου του ιδίου έτους έδωσαν και τα δύο μαζί τελική αξία 582.750,να βρείτε τα δύο κεφάλαια. (απ.180.000, 360.000 ) 17) Κεφάλαιο 1.000 τοκίζεται με επιτόκιο 16% με απλό τόκο. α) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα διπλασιαστεί; β) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα τριπλασιαστεί; (απ. α) 6,25 έτη β) 12,5 έτη) 18) Κάποιος κέρδισε στο λαχείο ένα ποσό και δάνεισε αμέσως τα 6/10 του ποσού με ετήσιο επιτόκιο 24% ενώ το υπόλοιπο το κατέθεσε με ετήσιο επιτόκιο 21% 8 μήνες αργότερα. Πόσα χρήματα κέρδισε, αν 3 χρόνια μετά την κατάθεση πήρε τόκο 11.700 ; (απ. 15.000 ) 19)Κάποιος δάνεισε με απλό τόκο 500.000 με επιτόκιο 24%. Αργότερα μείωσε το επιτόκιο σε 18%. Να βρείτε το χρόνο που μεσολάβησε μέχρι την αλλαγή του επιτοκίου αν μετά από ένα έτος πήρε συνολικά τόκο 97.500. Έτος εμπορικό. (απ. μ=3 μήνες) 20) Ένας πατέρας θέλει να καταθέσει 100.000 με απλό τόκο και επιτόκιο 20% για τα δύο παιδιά του, ηλικίας σήμερα 8 και 13 ετών. Πως πρέπει να μοιράσει το ποσό, ώστε τα δύο μερίδια να δώσουν ίσες τελικές αξίες όταν το κάθε παιδί γίνει 18 ετών; (απ. 40.000 και 60.000 ) 21)Ένας καταθέτης έχει στην τράπεζα 30.000 σ' ένα λογαριασμό με επιτόκιο 15% και 10.000 σε άλλο λογαριασμό με επιτόκιο 18%. Αν μέχρι σήμερα το πρώτο έχει δώσει τόκο 6400 και το δεύτερο 3600, μετά από πόσο χρονικό διάστημα ο συνολικός τόκος που θα έχει δώσει το πρώτο θα είναι διπλάσιος από τον συνολικό τόκο που θα έχει δώσει το δεύτερο. Έτος μικτό. (απ. ν=320 ημέρες) 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ( DISCOUNT ) 2.1. Aξιόγραφα Οι διάφορες οικονομικές συναλλαγές γίνονται κατά ένα μεγάλο μέρος με πίστωση. Σ' αυτή την περίπτωση ο πιστωτής υποχρεώνει τον οφειλέτη να υπογράψει ένα ειδικό νομικό έγγραφο με το οποίο ο τελευταίος υπόσχεται ή αποδέχεται να πληρώσει τα χρήματα που οφείλει μετά από ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και σε συγκεκριμένο τόπο. Το έγγραφο αυτό που θα υπογράψει ο οφειλέτης ή και οι δύο είναι ένα αξιόγραφο. Ο ορισμός του αξιόγραφου σύμφωνα με τον BRUNNER είναι: ΑΞΙΟΓΡΑΦΟ είναι το έγγραφο εκείνο το οποίο είναι συνδεδεμένο με ένα δικαίωμα και η σύνδεση αυτή είναι τόσο στενή ώστε το δικαίωμα κυριολεκτικά ενσωματώνεται ( εγχαρτώνεται ) στο έγγραφο με τέτοιο τρόπο που για να ασκήσει κανείς το δικαίωμα αυτό είναι απαραίτητο να κατέχει το έγγραφο και για να μεταβιβάσει το δικαίωμα πρέπει να παραδώσει και το έγγραφο. Για να εξηγήσουμε λίγο καλύτερα τις έννοιες του παραπάνω ορισμού πρέπει να πούμε ότι: Έγγραφο είναι μια γραφή ανθρώπινης δήλωσης πάνω σε κινητό πράγμα με σταθερή επιφάνεια που να έχει υπογραφή και χρονολογία. Η γραφή πρέπει να είναι σε αντικειμενικά διαμορφωμένη γλώσσα (όχι συμβολική ή υποκειμενική ) και να μπορεί κάποιος να την δει και να τη διαβάσει εύκολα. Η υπογραφή πρέπει να είναι ιδιόχειρη. Υπογραφή με μηχανικό μέσο ( σφραγίδα κ.λπ.) επιτρέπεται μόνο σε ανώνυμους τίτλους που εκδίδονται σε πολλά αντίτυπα ( π.χ. τραπεζογραμμάτια, μετοχές ανώνυμων εταιρειών, ομολογίες κ.λπ.) Δικαίωμα. Το δικαίωμα που ενσωματώνεται στο έγγραφο είναι ιδιωτικού δικαίου και μπορεί να είναι ενοχικό, δηλαδή να περιέχει νομική υποχρέωση, να είναι εμπράγματο δηλαδή να αναφέρεται σε πράξη ή και συμμετοχικό δηλαδή να αναφέρεται σε συμμετοχή σε πράξη. Τα διάφορα ένσημα (γραμματόσημα, χαρτόσημα κ.λπ.) στα οποία το ενσωματωμένο δικαίωμα είναι δημοσίου δικαίου δεν θεωρούνται αξιόγραφα. Αντίθετα οι ομολογίες κρατικών δανείων είναι αξιόγραφα γιατί ενσωματώνουν ιδιωτικό δικαίωμα παρόλο που υπάρχουν έναντι του Δημοσίου. Ενσωμάτωση του δικαιώματος στο έγγραφο σημαίνει ότι η άσκηση του δικαιώματος προϋποθέτει να κατέχει κανείς το έγγραφο. Τα αξιόγραφα χωρίζονται σε: α) Ονομαστικά αξιόγραφα, στα οποία καθορίζεται το πρόσωπο (φυσικό ή νομικό ) που δικαιούται να ασκήσει το δικαίωμα. 25

β) Αξιόγραφα ανώνυμα ή στον κομιστή, στα οποία δικαιούχος είναι εκείνος που κατέχει το αξιόγραφο π.χ. τα λαχεία, τα τοκομερίδια ομολογιών ΑΕ, τα μερισματόγραφα ΑΕ, οι μετοχές. γ) Αξιόγραφα σε διαταγή. Είναι τα αξιόγραφα που αναφέρουν οτι ο δικαιούχος είναι συγκεκριμένο πρόσωπο, αλλά μπορεί να ορισθεί σαν δικαιούχος και οποιοδήποτε άλλο πρόσωπο ορίσει ο προηγούμενος. Αξιόγραφα σε διαταγή είναι οι συναλλαγματικές, τα γραμμάτια σε διαταγή, οι επιταγές. Αυτά μεταβιβάζονται με οπισθογράφηση και παράδοση του αξιόγραφου. Ανήκουν στην κατηγορία αξιογράφων που λέγονται Πιστωτικοί τίτλοι, διότι επιπλέον είναι γραμματοπαγή και αυτόνομα δηλαδή το δικαίωμα είναι για ότι γράφει αυτό το έγγραφο και δεν επηρεάζονται από ενστάσεις που έχει προσωπικά ο οφειλέτης κατά του δικαιούχου. Επίσης ανήκουν στην κατηγορία των πιστωτικών τίτλων που λέγονται χρηματόγραφα γιατί υπάρχει απαίτηση πληρωμής χρημάτων. Άρα σχηματικά θα έχουμε: ΧΡΗΜΑΤΟΓΡΑΦΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΙ ΤΙΤΛΟΙ ΑΞΙΟΓΡΑΦΑ ΧΡΗΜΑΤΟΓΡΑΦΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΙ ΤΙΤΛΟΙ ΑΞΙΟΓΡΑΦΑ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΓΡΑΦΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΙ ΤΙΤΛΟΙ ΓΡΑΜΜΑΤΙΑ ΧΡΕΩΣΤΙΚΑ ΟΜΟΛΟΓΑ: ΦΟΡΤΩTIΚΕΣ,ΑΣΦΑΛΙ ΣΤΗΡΙΑ,ΑΠΟΘΕΤΗΡΙΑ, ΑΝΩΝΥΜΑ ΑΞΙΟΓΡΑΦΑ ΟΜΟΛΟΓΑ ΕΝΕΧΥΡΟΓΡΑΦΑ ΕΠΙΤΑΓΕΣ ΜΕΤΟΧΕΣ ΤΡΑΠΕΖΟΓΡΑΜΜΑΤΙΑ ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ ΔΑΝΕΙΑ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΗ. Η συναλλαγματική είναι ένα αξιόγραφο με το οποίο ο εκδότης (πιστωτής) δίνει εντολή στην αποδέκτη (οφειλέτη) να πληρώσει σε ορισμένο πρόσωπο (λήπτη) ορισμένο ποσό και σε ορισμένη ημερομηνία. Για να είναι έγκυρη η συναλλαγματική σύμφωνα με το άρθρο 1 του Νόμου 5325/32 πρέπει να έχει συνταχθεί με έναν ορισμένο τρόπο και στο κείμενό της να γράφονται τα παρακάτω "τυπικά στοιχεία": 1. Το όνομα " Συναλλαγματική " μέσα στο κείμενο. 2. Η εντολή πληρωμής ενός ορισμένου χρηματικού ποσού. 3. Το όνομα του οφειλέτη (πληρωτή). 4. Η ημερομηνία λήξης. 5. Ο τόπος πληρωμής (μόνο ένας επιτρέπεται). 6. Ο τόπος και η χρονολογία έκδοσης. 26

7. Το όνομα του " λήπτη " σε διαταγή του οποίου εκδίδεται η συναλλαγματική. Έκδοση συναλλαγματικής στον " κομιστή " (όπως στην επιταγή) απαγορεύεται και αν εκδοθεί είναι άκυρη. 8. Η υπογραφή του εκδότη. Ο πληρωτής της συναλλαγματικής πρέπει να είναι υπαρκτό πρόσωπο. Αλλά η συναλλαγματική είναι έγκυρη ακόμα κι αν ο πληρωτής είναι ανύπαρκτο πρόσωπο ή αρνηθεί να αποδεχθεί τη συναλλαγματική ή αρνηθεί να πληρώσει. Υπεύθυνοι θα είναι οι υπόλοιποι που υπογράφουν (εκδότης, τριτεγγυητής, οπισθογράφοι ). Ο πληρωτής δεν έχει ευθύνη για τη συναλλαγματική αν δεν την αποδεχθεί με την υπογραφή του. Αλλά η συναλλαγματική κυκλοφορεί νόμιμα και χωρίς την υπογραφή του, η οποία μπορεί να μπει και αργότερα και μέχρι τη λήξη. Αυτό έγινε για να διευκολύνονται οι συναλλαγές από απόσταση. Π.χ. ένας έμπορος αγοράζει με πίστωση ένα προϊόν από άλλη χώρα. Τότε ο ξένος έμπορος εκδίδει τις συναλλαγματικές στο όνομα του πληρωτή και τις παραδίνει σε τράπεζα της χώρας του. Η τράπεζα τις στέλνει μαζί με τα φορτωτικά έγγραφα σε τράπεζα της άλλης χώρας και εκεί εμφανίζεται ο αγοραστής, υπογράφει τις συναλλαγματικές, παραλαμβάνει τα φορτωτικά έγγραφα και εκτελωνίζει τα προϊόντα. Εκτός από τα παραπάνω 8 τυπικά στοιχεία για να είναι έγκυρη η συναλλαγματική χρειάζεται και χαρτόσημο. Σήμερα το χαρτόσημο είναι ενσωματωμένο στο έντυπο της συναλλαγματικής σύμφωνα με το άρθρο 2 του Ν.Δ. 251/1973 και κλιμακώνεται ανάλογα με το ποσό της συναλλαγματικής. 2.2. Προεξόφληση Προεξόφληση λέγεται η διαδικασία με την οποία ο κάτοχος της συναλλαγματικής (εκδότης ή οπισθογράφος) την μεταβιβάζει (συνήθως σε Τράπεζα) πριν από τη λήξη της και εισπράττει ένα χρηματικό ποσό (Α) μικρότερο από το ποσό που γράφει επάνω η συναλλαγματική (Κ). Το ποσό που γράφει επάνω λέγεται Ονομαστική Αξία (Κ) της συναλλαγματικής και το ποσό που θα εισπράξει ο κομιστής κατά την προεξόφληση λέγεται Παρούσα Αξία (Α). Η διαφορά Κ-Α είναι το ποσό που θα κρατήσει η Τράπεζα σαν τόκο για το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης της συναλλαγματικής. Ο τόκος αυτός λέγεται προεξόφλημα ή υφαίρεση (Ε). 27

Το προεξόφλημα Ε υπολογίζεται με απλό τόκο όταν ο χρόνος προεξόφλησης είναι μικρός. Για χρονικά διαστήματα πάνω από ένα έτος το προεξόφλημα υπολογίζεται με ανατοκισμό. Στην ουσία η προεξόφληση είναι μια μορφή δανεισμού χρημάτων και μάλιστα περίπτωση δανεισμού στην οποία η Τράπεζα κρατάει προκαταβολικά τον Τόκο. -Το κεφάλαιο δανεισμού Κ είναι η ονομαστική αξία Κ της συναλλαγματικής. -Το ελαττωμένο κεφάλαιο Κ* που θα εισπράξει πράγματι ο δανειζόμενος είναι η παρούσα αξία Α της συναλλαγματικής. -Ο τόκος που θα κρατήσει η Τράπεζα είναι το προεξόφλημα Ε. Ισχύει η σχέση: Ονομαστική αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφλημα ή συμβολικά Κ = Α + Ε Χρόνος προεξόφλησης λέγεται το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης της συναλλαγματικής. Αν και υπάρχουν διαφορές στις Τράπεζες στον τρόπο που υπολογίζουν το χρόνο προεξόφλησης, συνήθως υπολογίζονται σαν τοκοφόρες και η ημέρα προεξόφλησης και η ημέρα λήξης της συναλλαγματικής. Επιτόκιο προεξόφλησης λέγεται το επιτόκιο υπολογισμού του προεξοφλήματος. Το ύψος του καθορίζεται από την Τράπεζα Ελλάδος και κυμαίνεται γύρω στο 25%. Για να λύσουμε όλα τα σχετικά προβλήματα, βασιζόμαστε στη θεμελιώδη σχέση: Ονομ. αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφλημα Υπάρχουν δύο είδη προεξόφλησης. Η εξωτερική και η εσωτερική. Εξωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της ονομαστικής αξίας Κ της συναλλαγματικής με τη μέθοδο υπολογισμού απλού τόκου. Εσωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της παρούσας αξίας Α της συναλλαγματικής, επίσης με απλό τόκο. 2.2.1. Εξωτερική προεξόφληση Στην εξωτερική προεξόφληση το προεξόφλημα λέγεται εξωτερικό (Ε) και υπολογίζεται πάνω στην ονομαστική αξία (Κ) με τους τύπους του απλού τόκου. 28

Κ μ i K v i K v Ε= Κ n i ή Ε = ------ ή Ε = ------------ ή Ε = ---- 12 360 (ή 365) Δ Η παρούσα αξία ( Α ) στην εξωτερική προεξόφληση υπολογίζεται από τη θεμελιώδη σχέση της προεξόφλησης: Κ = Α + Ε ή Α = Κ Ε και αν αντικαταστήσουμε το Ε με κάποιον από τους παραπάνω τύπους, θα έχουμε: Κ ν Α= Κ - --------- ( 1 ) Δ Επειδή όμως στην πράξη η Τράπεζα κάνει και άλλες κρατήσεις, για να βρούμε το πραγματικό ποσό που θα πρέπει να πάρει ο πιστωτής πρέπει να αφαιρέσουμε και τις κρατήσεις αυτές. Αν παραστήσουμε την προμήθεια με θ, τα διάφορα έξοδα με το ε και το χαρτόσημο με το χ θα ισχύουν τα εξής: Το χαρτόσημο υπολογίζεται συνήθως εφάπαξ άρα αφαιρείται απλώς. Η προμήθεια υπολογίζεται σε ποσοστό επί της ονομαστικής αξίας για κάθε μήνα προεξόφλησης και τα μέρη του μήνα θεωρούνται ολόκληροι μήνες. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε ένα ποσοστό Κθ/100 για την προμήθεια κατά μήνα και για ολόκληρους μήνες. Τα έξοδα υπολογίζονται σαν ποσοστό κατά εκατοντάδα και για ολόκληρη εκατοντάδα ή κατά χιλιάδα και για ολόκληρη χιλιάδα και θα αφαιρεθεί ένα ποσοστό Κ ε/100. Έτσι ο τελικός τύπος της πραγματικής αξίας θα είναι: Κ ν Κ θ Κε Α= Κ -. -. -. - χ Δ 100 100 ή πιο σύντομα: Κ ν Κ (Θ+ε) Α= Κ -. -.. - χ ( 4 ) Δ 100 2.2.2. Εσωτερική προεξόφληση Στην εσωτερική προεξόφληση το προεξόφλημα λέγεται εσωτερικό (Ε 1 ) και υπολογίζεται πάνω στην παρούσα αξία, είναι δηλαδή ο τόκος της παρούσας αξίας. Αυτή η παρούσα αξία θα είναι τώρα διαφορετική (Α 1 ). Αυτό το Α 1 δεν μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση: 29

Κ = Α 1 +Ε 1 (1) διότι σ' αυτή την ισότητα τόσο το Α 1 όσο και το Ε 1 είναι άγνωστα. Θα ισχύει όμως εξ ορισμού και η σχέση: Α 1 ν Α 1 v i Α 1 μ i Ε 1 = -------- ή Ε 1 = ----------- ή Ε 1 = -------- ή Ε 1 = Α 1 n 1 i Δ 360 ( 365) 12 Αντικαθιστούμε μια από τις σχέσεις αυτές, έστω την πρώτη, στη σχέση (1). Θα έχουμε: Α 1 ν ν Δ + ν Κ = Α 1 + ------ ή Κ = Α 1 ( 1 + ---- ) ή Κ = Α 1 ( -------) Δ Δ Δ ή Κ Δ ή Α 1 = -------- (2) Δ + ν Ο τύπος (2) μας δίνει την παρούσα αξία Α 1 από την ονομαστική Κ. Και το προεξόφλημα θα υπολογισθεί εύκολα από τους τύπους του απλού τόκου : Α 1 ν Κ Δ ν Κν Ε 1 = ------- ή Ε 1 = -------- ----- ή Ε 1 = ------ (3) Δ Δ + ν Δ Δ+ν Παρατήρηση: Η εξωτερική προεξόφληση είναι άδική για τον οφειλέτη, γιατί η τράπεζα υπολογίζει τον τόκο επί της ονομαστικής αξίας, ενώ προσφέρει μικρότερο ποσό (την παρούσα αξία). Το μέγεθος της αδικίας φαίνεται από το εξής: Κν Αν στον τύπο Ε = ------ γίνει ν = Δ τότε Ε = Κ και για ν> Δ, Δ θα είναι Ε > Κ δηλαδή στην εξωτερική προεξόφληση, το προεξόφλημα μπορεί να γίνει ίσο ή και μεγαλύτερο (! ) από την ονομαστική αξία. 30

Αν γίνει το ίδιο στον τύπο της εσωτερικής προεξόφλησης Κ. ν Ε = + ν παρατηρούμε ότι πάντα θα ισχύει Ε < Κ, όποια τιμή και αν πάρει το ν. Στην πράξη χρησιμοποιείται η εξωτερική προεξόφληση, επειδή για μικρές τιμές του ν δεν υπάρχει σημαντική διαφορά και επειδή οι σχετικοί υπολογισμοί είναι πιο απλοί, αν και τώρα με τη χρήση των Η /Υ αυτός ο ισχυρισμός έχει πάψει να ισχύει. 2.2.3. Πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης Επειδή η τράπεζα κατά την προεξόφληση κρατά όχι μόνο το προεξόφλημα δηλαδή τον τόκο αλλά και διάφορα άλλα έξοδα, ονομάζουμε πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης j το υποθετικό εκείνο επιτόκιο με το οποίο αν τοκιζόταν το καθαρό ποσό που θα πάρει αυτός που δίνει την συναλλαγματική για προεξόφληση, θα έδινε τόκο ίσο με το προεξόφλημα + έξοδα σε χρόνο ίσο με το χρόνο προεξόφλησης. Αν λοιπόν η συναλλαγματική προεξοφλείται ν ημέρες πριν τη λήξη της, το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης θα βρεθεί από τη σχέση: και λύνονται ως προς j : Α ν j K- A = ------------ 360 (365) (K - A) 360 (K - A) 365 j = --------------- ή j = -----------------. A v A v Παράδειγμα. Μια τράπεζα προεξοφλεί γραμμάτιο 2000, 60 ημέρες πριν τη λήξη με επιτόκιο 18% και κρατάει επιπλέον για προμήθεια και για έξοδα 1,5%. Με ποιό πραγματικό επιτόκιο έγινε η προεξόφληση; (Έτος μικτό). Λύση Δ=360/0,18 =2000 Κ ν θ + ε 2000 x60 2000 x 1,5 A = K - ----- - K ------- = 2000 - ------------ - -------------- Δ 100 2000 100 = 2000-60 - 30 = 1910. Αντικαθιστώντας τώρα στον τύπο του πραγματικού επιτοκίου θα έχομε: J =0,282722 ή J = 28 % περίπου. 31

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ 1. Μια συναλλαγματική ονομαστικής αξίας 3000 που έληγε στις 30 Ιανουαρίου 2012 προεξοφλήθηκε στις 19-12-11 προς 24%. Να βρεθεί το εξωτερικό και το εσωτερικό προεξόφλημα καθώς και το καθαρό ποσό που εισέπραξε ο εκδότης της, αν η τράπεζα κράτησε: προμήθεια 1,5 % και πάγια έξοδα 30. Στις τοκοφόρες ημέρες η τράπεζα υπολογίζει και τις 2 επιπλέον για το νόμιμο περιθώριο πληρωμής της συναλλαγματικής. Έτος μικτό. Λύση : ν = 45 Δ = 360/0,24 = 1500 Κν 3000 x 45 Ε = ---------- = ---------------- = 90. Δ 1500 Κν 3000 x 45 Ε 1 = --------------- = ----------------------------- = 87,38. Δ + ν 1545 Προμήθεια: Κ θ/100 = 3000 x1,5/100 = 45. Κ ν Κ θ Α = Κ - ----------- - --------- - 30 = 3000-90 - 45-30 = 2835. Δ 100 Κν Κ θ Α 1 = Κ - --------- - ------- - 30 = 3000 87,38-45 30 = 2837,62. Δ+ν 100 2. Να βρείτε την παρούσα αξία συναλλαγματικής 2500, που έληγε στις 18/4/2012 και προεξοφλήθηκε στις 20/12/2011, με εξωτερική προεξόφληση, επιτόκιο 24% και έτος μικτό. Η τράπεζα κράτησε εκτός από τον τόκο, προμήθεια 1% κατά μήνα, έξοδα 0,5% και Ε.Φ.Τ.Ε 3 %. Λύση: ν = 11+31+29+31+18 = 120, Δ = 360/0,24 = 1500 Προμήθεια(θ): 1% x 5μήνες = 5% επί του Κ. Προεξόφλημα (Τόκος): Ε = Κ ν/δ = 2500 x 120/1500 = 200 Προμήθεια: θ = Κ 5% = 2500 x 5% = 125 Έξοδα: ε = Κ 0,5% = 2500 x0,5% = 12,5 Μερικό Σύνολο κρατήσεων: 200+125+12,5 = 337,5 Ε.Φ.Τ.Ε. = 337.5 x 3% = 10,125 Γενικό Σύνολο κρατήσεων:337,5+10,125 = 347,625 Παρούσα αξία: Α = 2500 347,625 = 2152,375. 32

3. Ένα γραμμάτιο ονομαστικής αξίας 1200 Ευρώ, προεξοφλήθηκε εξωτερικά με ετήσιο επιτόκιο 20%, 75 ημέρες πριν τη λήξη του, με έτος μικτό. Η τράπεζα κράτησε προμήθεια 1% το μήνα και για ολόκληρους μήνες, 0,5% έξοδα καθώς και Ε.Φ.Τ.Ε. 3% επί του συνόλου των κρατήσεων. Να βρείτε το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης. 4. Ένας έμπορος έχει στα χέρια του μια συναλλαγματική έναντι χρέους 2000 Ευρώ, που λήγει 100 ημέρες από σήμερα και εκδόθηκε με επιτόκιο 20%. Εάν ο έμπορος την προεξοφλήσει 50 ημέρες πριν τη λήξη της με επιτόκιο προεξόφλησης 25% να βρείτε το εξωτερικό προεξόφλημα και το ποσό που θα εισπράξει αν επί πλέον κρατήθηκε προμήθεια 2% κατά μήνα, έξοδα 1% και Ε.Φ.Τ.Ε. 3% επί του συνόλου των κρατήσεων. 5. Μια συναλλαγματική 2500, προεξοφλήθηκε εξωτερικά 90 ημέρες πριν τη λήξη της και έφερε παρούσα αξία 2350. Να βρείτε το επιτόκιο προεξόφλησης, αν υποθέσουμε ότι δεν υπήρξαν άλλες κρατήσεις. Έτος μικτό. Λύση: Κ = 2500, ν = 90, Α = 2350 Άρα ο τόκος (Προεξόφλημα) θα είναι:2500 2350 = 150. Από τον τύπο του τόκου, θα έχουμε: Ε = Κ ν/δ, άρα: 150 = 2500 x90/δ ή 150 = 225000/Δ ή 150 Δ = 225.000. Άρα: Δ = 225.000/150 = 1500. Και επειδή Δ = 360 360, θα έχουμε: 1500 = i i Από αυτό έπεται ότι: i = 360/1500 = 0,24 = 24%. 6. Αγόρασε κάποιος είδη αξίας 2000 και για να τα εξοφλήσει υπογράφει συναλλαγματική που λήγει μετά από 90 ημέρες, με επιτόκιο 25%. Να βρείτε την ονομαστική αξία της συναλλαγματικής αν χρεωθεί επί πλέον και προμήθεια 3% συνολικά και πάγια έξοδα 5%ο. Εξωτερική προεξόφληση. Έτος μικτό. 7. Ένας υπάλληλος αγόρασε στις 10-1-11 ένα ψυγείο αξίας 860 Ευρώ. Έδωσε 160 Ευρώ προκαταβολή και για το υπόλοιπο ποσό υπέγραψε 2 γραμμάτια. Το ένα από αυτό είχε ημερομηνία λήξεως 20-03 -11 και ονομαστική αξία 300 Ευρώ και το άλλο είχε ημερομηνία λήξεως 20-06-11. Να βρείτε την ονομαστική αξία του δεύτερου γραμματίου, όταν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 24 %. Έτος μικτό. 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΙΑ Εποχή ισοδυναμίας. Κοινή λήξη. Μέση λήξη. Πολλές φορές στις συναλλαγές παρουσιάζεται η ανάγκη να αντικατασταθούν δύο ή περισσότερα γραμμάτια διαφόρων λήξεων με ένα ενιαίο γραμμάτιο ή το αντίστροφο, ένα γραμμάτιο να αντικατασταθεί με μερικά άλλα, που να είναι οικονομικώς ισοδύναμα. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει σε μια ορισμένη χρονική στιγμή η παρούσα αξία του ενιαίου γραμματίου να ισούται με το άθροισμα των παρουσών αξιών των γραμματίων που αντικαθίστανται, με επιτόκιο σταθερό. Αυτή η εξίσωση των παρουσών αξιών λέγεται και αρχή της οικονομικής ισοδυναμίας. Η χρονική στιγμή κατά την οποία η παρούσα αξία του ενιαίου γραμματίου είναι ίση με το άθροισμα των παρουσών αξιών των γραμματίων που αντικαθιστά αυτό το γραμμάτιο, λέγεται εποχή ισοδυναμίας. Εποχή ισοδυναμίας μπορεί να είναι : α) η ημέρα υπολογισμού, δηλαδή η ημέρα που υπογράφεται το νέο γραμμάτιο. β) η κοινή λήξη, δηλαδή η ημέρα που λήγει το ενιαίο γραμμάτιο. γ) μια οποιαδήποτε ημερομηνία. 3.1. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το γενικό πρόβλημα μπορούμε να το διατυπώσουμε έτσι: Έστω ότι έχουμε γραμμάτια με ονομαστικές αξίες αντίστοιχα Κ 1, Κ 2,...Κ μ που λήγουν αντίστοιχα μετά από ν 1, ν 2...ν μ ημέρες. Θέλουμε να τα αντικαταστήσουμε με ένα άλλο ισοδύναμο γραμμάτιο που να έχει ονομαστική αξία Κ και να λήγει μετά από ν ημέρες, με σταθερό επιτόκιο i για όλα τα γραμμάτια. Σ' αυτό το πρόβλημα μπορεί να ζητείται : 1) Η ονομαστική αξία ( Κ ) του ενιαίου γραμματίου 2)Η ονομαστική αξία ή η λήξη ενός από τα παλιά γραμμάτια (Κ 1,Κ 2...Κ μ ) 3)Η κοινή λήξη ( ν ) 4) το επιτόκιο Σε όλες τις περιπτώσεις κατασκευάζεται πρώτα η θεμελιώδης εξίσωση της ισοδυναμίας: Παρούσα αξία ενιαίου = Άθροισμα παρουσών αξιών των άλλων γραμματίων 34

Α) Εποχή ισοδυναμίας, η ημέρα υπολογισμού 1. με εξωτερική προεξόφληση : Κν Κ 1 ν 1 Κ 2 ν 2 Κ μ ν μ Κ- ------- = Κ 1 - -------- + Κ 2 - --------- +... + Κ μ - ------------ ( 1 ) Δ Δ Δ Δ 2. με εσωτερική προεξόφληση: Κν Κ 1 ν 1 Κ 2 ν 2 Κ μ ν μ Κ- --------- = Κ 1 - ---------- + Κ 2 - ---------- +... + Κ μ - -------- ( 2 ) Δ+ν Δ+ν 1 Δ+ν 2 Δ+ν μ Β) Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη : Αν θεωρήσουμε σαν εποχή ισοδυναμίας (χρονική στιγμή μηδέν) τη λήξη του ενιαίου γραμματίου (κοινή λήξη), οι τύποι θα γίνουν αντίστοιχα: 1. με εξωτερική προεξόφληση: Κ 1 ( ν 1 - ν ) Κ 2 ( ν 2 - ν ) Κ μ ( ν μ - ν ) Κ = Κ 1 - ---------------- + Κ 2 - --------------- +... + Κ μ - -------------- ( 3 ) Δ Δ Δ 2. με εσωτερική προεξόφληση: Κ 1 ( ν 1 - ν ) Κ 2 ( ν 2 - ν ) Κ μ ( ν μ - ν ) Κ = Κ 1 - --------------- + Κ 2 - ----------------- +... + Κ μ - --------------- ( 4 ) Δ + (ν 1 - ν ) Δ + (ν 1 - ν ) Δ + (ν μ - ν ) διότι η παρούσα αξία κατά την ημερομηνία λήξης είναι ίση με την ονομαστική ( Κ = Α ) και αν θεωρήσουμε σαν χρονική στιγμή την ημερομηνία λήξης του Κ, οι τοκοφόρες ημέρες θα δίνονται από τις διαφορές (ν 1 - ν ),..., (ν μ - ν ). Παρατηρήσεις : 1. Οι διαφορές ν 1 -ν, ν 1 -ν κ.λπ. είναι άλλοτε θετικές και άλλοτε αρνητικές. Και αυτό έχει τη φυσική του εξήγηση διότι αν ένα γραμμάτιο λήγει πριν από την κοινή λήξη και μεταφερθεί στην κοινή λήξη πρέπει να αυξηθεί η ονομαστική του αξία κατά τον τόκο των ημερών που μεσολαβούν από τη λήξη τους ως κοινή λήξη. Αν όμως λήγει μετά, τότε προεξοφλείται και πρέπει να μειωθεί η ονομαστική του αξία κατά τον τόκο των ημερών που μεσολαβούν ανάμεσα στην κοινή λήξη και στη λήξη του. 35

2. Αν το ν είναι μικρότερο από όλα τα ν 1, ν 2,... ν 2 δηλαδή αν το Κ λήγει πριν από τα άλλα γραμμάτια, τότε Κ < Κ 1 + Κ 2 +... Κ μ. - Αν το ν είναι μεγαλύτερο από όλα τα ν 1,ν 2,...ν μ δηλαδή αν το Κ λήγει μετά από όλα τα άλλα γραμμάτια τότε Κ > Κ 1 +Κ 2 +...+ Κ μ - Αν το ν βρίσκεται ανάμεσα στα ν 1,ν 2,...ν μ τότε το Κ μπορεί να είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από το άθροισμα των ονομαστικών αξιών Κ 1, Κ 2,..., Κ μ. - Αν το Κ είναι ίσο με το άθροισμα Κ 1,Κ 2,...Κ μ, δηλαδή Κ = Κ 1 +Κ 2 +...+Κ μ, τότε η λήξη του, δηλαδή η κοινή λήξη λέγεται μέση λήξη. Γ) Εποχή ισοδυναμίας μια τυχαία ημέρα ρ. Τότε οι τύποι θα γίνουν : 1. με εξωτερική προεξόφληση: Κ(ν - ρ ) Κ 1 ( ν 1 - ρ) Κ μ ( ν μ -ρ ) Κ - ------------ = Κ 1 - --------------- +... + Κ μ - --------------- ( 5 ) Δ Δ Δ 2. με εσωτερική προεξόφληση: Κ ( ν-ρ) Κ 1 ( ν 1 -ρ) Κ μ (ν μ -ρ) Κ - -------------- = Κ 1 - ------------- +... + Κ μ - --------------- ( 6 ) Δ + (ν-ρ) Δ+(ν 1 -ρ) Δ + (ν μ -ρ) Παρατήρηση: Οι τελευταίες εξισώσεις (5), (6) είναι οι γενικές μορφές των εξισώσεων στα ισοδύναμα γραμμάτια. Πράγματι: για ρ=ο μας δίνουν τις (1) και (2), ενώ για ρ = ν μας δίνουν τις (3) και (4). 36

3.2. ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΛΗΞΗΣ ΤΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΓΡΑΜΜΑΤΙΟΥ (ΚΟΙΝΗ ΛΗΞΗ) Για να λυθεί το πρόβλημα αυτό αρκεί να λύσουμε τους προηγούμενους τύπους ως προς ν, είτε θεωρήσουμε ως εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού είτε την κοινή λήξη. Ενδεικτικά παραθέτουμε τον τύπο που μας δίνει το χρόνο λήξης του ενιαίου γραμματίου για εξωτερική προεξόφληση και εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού. ΔΚ - Δ ( Κ 1 + Κ 2 +... + Κ μ ) + Κ 1 ν 1 + Κ 2 ν 2 +... + Κ μ ν μ ν = ----------------------------------------------------------------------- ( 7 ) Κ 3.3. ΜΕΣΗ ΛΗΞΗ Μέση λήξη είναι η περίπτωση εκείνη της κοινής λήξης κατά την οποία η ονομαστική αξία του ενιαίου γραμματίου είναι ίση με το άθροισμα των ονομαστικών αξιών των γραμματίων που αντικαθιστά το ενιαίο γραμμάτιο. Δηλαδή όταν Κ = Κ 1 + Κ 2 +... Κ μ. Αν στον τύπο (7) θέσουμε Κ 1 + Κ 2 +... Κ μ = Κ, θα γίνει: Κ 1 ν 1 + Κ 2 ν 2 +... + Κ μ ν μ ν = ------------------------------- ( 8 ) Κ Ιδιότητες της μέσης λήξης 1. Όπως φαίνεται από τον τελευταίο τύπο η μέση λήξη είναι ανεξάρτητη από το επιτόκιο και το έτος υπολογισμού γιατί δεν υπάρχει στον τύπο της ο σταθερός διαιρέτης. 2. Η μέση λήξη είναι ανεξάρτητη από την ημέρα υπολογισμού αφού όποια μέρα και αν πάρουμε σαν εποχή ισοδυναμίας καταλήγουμε στον ίδιο τύπο. Συνήθως όμως καθορίζουμε ημέρα που να βρίσκεται πριν από όλες τις λήξεις για να είναι πιο απλοί οι υπολογισμοί. 3. Αν επιπλέον ισχύει και : Κ 1 = Κ 2 =... = Κ μ, τότε η μέση λήξη ισούται με το μέσο όρο των λήξεων των γραμματίων. Πράγματι τότε ο τύπος της μέσης λήξης θα γίνει : 37