ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν ήταν τόσο υοβαθµισµένη όως είναι στα τωρινά σχολικά βιβλία. Η εργασία δηµοσιεύθηκε στο εριοδικό ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Β ΗΣ Ε.Μ.Ε, τόµος ΙΣ, τεύχος, Νοε εκ 98. Όταν λέµε ότι κάνουµε εριορισµούς στην ριγωνοµετρία, εννοούµε ότι βρίσκουµε τις συνθήκες ου ρέει να ισχύουν ώστε µια τριγωνοµετρική σχέση να έχει νόηµα. ο ρώτο ερώτηµα ου δηµιουργείται είναι: Είναι ααραίτητο να γίνονται εριορισµοί; ο ερώτηµα αυτό θα το ααντήσουµε µε τα αρακάτω δύο αραδείγµατα: ) Να αοδειχθεί ότι εφ α εφ α εφ α εφ α = εφα εφα ) Να αοδειχθεί ότι εφ α εφ α εφ α εφ α = εφα εφα. Για οιες τιµές του α έχει νόηµα η αραάνω ισότητα; Στο ο αράδειγµα δεν χρειάζονται εριορισµοί. Εννοείται ότι η αόδειξη της άσκησης θα γίνει για τις τιµές του α για τις οοίες έχει νόηµα. εν µορούµε να ούµε ρέει α κ +, κ Z Αφού στην άσκηση εριέχεται η εφα, υοτίθεται ότι ρώτα ισχύει α κ +, κ Z και κατόιν γράφεται η εφα. Για τον ίδιο λόγο δεν χρειάζεται κανένας εριορισµός. Στο ο αράδειγµα εννοείται άλι ότι ρέει να κάνουµε αόδειξη για τις τιµές του α για τις οοίες η ισότητα έχει νόηµα. Εδώ όµως µας ζητούνται αυτές οι τιµές του α και ρέει να τις βρούµε. Σελ.
Με αυτά τα δύο αραδείγµατα θέλουµε να δείξουµε ότι: Οι εριορισµοί για να έχει νόηµα µια σχέση ρέει να γίνονται µόνο όταν αυτό µας ζητηθεί ρητά. Γνωρίζουµε ότι οι λύσεις µιας τριγωνοµετρικής εξίσωσης δίνονται αό έναν ή ερισσότερους τύους οι οοίοι εριέχουν µια µεταβλητή κ ου µορεί να άρει µερικές ή όλες τις ακέραιες τιµές. Γνωρίζουµε.χ ότι οι λύσεις της εξίσωσης συνx= συν δίνονται αό τους τύους x= κ± όου κ οοιοσδήοτε ακέραιος αριθµός. ο σύνολο των λύσεων του τύου x = κ +,κ Z είναι το Α = {κ +, κ Z } και το σύνολο των λύσεων του τύου x = κ, κ Z είναι το σύνολο Α = {κ, κ Z } Εδώ και αντού στα εόµενα, Ο συµβολισµός κ Z θα σηµαίνει ότι η µεταβλητή κ διατρέχει όλο το Z και δεν θα γράφουµε για κάθε κ Z. Γενικότεροι Μερικότεροι τύοι Λέµε ότι ένας τύος είναι γενικότερος του τύου και τότε ο λέγεται µερικότερος του, αν και µόνον αν το σύνολο Α των λύσεων του είναι γνήσιο υερσύνολο του συνόλου Α των λύσεων του. Παράδειγµα Να αοδειχθεί ότι ο τύος : x = κ +, κ Z είναι γενικότερος του : x = κ, κ Z Αόδειξη Θα αοδείξουµε ότι το σύνολο Α των λύσεων του είναι γνήσιο υερσύνολο του συνόλου Α των λύσεων του. Είναι: Α = {κ +, κ Z } και Α = {κ, κ Z } Έστω x A λ Z µε x = λ Θα αοδείξουµε ότι x A, δηλαδή µ Z µε x = µ + Εξισώνοντας µ + λ = µ + = λ µ = λ Z Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ ηλαδή η λύση x = λ ανήκει και στο σύνολο Α αφού ροκύτει αό τον τύο x= κ+ για κ = λ. Έτσι Α Α Για να αοδείξουµε ότι Α Α αρκεί να αοδείξουµε ότι υάρχει λύση του ου δεν την δίνει ο. Πράγµατι, για κ = 0 ο τύος δίνει τη λύση x=. Ο τύος δεν µορεί να δώσει την ίδια λύση διότι εξισώνοντας κ = κ = Z. Έτσι Α Α και ο τύος είναι γενικότερος του. Όταν σε µια άσκηση έχουµε δύο τύους αό τους οοίους ο ένας είναι γενικότερος του άλλου, µορούµε να κρατήσουµε µόνο τον γενικότερο αραλείοντας τον άλλο. Ισοδύναµοι τύοι Λέµε ότι το τύος µε σύνολο λύσεων Α είναι ισοδύναµος µε τον τύο µε σύνολο λύσεων Α, αν και µόνον Α= Α. Γενικότερα, λέµε ότι η ν-άδα των τύων,,..., ν µε σύνολα λύσεων αντίστοιχα τα Α, Α,..., Α ν είναι ισοδύναµη µε την κ-άδα των τύων Σ,Σ,...,Σ κ µε σύνολα λύσεων αντίστοιχα τα Β,Β,...,Β κ αν και µόνον αν Α Α... Αν = Β Β... Βκ Παραδείγµατα ) Να αοδειχθεί ότι ο τύος :x = κ +, κ Z είναι ισοδύναµος µε τον τύο :x = κ, κ Z Αόδειξη α σύνολα των λύσεων Α και Α των τύων και είναι αντίστοιχα Α = {κ +, κ Z } Α = {κ, κ Z } Θα αοδείξουµε ότι Α= Α Αρκεί γι αυτό να δείξουµε ότι Α Α και Α Α. Έστω x A λ Z µε x = λ + Πρέει να αοδείξουµε ότι υάρχει µ Z µε x = µ Σελ.
Εξισώνουµε µ λ = + µ = λ + µ = λ + Z, δηλ. x A, άρα Α Α () Έστω x A λ Z µε x = λ Θα αοδείξουµε ότι x A, δηλ. µ Z µε x = µ + Εξισώνουµε µ + λ = µ λ + = µ = λ Z, άρα x = µ+ όου µ = λ, δηλ. x A, άρα Α Α () Αό τις () και () ροκύτει A= A και οι τύοι και είναι ισοδύναµοι. ) Να αοδειχθεί ότι το ζεύγος των τύων T : x = κ +, κ Z, T : x = κ, κ Z είναι ισοδύναµο µε τον τύο T : x = κ +, κ Z Αόδειξη Έστω Α, Α, Α τα σύνολα λύσεων των τύων, και αντίστοιχα. Θα αοδείξουµε ότι Α Α = Α Έστω x A A (x Aή x A ) α) Αν x A λ Z µε x = λ + Ο τύος για κ= λ δίνει είσης x= λ+, άρα x A β) Αν x A λ Z µε x = λ Θέλουµε να βρούµε κ Z ώστε κ + = λ κ + = λ κ = λ Z. Άρα άλι x A ηλ. και στις δύο εριτώσεις αοδείξαµε ότι x A A x A, εοµένως Α Α Α () Έστω τώρα x A λ Z µε x = λ + ιακρίνουµε δύο εριτώσεις α) λ = µ, µ Z. ότε x= µ+. Η λύση αυτή ροκύτει αό τον τύο για κ = µ β) λ = µ, µ Z. ότε x = (µ ) + = µ Σελ. 4
Νικ. Ιωσηφίδης: ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Η λύση αυτή ροκύτει και αό τον τύο για κ = µ Έτσι και στις δύο εριτώσεις είναι x A A, άρα A A A () Αό τις () και () ροκύτει Α Α = Α. Εοµένως το ζεύγος των τύων και είναι ισοδύναµο µε τον τύο. Όταν σε µια άσκηση έχουµε ένα ζεύγος τύων ισοδύναµο µε έναν τύο µορούµε να αντικαταστήσουµε το ζεύγος µε τον ισοδύναµο τύο. ) Να αοδειχθεί ότι το ζεύγος των τύων T : x = κ, κ Z, : x = (κ + ), κ Z είναι ισοδύναµο µε τον τύο : x = κ +, κ Z Αόδειξη Η αόδειξη µορεί να γίνει όως και στο ροηγούµενο αράδειγµα, εδώ όµως θα µορούσαµε να ούµε ιο αλά ότι ο τύος δίνει τα άρτια ολλαλάσια του, ο τύος δίνει τα εριττά ολ/σια του, ενώ ο τύος δίνει όλα τα ολ/σια του (άρτια και εριττά). Άρα το ζεύγος των τύων και είναι ισοδύναµο µε τον τύο. Ορισµός Σύµτυξη δύο ή ερισσοτέρων τύων λέγεται η αντικατάστασή τους αό άλλους µε µικρότερο λήθος. Όταν.χ αντικαθιστούµε ένα ζεύγος τύων µε έναν, τότε λέµε ότι κάνουµε σύµτυξη των τύων. Θα δείξουµε τώρα ως γίνονται οι εριορισµοί στην ριγωνοµετρία. Όως αναφέραµε στην αρχή της εργασίας, οι εριορισµοί γίνονται για να έχει νόηµα µια τριγωνοµετρική σχέση. Γίνεται αµέσως φανερό ότι µας χρειάζεται ρώτα να γνωρίζουµε ότε ορίζονται οι ίδιοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί. α) ο ηµx ορίζεται για κάθε x R β) ο συνx ορίζεται για κάθε x R ηµx γ) Η εφx = ορίζεται όταν συνx 0 συνx Η εξίσωση συνx = 0 συνx = συν x = κ ±,κ Z Στο ο αράδειγµα συµτύξαµε τους δύο αυτούς τύους στον x = κ +,κ Z Σελ. 5
Έτσι η εφx δεν ορίζεται όταν x κ +, κ Z x = κ +, κ Z ή το ίδιο, ορίζεται όταν συνx δ) Η σφx= ορίζεται όταν ηµx 0 ηµx Η εξίσωση ηµx = 0 ηµx = ηµ0 (x = κ ή x = (κ + ), κ Z ) Στο ο αράδειγµα συµτύξαµε τους δύο αυτούς τύους στον x = κ,κ Z ηλ. η σφx δεν ορίζεται όταν x = κ, κ Z ή το ίδιο ορίζεται όταν x κ, κ Z ε) Η τεµx = ορίζεται όταν συνx 0 x κ +, κ Z, δηλαδή ορίζεται για συνx τις ίδιες τιµές ου ορίζεται και η εφx ζ) Η στεµx= ορίζεται όταν ηµx 0 x κ, κ Z, δηλαδή ορίζεται για τις ηµx ίδιες τιµές ου ορίζεται και η σφx Για να έχει νόηµα τώρα µια τριγωνοµετρική αράσταση (δηλ. για να ορίζεται), ρέει Να ορίζονται όλοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ου αρουσιάζονται. Αν η αράσταση εριέχει κλάσµατα, οι αρονοµαστές ρέει να είναι διάφοροι του 0. Αν η αράσταση εριέχει ριζικά, ρέει τα υόρριζα να είναι µη αρνητικά (δηλ. 0 ) Αν υάρχει λογάριθµος µιας αράστασης, ρέει η αράσταση αυτή να είναι >0. Με τους δύο τελευταίους εριορισµούς δεν θα ασχοληθούµε εειδή η λύση των τριγωνοµετρικών ανισώσεων δεν εριέχεται στο σχολικό βιβλίο. Παρατηρήσεις α) Οι εριορισµοί ρέει να γίνονται και στα δύο µέλη µιας ισότητας. εν είναι σίγουρο ότι τα δύο µέλη ορίζονται για τις ίδιες τιµές των µεταβλητών. ηµα συνα συν α Π.χ στην ροφανή ισότητα = τα δύο µέλη δεν ορίζονται για τις ίδιες ηµα συνα τιµές του α, αφού δεν µορεί να είναι ταυτόχρονα ηµα= συνα= 0, Σελ. 6 (ηµ α+ συν α= ) β) Αν κατά τη διάρκεια της αόδειξης µιας σχέσης κάνουµε κάοια ράξη ου ααιτεί εριορισµό ου δεν ααιτούσε η αρχική σχέση, τότε κάνουµε µεν τον εριορισµό για
Νικ. Ιωσηφίδης: ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ να µορέσουµε να συνεχίσουµε την αόδειξη, στο τέλος όµως αοδεικνύουµε ότι και αν ακόµη δεν ισχύει ο εριορισµός ου εµείς θέσαµε, η σχέση είναι άλι αληθής. ηλαδή στην ερίτωση αυτή κάνουµε µια συµληρωµατική αόδειξη για τις τιµές ου εξαιρέσαµε µε τον ρόσθετο εριορισµό. Αν.χ κατά την διάρκεια µιας αόδειξης ολ/σουµε τους όρους ενός κλάσµατος εί ηµα, ρέει να ροσθέσουµε τον εριορισµό ηµα 0 α κ, κ Z. Αν όµως ο εριορισµός αυτός δεν υήρχε αρχικά, τότε για να είναι η λύση λήρης θα ρέει να γίνει συµληρωµατική αόδειξη ειδικά για τις τιµές α = κ, κ Z ίνουµε τώρα ένα αράδειγµα ου θα εξηγήσει όλα αυτά ου ροαναφέραµε. Να αοδειχθεί ότι εφ α εφ α εφ α εφ α = εφα εφα Για οιες τιµές του α έχει νόηµα η αραάνω ισότητα; Λύση Πρέει να ορίζονται όλοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ου αρουσιάζονται και ειλέον ο αρονοµαστής να είναι διάφορος του 0. Βρίσκουµε τις τιµές για τις οοίες δεν ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί και το κλάσµα. Θα εξαιρέσουµε κατόιν αυτές τις τιµές. α) Η εφα, άρα και η εφ α δεν ορίζεται όταν κ α = κ +, κ Z α = +, κ Z () 4 β) Η εφα δεν ορίζεται όταν α = κ +, κ Z () γ) εφ α εφ α = 0 εφ α εφ α = εφα εφα = ± Λύνουµε τις δύο εξισώσεις (γ ) και (γ ) γ ) εφα εφα = () Με την ροϋόθεση ότι το α δεν αίρνει τις τιµές των τύων () και (), είναι εφα 0, αλλιώς η () είναι αδύνατη. Έτσι η () εφα = εφα = σφα εφα = εφ( α) εφα κ α = κ + α, κ Z α = +, κ Z (4) 6 γ ) εφα εφα = (5) Σελ. 7
Είναι άλι εφα 0, άρα η (5) εφα = εφα = σφα εφα εφα = εφ( α) εφα = εφ(α ) α = κ + α α = κ, κ Z (6) δ) Η εφα δεν ορίζεται όταν α = κ + α = κ +, κ Z (7) 6 ελικά λοιόν η ισότητα ου ζητείται να αοδείξουµε δεν έχει νόηµα όταν ισχύει κάοια αό τις αραάνω σχέσεις (), (), (4), (6), (7), δηλ. όταν κ α = + () 4 α = κ + () κ Z κ α = + (4) 6 α = κ (6) (δεν γράψαµε τον τύο (7) δύο φορές) Μορούµε να αοδείξουµε ότι οι τύοι () και (6) είναι ισοδύναµοι. Πράγµατι, ο () για κ= λ δίνει α= λ+ Για να δώσει ο τύος (6) την ίδια λύση ρέει να υάρχει µ Z ώστε µ λ = + µ = λ + µ = λ + Z, δηλαδή κάθε λύση ου δίνει ο () την δίνει και ο (6). Αντίστροφα, για κ= λ, ο τύος (6) δίνει τη λύση α = λ Για να δώσει ο τύος () την ίδια λύση, ρέει να υάρχει µ Z µε µ + λ = µ + = λ µ = λ Z ηλαδή κάθε λύση ου δίνει ο (6) την δίνει και ο (). Έτσι οι τύοι () και (6) είναι ισοδύναµοι και µορούµε να αραλείψουµε τον (6). Έχουµε λοιόν τους εξής τύους: Σελ. 8
Νικ. Ιωσηφίδης: ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ κ α = + () 4 α = κ + () κ Z κ α = + (4) 6 Μορούµε ακόµη να αοδείξουµε ότι ο (4) εριέχει όλες τις λύσεις του (). (Είναι γενικότερος, αλλά δεν είναι ααραίτητο να αοδείξουµε ότι ο (4) δίνει ερισσότερες λύσεις αό τον (). Αρκεί ότι ο (4) δίνει όλες τις λύσεις ου δίνει και ο ()). Πράγµατι, ο () για κ= λ δίνει α= λ+ Για να δώσει ο (4) την ίδια λύση ρέει να υάρχει µ Z ώστε µ λ + 6 = + µ + = λ + µ = λ + Z 6 Μορούµε λοιόν να αραλείψουµε τον τύο () και να κρατήσουµε µόνο τους () και (4). Έτσι έχουµε τους τύους: κ α = + () 4 κ Z κ α = + (4) 6 ου δίνουν τις τιµές του α για τις οοίες δεν έχει νόηµα η ισότητα ου θέλουµε να αοδείξουµε. Μορούµε να αοδείξουµε εύκολα (δεν είναι όµως ααραίτητο) ότι κανένας αό τους τύους () και (4) δεν είναι γενικότερος ή ισοδύναµος µε τον άλλο. Για να αοδείξουµε.χ ότι ο τύος (4) δεν είναι γενικότερος του (), θέτουµε στον () µια τυχαία τιµή κ = λ Z και ελέγχουµε αν υάρχει άντοτε τιµή κ = µ Z τέτοια ώστε ο τύος (4) να δίνει την ίδια λύση. µ λ Θα ρέει + = + µ λ 6λ+ + = + µ = 6 4 6 4 4 6λ + Όµως µ = Z αφού 6λ+ = εριττός 4 (θα αρκούσε βέβαια ο µ να µην είναι ακέραιος έστω για µια µόνο τιµή του λ Z). Έτσι ο τύος (4) δεν είναι γενικότερος του (). Μορεί να αοδειχθεί ότι ούτε και ο () είναι γενικότερος του (4). ελικά λοιόν ρέει να κρατήσουµε και τους δύο εριορισµούς, δηλαδή η αρχική κ κ ισότητα ορίζεται αν α + και α +, κ Z 4 6 Με τους αραάνω εριορισµούς η αόδειξη γίνεται ως εξής: Σελ. 9
εφ α εφ α εφ α εφ α = (εφα + εφα)(εφα εφα) εφα + εφα εφα εφα = = ( + εφα εφα)( εφα εφα) εφα εφα + εφα εφα εφ(α+ α) εφ(α α) = εφα εφα ίνουµε µερικά ακόµη αραδείγµατα Να βρεθούν οι τιµές των µεταβλητών για τις οοίες έχουν νόηµα (ορίζονται) οι αρακάτω ισότητες: ) συν ασυν β ηµ αηµ β = συν α + συν β Εδώ δεν χρειάζεται κανένας εριορισµός. Και τα δύο µέλη ορίζονται για όλα τα α,β R ) ηµ(α β) ηµ(β γ) ηµ(γ + + α) = 0 ηµαηµβ ηµβηµγ ηµγηµα Η ισότητα δεν έχει νόηµα όταν α) ηµα = 0 α = κ, κ Z ή β) ηµβ = 0 β = κ, κ Z ή γ) ηµγ = 0 γ = κ, κ Z ηλαδή ρέει: α κ και β κ και γ κ, κ Z εφα ) εφα = εφ α κ α) Η εφα δεν ορίζεται όταν α = κ +, κ Z α = +, κ Z 4 β) Η εφα δεν ορίζεται όταν α = κ +, κ Z γ) ο κλάσµα του ου µέλους δεν ορίζεται όταν εφ α = 0 εφα = ± εφα = εφ( ± ) α = κ ±, κ Z 4 4 Έχουµε λοιόν τους εξής τύους: κ : α = + 4 : α = κ + κ Z : α = κ + 4 4 : α = κ 4 Σελ. 0
Νικ. Ιωσηφίδης: ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Μορούµε να αοδείξουµε (όως κάναµε στα ροηγούµενα) ότι ο είναι γενικότερος και του και του 4. Έτσι οι και 4 µορούν να αραλειφθούν. Αοµένουν λοιόν οι τύοι: κ : α = + 4 κ Z : α = κ + ηλαδή για να έχει νόηµα ο τύος ρέει κ α + και α κ +, κ Z 4 ηµα + συνα 4) + = + συνα ηµα ηµα α ηµα και συνα ορίζονται για κάθε α R. Οι τιµές του α για τις οοίες δεν ορίζεται η ισότητα είναι µόνο αυτές ου µηδενίζουν τους αρονοµαστές. Λύνουµε τις εξισώσεις: α) + συνα = 0 συνα = συνα = συν α = κ ±, κ Z β) ηµα = 0 ηµα = ηµ0 α = κ, κ Z (όως εξηγήσαµε στο ο αράδειγµα των ισοδυνάµων τύων). Έχουµε λοιόν τους εξής τύους: : α = κ + = (κ + ) : α = κ = (κ ) κ Z : α = κ Εύκολα αοδεικνύεται ότι ο είναι γενικότερος και του και του (ειδικότερα οι και είναι ισοδύναµοι). Παραλείοντας λοιόν τους και αοµένει ο τύος. ηλαδή ο µόνος εριορισµός ου χρειάζεται είναι ο α κ, κ Z 5) τεµα συνα = στεµα ηµα εφ α α) Η τεµα δεν ορίζεται όταν α = κ +, κ Z β) Η στεµα δεν ορίζεται όταν α = κ, κ Z γ) ο κλάσµα του ου µέλους δεν ορίζεται όταν στεµα ηµα = 0 ηµα ηµα = ηµ α = ηµα=± Λύνουµε τις εξισώσεις (γ ) και (γ ) Σελ.
γ ) ηµα = ηµα = ηµ α = κ +, κ Z γ ) ηµα = ηµα = ηµ( ) α = κ, κ Z ή δ) Η εφα δεν ορίζεται όταν α = κ +, κ Z Έτσι έχουµε τους αρακάτω τύους: α = κ +, κ Z : α = κ + : α = κ κ : α = κ + Z 4 : α = κ 5 : α = κ + Ο τύος είναι γενικότερος και του και του 4 και του 5. Παραλείουµε λοιόν τους, 4, 5 και αοµένουν οι τύοι: : α = κ + = (κ + ) κ Z = = : α κ κ Ο τύος δίνει τα εριττά ολ/σια του και ο τύος δίνει τα άρτια ολ/σια του. Οι δύο τύοι λοιόν µορούν να συµτυχθούν στον τύο : α = κ ο οοίος δίνει όλα τα ολ/σια του. Έτσι ο µόνος εριορισµός ου χρειάζεται είναι ο κ α, κ Z Σελ.