Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ των ςυμπεραςμάτων τθσ υποπαραγράφου «Λφςθ- Διερεφνθςθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ) Κεφ. 3ο: Τριγωνομετρία 3.1 Σριγωνομετρικοί Αρικμοί Γωνίασ 3.. Βαςικζσ Σριγωνομετρικζσ Σαυτότθτεσ (χωρίσ τθν απόδειξθ τθσ ταυτότθτασ 4) 3.3 Αναγωγι ςτο 1o Σεταρτθμόριο 3.4 Οι τριγωνομετρικζσ ςυναρτιςεισ 3.5 Βαςικζσ τριγωνομετρικζσ εξιςϊςεισ Κεφ. 4ο: Πολυώνυμα - Πολυωνυµικζσ εξιςώςεισ 4.1 Πολυϊνυμα 4. Διαίρεςθ πολυωνφμων 4.3 Πολυωνυµικζσ εξιςϊςεισ και ανιςϊςεισ ( χωρίσ τθν υποπαράγραφο «Προςδιοριςμόσ ρίηασ με προςζγγιςθ»). 4.4 Εξιςϊςεισ και ανιςϊςεισ που ανάγονται ςε πολυωνυμικζσ. Κεφ. 5ο: Εκθετική και Λογαριθμική ςυνάρτηςη 5.1 Εκκετικι ςυνάρτθςθ (χωρίσ τθν υποπαράγραφο «Νόμοσ εκκετικισ μεταβολισ» ) 5. Λογάρικμοι (χωρίσ τθν απόδειξθ τθσ αλλαγισ βάςθσ) 5.3 Λογαρικμικι ςυνάρτθςθ (μόνο οι λογαρικμικζσ ςυναρτιςεισ με βάςθ το 10 και το e).
Θέμα 1 ο ( 004) Θέματα επανάληψης Άλγεβρας Β Λσκείοσ 4 3 Γίλεηαη ην πνιπώλπκν ( ) 8 (5 1) 8 3 6, όπνπ α. α) Να θάλεηε ηε δηαίξεζε ηνπ Ρ(ρ) δηα ηνπ ρ -1 θαη λα γξάςεηε ηε ζρεηηθή ηαπηόηεηα β)να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ α ώζηε ε παξαπάλσ δηαίξεζε λα είλαη ηέιεηα γ) Γηα α = 3 λα βξείηε ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο Ρ(ρ) = 0 θαζώο θαη ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο πνιπσλπκηθήο ζπλάξηεζεο Ρ(ρ) είλαη θάησ από ηνλ άμνλα ρρ Θέμα ο (004) α)να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g ( ) 5. Να ιύζηε ηελ εμίζσζε g( ) g( 1) g( )... g( 49) Θέμα 3 ο (003) 50 15(5 1) 4 1 1 f( ) 3 1 5 5 Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f ( ) ln( e e 3) θαη g( ) ln3 ln( e 1) α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ f ( ), g( ) β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f ( ) g( ) γ) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε f ( ) g( ) Θέμα 4 ο (00) 3 Γίλεηαη ην πνιπώλπκν ( ) ( ) 1 1 α) Αλ ( ) 7 θαη ( 1) 3 λα δείμεηε όηη θ = - 6 θαη ι = -5 β) Να γίλεη ε δηαίξεζε ηνπ Ρ(ρ) γηα θ = - 6 θαη ι = -5 κε ην πνιπώλπκν ρ+1 θαη λα γξαθεί ην Ρ(ρ) κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο γ) Να ιπζεί ε αλίζσζε Ρ(ρ) > 7 γηα θ = - 6 θαη ι = -5 Θέμα 5 ο (00) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε e 1 f( ) ln( ). e 5 α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f( ) ln γ) Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε f( ) 0
Θέμα 6 ο (001) Έζησ Qt () ε ηηκή ελόο πξντόληνο (ζε εθαηνληάδεο ρηιηάδεο δξαρκέο ), t έηε κεηά ηελ θπθινθνξία ηνπ πξντόληνο ζηελ αγνξά. Η αξρηθή ηηκή ηνπ πξντόληνο ήηαλ 300.000 δξαρκέο, ελώ κεηά από 6 κήλεο ε ηηκή ηνπ είρε κεησζεί ζην κηζό ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο. Αλ είλαη γλσζηό όηη ηζρύεη ln Q( t) t t 0 όπνπ α,β, ηόηε : t α) λα δείμεηε όηη Q( t) 34 t 0 β) λα βξείηε ζε πόζν ρξόλν ε ηηκή ηνπ πξντόληνο ζα γίλεη ίζε κε ην 1 6 ηεο αξρηθήο γ) λα βξείηε ηνλ ειάρηζην ρξόλν γηα ηνλ νπνίν ε ηηκή ηνπ πξντόληνο δελ ππεξβαίλεη ην 1 9 ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο Θέμα 7 ο (επαναλ 001 ) 4 1 3 Γίλεηαη ην πνιπώλπκν f ( ) 5 3 5 1, α) Αλ ρ-1 παξάγνληαο ηνπ f(ρ) λα βξείηε ην ι 1 β) Γηα ι= 1 λα δείμεηε όηη ην (ρ-1) είλαη παξάγνληαο ηνπ f(ρ) γ) Γηα ι= 1 λα βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ρ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ ρρ Θέμα 8 ο ιρ+ις=ι+1 Γίλεηαη ην ζύζηεκα (ζ) : ρ+(ι+1)ς=ι+3 Α)1)Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην θαη γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο )Απόδείμηε όηη κε ι ε R-{0,1} ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ (ρ,ς)= 1 ι+, ι ι Β)Δζησ (ρ,ς) ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο κε ι ε R-{0,1} θαη ην πνιπώλπκν Ρ(ι)=ι (ι+1ρ+ς)+8. Να βξείηε ην πειίθν θαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο Ρ(ι) : (ι-) θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε Ρ(ι)=0 Θέμα 9 0 Γίλεηαη ε ζπλαξηεζε f()= e (ln ) e 3 παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Α) Απόδείμηε α=e θαη f()= e e 3 ηεο νπνίαο ε γξαθηθή f()= e e 3 λα βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο Β) Με (κόξηα 8) θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε (f()) = 5
Θέμα 10 0 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g(ρ)=1+εκ π ρ, ρ ε R Α)Να βξείηε ηελ πεξίνδν ηεο ζπλάξηεζεο Β)Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο Γ) Να βξείηε ηα ζεκεία πνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνπο άμνλεο Γ) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ρ ε R ηζρύεη (f(ρ)-1) +(f(1-ρ)-1) =4 Θέμα 11 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f( ) ( ),, 0, ε νπνία έρεη πεξίνδν Σ=4π, ην κέγηζηό ηεο είλαη 7 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(3π,3). Α) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α, β, γ. Β) Γηα α = 5, β = θαη γ = 1) Να ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαπάλσ ζπλάξηεζεο ζην δηάζηεκα [0,4π] ) Να ιπζεί ε εμίζσζε f ( ) 5 Θέμα 1 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 e 8 f( ) e 4e 1. Α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β) Να εμεηάζεηε αλ έρνπλ θνηλά ζεκεία εγξαθηθή παξάζηαζε ηεο fθαη ν άμνλαορρ Γ) Να ιπζεί ε αλίζσζε f( ) 1 Θέμα 13 ο 4 3 Γίλεηαη ην πνιπώλπκν P( ),,. Α) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α, β,αλ είλαη γλσζηό όηη ην P ( ) δηαηξείηαη κε ην πνιπώλπκν Q( ) 1 Β) Γηα α = 4 θαη β = - 1) Να γίλεη ε δηαίξεζε P( ) :( 5) θαη λα γξαθεί ε ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο ) Να ιπζεί ε εμίζσζε P( ) 14( ) Θέμα 14 ο Γίλεηαη ην πνιπώλπκν Α) Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα α, β ώζηε ην 4 3 ( ) 7 όπνπ, Β) Γηα α = -1 θαη β = 6 λα ιπζεί ε αλίζσζε Ρ(ρ) < 0 3 λα είλαη παξάγνληαο ηνπ Ρ(ρ)
Θέμα 15 ο Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) ln( e 3) Α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f Β) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α ( ln 4, 4 ) λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ α Γ) Γηα α = η) Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f κε ηνλ ρρ ηη) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα. Θέμα 16 ο Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ή Λ 1.. ln e όπνπ ζ>0 ln log όπνπ ζ>0 ln10 log 7 log 5 3. 0,1 0,1 4. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f ( ) e θαη g( ) ln είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία ς=ρ 5. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f ( ) log θαη g( ) log 0,1 είλαη 6. 7. ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηνλ ρρ log 10 όπνπ ζ>0 log ln όπνπ ζ>0 log e 8. log0, 3 log0, 5 9. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f( ) 10 θαη g( ) log είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία ς=ρ 10. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f ( ) ln θαη g( ) log 1 είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηνλ ρρ 1 log1 11. Ιζρύεη όηη log γηα θάζε ζ 1,ζ > 0 log 1. Έλα πνιπώλπκν Ρ(ρ) έρεη παξάγνληα ην ρ ξ αλ θαη κόλν αλ Ρ(ξ) = 0 13. Σν ππόινηπν ελόο πνιπσλύκνπ Ρ(ρ) κε ην ρ ξ είλαη ν αξηζκόο Ρ(ξ) 14. Σο πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ f ( ) / είναι e
ΓΡΑΠΣΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΠΔΡΙΟΓΟΤ ΜΑΙΟΤ-ΙΟΤΝΙΟΤ 013 ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΗ ΑΛΓΔΒΡΑ ΣΑΞΗ Β / Πέμπτη 30-05-13 ΘΔΜΑ 1 0 Α) Ση νλνκάδνπκε ινγάξηζκν ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ ζ, κε βάζε ηνλ ζεηηθό αξηζκό α κε α 1 ( log α ζ ) (κόξηα 5) Β)Απνδείμηε όηη έλα πνιπώλπκν Ρ(ρ) έρεη παξάγνληα ην (ρ-ξ) αλ θαη κόλν αλ ν ξ είλαη ξίδα ηνπ Ρ(ρ), δειαδε Ρ(ξ)=0 (κόξηα 10) Γ) Υαξαθηεξίζηε σο σζηή () ή Λάζνο (Λ) θάζε κηα από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο 1) Η ζπλάξηεζε f(ρ)=ζπλρ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα [0,π] )Σν πνιπώλπκν Ρ(ρ)=α λ ρ λ +α λ-1 ρ λ-1 +...+α 1 ρ+α ν έρεη πάληα βαζκό λ 3)ηελ δηαίξεζε πνιπσλύκσλ ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο ή είλαη κεδεληθό πνιπώλπκν ή έρεη βαζκό κηθξόηεξν ηνπ βαζκνύ ηνπ δηαηξέηε 4)Ιζρύεη log α ρ+ log α ς = log α (ρ+ς) γηα θάζε δεύγνο ζεηηθώλ αξηζκώλ ρ,ς 5)Ιζρύεη e lnζ =ζ γηα θάζε ζεηηθό αξηζκό ζ (κόξηα 10) ΘΔΜΑ 0 ιρ+ις=ι+1 Γίλεηαη ην ζύζηεκα (ζ) : ρ+(ι+1)ς=ι+3 Α)1)Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην θαη γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο (κόξηα 6) )Απόδείμηε όηη κε ι ε R-{0,1} ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ 1 ι+ (ρ,ς)=, (κόξηα 8) ι ι Β)Δζησ (ρ,ς) ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο κε ι ε R-{0,1} θαη ην πνιπώλπκν Ρ(ι)=ι (ι+1ρ+ς)+8. Να βξείηε ην πειίθν θαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο Ρ(ι) : (ι-) θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε Ρ(ι)=0 (κόξηα 6-5) ΘΔΜΑ 3 0 Γίλεηαη ε ζπλαξηεζε f()= e (ln ) e 3 ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Α) Απόδείμηε α=e θαη f()= e e 3 (κνξηα 10) Β) Με f()= e e 3 λα βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο (κόξηα 8) θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε (f()) = 5 (κόξηα 7)
ΘΔΜΑ 4 0 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g(ρ)=1+εκ π ρ, ρ ε R Α)Να βξείηε ηελ πεξίνδν ηεο ζπλάξηεζεο (κόξηα 4) Β)Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο (κόξηα 6) Γ) Να βξείηε ηα ζεκεία πνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνπο άμνλεο (κόξηα 8) Γ) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ρ ε R ηζρύεη (f(ρ)-1) +(f(1-ρ)-1) =4 (κνξηα 7)
Γξαπηέο πξναγσγηθέο εμεηάζεηο πεξηόδνπ Μαΐνπ Ινπλίνπ 01 Σάμε : Β Μάζεκα : Άιγεβξα Ηκεξνκελία : 1-6 01 Θέμα 1 ο ( Α =15, Β = 10 ) Α) Αλ α > 0 θαη 1, ηόηε γηα νπνηνπζδήπνηε 1, 0 λα δείμεηε όηη log ( 1 ) log 1 log Β) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ή Λ ( ρσξίο αηηηνιόγεζε ) 1. Σο πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ f ( ) είναι το /. Η περίοδοσ τθσ f ( ) ( ), 0 είναι Σ = 3. Σο πολυϊνυμο Ρ(χ) ζχει παράγοντα το χ+ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0 4. Για κάκε κ > 0 ιςχφει ότι ln e 5. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f( ) 10 και g( ) log είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τθν ευκεία ψ=χ Θέμα ο ( Α =15, Β 1 =Β = 5 ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f( ) ( ),, 0, ε νπνία έρεη πεξίνδν Σ=4π, ην κέγηζηό ηεο είλαη 7 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(3π,3). Α) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α, β, γ. Β) Γηα α = 5, β = θαη γ = 1) Να ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαπάλσ ζπλάξηεζεο ζην δηάζηεκα [0,4π] ) Να ιπζεί ε εμίζσζε f ( ) 5 Θέμα 3 ο ( Α = 8, Β = 7, Γ = 10 ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 e 8 f( ) e 4e 1. Α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β) Να εμεηάζεηε αλ έρνπλ θνηλά ζεκεία εγξαθηθή παξάζηαζε ηεο fθαη ν άμνλαορρ Γ) Να ιπζεί ε αλίζσζε f( ) 1 Θέμα 4 ο ( Α = 10, Β 1 = 7, Β = 8 ) 4 3 Γίλεηαη ην πνιπώλπκν P( ),,. Α) Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α, β,αλ είλαη γλσζηό όηη ην P ( ) δηαηξείηαη κε ην πνιπώλπκν Q( ) 1 Β) Γηα α = 4 θαη β = - 1) Να γίλεη ε δηαίξεζε P( ) :( 5) θαη λα γξαθεί ε ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο ) Να ιπζεί ε εμίζσζε P( ) 14( )
ΣΑΞΗ : Β ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΙΟΤΝΙΟΤ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07 06 010 ΜΑΘΗΜΑ : ΆΛΓΔΒΡΑ Θέμα 1 ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Α) Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο εθζεηηθήο ζπλάξηεζεο κε βάζε α. Ση πεξηνξηζκνί ηζρύνπλ γηα ηνλ α ; Β) Να απνδείμεηε όηη log log όπνπ α > 0, 1, ζ > 0 θαη Γ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε Λ 1. ( ). Κάζε ζηαζεξό πνιπώλπκν είλαη κεδεληθνύ βαζκνύ 1 3. Έζησ ε πνιπσλπκηθή εμίζσζε 1... 1 0 0.Αλ ν αθέξαηνο ξ 0 είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο, ηόηε ν ξ δηαηξεί ζίγνπξα ην ζηαζεξό όξν 0 4. log όπνπ α > 0, 1, ζ > 0 5. log ( 1 ) log 1 log όπνπ α > 0, 1, ζ 1 > 0, ζ > 0 Θέμα ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Αλ εθα, εθβ είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (3 3) 3 0 κε,,, λα δείμεηε όηη : Α) 3 3 θαη 3 Β) ( ) 3 Γ), 3
Θέμα 3 ο ( Α = 10, Β = 15 ) Γίλεηαη ην πνιπώλπκν 4 3 ( ) 7 όπνπ, Α) Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα α, β ώζηε ην 3 λα είλαη παξάγνληαο ηνπ Ρ(ρ) Β) Γηα α = -1 θαη β = 6 λα ιπζεί ε αλίζσζε Ρ(ρ) < 0 Θέμα 4 ο ( Α = 5, Β = 7, Γη = 6, Γηη = 7) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) ln( e 3) Α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f Β) Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α ( ln 4, 4 ) λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ α Γ) Γηα α = η) Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f κε ηνλ ρρ ηη) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα.