Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών

Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

Περιεχόµενα ενότητας 8. Τοπολογίες στον B(H)..................................... 4 8.. Η ισχυρή τοπολογία τελεστών ()........................... 4 8..2 Η ασθενής τοπολογία τελεστών (WOT)......................... 7 8..3 Ο B(H) ως δυϊκός χώρος Banach. Η ασθενής* τοπολογία.............. 2 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

8. Τοπολογίες στον B(H) Ο χώρος B(H), εφοδιασµένος µε την νόρµα τελεστή, είναι ϐέβαια χώρος Banach. Οµως, επειδή αποτελείται από τελεστές που δρούν σ έναν άλλον χώρο, εφοδιάζεται και µε άλλες τοπολογίες, πιο στενά συνδεδεµένες µε την δράση του στον χώρο H. 8.. Η ισχυρή τοπολογία τελεστών () Ορισµός 8... Εστω H χώρος Hlbert. Η ισχυρή τοπολογία τελεστών (strong operator topology, ) στον B(H) είναι η τοπολογία της σύγκλισης κατά σηµείο στον H. ηλαδή ένα δίκτυο (T ) από ϕραγµένους τελεστές συγκλίνει στον ϕραγµένο τελεστή T ως προς την αν και µόνον αν T x T x 0 για κάθε x H. Μια ϐάση περιοχών ενός A B(H) για την είναι η οικογένεια V {V (A, ϵ, x, x 2,..., x n ) : ϵ > 0, x, x 2,..., x n H, n N} όπου V (A, ϵ, x,..., x n ) = {T B(H) : (T A)x k < ϵ, k =,..., n}. Για τεχνικούς λόγους, ϑα µας είναι επίσης χρήσιµη µια άλλη ϐάση περιοχών για την ίδια τοπολογία: όπου W {W (A, ϵ, x, x 2,..., x n ) : ϵ > 0, x, x 2,..., x n H, n N} W (A, ϵ, x,..., x n ) = {T B(H) : (T A)x k 2 < ϵ 2 }. Οι δύο ϐάσεις ορίζουν την ίδια τοπολογία. Πράγµατι, από τις ανισότητες max{ a k 2 : k =,..., n} a k 2 n max{ a k 2 : k =,..., n} έπεται άµεσα ότι W (A, ϵ, x,..., x n ) V (A, ϵ, x,..., x n ) W (A, n /2 ϵ, x,..., x n ) εποµένως οι δύο τοπολογίες ταυτίζονται. Είναι προφανές ότι ένα δίκτυο (T ) του B(H) συγκλίνει στον A B(H) ως προς την τοπολογία αυτή αν και µόνον αν T x Ax 0 σε κάθε σηµείο x του H. Η είναι ασθενέστερη από την τοπολογία της νόρµας (αν T 0 τότε T x 0 για κάθε x H). Μάλιστα είναι γνήσια ασθενέστερη αν (και µόνον αν) ο H είναι απειροδιάστατος. Πράγµατι αν (e n ) είναι µια ορθοκανονική ακολουθία και ορίσουµε τον τελεστή T n από την σχέση T n x = x, e n e (x H), τότε T n x = x, e n 0 για κάθε x, άρα η (T n ) συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά όχι ως προς την νόρµα γιατί T n = για κάθε n. Η είναι τοπολογία Hausdorff. Πράγµατι, αν A, B B(H) και A B, υπάρχει x H ώστε Ax Bx 2δ > 0. Τότε τα σύνολα V (A, δ, x) και V (B, δ, x) είναι -ανοικτά και διαχωρίζουν τα A και B. εν είναι όµως µετρικοποιήσιµη (εκτός ϐέβαια αν dm H < ): Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

Πρόταση 8..2. Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hlbert. Υπάρχει υποσύνολο E του B(H) ώστε 0 E αλλά καµµιά ακολουθία του E δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την. Εποµένως η δεν είναι µετρικοποιήσιµη τοπολογία. Απόδειξη. Εστω {e n : n N} ορθοκανονική ακολουθία στον H και P n η ορθή προβολή στον υπόχωρο [e n ]. Θέτουµε E = { np n : n N}. Εφόσον np n δεν υπάρχει ακολουθία στο E που να συγκλίνει στο 0 ως προς την. Πράγµατι, κάθε -συγκλίνουσα ακολουθία είναι κατά σηµείο ϕραγµένη και συνεπώς, από την Αρχή Οµοιοµόρφου Φράγµατος, είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη. Ισχυριζόµαστε όµως ότι 0 E. Πράγµατι, αν όχι, ϑα υπήρχε µια -περιοχή V του 0 µε E V =. Η V περιέχει µια ϐασική περιοχή της µορφής m W = {T B(H) : T x k 2 < ε 2 } Αφού E W =, για κάθε n N ο τελεστής np n δεν ανήκει στην W, άρα m m άτοπο. n x k, e n 2 ε 2. Επεται από την ανισότητα Bessel ότι m x k 2 m x k, e n 2 ε 2 n = + np n x k 2 ε 2, οπότε Είναι ϕανερό από τον ορισµό ότι η είναι τοπολογία γραµµικού χώρου δηλαδή ότι οι γραµµικές πράξεις και (B(H), ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) A + B (C,. ) (B(H), ) (B(H), ) : (λ, A) λ A είναι συνεχείς. εν ισχύει όµως το ίδιο για τον πολλαπλασιασµό (την σύνθεση) τελεστών: Πρόταση 8..3. Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hlbert. () Ο πολλαπλασιασµός δεν είναι συνεχής. (B(H), ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) AB () Οµως, για κάθε r > 0, ο περιορισµός του (B(H) r, ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) AB (όπου B(H) r = {T B(H) : T r}) είναι συνεχής. () Ο πολλαπλασιασµός είναι ακολουθιακά συνεχής, δηλαδή αν (A n ), (B n ) είναι ακολουθίες µε A n A και B n B τότε A n B n AB. (v) Ο πολλαπλασιασµός είναι χωριστά συνεχής, δηλαδή για κάθε A B(H) οι απεικονίσεις και L A : (B(H), ) (B(H), ) : B AB R A : (B(H), ) (B(H), ) : B BA είναι συνεχείς. ούτε καν πρώτη αριθµήσιµη, δηλαδή το 0 δεν έχει αριθµήσιµη ϐάση περιοχών Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

Απόδειξη. () Θα κατασκευάσουµε δύο δίκτυα (A F ) και (B F ) που καθένα συγκλίνει στο 0, αλλά το δίκτυο (A F B F ) δεν συγκλίνει στο 0. Το σύνολο δεικτών ϑα είναι το σύνολο X των υποχώρων F του H που έχουν πεπερασµένη διάσταση (dm F n F ), διατεταγµένο από την σχέση του περιέχεσθαι. Για κάθε F X, ϑέτουµε A F = n F P F (όπου P F η ορθή προβολή στον υπόχωρο F ). Επίσης, επιλέγουµε µια µερική ισοµετρία U F µε αρχικό χώρο F και τελικό χώρο έναν υπόχωρο 2 του F και ϑέτουµε B F = n F U F. Ισχυριζόµαστε ότι A F 0. Πράγµατι, έστω x H και ϵ > 0. Αν F o = [x] X, τότε για κάθε F X µε F F o έχουµε P F x = 0 άρα A F x = 0 < ϵ. Ισχυριζόµαστε ότι B F 0 (άρα και B F 0). Πράγµατι, αν ϵ > 0 επιλέγουµε F o X µε οπότε για κάθε F X µε F F o έχουµε B F = dm F < ϵ. dm F o < ϵ, Οµως, αν x H, x 0, τότε A F B F x 0. Πράγµατι, A F B F = P F U F = U F γιατί U F (H) F. Εποµένως αν F o = [x] τότε για κάθε F X µε F F o έχουµε U F x = x άρα U F x 0. () Αν τα δίκτυα (A ) και (B ) τείνουν στο 0 ως προς την και επιπλέον το πρώτο είναι ϕραγµένο 3, A r για κάθε, τότε για κάθε x H άρα A B 0. A B x A. B x r B x 0, () Αν οι ακολουθίες (A n ) και (B n ) τείνουν στο 0 ως προς την, τότε η A n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη (όπως είδαµε στην απόδειξη της Πρότασης 8..2), άρα A n B n 0 από το (). (v) Αν A B(H) και B B τότε από το () έχουµε AB AB. Επίσης για κάθε x H έχουµε B (Ax) B(Ax) άρα B A BA. Πρόταση 8..4. Αν H είναι απειροδιάστατος χώρος Hlbert, η ενέλιξη δεν είναι (ούτε ακολουθιακά) συνεχής. (B(H), ) (B(H), ) : A A Για την απόδειξη, αν H = l 2, ένα κατάλληλο παράδειγµα είναι η n-οστή δύναµη του τελεστή της µετατόπισης αριστερά. Το παράδειγµα µεταφέρεται εύκολα σε έναν αυθαίρετο χώρο Hlbert: Παράδειγµα 8..5. Αν {e n : n N} είναι µια ορθοκανονική ακολουθία στον H, ορίζουµε για κάθε n N T n x = k=n+ x, e k e k n. Τότε T n 0, ενώ T n 0. 2 επιλέγουµε µια ορθοκανονική ϐάση x,..., x nf του F και ένα τυχαίο ορθοκανονικό σύνολο {y,..., y nf } F (αυτό είναι δυνατόν γιατί dm F dm F ) και ορίζουµε την U F από τις σχέσεις U F x k = y k, k =,..., n F. 3 Παρατηρούµε όµως ότι, όπως ϕαίνεται από το παράδειγµα από το (), το συµπέρασµα δεν ισχύει αν το δεύτερο δίκτυο είναι ϕραγµένο, έστω και αν B 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

Πράγµατι, και συνεπώς T n x 0. T n x 2 = x, e k 2 k=n+ Ελέγχεται όµως εύκολα ότι T n e = e n+, άρα T n e = για κάθε n και συνεπώς T n e 0. 8..2 Η ασθενής τοπολογία τελεστών (WOT) Αν x, y H, ϑέτουµε ω x,y : B(H) C : T T x, y. Η ανισότητα T x, y T x y δείχνει ότι η ω x,y είναι -συνεχής στον B(H) και ω x,y x y. Μάλιστα ισχύει ισότητα, γιατί αν y x είναι ο τελεστής y x : z z, x y τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι y x = x y και ω x,y (y x ) = x 2 y 2. Εποµένως ω x,y = x y. Ορισµός 8..6. Εστω H χώρος Hlbert. Η ασθενής τοπολογία τελεστών ( weak operator topology, WOT ) στον B(H) είναι η ασθενέστερη τοπολογία ως προς την οποία όλες οι γραµµικές µορφές είναι συνεχείς. ω x,y (x, y H) ηλαδή ένα δίκτυο (T ) από ϕραγµένους τελεστές συγκλίνει στον ϕραγµένο τελεστή T ως προς την WOT αν και µόνον αν T x T x, y 0 για κάθε x, y H. Πρέπει να τονισθεί ότι η WOT δεν ταυτίζεται µε την ασθενή τοπολογία w = σ(b(h), B(H) ) που επάγεται στον χώρο Banach (B(H),. ) από τον τοπολογικό δυϊκό του B(H) (ϐλ. Παρατήρηση 8..9 () ). Η ανισότητα T x, y T x y δείχνει ότι η WOT είναι ασθενέστερη από την. Μάλιστα, είναι γνησίως ασθενέστερη (όταν dm H = + ): Η ακολουθία (Tn ) του Παραδείγµατος 8..5 δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά συγκλίνει ως προς την WOT, γιατί Tn x, y = x, T n y x T n y 0 αφού T n 0. Θα δείξουµε ότι παρόλα αυτά, οι δύο αυτές τοπολογίες έχουν τις ίδιες συνεχείς γραµµικές µορφές. Συµβολισµός : Εστω H n το ευθύ άθροισµα n αντιγράφων του H (µε το εσωτερικό γινόµενο (y,..., y n ), (u,..., u n ) n = y k, u k ). Αν T B(H), συµβολίζουµε T (n) τον τελεστή στον H n k που ορίζεται από την σχέση T (n) y. y n T y = T... 0. =. y.... T y n. 0... T. y n Η απεικόνιση A A (n) είναι ισοµετρικός *-µορφισµός, και είναι (-)-συνεχής. Αν A B(H) είναι [αυτοσυζυγής] άλγεβρα, τότε η εικόνα της A (n) B(H n ) είναι [αυτοσυζυγής] άλγεβρα (και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή του H n αν και µόνον αν η A περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή του H). Σηµειώνουµε ότι η A (n) δεν ταυτίζεται µε το ευθύ άθροισµα n αντιγράφων της A. Παραδείγµατος χάριν, {[ ] } {[ ] } A (2) A 0 A 0 = : A A ενώ A A = : A, B A. 0 A 0 A Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

Ορισµός 8..7. Ονοµάζουµε B (H) την γραµµική ϑήκη B (H) = [ω x,y : x, y H] = (η δεύτερη ισότητα έπεται από την παρατήρηση ότι λω x,y = ω λx,y ). ω xk,y k : x k, y k H, n N Πρόταση 8..8. Μία γραµµική µορφή ω : B(H) C είναι WOT-συνεχής αν και µόνον αν είναι συνεχής, αν και µόνον αν ω B (H). Απόδειξη. () Είναι ϕανερό ότι, αν ω B (H), τότε η ω είναι WOT-συνεχής, εφόσον κάθε ω x,y είναι WOT-συνεχής. () Αν η ω είναι WOT-συνεχής, τότε είναι -συνεχής, αφού η είναι ισχυρότερη από την WOT. () Εστω ότι µια γραµµική µορφή ω είναι -συνεχής. Θα δείξουµε ότι ω B (H). Επειδή η ω είναι -συνεχής, υπάρχει µια -ϐασική περιοχή του 0, έστω W = {T B(H) : T x k 2 < ϵ 2 } ώστε ω(t) < για κάθε T W. Ισχυριζόµαστε ότι (*) ω(t) 2 ϵ Πράγµατι: Αν p(t) = 2 ϵ ( n T x k 2 ) /2 τότε /2 T x k 2 W = {T B(H) : p(t) < 2}. για κάθε T B(H). Εποµένως, αν p(t) 0 τότε T T p(t) W άρα ω( p(t) ) < δηλαδή ω(t) < p(t) και συνεπώς ισχύει η (*). Αν πάλι p(t) = 0 τότε nt W για κάθε n N άρα ω(nt) < για κάθε n και συνεπώς ω(t) = 0 άρα πάλι ισχύει η (*). Θεωρούµε τον υπόχωρο K = {(T x, T x 2,..., T x n ) : T B(H)} H n. Παρατηρούµε ότι αν (T x, T x 2,..., T x n ) = 0 τότε ω(t) = 0 από την (*). Συνεπώς η απεικόνιση ϕ : K C : (T x, T x 2,..., T x n ) ω(t) είναι καλά ορισµένη και ϐεβαίως είναι γραµµική. Μάλιστα η (*) δείχνει ακριβώς ότι η ϕ είναι συνεχής (ως προς την νόρµα του H n ). Συνεπώς επεκτείνεται σε συνεχή γραµµική µορφή στον χώρο Hlbert H n, άρα υπάρχει (u,..., u n ) H n ώστε ϕ(t x, T x 2,..., T x n ) = (T x, T x 2,..., T x n ), (u,..., u n ) n = T x k, u k = ω xk,u k (T) για κάθε (T x, T x 2,..., T x n ) K, δηλαδή ω(t) = για κάθε T B(H), άρα ω B (H). ω xk,u k (T) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Παρατήρηση 8..9. Κάθε ω B (H) µπορεί να γραφεί στην µορφή ω = n ω xm,y m όπου η οικογένεια m= {x,..., x n } είναι ορθοκανονική. Επεται ότι οι γραµµικές µορφές ω B (H) καθορίζονται από τον περιορισµό τους στον υπόχωρο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Απόδειξη. Ο πρώτος ισχυρισµός ϕαίνεται εύκολα: Αν ω = ϐάση {x,..., x n } του χώρου [u,..., u l ] και γράφοντας u k = T B(H), όπου y m = l ā km v k. ω(t) = T x m, y m Εχουµε τώρα, για κάθε x, y H, (8..2.) ω(x y ) = x m, y x, y m = x, y, x m y m. m= Εποµένως αν ω(x y ) = 0 για κάθε x, y H 4 τότε l ω uk,v k, επιλέγοντας µια ορθοκανονική n m= m= m= n m= a km x m ϐρίσκουµε εύκολα ότι, για κάθε y, x m y m = 0 για κάθε y H, οπότε (αφού τα x m είναι ορθοκανονικά) ϑέτοντας y = x m ϐρίσκουµε y m = 0 για κάθε m =,..., n, άρα ω = 0. Πρόταση 8..0. Κάθε ω B (H) µπορεί να γραφεί στη µορφή ω = λ m ω em, f m m= όπου οι οικογένειες {e m : m =,... M} και { f m : m =,... M} είναι ορθοκανονικές, λ m R + και ω = λ m. m= Απόδειξη. Εστω ω = N ω xn,y n B (H). Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα (*) (ξ η )x, y = (x y )ξ, η που είναι άµεση συνέπεια του ορισµού, ϐρίσκουµε ότι, για κάθε ξ, η H, ω(ξ η ) = N (ξ η N ))x n, y n = (xn yn)ξ, η = Tξ, η όπου T := N x n y n. 4 Μάλιστα, αρκεί η σχέση ω(x y ) = 0 να ισχύει για κάθε x [x,..., x n ] και κάθε y [y,..., y n ] Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Εστω T = V T η πολική αναπαράσταση του τελεστή T. Επειδή ο T είναι πεπερασµένης τάξης και ϑετικός τελεστής, από το ϕασµατικό ϑεώρηµα (σε χώρους πεπερασµένης διάστασης) υπάρχουν ορθοκανονικά διανύσµατα {e,..., e M } και λ m > 0 ώστε όπου f m = V e m. T = λ m e m e m άρα T = V T = λ m f m e m m= Χρησιµοποιώντας πάλι την ταυτότητα (*), υπολογίζουµε Tξ, η = = λ m ( fm e m)ξ, η = m= λ m ω f m,e m (ξ η ). m= m= λ m (ξ η ) f m, e m Εποµένως οι γραµµικές µορφές ω και λ m ω f m,e m, που ανήκουν στο B (H), ταυτίζονται στο σύνολο m= F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης, άρα, από την προηγούµενη παρατήρηση, είναι ίσες: ω = M λ m ω f m,e m. m= Επεται τώρα ότι, για κάθε A B(H), άρα ω M οπότε ισχύει ισότητα. ω(a) λ m ω f m,e m (A) m= λ m, και από την άλλη µεριά m= ω ω(v ) = λ m V f m, e m = m= m= m= λ m f m e m A = m= λ m e m, e m = m= λ m A Παρατήρηση 8... () Εύκολα ϕαίνεται ότι η WOT είναι τοπολογία γραµµικού χώρου και ότι είναι Hausdorff (οι γραµµικές µορφές ω x,y χωρίζουν τα σηµεία του B(H)). () Η WOT δεν ταυτίζεται µε την ασθενή τοπολογία w = σ(b(h), B(H) ) που επάγεται στον χώρο Banach (B(H), ) από τον τοπολογικό δυϊκό του B(H). Η w είναι (γνήσια) ισχυρότερη από την WOT (όταν dm H = ): είναι η ασθενέστερη τοπολογία στον B(H) ως προς την οποία όλες οι -συνεχείς γραµµικές µορφές είναι συνεχείς, ενώ για την WOT απαιτούνται «µόνον» οι γραµµικές µορφές ω B (H). m= λ m Απόδειξη. Πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει -συνεχής γραµµική µορφή ψ : B(H) C που δεν ανήκει στον B (H). Από την Παρατήρηση 8..9, οι γραµµικές µορφές του B (H) καθορίζονται από τον περιορισµό τους στον υπόχωρο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Οµως ο ταυτοτικός τελεστής I δεν ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του F (H). 5 Επεται από το Θεώρηµα Hahn - Banach ότι υπάρχει µια -συνεχής γραµµική µορφή ψ : B(H) C που µηδενίζει τον F (H) αλλά ψ(i) 0. Εποµένως η ψ δεν µπορεί να ανήκει στον B (H). 5 Το ανοικτό σύνολο {T : T I < } δεν τέµνει τον F (H), γιατί αν T I < τότε ο T είναι αντιστρέψιµος (άρα T F (H)), αφού η «γεωµετρική» σειρά (I T) n συγκλίνει στον T n 0 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

Πρόταση 8..2. () Η ενέλιξη είναι WOT-WOT συνεχής στον B(H), και ο πολλαπλασιασµός είναι χωριστά WOT-WOT συνεχής. () Ο πολλαπλασιασµός (B(H), WOT) (B(H), WOT) (B(H), WOT) : (A, B) AB δεν είναι συνεχής, ούτε καν ακολουθιακά (άρα ούτε περιορισµένος σε ϕραγµένα σύνολα). Απόδειξη. () Εστω A WOT A και B, C B(H). Τότε για κάθε x, y H έχουµε A x, y = x, A y x, Ay = A x, y πράγµα που δείχνει ότι η ενέλιξη είναι WOT-WOT συνεχής. Επίσης BA Cx, y = A (Cx), (B y) A(Cx), (B y) = BACx, y πράγµα που δείχνει ότι οι απεικονίσεις L B : A BA και R C : A AC είναι WOT-WOT συνεχείς. () Θεωρούµε την ακολουθία (T n ) του Παραδείγµατος 8..5: είναι ϕραγµένη και συγκλίνει στο 0 ως προς την, άρα και ως προς την WOT. Συνεπώς από το () έχουµε Tn WOT 0. Οµως T n Tn e = e για κάθε n N, άρα T n Tn WOT 0. Πόρισµα 8..3. Ενα κυρτό υποσύνολο (ειδικότερα, ένας γραµµικός υπόχωρος) S B(H) είναι κλειστός αν και µόνον αν είναι WOT-κλειστός. Απόδειξη. Εφόσον η WOT είναι ασθενέστερη τοπολογία από την, έχουµε S S WOT. Αν όµως A S, από το διαχωριστικό Θεώρηµα Hahn-Banach έπεται 6 ότι υπάρχει -συνεχής γραµµική µορφή ω και λ R ώστε Re ω(a) > λ αλλά Re ω(s) < λ για κάθε S S. Οµως η ω είναι WOT-συνεχής (Πρόταση 8..8), και συνεπώς A S WOT. Θα δώσουµε στην συνέχεια έναν «γεωµετρικό» χαρακτηρισµό της -κλειστής ϑήκης υποχώρων του B(H). Θα χρειασθούµε την ακόλουθη έννοια: Ορισµός 8..4. Αν S B(H) είναι γραµµικός υπόχωρος, η ανακλαστική θήκη ( reflexve cover) Ref S του S είναι ο υπόχωρος Ref S = {T B(H) : T x Sx για κάθε x H}. Παρατήρηση 8..5. Είναι ϕανερό ότι ο Ref S είναι -κλειστός υπόχωρος και περιέχει τον S, άρα περιέχει και την -κλειστή ϑήκη S του S. εν είναι όµως εν γένει ίσος µε την S : Αν T Ref S, τότε για κάθε ϵ > 0 και x H υπάρχει S S ώστε (T S)x < ϵ. Συνεπώς για κάθε ϵ > 0 και x,..., x n H υπάρχουν S,..., S n S ώστε (T S )x < ϵ για =,..., n. Αυτό δεν αποδεικνύει ότι T S. Πρέπει να υπάρχει ένα κοινό S S που να ικανοποιεί ταυτόχρονα όλες αυτές τις ανισότητες. Η διαφορά µεταξύ ανακλαστικής και -κλειστής ϑήκης ϕαίνεται και ως εξής: Ενας τελεστής T ανήκει στην ανακλαστική ϑήκη Ref S του S αν και µόνον αν για κάθε x H υπάρχει δίκτυο (S ) στον S που εξαρτάται από το x ώστε S x T x. Ενας τελεστής T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S αν και µόνον αν υπάρχει ένα δίκτυο (S ) στον S ώστε S x T x για όλα τα x H. 6 ϐλέπε π.χ. το Πόρισµα IV.3.0 του J.B. Conway, A course n Functonal Analyss, Sprnger-Verlag, 985. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Παράδειγµα 8..6. Εστω {[ ] } a b A = : a, b C. 0 a Η A είναι -κλειστή άλγεβρα τελεστών στον χώρο Hlbert C 2 και περιέχει τον ταυτοτικό. Αν T = [ ] x y 0 z όπου x z, τότε ϕαίνεται εύκολα ότι T ξ Aξ για κάθε ξ C 2, άρα T Ref A, ενώ T A. Για παράδειγµα, υπάρχουν A, A 2 A ώστε Te = A e για =, 2: µπορούµε να ϐάλουµε A = [ ] x y 0 x και A 2 = [ ] z y 0 z αλλά δεν υπάρχει κοινό A A ώστε Te = Ae και Te 2 = Ae 2. Με άλλα λόγια, T (2) Ref A (2) : T (2) 0 0 = y z x 0 0 ενώ A (2) 0 b = a a 0 : a, b C. Πρόταση 8..7. Αν S B(H) είναι γραµµικός υπόχωρος, ένας τελεστής T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S αν και µόνον αν T (n) Ref S (n) για κάθε n N. Απόδειξη. Αν υπάρχει δίκτυο (S ) στον S ώστε S T τότε για κάθε n N έχουµε S (n) T (n), συνεπώς T (n) Ref S (n). S (n) S (n) και Εστω αντίστροφα ότι T (n) Ref S (n) για κάθε n N, και έστω W = {A B(H) : m T x k Ax k 2 < ϵ 2 } µια ϐασική -περιοχή του T. Επειδή T (m) Ref S (m), αν συµβολίσουµε µε x H m το διάνυσµα-στήλη µε συντεταγµένες (x,..., x m ), ϑα ισχύει η σχέση T (m) x S (m) x, εποµένως ϑα υπάρχει S (m) S (m) ώστε T (m) x S (m) x < ϵ. Μα αυτή η ανισότητα σηµαίνει ακριβώς ότι S W, άρα ο T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S. 8..3 Ο B(H) ως δυϊκός χώρος Banach. Η ασθενής* τοπολογία Θεωρούµε τον χώρο B (H) των WOT-συνεχών γραµµικών µορφών στον B(H), εφοδιασµένο µε την νόρµα του δυϊκού χώρου του B(H). Θα αποδείξουµε ότι ο δυϊκός χώρος του (B (H), ) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον B(H). Εστω A B(H). Ορίζουµε την απεικόνιση ϕ A : B (H) C από τον τύπο ϕ A (ω) = ω(a), ω B (H). Ειδικότερα ϕ A (ω x,y ) = ω x,y (A) = Ax, y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

Είναι ϕανερό ότι η απεικόνιση ϕ A είναι γραµµική, και είναι συνεχής διότι ϕ A (ω) = ω(a) ω A για κάθε ω B (H), από τον ορισµό της ω. Εποµένως ϕ A (B (H), ) και ϕ A A. Εστω αντίστροφα ψ (B (H), ). Θα ϐρουµε A B(H) ώστε ψ = ϕ A. Κάθε Ϲεύγος x, y H ορίζει έναν αριθµό ψ(ω x,y ) C. ηµιουργείται λοιπόν µια απεικόνιση b : H H C : (x, y) ψ(ω x,y ). Επειδή η απεικόνιση (x, y) ω x,y είναι sesqulnear και η ψ είναι γραµµική, η b είναι sesqulnear. Επίσης, b(x, y) = ψ(ω x,y ) ψ ω x,y ψ x y άρα η b είναι ϕραγµένη (από ψ ). Συνεπώς από το Θεώρηµα Resz (Πρόταση 2..2) υπάρχει A ψ B(H) ώστε b(x, y) = A ψ x, y δηλαδή ψ(ω x,y ) = A ψ x, y = ω x,y (A ψ ) και για κάθε x, y H, άρα A ψ x, y = ψ(ω x,y ) ψ ω x,y = ψ x y A ψ ψ. Επειδή ο χώρος B (H) είναι η γραµµική ϑήκη του συνόλου {ω x,y : x, y H} και οι απεικονίσεις ψ και ϕ Aψ είναι γραµµικές, οι σχέσεις ψ(ω x,y ) = ω x,y (A) = ϕ Aψ (ω x,y ) για κάθε x, y H δείχνουν ότι ψ = ϕ Aψ. είξαµε λοιπόν ότι η A ϕ A απεικονίζει τον B(H) επί του δυικού του B (H). Τέλος παρατηρούµε ότι, αν ψ = ϕ A, τότε Aψ x, y = ϕ A (ω x,y )) = Ax, y για κάθε x, y H (ορισµός του A ψ ), άρα A ψ = A. Εποµένως η ανισότητα A ψ ψ δείχνει ότι A ϕ A. Ειχαµε όµως δείξει ότι ϕ A A, συνεπώς ισχύει ισότητα. είξαµε δηλαδή ότι η απεικόνιση (B(H), ) ((B (H)), ) : A ϕ A που είναι προφανώς γραµµική, είναι ισοµετρία και επί: Πρόταση 8..8. Ο χώρος B(H) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον δυϊκό του χώρου (B (H), ) µέσω της απεικόνισης A ϕ A, όπου ϕ A (ω) = ω(a), (A B(H), ω B (H)). Ο χώρος B (H) δεν είναι κλειστός υπόχωρος του δυϊκού B(H), δεν είναι λοιπόν χώρος Banach (όταν dm H = ). Παραδείγµατος χάριν, αν {e n } H είναι µια άπειρη ορθοκανονική ακολουθία, η γραµµική απεικόνιση ϕ όπου ϕ(t) = k 2 ω e k,e k (T) k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του B (H) (διότι η σειρά συγκλίνει απόλυτα). εν ανήκει όµως στον B (H). Πράγµατι, αν ϕ = ω όπου ω = k N, δηλαδή n m= k 2 x, e k = ω xm,y m, τότε ϑα έχουµε ϕ(x e k ) = ω(x e k ) για κάθε x H και x m, e k x, y m = x, m= για κάθε x H και k N, το οποίο σηµαίνει ότι k 2 e k = n m= διάνυσµα e k ανήκει στον χώρο [y,..., y m ], πράγµα αδύνατο. e k, x m y m m= e k, x m y m, δηλαδή ότι για κάθε k N το Ορισµός 8..9. Ο προδυϊκός B (H) B(H) είναι η -κλειστή ϑήκη του B (H). Η ονοµασία οφείλεται στο γεγονός ότι ο δυϊκός του B (H) ταυτίζεται 7 µε τον δυϊκό του B (H), δηλαδή µε τον B(H). Αποδεικνύεται µάλιστα ότι ο B (H) είναι ο µοναδικός χώρος Banach που έχει ως δυϊκό τον B(H) (πράγµα που δεν αληθεύει εν γένει για τους προδυϊκούς άλλων δυϊκών χώρων Banach). Ορισµός 8..20. Η ασθενής-* τοπολογία ( w*) στον B(H) είναι η ασθενέστερη τοπολογία ως προς την οποία κάθε ω B (H) είναι συνεχής, είναι δηλαδή η ασθενής-* τοπολογία σ(b(h), B (H)) που έχει ο B(H) ως δυϊκός του χώρου Banach B (H). Η τοπολογία αυτή ονοµάζεται πολλές ϕορές και υπερασθενής (ultraweak). Αφού ο B(H) είναι ο δυϊκός του χώρου Banach B (H), εφαρµόζεται το Θεώϱηµα Αλάογλου (ϐλ. π.χ. Σ. Νεγρεπόντης, Θ. Ζαχαριάδης, Ν. Καλαµίδας, Β. Φαρµάκη, Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση, Εκδ. Συµµετρία, 988., Θεώρηµα 7.), σύµφωνα µε το οποίο η κλειστή µοναδιαία µπάλα ενός δυϊκού χώρου Banach είναι ασθενώς-* συµπαγής: Θεώρηµα 8..2. Η κλειστή µοναδιαία µπάλα (και γενικότερα, κάθε ασθενώς-* κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο) του B(H) είναι ασθενώς-* συµπαγής. Οταν dm H =, η ασθενής* τοπολογία είναι γνήσια ισχυρότερη από την WOT, εφόσον B (H) B (H). εν είναι όµως συγκρίσιµη µε την. Πράγµατι: αν ϕ B (H) \ B (H), τότε ο γραµµικός χώρος ker ϕ είναι ασθενώς-* κλειστός (αφού η ϕ είναι ασθενώς-* συνεχής), αλλά δεν είναι WOT κλειστός (διότι η ϕ δεν είναι WOT συνεχής), άρα ούτε κλειστός (Πόρισµα 8..3). Συνεπώς η ασθενής* τοπολογία δεν είναι ασθενέστερη από την. Αλλά δεν είναι ούτε ισχυρότερη: αν (T n ) είναι η ακολουθία του Παραδείγµατος 8..5, τότε, όπως δείξαµε, η (Tn ) δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά συγκλίνει στο 0 ως προς την w*. Πράγµατι, η (Tn ) συγκλίνει στο 0 ως προς την WOT, και είναι -ϕραγµένη. Οπως ϑα δείξουµε αµέσως, η w* συµπίπτει µε την WOT στα φραγµένα υποσύνολα του B(H). Πρόταση 8..22. Οι τοπολογίες w* και WOT συµπίπτουν στα -ϕραγµένα υποσύνολα του B(H). Εποµένως η µοναδιαία µπάλα του B(H) είναι WOT-συµπαγής. Απόδειξη. Αρκεί να δειχθεί ότι αν ένα ϕραγµένο δίκτυο (T ) συγκλίνει στο 0 ως προς την WOT, τότε w T 0. Εστω λοιπόν ω B (H) και ϵ > 0. Τότε υπάρχει ω B (H) ώστε ω ω < ϵ. Αφού WOT T 0, υπάρχει o ώστε ω (T ) < ϵ για κάθε o. Αν M = sup T, τότε ω(t ) (ω ω )(T ) + ω (T ) < Mϵ + ϵ για κάθε o. Συνεπώς lm ω(t ) = 0, άρα, αφού η ω είναι αυθαίρετη, T w 0. 7 κάθε συνεχής γραµµική µορφή στον B (H) επεκτείνεται (λόγω συνέχειας) σε µια µοναδική συνεχή γραµµική µορφή στον B (H), και µε την ίδια νόρµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

Πόρισµα 8..23. Ο χώρος F (H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης είναι πυκνός στον B(H) ως προς την, την WOT και την ασθενή-*, όχι όµως ως προς την τοπολογία της νόρµας (όταν dm H = ). Απόδειξη. Εστω X το σύνολο των υποχώρων του H που έχουν πεπερασµένη διάσταση (όπως στη απόδειξη της Πρότασης 8..3), διατεταγµένο µε τη σχέση του περιέχεσθαι. Για κάθε F X ονοµάζουµε P F την ορθή προβολή στον υπόχωρο F. Ισχυριζόµαστε ότι P F I δηλαδή ότι P F x x 0 για κάθε x H. Πράγµατι, έστω ϵ > 0. Αν F 0 := [x], για κάθε F X µε F F 0 ισχύει ότι x F και συνεπώς P F x x = 0 < ϵ. Αν τώρα A B(H), τότε AP F F (H) και AP F A, εποµένως ο F (H) είναι -πυκνός στον w B(H), άρα και WOT-πυκνός, αφού η WOT είναι ασθενέστερη από την. Επίσης όµως AP F A από WOT την προηγούµενη Πρόταση, διότι AP F A και το δίκτυο (AP F ) είναι ϕραγµένο. Αρα ο F (H) είναι w*-πυκνός στον B(H). Τέλος, ο F (H) δεν είναι -πυκνός στον B(H), γιατί, όπως έχουµε ήδη παρατηρήσει, ο ταυτοτικός τελεστής δεν είναι -όριο ακολουθίας τελεστών πεπερασµένης τάξης, όταν dm H =. Αποδεικνύεται 8 ότι όταν dm H =, οι WOT και w* δεν είναι µετρικοποιήσιµες τοπολογίες στον B(H). Οι περιορισµοί όµως των τοπολογιών αυτών στα ϕραγµένα υποσύνολα του B(H) είναι µετρικοποιήσιµες τοπολογίες, όταν ο H είναι διαχωρίσιµος: Πρόταση 8..24. Αν ο H είναι διαχωρίσιµος, τότε () Ο προδυϊκός B (H) είναι διαχωρίσιµος χώρος Banach. () Ο περιορισµός της ασθενούς-* τοπολογίας (ισοδύναµα, της WOT) στην µοναδιαία µπάλα B(H) είναι µετρικοποιήσιµη τοπολογία, άρα διαχωρίσιµη (εφόσον είναι συµπαγής). Απόδειξη. Εστω Ξ αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο του H. Τότε το σύνολο είναι αριθµήσιµο. Ω = {ω ξ,η : ξ, η Ξ} B (H) () Η ανισότητα ω x,y ω ξ,η = ω x ξ,y + ω ξ,y η x ξ y + ξ y η δείχνει ότι η -κλειστή γραµµική ϑήκη του Ω περιέχει το σύνολο {ω x,y : x, y H}, άρα και την -κλειστή γραµµική του ϑήκη, που είναι όλος ο B (H). Εποµένως ο B (H) είναι διαχωρίσιµος. () Εστω Ω = {ω n : n N} µια αρίθµηση του Ω. Ορίζουµε d(t, S) = ω n (T S) 2 n ω n (T, S B(H) ). 8 Παράδειγµα (von Neumann ) Εστω E = {P n + np m : m > n}, όπου P n µονοδιάστατες κάθετες ανά δύο προβολές. Οπως στην Πρόταση 8..2 ϕαίνεται ότι δεν υπάρχει ακολουθία στο E που να συγκλίνει στο 0 ως προς την w* (ή την WOT). Ισχυριζόµαστε όµως ότι το 0 ανήκει στην w*-κλειστή ϑήκη του E. Πράγµατι, αν όχι, τότε ϑα υπήρχαν ω,..., ω k B (H) και ϵ > 0 ώστε max k ω (P n + np m ) ϵ για κάθε m > n. Αλλά τότε, επειδή lm ω(p m ) = 0 για κάθε ω B (H) ϑα είχαµε max m άτοπο. ω (P n ) = lm m max ω (P n + np m ) ϵ για κάθε n, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

Ο αναγνώστης µπορεί να ελέγξει ότι η d ορίζει µία µετρική στην B(H) (το γεγονός ότι T = S αν d(t, S) = 0 έπεται από την πυκνότητα του Ξ στον H). Αν ένα δίκτυο (T ) στην B(H) συγκλίνει στον T B(H) ως προς την WOT, τότε ω n (T T) 0 για κάθε n N και, χρησιµοποιώντας ότι ω n (T T) 2 ω n, αποδεικνύεται εύκολα ότι d(t, T) 0. Εποµένως η WOT είναι ισχυρότερη από την τοπολογία που ορίζει η d. Αλλά η πρώτη είναι συµπαγής, άρα οι δύο τοπολογίες συµπίπτουν. (Στην πραγµατικότητα δεν είναι δύσκολο να δειχθεί απευθείας ότι αν d(t, T) 0 τότε T T ως προς την WOT). Εφόσον η WOT και η w* συµπίπτουν στην B(H), η απόδειξη είναι πλήρης. Ο προδυϊκός B (H) του B(H) αποκαλείται καµµιά ϕορά «µη µεταθετικός l». Η ονοµασία αυτή οφείλεται εν µέρει στην επόµενη Πρόταση 8..25. Ο προδυϊκός B (H) του B(H) είναι το σύνολο όλων των γραµµικών µορφών ω της µορφής ω = λ n ω xn,y n όπου 9 x n = y n = και n λ n < +. Απόδειξη. Αν {x n }, {y n } είναι ακολουθίες µοναδιαίων διανυσµάτων και λ n C µε n λ n < +, τότε για κάθε A B(H) η σειρά λ n Ax n, y n συγκλίνει απόλυτα: λ n Ax n, y n λ n A x n y n = n n n A λ n, εποµένως ορίζει µια γραµµική µορφή στον B(H): n A ω(a) = λ n Ax n, y n (A B(H)) n που είναι -συνεχής και µάλιστα ω n λ n. Αν ϑέσουµε τότε ω m B (H) και ω ω m n>m ω m = m λ n ω xn,y n λ n 0, άρα ω B (H). Εστω, αντίστροφα, ω B (H). Ο χώρος B (H) αποτελείται από τα -όρια ακολουθιών από τον B (H). Για κάθε n N, υπάρχει ω n B (H) ώστε ω ω n < 2 n+. Γράφουµε ω 0 = 0 οπότε όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα, καθώς ω n = (ω n ω n ) + + (ω ω 0 ) άρα ω = (ω k ω k ) ω k ω k ω + k=2 2 k <. Από την Πρόταση 8..0, κάθε ω k ω k µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός M k ω k ω k = 9 µάλιστα, αποδεικνύεται (δες την δεύτερη απόδειξη ή το Θεώρηµα ΙΙ..6 από το M. Takesak, Theory of Operator Algebras I, Sprnger-Verlag, 979. Second prntng, Encyclopaeda of Mathematcal Scences 24, Sprnger, 2002.) ότι οι {x n } και {y n } µπορούν να επιλεγούν ορθοκανονικές. m= ω m,k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

M όπου ω m,k := ω x k m,ym k, µε k m= ω m,k = ω k ω k. Ετσι έχουµε M k ω m,k m= ω k ω k < οπότε η σειρά k ω m,k συγκλίνει απόλυτα, συνεπώς µπορεί να γραφεί, ως προς µια αρίθµηση m= {ω n : n N} του συνόλου {ω m,k : m =,..., M k, k N}, στη µορφή ω = όπου κάθε ω n είναι κάποιο ω m,k, άρα της µορφής ω n = λ n ω xn,y n µε x n = y n = και ω n = λ n, οπότε λ n = ω n <. n n ω n εύτερη Απόδειξη 0 : Εστω ω B (H). Η απεικόνιση H H C : (ξ, η) ω(ξ η ) είναι sesqulnear και ϕράσσεται από την ω, άρα (Πρόταση 2..2) υπάρχει T ω B(H) (µε T ω ω ) ώστε (*) ω(ξ η ) = T ω ξ, η. Εστω {e : I} ορθοκανονική ϐάση του H. Ισχυρισµός : Για κάθε A B(H) έχουµε AT ω e, e < +. Πράγµατι, έστω a C ώστε AT ω e, e = a AT ω e, e. Αν για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο J I ϑέσουµε B J = a e e, τότε, εφόσον T ω e, A e = ω((e (A e ) ) από την ( ), AT ω e, e = a Tω e, A e = a ω((e (Ae ) ) = ω(b J A). J J J J Αλλά B J = max a = (διότι οι e e είναι κάθετες ανά δύο προβολές), εποµένως AT ω e, e = ω(b J A) ω B J A ω A J για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο J I, και ο ισχυρισµός αποδείχθηκε. Εστω T ω = V T ω η πολική αναπαράσταση (Θεώρηµα 5..6) του τελεστή T ω. Τότε V T ω = T ω. Θέτοντας A = V στον Ισχυρισµό, έχουµε (**) T ω e, e = V T ω e, e < +. Εστω K T ω = λde λ 0 (K = T ω ) 0 Χωρίς χρήση της Πρότασης 8..0 Ενας τελεστής T B(H) που ικανοποιεί τη σχέση T e, e < + για µια ορθοκανονική ϐάση του H ονοµάζεται trace class operator. ες πχ. M. Reed & B. Smon, Methods of modern mathematcal physcs I. Functonal analyss. Second edton. Academc Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovch, Publshers], New York, 980. VI.6]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

η ϕασµατική ανάλυση του ϑετικού τελεστή T ω. Τότε αν 0 < a < K έχουµε και συνεπώς T ω T ω E([a, K]) = K a K λde λ a a de λ = ae([a, K]) a E([a, K])e 2 = a E([a, K])e, e T ω e, e < +. Επεται ότι για κάθε a (0, K) ο χώρος E([a, K])(H) έχει πεπερασµένη διάσταση, γιατί αν κάποιος E([a, K])(H) ήταν απειροδιάστατος, ϑεωρώντας µια ορθοκανονική του ϐάση {e : I 0 } και επεκτείνοντας σε µια ορθοκανονική ϐάση του H, ϑα είχαµε E([a, K])e 2 =. Από το Φασµατικό ϑεώρηµα (σε χώρους πεπερασµένης διάστασης) υπάρχει ορθοκανονική ϐάση του E([a, K])(H) που αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του ϑετικού τελεστή T ω E([a, K]). Γράφουµε λοιπόν (0, K] = [ n +, ) n n=2 [ ] 2, := Ω n Ω 0 και για κάθε n επιλέγουµε µια (πεπερασµένη) ορθοκανονική ϐάση {em n : m =,..., m n } του E(Ω n )(H) από ιδιοδιανύσµατα του T ω E(Ω n ). Ετσι η οικογένεια {em n : m =,..., m n, n Z + } είναι ορθοκανονική ϐάση του χώρου (E((0, K])(H) = (E({0})H) = (ker T ω ). Θεωρούµε µια αρίθµηση {y n : n N} της οικογένειας {em n : m =,..., m n, n Z + } και την επεκτείνουµε σε ορθοκανονική ϐάση όλου του H. Ως προς αυτή τη ϐάση, η σχέση (**) δίνει 2 T ω y n, y n < +. n N Επειδή κάθε y n είναι ιδιοδιάνυσµα του ϑετικού τελεστή T ω, υπάρχει λ n 0 (µάλιστα λ n > 0 αφού y n ker T ω ) ώστε T ω y n = λ n y n, οπότε λ n <. Εχουµε T ω y n = V T ω y n = λ n V y n. Γράφουµε x n := V y n n N (η {x n } είναι ορθοκανονική γιατί η V δρα ισοµετρικά στον χώρο (ker T ω ) ). Ορίζουµε ϕ(a) = AT ω y n, y n = λ n Ax n, y n (A B(H)). n N n N Επειδή η (λ n ) είναι αθροίσιµη και Ax n, y n A, η σειρά συγκλίνει απόλυτα, άρα (όπως δείξαµε προηγουµένως) ϕ B (H). Επειδή η {y n } είναι ορθοκανονική ϐάση του E({0})H, για κάθε ξ H έχουµε ξ = E({0})ξ + ξ, y n y n, άρα T ω ξ = ξ, y n T ω y n και συνεπώς για κάθε η H, n n ω(ξ η ) = T ω ξ, η = ξ, y n T ω y n, η = ξ, y n T ω y n, η n N n N = T ω y n, η ξ, y n = (ξ η )T ω y n, y n n N = ϕ(ξ η ). Εποµένως οι ϕ και ω ταυτίζονται στο σύνολο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Επειδή είναι και οι δύο ασθενώς-* συνεχείς, και το F (H) είναι ασθενώς-* πυκνό στον B(H) (Πόρισµα 8..23), έπεται ότι ϕ = ω, δηλαδή ω(a) = λ n Ax n, y n. 2 εφόσον T ω x, x = 0 για κάθε x E({0})H n N n N Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8