Μάθημα: Μαθηματικά 1 ο Εξάμηνο Σπουδών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ- ΑΓΡΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Μάθημα: Μαθηματικά 1 ο Εξάμηνο Σπουδών Διάλεξη 09 Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής

Περιγραφή του Μαθήματος Επιμέρους ενότητες που εξετάζονται: Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα. Περιγραφική Στατιστική Στοιχεία Πιθανοτήτων & Συνδυαστική Κατανομές Πιθανότητας / Διαστήματα εμπιστοσύνης Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Η παρουσίαση βασίζεται στα: Μπράτσος, Α. 2015. Μαθήματα ανώτερων μαθηματικών. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. Διαθέσιμο στο: http://hdl.handle.net/11419/424 Σημειώσεις του Βλάχου Λουκά, 2008

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Πεδίο ορισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Παρ. 1)

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων (Παρ. 3)

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Παρ. 5) g x, y, z = 1 9 x 2 y 2 z 2

Ασκήσεις (Α1)

Σύγκλιση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Σύγκλιση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αυστηροί κανόνες για την εύρεση ορίων συναρτήσεων πολλών μεταβλητών δεν υπάρχουν. Η ενασχόληση με πολλές ασκήσεις και η εμπειρία είναι το κλειδί για την επιτυχία. Παρακάτω δίνονται μερικές γενικές αρχές που πρέπει να εφαρμόζονται. H προσέγγιση στο όριο με ευθείες, παραβολές κ.λ.π. δεν αποτελεί απόδειξη της ύπαρξης του ορίου. Δεν εφαρμόζουμε ποτέ κανόνα του D Hospital σε συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Ο κανόνας εφαρμόζεται μόνο, εάν μπορεί η συνάρτηση, με κατάλληλους μετασχηματισμούς, να μετατραπεί σε συνάρτηση μιας μεταβλητής. H ύπαρξη και η ισότητα των διαδοχικών ορίων δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του ορίου της συνάρτησης. Οι πολικές συντεταγμένες αποτελούν μια καλή οδό για να αποδείξουμε την ύπαρξη του ορίου. Χρειάζεται όμως προσοχή διότι υπάρχουν και περιπτώσεις που δεν μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε. Υπάρχουν περιπτώσεις που ο ορισμός του ορίου είναι δύσκολο να εφαρμοστεί.

Συστήματα Συντεταγμένων οι καρτεσιανές συντεταγμένες οι κυλινδρικές συντεταγμένες οι σφαιρικές συντεταγμένες

Συστήματα Συντεταγμένων (Καρτεσιανές)

Συστήματα Συντεταγμένων (Κυλινδρικές)

Συστήματα Συντεταγμένων (Σφαιρικές)

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 7) 1/2

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 7) 2/2

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 8) lim (x,y) (0,0) x 3 y x 5 + y 3 Προσεγγίζουμε την αρχή με την ευθεία y=kx και το ζητούμενο όριο γίνεται kx lim 4 = lim kx = 0 x 0 x 5 +k 3 x 3 x 0 x 2 +k 3 Αν όμως προσεγγίσουμε το σημείο (0,0) με την παραβολή y=px 2 το ζητούμενο θα γίνει lim = lim p = p, x 0 x 5 +p 3 x 6 x 0 1+p 3 x πράγμα που σημαίνει ότι το όριο δεν υπάρχει, διότι εξαρτάται από την τιμή του p. px 5 Στην περίπτωση που ζητούμε να βρούμε το όριο ρητών συναρτήσεων μπορούμε να καταφεύγουμε στον ορισμό ή στις πολικές συντεταγμένες.

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 9) lim (x,y) (0,0) y 3 x 2 +y 2 Λύση: Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες x = ρ cos θ, y = ρ sin θ το ζητούμενο όριο γράφεται lim ρ 0 ρ 3 sin 3 θ ρ 2 = lim ρ 0 ρsin 3 θ = 0, διότι 1 sin θ 1. Επομένως το ζητούμενο όριο είναι ίσο με μηδέν.

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 10) lim x+y+sin x+y (x,y) (, ) x+y sin x+y Λύση: Αν θέσουμε x + y = t, το όριο γράφεται lim t t+sin t t sin t Ο κανόνας του d Hospital δεν μπορεί να δώσει αποτέλεσμα διότι το όριο του λόγου των παραγώγων που είναι το 1 + cos t δεν υπάρχει. lim t 1 cos t Για να βρούμε το όριο γράφουμε την (5.2) ως εξής lim t 1+ t sin t t sin t t = 1, διότι 1 sin t 1.Κατά συνέπεια το όριο είναι η μονάδα.

Ιδιότητες των ορίων 1/2

Ιδιότητες των ορίων 2/2

Προτάσεις 1/3

Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης (Παρ. 11)

Επαναλαμβανόμενα όρια

Ασκήσεις (Α3) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τα όρια a (β) (γ) (δ) lim x,y 0,0 lim (x,y) (, ) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 3 sin 3 y x+y y cos x y + cos y x 3 y 3 axy 2 x 2 3y 2 x+3y. 1 e x+y x 4 + y 4, a R, Απάντηση: (α) μηδέν, (β) μονάδα, (γ) δεν υπάρχει, (δ) μηδέν.

Συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων

Συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Άσκηση (Παρ. 14) Η συνάρτηση

Συνέχεια συνάρτησης (Παρ. 15)

Συνέχεια συνάρτησης (Παρ. 16)

Ασκήσεις (Α4) Εξετάστε τη συνέχεια της συνάρτησης f x, y = ቐ sin 3 x+sin 3 y x+y αν x, y 0,0 0 αν x, y = 0,0 Απάντηση: Η συνάρτησης είναι συνεχής σε όλο το R 2.

Μερική Παράγωγος

Υπολογισμός μερικών παραγώγων (Παρ. 17)

Μερική παράγωγος ανώτερη τάξης

Κανόνες Παραγώγισης

Κανόνες Παραγώγισης Η μερική παράγωγος συναρτήσεων πολλών μεταβλητών βρίσκεται με το συνηθισμένο τρόπο παραγώγισης μόνο οι υπόλοιπες μεταβλητές θεωρούνται σταθερές. Πρέπει να γνωρίζουμε και να «θυμόμαστε απ έξω» τις παραγώγους όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων.

Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων

Υπολογισμός μερικών παραγώγων (Παρ. 20) 1/2

Υπολογισμός μερικών παραγώγων (Παρ. 20) 2/2

Υπολογισμός μερικών παραγώγων (Παρ. 21) Να βρεθούν οι πρώτες μερικές παράγωγοι ως προς x των παρακάτω συναρτήσεων: 1 f x, y = ln x 2 + 2y 2, x2 + 2y 2 0, g x, y = tan 1 1 x 2 + y 2,x2 + y 2 0, φ x, y = sin Λύση: x x 2 + y 2, x2 + y 2 0, σ x, y = ax 2 +y 2, x 2 + y 2 0, a > 0. 1 f x = 2x x 2 + 2y 2, g x x φ x2 y2 cos x = x 2 + y 2 x 2 + y 2 2, = 2x 1 + x 2 + y 2 2, 1 σ x = 2xa x 2 +y 2 ln a x 2 + y 2 2

ϑεώρημα του Schwarz

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης (Παρ. 22)

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης (Παρ. 23)

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης (Παρ. 24) Να βρεθεί η μεταβολή και το διαφορικό της συνάρτησης f x, y = xy + y 2. στο σημείο P(1,1) όταν Δx=0.1, Δy=0.05 Λύση: Η μεταβολή της συνάρτησης είναι σύμφωνα με τον ορισμό Δf = f x + Δx, y + Δy f(x, y) = x + Δx y + Δy + y + Δy 2 xy y 2. Ή Δf = yδx + xδy + 2yΔy + ΔxΔy + Δx 2 Ενώ το διαφορικό είναι df = yδx + xδy + 2yΔy, διότι ισχύει dx=δx, dy=δy. Για την αριθμητική εφαρμογή βρίσκουμε Δf=0.2575, df=0.25.

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης (Παρ. 25) 1/2

Ολικό Διαφορικό Συνάρτησης (Παρ. 25) 2/2