ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα. 1. Ένας υδραυλικός θέλει να κατασκευάσει µια δεξαµενή, πυ να χωρά κµ. νερύ. Ο χώρς πυ πρέπει να την τπθετήσει, έχει πλάτς µ και µήκς 1 µ. Πόσ πρέπει να είναι τ ύψς της δεξαµενής; Λύση & σκέψεις: Η δεξαµενή όπως περιγράφεται στην άσκηση, είναι ένα ρθγώνι παραλληλεπίπεδ. Να θυµίσω ότι όγκς τυ παραλληλεπιπέδυ, δίνεται από τν τύπ: V=αβγ (1) Όπυ είναι α= µ τ πλάτς της δεξαµενής, β= 1 µ τ µήκς της και γ τ ύψς της, πυ δεν γνωρίζυµε και συµβλίζυµε µε x. Ο όγκς της δεξαµενής είναι δεδµένς ( V = κµ. ). Επµένως για να βρύµε τ ύψς, πρέπει λύσυµε τν τύπ (1) ως πρς τ γ. ιαιρώντας και τα δυ µέλη τυ τύπυ (1) µε τ γινόµεν αβ, έχυµε: V γ= αβ Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση, πρκύπτει: x =γ= = 1 1 Άρα η δεξαµενή πρέπει να έχει ύψς: γ= 1 µ
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ.. Τ θερµόµετρ έδειξε ότι Γιαννάκης έχει θερµκρασία 97,7. Η µητέρα τυ φυσικά ανησύχησε. Βλέπει όµως πρσεκτικότερα και διαπιστώνει ότι τ θερµόµετρ δείχνει την θερµκρασία σε βαθµύς Φαρενάιτ ( F) Τι λέτε πρέπει να ανησυχεί; Νµίζω πως µπρύµε να την βηθήσυµε. Υπενθύµιση: Υπάρχυν δυ κλίµακες θερµκρασίας: Η κλίµακα Κελσίυ και ι ενδείξεις σ αυτή χαρακτηρίζνται από τ σύµβλ: o C Η κλίµακα Φαρενάιτ, πυ ι ενδείξεις της χαρακτηρίζνται από τ σύµβλ: o F Οι τιµές των δυ αυτών κλιµάκων, συνδένται µε τν τύπ: F = 1,8 C + 3 (1) όπυ F η θερµκρασία στην κλίµακα Φαρενάιτ και C η θερµκρασία στην κλίµακα Κελσίυ. Σκέψεις & λύση: Ξέρυµε ότι Γιαννάκης έχει θερµκρασία 97,7 F. Η µητέρα τυ θα ησυχάσει, όταν µάθει τη θερµκρασία τυ σε o C. Επµένως πρέπει να λύσυµε τν τύπ (1), ως πρς τ C. Έχυµε λιπόν: F 3 1,8 C = F 3 C= 1,8 Με απλή αντικατάσταση στν τελευταί τύπ, πρκύπτει: 97,7 3 65,7 C = = C= 36,5 C 1,8 1,8 Άρα η µητέρα τυ δεν πρέπει να ανησυχεί, αφύ η θερµκρασία τυ Γιαννάκη είναι φυσιλγική.. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 0
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. 3. Η µέση ταχύτητα ενός αυτκινήτυ, είναι υ=80km / h (χιλιόµετρα ανά ώρα). Σε πόσ χρόν θα διανύσει απόσταση S= 500km ; Λύση & σκέψεις: Ο τύπς πυ συνδέει τ διάστηµα, την ταχύτητα και τν χρόν, είναι: S =υ t Εφ όσν θέλυµε να βρύµε τν χρόν t πυ θα χρειαστεί να διανύσει την απόσταση S, πρέπει να λύσυµε τν τύπ ως πρς τν χρόν. Έτσι λιπόν, έχυµε: S t= υ Στη συνέχει αντικαθιστώντας τα γνωστά µεγέθη, πρκύπτει: Επειδή είναι 500 t = = 6,5 80 1 0,5=, συνεπάγεται ότι τ αυτκίνητ θα χρειαστεί: 4 t= 6 ώρες και λεπτά 4. Ένα ικόπεδ όπως φαίνεται και στ σχήµα, είναι παραλληλόγραµµ και η πρόσψη τυ έχει µήκς α= 50 µ. Να βρεθεί τ βάθς β τυ ικπέδυ, αν τ εµβαδόν τυ είναι Ε= στέµµατα. Ένα στρέµµα, είναι ίσ µε 1000 τ.µ. Λύση & σκέψεις: Γνωρίζυµε ότι τ εµβαδόν τυ παραλληλγράµµυ, είναι τ γινόµεν της βάσης τυ επί τ ύψς τυ. Στην συγκεκριµένη άσκηση, η βάση τυ παραλληλγράµµυ είναι α και τ ύψς τυ είναι β, επµένως ισχύει: Αναζητύµε τ β, άρα: Ε=αβ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 1
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. Ε β= α Αντικαθιστώντας στν τύπ αυτό, πρκύπτει: 000 β= = 40 50 Άρα τ βάθς τυ ικπέδυ, είναι 40 µέτρα. 5. Σε κάθε στάδι για τυς αγώνες δρόµυ, υπάρχυν τέσσερεις διαδρµές. Όπως φαίνεται στ σχήµα έχυµε δυ ευθείες και δυ ηµικύκλια. Τ µήκς κάθε διαδρµής, είναι 100 µέτρα. Μπρείτε να βρείτε την ακτίνα ρ των ηµικυκλικών διαδρµών; Λύση & σκέψεις: Γνωρίζετε ότι τ µήκς τυ κύκλυ, δίνεται από τν τύπ: L = πρ όπυ ρ η ακτίνα τυ και π γνωστός αριθµός πυ εκφράζει: Τ µήκς τυ κύκλυ, πρς τη διάµετρ τυ και είναι περίπυ ίσς µε 3,14. Ζητάµε την ακτίνα ρ και γνωρίζυµε ότι τ µήκς τυ ηµικυκλίυ, είναι 100 µέτρα. Τν πρηγύµεν τύπ λύνυµε ως πρς την ακτίνα ρ και έχυµε: L ρ= π Στη συνέχεια µε αντικατάσταση, πρκύπτει: 100 ρ= ρ= 31,847 3,14 Κάνντας στργγυλπίηση στ δεύτερ δεκαδικό ψηφί, επειδή τ τρίτ είναι 7> 5 έχυµε τελικά ότι η ακτίνα της κάθε ηµικυκλικής διαδρµής, είναι: ρ=31,85 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. 6. Τ εµβαδόν ενός τραπεζίυ είναι Ε= 40, η µεγάλη βάση τυ είναι Β= 5. Αν τ ύψς τυ είναι υ=, να βρεθεί τ µήκς της µικρής βάσης β τυ τραπεζίυ. Λύση & σκέψεις: Γνωρίζυµε ότι τ εµβαδόν τυ τραπεζίυ δίνεται από τν τύπ: Β+β Ε= υ Επιµεριστική Β+β Ε= υ Εφ όσν ζητύµε την µικρή βάση πρέπει να λύσυµε τν πρηγύµεν τύπ ως πρς τ β. Έτσι λιπόν διαδχικά έχυµε: Ε= υ ( ) Ε=Βυ+βυ βυ= Ε Βυ Απαλιφή παρανµαστών Ε= Β+β υ Γνωστύς από αγνώστυς Αντικαθιστώντας στν τελευταί τύπ, πρκύπτει: 40 5 β= (1) Ε Βυ β= υ Συµβυλή: Μάθετε να κάνετε έξυπνα πράξεις. Πρσέξτε τι εννώ. Παρατηρώ ότι είναι: 40 = 16 συνεπώς την σχέση (1), µπρώ να την γράψω µε τη µρφή: 16 5 β= β= ( ) 16 5 β= 16 5 = 3 5 β= 7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 3
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. Βέβαια για να µάθετε να δυλεύετε έτσι, πρέπει τ µυαλό σας να τρέχει πριν από τ µλύβι σας. ηλαδή να µάθετε να πρβλέπετε τις κινήσεις σας. 7. Μια σφαίρα πέφτει ελεύθερα πρς τ έδαφς. Εµείς αρχίζυµε να την παρατηρύµε όταν διέρχεται από τ σηµεί Α και διαπιστώνυµε ότι µέχρι να φτάσει στ σηµεί Β πυ είναι τ έδαφς, χρειάστηκε t= 3sec. Με τι ταχύτητα πέρασε από τ σηµεί Α, όταν ξέρυµε ότι είναι ( ΑΒ ) = 57m ; Υπενθύµιση: Αντιλαµβανόµαστε την κίνηση της σφαίρας στ σηµεί Α, από τ πί περνά µε ταχύτητα υ. Αυτό σηµαίνει ότι από τ σηµεί Α και έπειτα, η σφαίρα κάνει ευθύγραµµη µαλά επιταχυνόµενη κίνηση, µε αρχική ταχύτητα υ. Η κίνηση αυτή, χαρακτηρίζεται από τν τύπ: 1 S =υ t + gt (1) Όπυ: S= 57m : Τ διάστηµα πυ κινήθηκε υ : Η αρχική ταχύτητα στ σηµεί Α και την πία ζητάµε t= 3sec : Ο χρόνς πυ χρειάστηκε να µεταβεί από τ Α στ Β g= 10m / sec : Η επιτάχυνση της βαρύτητας. Λύση: Για να πρσδιρίσυµε την ταχύτητα στ σηµεί Α, πρέπει να λύσυµε τν τύπ (1) ως πρς υ. Έχυµε λιπόν διαδχικά: 1 S =υ t + gt S = υ t + gt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 4
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. υ t = S gt υ = S gt t Αντικαθιστώντας στν τύπ αυτό, έχυµε: υ = 57 10 3 3 114 90 4 υ = = 6 6 υ = m 4 sec 8. Για ένα ιδεώδες αέρι πυ βρίσκεται σε καννική πίεση, όγκς τυ σε θερµκρασία θ C, δίνεται από τν τύπ: V = V 1 + θ 73, Να βρείτε σε πια θερµκρασία όγκς τυ αερίυ γίνεται 3 V= 35cm, όταν σε 0 C όγκς τυ είναι V 3cm. Λύση: Αφύ ζητάµε την θερµκρασία στην πία έχει όγκ V, τν παραπάνω τύπ πρέπει να λύσυµε ως πρς θ. Έτσι λιπόν διαδχικά έχυµε: 3 V = V 1 + θ 73, θ V = V + V 73, V V V = θ 73, = θ θ= ( ) θ= ( ) V θ= V V : 73, V V 73, V ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 5
Α ΜΕΡΟΣ 1 κεφ. Αντικαθιστώντας στν τύπ αυτό, πρκύπτει: ( ) 35 3 73, θ= 3 3 73, θ= 3 819,45 θ= θ= 5,6 C 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 10.38..7 495 6