- 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση
Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 6 %,,35 35 % 3 4 4 3 4,4 4 5,5 5 3,5 5 ΑΘΡ ΑΘΡ 6 % -5,5-5,5 5-3 -3 4,35 35 ΠΙΝΑΚΑΣ 7 % 4 6,4 4 8, 8, ΑΘΡ ΑΘΡ 4 % %,4,4 4 4 3 3,,6 6 4 5 4 5 45,,9 9 6 5 6 5 5, % ΠΙΝΑΚΑΣ 8 % ΑΘ ΑΘ 5 % - 4, - 4 4, 6,4 % ΠΙΝΑΚΑΣ 9 8 45 34,85 3 6 3 6 5 4 ΑΘΡ 4 ΑΘΡ 4 %, 5,4 5 4,4 36 6 7 7, 48 8 6 8, 6 ΠΙΝΑΚΑΣ % ΑΘΡ ΑΘΡ 6 % %,,,5 3,5 5 5,5 5,6 7,35 35,6 6 5 5,5 5 7,85 85 4 4 3,5 5 % ΠΙΝΑΚΑΣ % ΑΘ ΑΘ ΠΙΝΑΚΑΣ Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας % %,, 4, 6 4, 6, 3,6 3 6,,6 6 4 5 4 5,5 7,85 5 85 5 5, 9,95 95 6 6,5, 5 % % Σ Σ, 96 Σε μια τάξη Λυκείου : Οι μαθητές έχου καέα ή ή ή 3 ή 4 αδέρφια Οι 8 έχου τουλάχιστο αδερφό Οι 9 έχου το πολύ 3 αδέρφια Πέτε οικογέειες τω μαθητώ έχου 3 ή 4 παιδιά Το 5% τω οικογεειώ τη μαθητώ έχου 4 τουλάχιστο παιδιά Να κάετε το πίακα καταομής συχοτήτω:,, %,,, % 97 Σε μια πόλη η μικρότερη θερμοκρασία επί συεχείς ημέρες ήτα,, 5, 3 και 6 8 ημέρες είχα θερμοκρασία το πολύ 5 Το 85% του πλήθους τω ημερώ η θερμοκρασία ήτα τουλάχιστο Το πλήθος τω ημερώ που είχα θερμοκρασία 3 ήτα διπλάσιο του πλήθους τω ημερώ που είχα Το 55% του πλήθους τω ημερώ η θερμοκρασία ήτα 3 ή 5 Να κάετε το πίακα καταομής συχοτήτω:,,,, %, % 98 Έστω,,..., 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους και ( ),,3,4 α βρεθεί η (Απ./) 99 Έστω,, 3, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος. Α 3 3 4 4 α βρείτε τις,, 3, 4 (Απ. /5, /5, /75, /) Έστω,, 3 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους Α) Α,,,3 α βρεθεί ο Β) Α,,3 α βρεθεί τη (ΑΠ.6, 3/4) Έστω,,..., 5 με... 5 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους. Α ισχύει,,,...,5 κ Α) Να βρεθεί ο κ Β) 5 Για κ α βρείτε τη 3% Γ) Α 3 α βρείτε το μέγεθος του δείγματος. (ΑΠ.5/,/5, 75) Έστω,,..., 5 με... 5 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους. Α ισχύει %,,,...,5 κ Α) Να βρεθεί ο κ Β) Για κ α βρείτε τη
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 3 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται στο διπλαό πίακα. Να κάετε το διάγραμμα συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω Βαθμός Πλήθος φοιτητώ 4 5 3 6 7 7 5 8 3 4 Στο διπλαό πίακα φαίοται τα βιβλία που έχει μια βιβλιοθήκη. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχοτήτω και κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω Είδος βιβλίω Πλήθος βιβλίω Ιστορικά Λογοτεχικά Μαθηματικά 36 Ταξιδιωτικά 4 Εγκυκλοπαιδικά 8 5 Σε έα κυκλικό διάγραμμα παριστάοται οι εξαγωγές της χώρας μας αξίας 97.. euro κατά το έτος 9 αάλογα με το μέσο μεταφοράς. Η γωία του κυκλικού τομέα για μέσο μεταφοράς θαλασσίως είαι. Το 4% της αξίας τω εξαγωγώ έγιε σιδηροδρομικώς. Οι μεταφορές που έγια οδικώς ήτα τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγια αεροπορικώς. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω. 6 Σε έα κυκλικό διάγραμμα παριστάεται το μορφωτικό επίπεδο τω 4 εργαζομέω μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες. Α Κατηγορία: Απόφοιτοι Γυμασίου Β Κατηγορία: Απόφοιτοι Λυκείου Γ Κατηγορία: Πτυχιούχοι Αωτάτης Εκπαίδευσης Δ Κατηγορία: Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόμεος αήκει σε μία μόο από τις κατηγορίες αυτές. Στη Α κατηγορία αήκει το 5% τω εργαζομέω της επιχείρησης. Η γωία του κυκλικού τομέα που ατιστοιχεί στους εργαζόμεους της Δ κατηγορίας είαι 8. Οι εργαζόμεοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είαι εξαπλάσιοι τω εργαζομέω της Γ κατηγορίας. Α. Να υπολογίσετε το αριθμό τω εργαζομέω κάθε κατηγορίας. Β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχοτήτω. 7 Σε έα κυκλικό διάγραμμα, παριστάεται το χρώμα μαλλιώ 9 ατόμω. Το % τω ατόμω έχου μαύρα μαλλιά. Η γωία του ο κυκλικού τομέα για τα κασταά μαλλιά είαι α 44. Τα άτομα με 3 Χρώμα μαλλιώ Κόκκια Μαύρα % α ξαθά μαλλιά είαι διπλάσια από αυτά με κόκκια μαλλιά. Να συμπληρώσετε το διπλαό πίακα και α κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω. Καςταά Ξαθά Σύολο: 8 Ο αριθμός τω ετήσιω επισκέψεω εός δείγματος μαθητώ μιας περιοχής στα διάφορα μουσεία της χώρας δίεται από το διπλαό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω Για το αωτέρω δείγμα βρείτε: α. β. πόσοι μαθητές κάου ακριβώς μία επίσκεψη ετησίως, γ. το ποσοστό επί τοις εκατό τω μαθητώ που κάει ακριβώς δύο επισκέψεις ετησίως, δ. το ποσοστό επί τοις εκατό τω μαθητώ που κάει δύο τουλάχιστο επισκέψεις ετησίως. Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 9 Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες στους οποίους έχουμε ομαδοποιήσει τρία δείγματα σε κλάσεις ίσου πλάτους Κλάσεις.... Κλάσεις.... Κλάσεις.... - 6 5-.. -. -..-.. - - -3 - - 8..-.. 7- Η βαθμολογία 4 μαθητώ σε έα διαγώισμα φαίεται στο διπλαό πίακα: ) Να κατασκευάσετε: α) Το πίακα με τις συχότητες: %, % β) Το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω ) Να βρείτε το βαθμό κάτω από το οποίο έχει: α) Το % τω μαθητώ β) Το % τω μαθητώ γ) Το 4% τω μαθητώ. )Το ποσοστό τω μαθητώ που έχει γράψει: α) Κάτω από 6 β) κάτω από γ) Τουλάχιστο 4 Βαθμός, μαθητές,4 4 4,8 8 8, 6,6 6, Απ.: α) 8 β) 6 γ) 9 α) 95 β) 6 γ)7,5 Στο σχήμα έχουμε το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της βαθμολογίας τω μαθητώ της Α Λυκείου σε έα διαγώισμα ιστορίας. Να βρείτε: ) Το βαθμό κάτω από το οποίο πήρε: α) το % τω μαθητώ β) το 5% τω μαθητώ γ) το % τω μαθητώ ) Το ποσοστό τω μαθητώ που πήρε βαθμό: α) μέχρι 8 β) μέχρι 3 9 6 5 4 μαθητές 4 8 6 βαθμολογία Στο σχήμα είαι το πολύγωο συχοτήτω τω ομαδοποιημέω πωλήσεω σε δεκάδες χιλιάδες euro που έγια από τους πωλητές μια εταιρείας στη διάρκεια εός έτους. ) Πόσοι είαι οι πωλητές; ) ) Να κατασκευάσετε: α)το ιστόγραμμα συχοτήτω β)το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % Πόσοι πωλητές έκαα πωλήσεις κάτω από: α) 6 euro; β) 5 euro; αριθμός πωλητώ 9 6 5 4-3 5 7 9 πω λήσ εις γ) 45 euro; Απ.: ) α) 5 β) γ) 9 3 Το πολύγωο συχοτήτω μιας ομαδοποιημέης καταομής με 5 ισοπλατείς κλάσεις αποτελείται από τις ευθείες y και y 3 A) Να βρεθεί το πλήθος του δείγματος. B) Να βρεθεί το πλάτος και τα άκρα κάθε κλάσης. Γ) Να βρεθεί η συχότητα κάθε κλάσης. 3
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ 4 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται στο διπλαό πίακα. Να βρείτε το μέσο όρο τω βαθμώ. ΑΠ: 5, 85 Βαθμολογία Φοιτητές % 4 5 6 35 7 5 8 5 Οι χρόοι που χρειάστηκα κάποιοι μαθητές για α λύσου έα πρόβλημα φαίοται στο διπλαό πίακα. Να βρείτε το μέσο χρόο λύσης του προβλήματος ΑΠ: 6, Χρόος Μαθητές,4 4,8 5 8, 3 6 Οι χρόοι που κάου οι μαθητές εός σχολείου α πάε από το σπίτι στο σχολείο είαι από 4 έως λεπτά. Το % κάει χρόους κάτω από 8 λεπτά το 5% κάει χρόους κάτω από λεπτά και το 5% τουλάχιστο 6 λεπτά. Να βρείτε το μέσο χρόο τω μαθητώ. ΑΠ:,8 7 Στο διπλαό πίακα φαίεται η βαθμολογία φοιτητώ σε έα μάθημα. Να βρείτε τα α, β α η μέση βαθμολογία είαι 5,9 ΑΠ: α 6 και β 4 8 Μια βιοτεχία έχει εργαζόμεους με μέσο μηιαίο μισθό. Α) Να βρείτε το μέσο μισθό ότα: α) έας εργαζόμεος με μισθό πάρει σύταξη. β) προσληφθού δύο εργαζόμεοι ακόμη με μισθό 85 ο καθέας. γ) πάρει σύταξη έας με μισθό 9 και προσληφθού τρεις με μισθό 85 ο καθέας Βαθμός Φοιτητές 4 5 α 6 8 8 β Β) Α προσληφθεί έας εργαζόμεος, ποιος πρέπει α είαι ο μηιαίος μισθός του ώστε ο μέσος μηιαίος μισθός όλω α είαι ΑΠ:, 4,66, 3,33, 3 9 Σε παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X βρήκαμε μέση τιμή 6. Διαπιστώθηκε όμως στο τέλος ότι οι παρατηρήσεις από αυτές είχα εσφαλμέα υπερεκτιμηθεί κατά 5 μοάδες κάθε μια εώ οι 9 από τις υπόλοιπες είχα υποεκτιμηθεί κατά μοάδες η κάθε μια. Να βρείτε τη σωστή μέση τιμή τω παρατηρήσεω αυτώ. Η μέση τιμή 4 παρατηρήσεω είαι. Α από αυτές οι 7 μειώοται κατά και οι 9 αυξάοται κατά 6 η καθεμιά, α βρεθεί η έα μέση τιμή. Μια τάξη έχει αγόρια και άγωστο αριθμό κοριτσιώ. Σε έα διαγώισμα η μέση τιμή τω βαθμώ τω αγοριώ ήτα 4, εώ τω κοριτσιώ ήτα 4,875. Α η μέση τιμή τω βαθμώ όλω τω παιδιώ ήτα 4,5, α βρεθεί το πλήθος τω κοριτσιώ. Σε μια επιχείρηση είαι 5 εργαζόμεοι στα τμήματα A και B. Οι εργαζόμεοι στο τμήμα A πήρα αύξηση στο μηιαίο μισθό ο καθέας, εώ στο τμήμα B πήρα αύξηση στο μισθό, 5 ο καθέας. Α η μέση τιμή όλω τω μηιαίω μισθώ αυξήθηκε κατά, α βρείτε πόσοι είαι οι εργαζόμεοι του κάθε τμήματος. 3 Σε μια εταιρία οι υπάλληλοι έχου μέσο μισθό 5. A) Το % τω υπαλλήλω έχει μέσο μισθό.α ο μισθός αυτώ τω υπαλλήλω αυξηθεί ώστε α γίει ίσος με τη μέση τιμή, ποια θα είαι η έα μέση τιμή του μισθού ; B) Για λόγους μείωσης του κόστους απολύεται το 5% τω υπαλλήλω της εταιρίας. Οι υπάλληλοι αυτοί έχου μέσο μηιαίο μισθό. Να βρεθεί η έα μέση τιμή του μισθού. Γ ) Α σε όλους τους υπάλληλους δοθεί αύξηση 3,5% ποια η έα μέση τιμή του μισθού ; 4 Η μέση τιμή αριθμώ είαι 4 και η μέση τιμή τω 6 πρώτω από αυτούς είαι 6. Να βρεθεί η μέση τιμή τω υπολοίπω.; Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 5 A παρατηρήσεις έχου 6 και οι μισές υπερεκτιμήθηκα κατά 6, εώ οι άλλες μισές υποεκτιμήθηκα κατά, α βρεθεί η πραγματική μέση τιμή τους 6 Σε έα Λύκειο τα τρία τμήματα της Πρώτης Τάξης έχου: Το πρώτο 5 μαθητές και μέση βαθμολογία 7,5 το δεύτερο 7 μαθητές και μέση βαθμολογία 8, το τρίτο 3 μαθητές και μέση βαθμολογία 7, Να βρεθεί η μέση βαθμολογία τω μαθητώ της Πρώτης τάξης (απ: 7,63) 7 Ο μέσος όρος βαθμολογίας ου τετραμήου μαθητώ εός τμήματος στη στατιστική είαι 4,4. Επειδή συγκριτικά με τους μέσους όρους άλλω μαθημάτω η βαθμολογία θεωρήθηκε χαμηλή, ο καθηγητής αποφάσισε α δώσει μια μοάδα σε όλους τους μαθητές, εκτός από δυο μαθητές που είχα εικοσάρια. Ποια είαι τώρα η έα μέση τιμή της βαθμολογίας 8 Οι αριθμοί α, β, 7, γ έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά και είαι οι βαθμοί εός μαθητή σε τέσσερα διαγωίσματα. Δίεται ότι το εύρος τω βαθμώ είαι, η διάμεσος και η μέση τιμή 6. Α) Να βρείτε τους βαθμούς του μαθητή. Β) Α οι συτελεστές βαρύτητας τω βαθμώ είαι, 5,7 και,8 ατίστοιχα α βρείτε το μέσο όρο τω βαθμώ του μαθητή. 9 Έα εργοστάσιο απασχολεί 5 υπαλλήλους στο Τμήμα A με μέσο μηιαίο μισθό 49, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μηιαίο μισθό και 4 υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μηιαίο μισθό 36. Να βρεθεί ο μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω. Α προσληφθού υπάλληλοι στο Τμήμα A, 4 στο Τμήμα Γ και οι μέσες τιμές τω μισθώ στα δύο αυτά τμήματα δε μεταβληθού, α βρεθεί η έα μέση τιμή. Η μέση τιμή τω παρατηρήσεω t, t,..., t μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους είαι. Να βρείτε το αριθμητικό μέσο τω παρατηρήσεω: Α) t λ, t λ,..., t λ Β) t λ, t λ,..., t λ Γ) λt, λt,..., λt Δ) t t t,,..., λ λ λ, (λ ) Ε) λt κ, λt κ,..., λt κ 3 Μία ομάδα 5 ατόμω έχου μέσο βάρος 5,4 Kg. Α) Έφυγε έα άτoμο και ο μέσος όρος βάρους παρέμειε ο ίδιος. Πόσα Kg ζύγιζε το άτομo που έφυγε ; Β) Πόσα Kg ζυγίζει έα άλλο άτομο που ήλθε στη ομάδα και αέβασε το μέσο όρο σε 5 Kg; 3 Σ έα Λύκειο φοιτού μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά στο Α τετράμηο ήτα 5. Στο Β τετράμηο, έας ορισμέος αριθμός μαθητώ αύξησε τη βαθμολογία του κατά 4 μοάδες ο καθέας, εώ οι υπόλοιποι μείωσα τη βαθμολογία τους κατά μοάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσα τη βαθμολογία τους και πόσοι τη χειροτέρευσα, α γωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία όλω στο Β τετράμηο έγιε 7. 5 5 33 Α είαι 3 και = = 3 5 5, α υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) β) 3 = = 34 Στη διπλαή καταομή α υπολογίσετε τη μέση τιμή 3 3 4 5 9 3 4 35 Να υπολογίσετε το πλήθος τω παρατηρήσεω ln, ln, 3 ln,, ln, α η μέση 3 ln4 τιμή τους είαι v 5
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΔΙΑΜΕΣΟΣ 36 Να βρείτε τη διάμεσο στα δείγματα A: -,,, 4, 3,,, B: 3, 5, 8, 9,,, 4, 8 37 Να βρείτε τη διάμεσο τω χρόω σε λεπτά που χρειάστηκα για α λύσου έα πρόβλημα οι μαθητές τω τεσσάρω τμημάτω της Α τάξης, που φαίοται στους παρακάτω πίακες. ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόoς Μαθητές 8 5 9 7 8 7 ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόος Μαθητές 8 7 9 6 3 ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Χρόος Μαθητές 8 9 5 35 ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Χρόος Μαθητές 8 9 4 38 Να βρείτε τη διάμεσο τω βαθμώ τω μαθητώ της Α Λυκείου του κάθε τμήματος που πήρα σε έα διαγώισμα α τα πολύγωα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω είαι τα παρακάτω: % 9 6 5 4 4 8 6 βαθμός % 9 6 5 4 4 8 6 βαθμός % 9 6 5 4 3 6 9 5 8 βαθμός 39 Α η μέση τιμή πέτε αριθμώ είαι διπλάσια της διαμέσου δ με δ 5 και οι τέσσερις από αυτούς είαι οι,, 5,, α βρείτε το πέμπτο αριθμό. 4 Στο διπλαό πίακα φαίοται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις ατίστοιχες αθροιστικές σχετικές συχότητές τους. Να βρείτε τους α, β, γ α η διάμεσος είαι 6 και η μέση τιμή 5,5 ΑΠ: 5,9, % 3 5 α 7 β 9 γ 4 H διάμεσος 5 αριθμώ είαι 6. Α ο έας από τους αριθμούς αλλάξει ο διάμεσος γίεται 7. Ποιος είαι ο αριθμός που άλλαξε; 4 Ο διάμεσος βαθμός σε τρία τεστ είαι 9, ο μέσος βαθμός 9 και το εύρος 6. α βρεθού οι τρεις βαθμοί. 43 Σ έα τεστ πήρα μέρος μαθητές προκειμέου ο καθέας α απατήσει σε ερωτήσεις. Η βαθμολογία είαι ή, αάλογα α ο μαθητής απατάει ή όχι στη ερώτηση. Ο επόμεος πίακας δείχει τα αποτελέσματα της βαθμολογίας Α) Να κάετε: το ιστόγραμμα και το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω Β) Να εκτιμήσετε γραφικά τη διάμεσο. Γ) Να εκτιμήσετε το ποσοστό τω μαθητώ που έγραψα από: έως. Βαθμοί Συχότη 6, τα 5,, 6,4 4,6 5 6, 4 44 H διάμεσος 5 αριθμώ είαι 6. Α ο έας από τους αριθμούς αλλάξει ο διάμεσος γίεται 7. Ποιος είαι ο αριθμός που άλλαξε; 45 Α οι παρατηρήσεις του δείγματος 4, 8, 3, α,, 4,5 έχου δ 8 α βρείτε τη μέση τιμή και το α 46 Το μέσο ύψος τω μαθητώ και μαθητριώ μιας τάξης είαι cm. Υποθέτουμε ότι καέας μαθητής δε έχει αάστημα μικρότερο τω 6 cm. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του δείγματος δε υπερβαίει τα cm. Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ 47 Οι ελάχιστες θερμοκρασίες σε μια πόλη για πέτε συεχείς ημέρες ήτα: 5, 3,, 3,. Να βρείτε το εύρος, τη διακύμαση και τη τυπική απόκλιση. 48 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται από Βαθμολογία Φοιτητές το διπλαό πίακα. Να βρείτε το εύρος, τη διασπορά και τη τυπική 5 4 6 5 απόκλιση. 7 8 49 Οι χρόοι ααμοής σε στάση λεωφορείω ατόμω φαίεται στο Χρόος Μαθητές διπλαό πίακα. Να βρείτε τη τυπική απόκλιση.,3 6 3,5 8 5,7 4 7,9 5 Έα δείγμα μεγέθους 35 έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Παίρουμε τη μέση τιμή ως μία έα τιμή της μεταβλητής και δημιουργούμε έα δείγμα μεγέθους 36. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του έου δείγματος. 5 Έστω t, t,,t οι τιμές μιας μεταβλητής. Οι πρώτες παρατηρήσεις έχου μέση τιμή = με τυπική απόκλιση s =, εώ οι υπόλοιπες έχου μέση τιμή = και τυπική απόκλιση s = 5. Να βρείτε: Α) τη μέση τιμή του συόλου, Β) τη τυπική απόκλιση s του συόλου. 5 Ρωτήθηκα 4 μαθητές εός Λυκείου πόσα λογοτεχικά βιβλία έχου διαβάσει. Οι απατήσεις κυμαίοτα από έως και. Οκτώ μαθητές απάτησα κάτω από 4, είκοσι μαθητές κάτω από 8, τέσσερις μαθητές πάω από 6 και δέκα πάω από. Α) Να παραστήσετε τα δεδομέα σε έα πίακα συχοτήτω Β) Να υπολογίσετε μέση τιμή, διάμεσο και τυπική αποκλιση Γ) Α για τους που διαβάζου ποιο πολύ τους δοθεί μια λογοτεχική σειρά δωρεά, πόσα τουλάχιστο βιβλία πρέπει α έχει διαβάσει κάποιος για α κερδίσει; 53 Η μέση τιμή και η διακύμαση τω τιμώ εός δείγματος είαι 6 και 9 δεκαεέα τιμές ισχύει 79, α βρεθεί η εικοστή τιμή. s 4, ατίστοιχα. Α για τις 54 Α για έα σύολο παρατηρήσεω ισχύει ότι 88, s 7,, α βρεθεί το 55 Η μέση τιμή και η διασπορά τω 7 τιμώ εός δείγματος είαι 5 και (t ) (t ) (t3 ) (t4 ) (t5 ) (t6 ), α βρεθεί η τιμή t 7. S 6. Α ισχύει 56 H τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής Χ είαι ίση με το μηδέ. Α t, t,..., t v είαι οι τιμές της και η μέση τιμή, δείξτε ότι t t... t v =. 57 Θεωρούμε α το πλήθος αριθμώ που έχου διακύμαση s και μέση τιμή. Όμοια θεωρούμε α το πλήθος αριθμώ που έχου διακύμαση Α. Η μέση τιμή τω α α αριθμώ είαι Β. Η διακύμαση s τω α α είαι: s s και τη ίδια μέση τιμή. Να αποδείξετε ότι: αs αs α α 7
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 58 Σε έα δείγμα ισχύει ότι 4s. Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας. CV 59 Έα σύρμα μήκους cm κόβεται σε δέκα κομμάτια με μήκη,,..., Α το συτελεστή μεταβολής τω,,...,. 9, α βρείτε 6 Οι βαθμοί τω μαθητώ εός τμήματος έχου μέση τιμή και CV,5. Α μαθητές του τμήματος; 6 πόσοι είαι οι 6 Στο διπλαό πίακα δίεται η καταομή της ηλικίας εός δείγματος ατόμω μια πόλης. Να βρείτε Α) τη διάμεσο και τη μέση τιμή Β) το πλήθος τω ατόμω που έχει ηλικία κάτω από 36 έτη. Γ) τη τυπική απόκλιση και το συτελεστή μεταβολής 6 Στο διπλαό σχήμα δίεται το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της βαθμολογίας μιας ομάδας μαθητώ σε έα μάθημα. Η βαθμολογία κυμαίεται από έως. Δίεται ότι μαθητές έχου βαθμό μικρότερο του 6. Α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός τω μαθητώ είαι Β) Να βρείτε τη διάμεσο. Γ) Να εξετάσετε α το δείγμα τω μαθητώ είαι ομοιογεές ως προς τη βαθμολογία. % 9 6 5 4 Ηλικία..,.. Συχότητα 8 4 4 4 6 6 36 4 8 6 βαθμολογία 63 Δίεται ο πίακας συχοτήτω v 6 κ 6 3 6 4 8 α) Εά η μέση τιμή του δείγματός είαι = δείξτε ότι κ=. β) Να βρείτε τη τυπική απόκλιση της καταομής. γ) Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας δ) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή c κατά τη οποία πρέπει α αυξηθού οι παρατηρήσεις ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές. 64 Σε μια εταιρεία ο μηιαίος μισθός τω εργατώ είαι 75 ευρώ εώ τω στελεχώ είαι ευρώ. Α. Α οι εργάτες είαι τετραπλάσιοι σε αριθμό από τα στελέχη της εταιρείας,α βρείτε το μέσο μισθό τω υπαλλήλω (εργατώ και στελεχώ) της εταιρείας. Β. Θεωρούμε ότι η εταιρεία έχει υπαλλήλους με μισθούς,όπου,,...,v. α) Α η τυπική απόκλιση τω μισθώ είαι 4 ευρώ και το άθροισμα τω τετραγώω τους είαι 346 ευρώ,τότε α βρείτε το αριθμό τω υπαλλήλω που απασχολεί η εταιρεία. β) Να εξετάσετε α υπάρχει ομοιογέεια στους μισθούς τω υπαλλήλω. γ) Η εταιρεία αποφασίζει α αυξήσει κατά α ευρώ τους μισθούς τω εργατώ,έτσι ώστε ο έος μέσος μισθός τω υπαλλήλω,α μη υπερβαίει τα 9 ευρώ. Να βρείτε τη μέγιστη αύξηση,που μπορεί α κάει η εταιρεία. 65 Η Γ τάξη εός λυκείου έχει δύο τμήματα A και B. Το τμήμα A έχει 8 μαθητές και το τμήμα B έχει μαθητές. Σε έα κοιό διαγώισμα, η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας τω μαθητώ του τμήματος A είαι Sα, 5 και του τμήματος B είαι Sβ, 5,εώ η μέση βαθμολογία τω δύο τμημάτω είαι η ίδια. A) Από τις βαθμολογίες τω δύο τμημάτω, ποια έχει τη μεγαλύτερη ομοιογέεια; B) Να βρείτε τη τυπική απόκλιση της βαθμολογίας όλω τω μαθητώ της τάξης αυτής. 66 Θεωρούμε το δείγμα α, β, γ, δ με α β γ δ. Οομάζουμε μ το αριθμητικό μέσο του δείγματος, Μ το σταθμικό μέσο του δείγματος με ατίστοιχους συτελεστές στάθμισης, α,β,γ,δ, και s τη τυπική απόκλιση του δείγματος. Α μμ και s α β γ δ α βρείτε τα μ, s, CV Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr
67 Έστω ότι έα σύολο παρατηρήσεω έχει μέση τιμή 3, διάμεσο δ 4 και τυπική απόκλιση s α συμπληρώσετε το πίακα: Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Y cx c y δ y s y CV y y y y 68 Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση s τω παρατηρήσεω,,..., είαι ατίστοιχα 8 και. Να βρείτε τη μέση τιμή μ και τη τυπική απόκλιση σ τω παρατηρήσεω 6 4, 6 4,..., 6 4. 69 Οι παρατηρήσεις,,..., εός δείγματος μεγέθους έχου μέση τιμή 3 και διασπορά s 4. Να βρείτε το συτελεστή μεταβολής τω παρατηρήσεω y, y,...,y που προκύπτου από τις,,..., α: Α) προσθέσουμε σε κάθε μία το και πολλαπλασιάσουμε κάθε μια με το Β) αυξήσουμε κάθε μια κατά % Γ) ελαττώσουμε κάθε μια κατά % και μετά προσθέσουμε σε κάθε μια το,6 Έστω ευθεία (ε) : y=-3+ και τα σημεία της A, A,...,A 9 με τετμημέες,,..., 9 που έχου μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση. Να βρείτε το συτελεστή μεταβολής τω τεταγμέω τω σημείω A, A,...,A 9. 7 Έστω,,..., οι παρατηρήσεις εός δείγματος που έχου μέση τιμή και διακύμαση 4. Να βρείτε πόσες μοάδες -τουλάχιστο- πρέπει α αυξήσουμε τη κάθε μια από τις παρατηρήσεις ώστε το δείγμα α είαι ομοιογεές. 7 Μια τάξη έχει μέση τιμή ηλικίας τω μαθητώ 4 χρόια και τυπική απόκλιση 3 μήες. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση της ηλικίας τω μαθητώ ύστερα από 3 χρόια 73 Σε έα εργοστάσιο σε έα δείγμα εργαζομέω στο τμήμα A έχου μέσο (μηιαίο) μισθό 95 και τυπική απόκλιση εώ στο τμήμα B έχου μέσο (μηιαίο) μισθό και τυπική απόκλιση. Έστω ότι οι εργαζόμεοι θα πάρου αύξηση στο τμήμα A, 5 και στο τμήμα B 5%. Στους έους μισθούς α εξετάσετε ποιο από τα δύο δείγματα τιμώ έχει τη μεγαλύτερη ομοιογέεια και α αυτό είαι ομοιογεές. 74 Τα χρόια εργασίας εός δείγματος εργαζομέω σε έα εργοστάσιο σχηματίζου το διπλαό πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω. Να βρείτε: τη διάμεσο, τη μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση, και το συτελεστή μεταβολής ύστερα από 5 χρόια. 75 Η μέση τιμή και ο συτελεστής μεταβολής τω τιμώ εός δείγματος είαι και CV 5% ατίστοιχα. Α για τις εέα τιμές ισχύει ότι: Α) τη δέκατη τιμή 9 3975 α βρείτε: Β) πόσες μοάδες τουλάχιστο πρέπει α αυξηθού οι τιμές του δείγματος ώστε α γίει ομοιογεές. 6 5 4 6 8 4 χρόια εργασίας 76 Μία βιομηχαία συσκευάζει γάλα σε 4 μεγέθη κουτιώ και σε ποσοστά %, %, %, 4% με ατίστοιχα κόστη 8, 6, 4 και αά κουτί. Α) Να βρεθεί το μέσο κόστος αά κουτί και η τυπική απόκλιση. Β) Α αυξηθεί το κόστος κατά %, α βρεθεί η έα τυπική απόκλιση. 77 Οι σημεριές ηλικίες κάποιω ατόμω έχου CV, 5 εώ πρι από 6 χρόια είχα CV 5% Α) α βρεθεί η μέση σημεριή τους ηλικία Β) πρι πόσα χρόια από σήμερα το δείγμα τω ηλικιώ τους ήτα για πρώτη φορά ομογεές; Γ) α το άθροισμα τω τετράγωω τω σημεριώ ηλικιώ είαι 64 α βρεθεί το πλήθος τω ατόμω 9
4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 78 Η βαθμολογία μαθητώ σε έα διαγώισμα είαι περίπου καοική. Εκατό μαθητές έχου βαθμό το πολύ και 5 μαθητές τουλάχιστο 6. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχου βαθμό από 8 έως 6 και α α εξετάσετε α το δείγμα τω βαθμώ είαι ομοιογεές. ΑΠ: 9,όχι 79 Τα ούμερα τω παπουτσιώ εός δείγματος 4 ατόμω ακολουθού περίπου τη καοική καταομή. Δέκα άτομα φοράε παπούτσια με ούμερο τουλάχιστο 43 και 64 άτομα το πολύ 37. Να βρείτε πόσα άτομα φοράε παπούτσια από ούμερο 37 έως 43 ΑΠ: 36 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθού τη καοική καταομή. Α το 6% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες του και το 5% μεγαλύτερες του, α βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας του δείγματος τω παρατηρήσεω. ΑΠ: CV 6 8 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθού τη καοική καταομή. Α το,5% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες του και το 84% μεγαλύτερες του α βρείτε το ποσοστό τω παρατηρήσεω από 5 εως 35 8 Οι παρατηρήσεις μια μεταβλητής X μεγέθους ακολουθού τη καοική καταομή. Είκοσι παρατηρήσεις είαι μικρότερες του 8 και 8 μεγαλύτερες του 36. Α) Να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγματος. Β) Να εξετάσετε α το δείγμα τω παρατηρήσεω είαι ομοιογεές. 83 Έστω μεταβλητή Χ η οποία παίρει θετικές τιμές, ακολουθεί τη καοική καταομή και έχει εύρος περίπου- R 36 και CV % Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του δείγματος. Β) Να υπολογίσετε το ποσοστό τω ατόμω που η τιμή τους είαι μεταξύ 4 και 4 Γ) Να αποδείξετε ότι α οι τιμές της Χ αυξηθού κατά ω, ο CV θα μειωθεί Δ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ω, ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές. 84 Έα δείγμα έχει μέγεθος = και η μεταβλητή ακολουθεί τη καοική καταομή. Α,4 και 4,86 τότε α βρείτε το συτελεστή CV 85 Η διάρκεια ζωής (σε χιλιάδες ώρες) εός δείγματος ηλεκτρικώ συσκευώ που παράγει μια μηχαή, ότα λειτουργεί καοικά, ακολουθεί καοική ή περίπου καοική καταομή. Η διάμεσος του δείγματος είαι και ηλεκτρικές συσκευές έχου ζωή τουλάχιστο Α) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές. Β) Να υπολογίσετε το πλήθος τω ηλεκτρικώ συσκευώ του δείγματος που έχου διάρκεια από 9 έως 3. Γ) Θεωρούμε μια συσκευή ελαττωματική ότα έχει διάρκεια ζωής κάτω από 7. Α στο δείγμα βρέθηκα 5 ηλεκτρικές συσκευές που έχου διάρκεια ζωής κάτω από 7, α εξετάσετε α έχει βλάβη η μηχαή που τις παράγει. 86 Έα μηχάημα κατασκευάζει βίδες. Ότα το μηχάημα λειτουργεί σωστά, η καταομή συχοτήτω τω βιδώ ως προς το μήκος τους, είαι καοική με μέση τιμή (σε cm) και τυπική απόκλιση s (σε cm). Α το 95% περίπου τω βιδώ που κατασκευάζει το παραπάω μηχάημα έχου μήκος μεταξύ 5,6 cm και 6,4 cm τότε Α) Να υπολογίσετε το μέσο μήκος τω βιδώ, τη τυπική απόκλιση του μήκους και το εύρος της καταομής. Β) Να βρείτε το ποσοστό τω βιδώ που έχει μήκος μεταξύ 5,8 cm και 6 cm Γ) Α μία βίδα έχει μήκος μικρότερο ή ίσο τω 5,4 cm ή μεγαλύτερο ή ίσο τω 6,6 cm τότε θεωρείται ελαττωματική. Να βρείτε το ποσοστό τω ελαττωματικώ βιδώ. Δ) Σε ποιοτικό έλεγχο βιδώ που κατασκευάζει το μηχάημα, 45 βίδες βρίσκοται ελαττωματικές. Η πρόταση: «Το μηχάημα παρουσιάζει πρόβλημα λειτουργίας» είαι Σωστή ή Λαθασμέη. Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας. Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr