Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 14

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές Παρατηρήσεις.................................... 3 1. Βασικοί Ορισµοί....................................... 3 1.3 Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής............................ 3 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4.1 Εισαγωγή.......................................... 4 3 Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως. 6 3.1 Εισαγωγή.......................................... 6 3. Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης....................... 6 3..1 Η κυµατική Εξίσωση................................. 6 3.. Η Εξισωση ιάχυσης................................. 7 4 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 8 4.1 Εισαγωγή.......................................... 8 4. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωης............................... 8 4..1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................... 9 4..1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής.......... 11 4..1.ii Ενέργεια.................................. 16 4.. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση......................... 18 4.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης............................... 9 4.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................... 9 4.3.1.i Ενέργεια................................... 36 4.3. Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης......................... 36 4.3..i Η αρχή του Duhamel............................ 37 5 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. 46 5.1 Εισαγωγή.......................................... 46 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.......................... 48 5..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας.......................... 48 5..1.i Dirichlet ΣΣ................................ 48 5..1.ii Neumann ΣΣ............................... 57 5..1.iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 63 5..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου............................ 69 5.. Κυµατική Εξίσωση.................................. 69 5...i Dirichlet ΣΣ................................ 69 5...ii Neumann ΣΣ................................ 73 5...iii Περιοδικές ΣΣ............................... 75 5.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών............................... 75 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 5.3.1 Εξίσωση aplace................................... 75 5.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet........................... 76 5.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά...... 88 6 Σειρές Fourier 9 6.1 Σειρές Fourier........................................ 91 6.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier.............. 91 6. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης....................... 93 6..1 Περιοδικές Συναρτήσεις............................... 93 6.. Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις.......................... 94 6..3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα..................... 95 6..3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης................ 95 6..3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................. 96 6.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης................................... 11 6.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών............................... 11 6.3. Το Θεώρηµα Σύγκλισης............................... 13 6.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier................... 16 6.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier......................... 16 6.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier........................ 18 6.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα................................ 19 6.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων........................ 11 6.4. Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων................... 111 6.4..i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης................ 111 6.4..ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης............ 11 6.4..iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης........... 11 6.4..iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier............... 11 6.4..v Το Θεώρηµα Σύγκλισης........................... 113 6.4..vi Σχεδίαση Σειρών Fourier.......................... 114 6.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier............................ 118 6.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα..................... 118 6.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................. 1 6.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................. 1 6.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............. 11 6.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ............................... 13 6.5. Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier....................... 17 7 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 19 7.1 Εισαγωγή.......................................... 19 7. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 13 7.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ.......................... 13 7.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις........................ 135 7.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις............... 141 8 Θεωρία Sturm-iouville. 151 8.1 Εισαγωγή.......................................... 151 8. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 151 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε.................................... 151 8.4 Τι να δω Γενικά....................................... 151 9 Παράρτηµα 15 9.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.......................... 15 Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Συµβολισµός Σας παραθέτω πίνακα µε τους συµβολισµούς και τα ακρονύµια που χρησιµοποιώ στις σηµειώσεις Σ Ε: Συνήθης ιαφορική Εξίσωση Μ Ε: Μερική(ες) ιαφορική(ες) Εξίσωση (Εξισώσεις) ΑΣ: Αρχικές Συνθήκες ΣΣ: Συνοριακές Συνθήκες ΠΑΤ: Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ΠΣΤ: Πρόβληµα Συνοριακών Τιµών ΠΑ-ΣΤ: Πρόβληµα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών ΜΧΜ: Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών Κ.Εξ.: Κυµατική Εξίσωση Εξ..: Εξίσωση ιάχυσης Εξ..: Εξίσωση aplace 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5.1 Εισαγωγή......................................... 46 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών......................... 48 5..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας......................... 48 5..1.i Dirichlet ΣΣ............................... 48 5..1.ii Neumann ΣΣ.............................. 57 5..1.iii Περιοδικές ΣΣ............................. 63 5..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου........................... 69 5.. Κυµατική Εξίσωση................................. 69 5...i Dirichlet ΣΣ............................... 69 5...ii Neumann ΣΣ............................... 73 5...iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 75 5.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.............................. 75 5.3.1 Εξίσωση aplace.................................. 75 5.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet.......................... 76 5.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά..... 88 5.1 Εισαγωγή. Η µέθοδος που ϑα παρουσιάσουµε εδώ οφείλεται στον Fourier ο οποίος πρώτος την εφάρµοσε για να επιλύσει την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Σηµειώνουµε δε, ότι ο Fourier όχι µόνο επέλυσε την εξίσωση αλλά είταν και αυτός ο οποίος διατύπωσε τη ϐασική ϑεωρία για τη ϑερµική ϱοή. Η µέθοδος λύσης του, οδήγησε τον Fourier να προτείνει την τολµηρή για την εποχή του ιδέα ότι οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί ως µία σειρά τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Η µέθοδος του Fourier στηρίζεται στην τεχνική η οποία είναι σήµε- ϱα γνωστή ως Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών(ΜΧΜ) και ϐρίσκει εφαρµογή σε πολλά άλλα γραµµικά προβλήµατα εκτός της εξίσωσης διάδοσης ϑερµότητας. 46

5.1. Εισαγωγή. 47 Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθούν κλασσικά Προβλήµατα ϑεωρώντας ότι το ϕυσικό σύστηµα που περιγράφει η Μ Ε έχει πεπερασµένες χωρικές διαστάσεις, άρα σύµφωνα µε ότι έχουµε δει χρειάζεται και η επιβολή Συνοριακών Συνθηκών. Θα µελετήσουµε, λοιπόν, προβλήµατα α) Αρχικών-Συνοριακών Τιµών(ΠΑ-ΣΤ) και ϐ) Συνοριακών Τιµών(ΠΣΤ) για Μ Ε δύο µεταβλητών και σε Καρτεσιανές Συντεταγµένες. Για την ακρίβεια, ϑα µελετήσουµε την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας(επί της ουσίας, την Εξίσωση ιάχυσης (Εξ..) ), την Κυµατική Εξίσωση(Κ.Εξ.) και την Εξίσωση aplace(εξ..) για διάφορα είδη Συνοριακών Συνθηκών(ΣΣ). Συνθήκες Εφαρµογής της Μεθόδου ΜΧΜ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται αποκλειστικά και µόνο σε Γραµµικές Μ Ε και µία πρώτη απαίτηση που έχουµε για να είναι εφαρµόσιµη η µέθοδος, είναι η εξής : η Μ Ε να είναι οµογενής και οι (ΣΣ) να είναι Γραµµικές Οµογενείς. Αν συµβολίσουµε την άγνωστη συνάρτηση µε u(x, t) και ϑεωρήσουµε ότι a < x < b, τότε η πιο γενική µορφή, γραµµικών οµογενών ΣΣ, για Μ Ε δεύτερης τάξης είναι η εξής : a 1 u(a, t) + b 1 u(b, t) + γ 1 u x (a, t) + δ 1 u x (b, t) = και a u(a, t) + b u(b, t) + γ u x (a, t) + δ u x (b, t) = (5.1.1) Σε ότι ακολουθεί, ϑα ασχοληθούµε µε ΣΣ Dirichlet, Neumann, και περιοδικές. Τις περιοδικές ΣΣ τις παρουσιάζουµε πρώτη ϕορά και είναι της µορφής, u(a, t) = u(b, t) u x (a, t) = u x (b, t) Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι και οι τρεις κατηγορίες ΣΣ µε τις οποίες ϑα ασχοληθούµε αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των Γραµµικών Οµογενών ΣΣ για διάφορες τιµές των συντελεστών τους. Π.χ., οι συνθήκες Neumann προκύπτουν για τις τιµές a 1 = b 1 = δ 1 = και a = b = γ 1 =. Η επιλογή αυτών των ΣΣ, έγινε µε ϐάση το ότι οδηγούν σε λύσεις οι οποίες δίνονται ως κλασσικές σειρές Fourier και οι οποίες αποτελούν το κλασσικότερο και απλούστερο ίσως παράδειγµα της εξαιρετικά σηµαντικής ϑεωρίας Sturm-iouville µε την οποία ϑα σχοληθούµε στο κεφάλαιο (8). Ακριβώς επειδή οι ΣΣ Robin µπορεί να οδηγήσουν και σε λύσεις οι οποίες δεν έίναι πάντοτε καλσσικές σειρές Fourier για αυτό το λόγο κρίθηκε σκόπιµο η εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µελέτη τους να αναβληθεί µέχρι το κεφάλαιο (8), όπου πιστεύεται πως αρµόζει. Τις γενικές συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρµογή της (ΜΧΜ) ϑα τις διατυπώσουµε εκ των υστέρων. Βασική Ιδέα. Σαν πρώτο ϐήµα ψάχνουµε λύσεις της οµογενούς Μ Ετης µορφής u(x, t) = X(x)T (t) οι οποίες ϑα πρέπει να ικανοποιούν και επιπλέον Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουµε σε Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις(Σ Ε). Στη συνέχεια γενικεύουµε την αρχή της επαλληλίας έτσι ώστε από τις χωριζόµενες λύσεις να προκύψει η γενική λύση της οµογενούς Μ Ε σε µορφή άπειρης σειράς γινοµένων των χωριζοµένων λύσεων. Τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν για την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας και την Κυµατική Εξίσωση ϑα είναι Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών, ενώ για την εξίσωση aplaceϑα είναι µόνο Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Στη µελέτη που ακολουθεί δεν ϑα ασχοληθούµε µε ερωτήµατα σχετικά µε τη µοναδικότητα των λύσεων. Αυτή ϑα ϑεωρείται δεδοµένη και σχόλιο ϑα γίνει µόνο αν κάτι πρέπει να προσεχθεί περισσότερο. Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί από τους [17],[11],[14],[1]. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 48 Χωρισµού Μεταβλητών. 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. Για ιστορικούς καθαρά λόγους ξεκινούµε µε την Εξ..και η µελέτη της ενότητας (5..1.i) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική διότι µε αυτή παρουσιάζουµε επί της ουσίας τη Μέθοδο Χωρισµού Μεταβλητών. 5..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας. Θα λύσουµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας για τα εξής είδη ΣΣ: Dirichlet, Neumannκαι Περιοδικών. Η ενότητα αυτή είναι επηρεασµένη από την αντίστοιχη ενότητα των [17]. Ξεκινούµε µε τις ΣΣ Dirichlet 5..1.i Dirichlet ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..1) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..3) το οποίο εκφράζει την µετάδοση ϑερµότητας σε µία διάσταση και σε πεπερασµένο χωρικό διάστηµα µήκους. Η ϕυσική του ερµηνεία είναι ότι περιγράφει τη µετάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους της οποίας τα άκρα είναι σε επαφή µε (άπειρες)θερµικές δεξαµενές ϑερµοκρασίας µηδέν. Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f() = f() = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.1: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Dirichlet. Ξεκινούµε απαιτώντας οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα. Μία προφανής λύση της οµογενούς εξίσωσης είναι η µηδενική λύση u(x, t) = αλλά αυτή δεν µας ενδιαφέρει δεδοµένου ότι δεν µπορεί να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη αν f(x), για < x <. Άρα, µας ενδιαφέρουν συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Αντικαθιστούµε τη χωριζόµενη µορφή για την u στην εξίσωση (5..1) και παραγωγίζοντας µία ϕορά ως προς την t και δύο ϕορές ως προς την x προκύπτει XT t kx xx T = XT t = kx xx T. το επόµενο ϐήµα είναι απλό αλλά εξαιρετικής σηµασίας, διότι χωρίζουµε τις µεταβλητές. Φέρνουµε στο ένα µέλος της εξίσωσης όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την t και στο άλλο όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την x, οπότε προκύπτει η ισότητα T t kt = X xx X (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 49 στην οποία έχουµε δύο εκφράσεις ίσες µεταξύ τους αλλά η µία εξαρτάται από τη µεταβλητή t µόνο και η άλλη εξαρτάται από τη µεταβλητή x µόνο. εδοµένου ότι οι x και t είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους δεν µπορεί παρά να υπάρχει µία σταθερά λ, την οποία ονοµάζουµε και σταθερά χωρισµού έτσι ώστε να ισχύει ότι T t kt = X xx X = λ (5..6) το ότι και τα δύο µέλη πρέπει να είναι σταθερά προκύπτει πολύ εύκολα αν για παράδειγµα παραγωγίσουµε και τις δύο εκφρασεις µε τη µεταβλητή t οπότε ) ) t ( Xxx X = t ( Tt kt = T t kt = σταθ. Προσοχή. Τονίζουµε εδώ ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..6). Αυτό είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης και δεν αλλάζει σε τίποτε την ουσία της µεθόδου. Η εξίσωση (5..6) οδηγεί στο εξής σύστηµα Σ Ε d X = λx, dx < x < (5..7) dt = λkt, dt t > (5..8) οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µόνο µέσω της σταθεράς χωρισµού λ. Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Για να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει u(, t) = X()T (t) =, u(, t) = X()T (t) = εφόσον τώρα απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X() = X() = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..9) dx X() = X() = (5..1) το οποίο ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Το πρόβληµα αυτό έχει µία προφανή λύση, την X =, η οποία όµως απορρίπτεται διότι ϑέλουµε u. Θα δούµε σύντοµα ότι στο Πρόβληµα Ιδιοτιµών δεν καθορίζεται µόνο η συνάρτηση X αλλά και οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η σταθερά λ ακριβώς όπως συµβαίνει και κατά την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών ενός τετραγωνικού πίνακα στην Γραµµική Άλγεβρα. Μία µη-τετριµένη(δηλ., µη-µηδενική) λύση του προβλήµατος (5..9-5..1) την ονοµάζουµε Ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή λ. Για τα προβλήµατα ιδιοτιµών, τα οποία είναι ΠΣΤ για τις Σ Ε, δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι εκ των προτέρων ότι υπάρχει λύση για κάθε τιµή του λ(σε αντίθεση µε τα προβλήµατα αρχικών τιµών για τα οποία έχουµε ϑεωρήµατα µοναδικότητας και ύπαρξης λύσεως). Ετσι ϑα ακολουθήσουµε την εξής τακτική : ϑα δώσουµε τη γενική λύση της (5..9) και µετά ϑα ελέγξουµε τις τιµές του λ (αν υπάρχουν κάποιες) για τις οποίες υπάρχει λύση που ικανοποιεί τις ΣΣ (5..1). Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. Η εξίσωση (5..9) έιναι Συνήθης ιαφορική Εξίσωση µε Σταθερούς Συντελεστές και επιλύεται εύκολα. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι το k + λ = από το οποίο προκύπτουν οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Εδώ, κάναµε την υπόθεση ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και παρόλο που δεν το αποδείξα- µε τυγχάνει αυτή να είναι και η πραγµατικότητα. Αργότερα ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε κάποια γενικά αποτελέσµατα για αυτού του είδους τα προβλήµατα ιδιοτιµών και ϑα δείξουµε ότι όντως οι ιδιοτιµές τους είναι πάντα πραγµατικές. Σκοπός µας είναι τώρα να διαπιστώσουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..1). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ) Βοηθά να χρησιµοποιήσουµε τη µορφή X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) της λύσης, διότι η συνάρτηση h w έχει µία µοναδική ϱίζα στο σηµείο w =, ενώ η cosh w είναι αυστηρά ϑετική συνάρτηση. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι a =, ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx και η απαίτηση X() = δίνει a = ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το σύστηµα δεν µπορεί να έχει τη µηδενική ιδιοτιµή ως λύση. Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) και η απαίτηση X() = δίνει a = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 51 και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι a x ax(x). εδοµένου ότι για n < δεν αλλάζει η τιµή του λ (εξαρτάται από το n ) ενώ ( x) = (x) ϑεωρούµε µόνο n > διότι έτσι παίρνουµε το ίδιο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών µε το να ϑεωρούσαµε και n <. Επίσης, είναι προφανές ότι καµία ιδιοτιµή δεν επαναλαµβάνεται παραπάνω από µία ϕορά, άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n (x) = a n x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..11) Χρονική Εξάρτηση. Εχουµε τελειώσει µε το ΠΣΤ και µένει η λύση του προβλήµατος (5..8) η οποία είναι εξαιρετικά απλή και µας δίνει T (t) = Ae kλt (5..1) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο συγκεκριµένες τιµές, λ n = ( ) nπ. Άρα, nπ T n (t) = A n e k( ) t (5..13) Μορφή Λύσης. Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προκύπτει ότι για κάθε n έχουµε τη µορφή u n (x, t) = a n A n X n (x)t n (t) B n x nπ e k( ) t (5..14) όπου προφανώς λόγω γραµµικότητας και κάθε γραµµικός συνδυασµός u(x, t) = N u n (x, t) = N B n x nπ e k( ) t (5..15) ϑα είναι λύση του προβλήµατος. Άρα, λόγω της αρχής της υπέρθεσης µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η γενική λύση της εξίσωσης η οποία ικανοποιεί και τις ΣΣ, είναι η (5..15). Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Μένει όµως και η ΑΣ, (5..3), που πρέπει να ικανοποιείται για να µπορούµε να µπορούµε να πούµε ότι έχουµε λύσει το πρόβληµα. Αν κρατήσουµε ως λύση τη µορφη (5..15) που µόλις κατασκευάσαµε ϑα πρέπει να ισχύει ότι f(x) = u(x, ) = N B n x, x [, ] κάτι τέτοιο ϑα σήµαινε ότι µπορούµε κάθε συνάρτηση, f(x), να την αναπαραστήσουµε µε ένα πεπε- ϱασµένο γραµµικό συνδυασµό ηµιτόνων. Αυτό όµως είναι λάθος διότι, οι µόνες αρχικές συνθήκες για τις οποίες µπορούµε να λύσουµε είναι αυτές οι οποίες είναι ήδη γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων και µάλιστα µόνο της µορφής ( nπ x)! Άρα, η λύση του προβλήµατος δεν µπορεί να είναι της Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. µορφής που µόλις κατασκευάσαµε! Τη διέξοδο σε αυτή τη δυσκολία έδωσε ο ίδιος ο Fourier µε την υπόθεση, ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = B n x nπ e k( ) t (5..16) πράγµα το οποίο οδηγούσε στην εξής απαίτηση για την αρχική συνθήκη f(x) = u(x, ) = B n x, x [, ] (5..17) Η µεγαλοφυής ιδέα του Fourier ήταν να ϑεωρήσει ότι, πράγµατι, κάθε συνάρτηση f(x) µπορεί να αναπαρασταθεί σε άπειρη σειρά ηµιτόνων της µορφής ( nπ x). Με αυτή την υπόθεση (η οποία στην αρχή αµφισβητήθηκε έντονα, πήρε κάποιο καιρό για να αποδειχθεί η ορθότητα της και η προσπάθεια απόδειξης της ορθότητάς της οδήγησε στη ϑεµελίωση σηµαντικών κλάδων των σύγχρονων µαθηµατικών)θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Μία τέτοια σειρά ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(5..1-5..3) ή αλλιώς Ηµιτονική Σειρά Fourier. Οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης σειράς. Σύντοµα ϑα γίνει κατανοητό ότι η γνώση των συντελεστών ισοδυναµεί µε τη γνώση της Σειράς Fourier και το Ϲητούµενο είναι ο τρόπος προσδιορισµού τους. Στον προσδιορισµό των συντελεστών ϑα προχωρήσουµε όµως, αφότου σχολιάσουµε πρώτα το κατά πόσο η u(x, y) όντως αποτελεί λύση του ΠΑ-ΣΤ(5..1-5..3). Επαλήθευση Λύσης. Η επαλήθευση της λύσης είναι κάτι το οποίο δεν ϑα επιχειρήσουµε να κάνουµε άµεσα. ιότι για να δείξουµε ότι η u(x, y) είναι όντως λύση του ΠΑ-ΣΤ(5..1-5..3) πρέπει να είµαστε ϐέβαιοι ως προς τη διαφορισηµότητα των Σειρών Fourier (δεδοµένου ότι ϑέλουµε να ικανοποιούν τη Εξ.. ως λύσεις της). Σκεφτείτε ότι ούτε καν έχουµε προσπαθήσει να δώσουµε απάντηση στο ποιές συναρτήσεις µπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier. Με αυτά τα Ϲητήµατα ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (6). Εσείς µπορείτε προσωρινά να ϑεωρείτε δεδοµένο ότι όντως η u(x, y) αποτελεί λύση η οποία ικανοποιεί και τις οµογενείς ΣΣ. Αν κάποιος προσπαθήσει να παραγωγίσει όρο προς όρο τη Σειρά Fourier ϑα δείξει ότι όντως ικανοποιεί το ΠΣΤ(5..1-5..) όµως αυτό δεν είναι ο γενικός κανόνας µε τις Σειρές Fourier και µέχρι να τον διατυπώσουµε και να είµαστε ϐέβαιοι για το πως µπορούµε να παραγωγίσουµε αποφεύγουµε να το κάνουµε. Μένει εποµένως µόνο να προσδιορίσουµε τους συντελεστές B n έτσι ώστε να ικανοποιείται η ΑΣ. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ας επανέλθουµε στον προσδιορισµό των συντελεστών B n του αναπτύγµατος κατά Fourier της f(x) όπου κι εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε, προσωρινά, µε Ϲητήµατα αυστη- ϱότητας τα οποία ϑα µας απασχολήσουν στο επόµενο κεφάλαιο. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται στο ολοκλήρωµα { ( mπ x x dx = Ασκηση 5.1. Να αποδειχθεί η σχέση (5..18). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα a b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] ), m n, m = n (5..18) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 53 Είναι προφανές, ως άµεση συνέπεια του τύπου (5..18), ότι ( mπ x dx = (5..19) Τέτοιου είδους ολοκληρώµατα ονοµάζονται Σχέσεις Ορθογωνιότητας και Κανονικοποίησης αντίστοιχα. Αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα συστατικά της µεθόδου του Fourier αλλά και της γενίκευσης της που είναι η ϑεωρία των Sturm-iouville µε την οποία ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Η σηµαντικότητα των δύο σχέσεων, (5..18) και (5..19) για τον προσδιορισµό των συντελεστών Fourier ϕαίνεται αν πράξουµε ως εξής ( mπ x f(x)dx = = = B m [ ( mπ x ] B n x dx B n = B m ( mπ x x dx ( mπ x dx (5..) όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης, (5..18) και (5..19), των ηµιτόνων. ηλαδή, B m = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..1) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της f(x) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο. Σύνοψη. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = B m = B n x nπ e k( ) t, και (5..) ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..3) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (5..1-5..3) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συν- ϑήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 54 Χωρισµού Μεταβλητών. Αυµπτωτική Συµπεριφορά. Επειδή οι συντελεστές Fourier δεν απειρίζονται (όπως ϑα δειχθεί στο nπ επόµενο κεφάλαιο) είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι λόγω του όρου e k( ) t η λύση ϑα ελλατώνεται µε την πάροδο του χρόνου και µάλιστα ϑα ισχύει lim u(x, t) = t Ερµηνεία : Κάτι τέτοιο είναι συµβατό µε την εµπειρία µας αν σκεφτούµε τη ϕυσική σηµασία του ΠΑ-ΣΤ που µόλις λύσαµε. Η αρχική συνθήκη µας λέει ότι τη χρονική στιγµή t = δίνουµε σε κάθε σηµείο της ϱάβδου µία τιµή ϑερµοκρασίας (αυτό σηµαίνει το u(x, ) = f(x)) και µετά εξατάζουµε πως µεταβάλεται η ϑερµοκρασία αυτή αν το κάθε άκρο της ϱάβδου το ϕέρουµε σε επαφή µε άπειρη ϑερµική δεξαµενή ϑερµοκρασίας ίσης µε µηδέν. Σύµφωνα µε ότι ξέρουµε η ϑερµότητα ϑα αρχίσει να ϱέει από τη ϱάβδο προς τη δεξαµενή (από το ϑερµότερο ως το ψυχρότερο δηλαδή) µέχρι να έρθουν όλα τα συστήµατα σε ϑερµική ισορροπία. Επειδή όµως η δεξαµενή είναι άπειρη, ϑα παραµένει πάντα σε ϑερµοκρασία ίση µε µηδέν άρα ϑα έχουµε ϑερµική ισορροπία µόνο όταν η ϑερµοκρασία της ϱάβδου γίνει ίση µε µηδέν! Παράδειγµα 5.1 (Παράδειγµα 5.1 [17]): Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, u t k u =, < x < π, t > (5..4) x u(, t) = u(π, t) =, t (ΣΣ) (5..5) { x x π u(x, ) = f(x) = π x π x π (ΑΣ) (5..6) Λύση. Για τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών, δεν έχουµε παρά να αντικαταστήσουµε στην έκφραση (5..16) για = π. Ετσι η λύση είναι η u(x, t) = B n (nx) e kn t (5..7) µε τους συντελεστές B n να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες µέσω της σχέσης B n = π π (nx)f(x)dx = π π (nx)f(x)dx + π όπου σπάσαµε το ολοκλήρωµα εξ αιτίας του ορισµού της f(x) και έτσι προκύπτει π π (nx)f(x)dx (5..8) B n = π π (nx)xdx + π π π (nx)(x π)dx (5..9) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 55 δεδοµένου ότι π π x (nx)dx = nπ π xd cos(nx) = x cos(nx) nπ ] π ] π + nπ π cos(nx)dx = x cos(nx) + nπ n π ((nx)) [ ] π = x cos(nx) + (nx) π n n ] π (5..3) µπορούµε τότε να πούµε ότι π π π π (π x) (nx)dx = π (nx)dx π π π x (nx)dx ] π [ = n cos(nx) x cos(nx) π n π [ = (π x) cos(nx) π n άρα η έκφραση, (5..9), για τους συντελεστές B n γίνεται ] π (nx) n π ] π + (nx) n π [ ] π [ ] x cos(nx) + (nx) π π n n + (π x) cos(nx) (nx) π n n π [ = π ] π [ (nx) n π { = 4 n π (nπ ) = ] π (nx) n π n = k 4( 1) k+1 n = k 1 (k 1) π (5..31) (5..3) άρα η λύση είναι u(x, t) = 4 π k=1 ( 1) k+1 (k 1) [(k 1)x] e (k 1) t (5..33) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 56 Χωρισµού Μεταβλητών. από τη µορφή της λύσης είναι προφανές ότι οι συντελεστές Fourier παραµένουν πεπερασµένοι, οπότε επαληθεύεται η ασυµπτωτική συµπεριφορά η οποία οφείλεται στον όρο e (k 1)t. Παράδειγµα 5.: Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, lim u(x, t) = t u t k u =, x < x <, t > (5..34) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..35) u(x, ) = ( 15π x), x (ΑΣ) (5..36) Λύση. Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (5..) και (5..3). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών B n έχουµε B n = ( nπ x)f(x)dx = B n = ( nπ { x) (15π x)dx n 15 1 n = 15 (5..37) µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο όρος για n = 15, δηλαδή ο B 15 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η u(x, t) = B 15 ( 15π 15π x)e k( ) t = ( 15π 15π x)e k( ) t (5..38) Είδαµε την ειδικά απλή µορφή που παίρνει η λύση αν η αρχική συνθήκη είναι µία από τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ. Ασκηση 5.. Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ µε < x <, u t k u =, x t > u(, t) = u(, t) =, t { (a) για u(x, ) = 1 (b) u(x, ) = cos( 3π x) Για το πρόβληµα (b) χρησιµοποιείστε το τύπο (9.1.). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή. Ας προχωρήσουµε τώρα στη λύση του ΠΑ-ΣΤ µε ΣΣ Neumann. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 57 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε, ότι χωρίς την απαίτηση της αρχικής συνθήκης το πρόβληµα που µένει, το οποίο είναι πλέον µόνο ΠΣΤ δεν έχει µοναδική λύση. Αυτό είναι πολύ απλό να το διαπιστώσει κανείς, αν ανατρέξει στην έκφραση, (5..), της λύσης του ΠΣΤ και στην οποία για κάθε τιµή του n υπάρχουν άπειρα B n που την ικανοποιούν. Με άλλα λόγια, η έκφραση για τους συντελεστές B n, (5..3), προσδιορίζει από την απειρία συντελεστών που ικανοποιούν το ΠΣΤ αυτούς που ικανοποιούν και το ΠΑΤ. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή σε όλα τα ΠΣΤ και δεν αποτελεί χαρακτηριστικό των ειδικών ΣΣ του προβλήµατος που µόλις λύσαµε, όπως ϑα έχουµε την ευκαιρία να διαπιστώσουµε και παρακάτω. 5..1.ii Neumann ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..39) u x (, t) = u x (, t) =, t (ΣΣ) (5..4) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..41) το πρόβληµα αυτό περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους µε µονωµένα άκρα (δηλ., άκρα που δεν επιτρέπουν ανταλλαγές ϑερµοκρασίας.) Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f x () = f x () = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Neumann. Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα και όπου για λόγους εντελώς αντίστοιχους µε αυτούς της προηγούµενης ενότητας (5..1.i) µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Η όλη διαδικασία αντικατάστασης της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (5..39) δεν αλλάζει σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) και έτσι καταλήγουµε στο ίδιο σύστηµα εξισώσεων, d X = λx, dx < x < (5..43) dt = λkt, dt t > (5..44) όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..43) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 58 Χωρισµού Μεταβλητών. Πρόβληµα ιδιοτιµών. Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ µας δίνει u x (, t) = X x ()T (t) =, u x (, t) = X x ()T (t) = και εφόσον απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X x () = X x () = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..45) dx X x () = X x () = (5..46) το οποίο επίσης, ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Αναζητούµε πάλι, και τις τιµές του λ για τις οποίες έχουµε λύση, δηλαδή τις Ιδιοτιµές αλλά και τις µη τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος (5..45-5..46) δηλαδή, τις ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ. Η επίλυση της εξίσωσης (5..45) δεν αλλάζει σε σχέση µε αυτή της (5..9) και έτσι προκύπτουν πάλι οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..46). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ). Τότε, X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) X x (x) = a λ h( λx) + b λ cosh( λx) Η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι b =, ενώ η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι a =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx X x (x) = b και οι δύο απαιτήσεις, X x () = X x () = είναι συµβατές µε τη συνθήκη b =, άρα, σε αντίθεση µε την περίπτωση των ΣΣ Dirichlet έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, λ =, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την X(x) = a, δηλαδή, µία σταθερά. (5..47) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 59 Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) X x (x) = a λ ( λx) + b λ cos( λx) και η απαίτηση X x () δίνει b = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι b cos x bx(x) Παρατηρούµε ότι έχουµε τις ίδιες ιδιοτιµές αλλά διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) όταν λ >. Για τους ίδιους λόγους µε αυτούς της ενότητας (5..1.i) ϑεωρούµε µόνο n > και είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n = a n cos x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..48) Χρονική Εξάρτηση. Η λύση του προβλήµατος (5..44) είναι όπως και του προβλήµατος (5..8), η T (t) = Ae kλt (5..49) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο τις τιµές, λ = και λ n = ( ) nπ, n = 1,,..., και έτσι για τις λύσεις τις χρονικής εξέλιξης προκύπτει, nπ T = B, T n (t) = B n e k( ) t, n = 1,,..., (5..5) Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προ- Μορφή Λύσης. κύπτει u (x, t) = ab A, (5..51) u n (x, t) = b n B n X n (x)t n (t) A n cos x nπ e k( ) t n = 1,, 3,..., (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 6 Χωρισµού Μεταβλητών. Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = A + A n cos x nπ e k( ) t (5..53) όπου παρατηρείστε ότι η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή u(x, t) = n= A n cos x nπ e k( ) t (5..54) αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο δια- ϕορετικών περιπτώσεων, λ = και λ >. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ. Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε να ισχύει f(x) = u(x, ) = A + A n cos x, x [, ] και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η f(x) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(5..39-5..41) ή αλλιώς Συνηµιτονική Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης συνηµιτονικής σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορθογωνιό- Εύρεση Συντελεστών Fourier. τητας, και Κανονικοποίησης, ( mπ cos x cos x dx =, m n, m = n, m = n = (5..55) ( mπ cos x dx =, m. (5..56) οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των (5..55). κεφάλαια. Αναλυτικά µε αυτές ϑα ασχοληθούµε στα επόµενα Ασκηση 5.3. Να αποδειχθεί η σχέση (5..55). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα cos a cos b = 1 [cos(a b) + cos(a + b)] ) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14