ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσµατος Το διάνυσµα µε αρχή το και πέρας το συµολίζεται µε AB και παριστάνεται µε ένα έλος που ξεκινάει από το και καταλήγει στο ν η αρχή και το πέρας ενός διανύσµατος συµπίπτουν, τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό διάνυσµα Έτσι, για παράδειγµα, το φορές τα µικρά γράµµατα του ελληνικού AB ή του λατινικού B (πέρας) διάνυσµα AA είναι µηδενικό διάνυσµα Για το συµολισµό των διανυσµάτων χρησιµοποιούµε πολλές αλφάητου επιγραµµισµένα µε έλος για παράδειγµα, A (αρχή) α,,, u, v, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; AB =() 0 ηλαδή το µέτρο ενός διανύσµατος είναι θετικός αριθµός ή µηδέν Η απόσταση των άκρων ενός διανύσµατος AB, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος, λέγεται µέτρο ή µήκος του --- διανύσµατος AB και συµολίζεται µε AB ν το διάνυσµα AB έχει µέτρο, τότε λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα Τι γνωρίζετε για τον φορέα διανύσµατος;
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Η ευθεία πάνω στην οποία ρίσκεται ένα µη µηδενικό διάνυσµα AB λέγεται φορέας του AB ν ο φορέας ενός διανύσµατος AB είναι παράλληλος ή A B ε συµπίπτει µε µια ευθεία ζ, τότε λέµε ότι το AB είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουµε AB// ζ Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA µπορούµε να θεωρούµε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το AA Ποια διανύσµατα ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά; ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά διανύσµατα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουµε AB // Γ Γ Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται οµόρροπα ή αντίρροπα; Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροπα και αντίρροπα Συγκεκριµένα: ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται οµόρροπα: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και ρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία Γ που ενώνει τις αρχές τους ή ) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και µία από τις ηµιευθείες και Γ Γ Γ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα AB και Γ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουµε AB Γ
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γ Γ ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραµµικά και δεν είναι οµόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα διανύσµατα AB και Γ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουµε AB Γ Ποια διανύσµατα ονοµάζονται ίσα; Για να είναι δύο διανύσµατα ίσα πρέπει να είναι οµόρροπα και να έχουν ίσα µέτρα ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι ίσα, γράφουµε AB = Γ Τα µηδενικά διανύσµατα θεωρούνται ίσα µεταξύ τους και συµολίζονται µε 0 Παρατηρήσεις : ν Μ είναι το µέσον του, τότε AM= MB και αντιστρόφως Μ ν AB = Γ, τότε: i) A Γ = (εναλλαγή µέσων γραµµάτων) Γ ii) iii) B = Γ (εναλλαγή άκρων γραµµάτων) B = Γ --- Ποια διανύσµατα ονοµάζονται αντίθετα; 3
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα Για να δηλώσουµε ότι δύο διανύσµατα AB και Γ είναι αντίθετα, γράφουµε: AB Γ = ή Γ = Είναι φανερό ότι: AB = Γ AB = Γ Ειδικότερα, έχουµε = ναφερθείτε στην γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων Για να είναι δύο διανύσµατα αντίθετα πρέπει να είναι αντίρροπα και να έχουν ίσα µέτρα Το αντίθετο του διανύσµατος είναι το AB Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = θ Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ηµιευθείες και, την ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και και τη συµολίζουµε µε ( α, ) ή (, α ) ή ακόµα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, µε ένα µικρό γράµµα, για παράδειγµα θ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των α και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου 0 0 Είναι φανερό επίσης ότι 0 θ 80 ή σε ακτίνια 0 θ π και ειδικότερα: ν θ =0τότε α ν θ=πτότε α θ =0, αν α θ = π, αν α 4
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ π ν θ =, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα ορθογώνια ή κάθετα και γράφουµε α α και είναι Παρατηρήσεις : ν ένα από τα διανύσµατα α, είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ως γωνία των α και µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία θ µε 0 θ π Έτσι, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα, 0, είναι οµόρροπο ή αντίρροπο ή ακόµη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα Πρόσθεση διανυσµάτων κάνοντας τα διαδοχικά (α τρόπος) B (πέρας) Έστω δύο διανύσµατα και Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε διάνυσµα OA = α και στη συνέχεια µε αρχή το παίρνουµε A (αρχή) διάνυσµα AM = Το διάνυσµα OM λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των διανυσµάτων α και και συµολίζεται µε α + AB Μ M + O + ΘΕΩΡΗΜ: το άθροισµα των διανυσµάτων ανεξάρτητο της επιλογής του σηµείου --- Π ΕΙΞΗ α και είναι Θεωρούµε O ένα άλλο σηµείο και παίρνουµε τα διανύσµατα O A = α και A M = Όµως OA = O A = α οπότε παρ/µο άρα O O = AA () και AM = A M = οπότε ΜΜ παρ/µο άρα A A = M M () 5
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Εποµένως από τις (),() προκύπτει ότι M M O O = M, οπότε ΜΜ παρ/µο άρα OM = O πότε αποδείχθηκε ότι το άθροισµα των διανυσµάτων είναι ανεξάρτητο της επιλογής του Πρόσθεση διανυσµάτων µε τον κανόνα του παρ/µου ( τρόπος) Το άθροισµα δύο διανυσµάτων ρίσκεται και µε το λεγόµενο κανόνα του παραλληλόγραµµου ηλαδή, αν µε αρχή ένα σηµείο πάρουµε τα διανύσµατα OA = α και OB =, τότε το άθροισµα α + ορίζεται από τη διαγώνιο OΜ του παραλληλόγραµµου που έχει προσκείµενες πλευρές τις O και Μ + ιατυπώστε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσµάτων Για την πρόσθεση των διανυσµάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγµατικών αριθµών ηλαδή, αν α,, γ είναι τρία διανύσµατα, τότε: () + = + α (ντιµεταθετική ιδιότητα) () ( α+ ) + γ= α+ ( + γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) α + 0 = α (4) α + ( α) = 0 Παρατηρήσεις : Η προσεταιριστική ιδιότητα µας επιτρέπει να συµολίζουµε καθένα από τα ίσα αθροίσµατα ( α+ ) + γ και α+ ( + γ ) µε α+ + γ, το οποίο θα λέµε άθροισµα των τριών διανυσµάτων α, και γ Το άθροισµα περισσότερων διανυσµάτων α α α,, 3,, α ν, ν 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: 6
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ + + 3 + + 3+ 4 3 4 α + α + α + + α = ( α + α + α + + α ) + α 3 ν 3 ν ν Για παράδειγµα, διπλανό σχήµα) α + α + α + α = ( α + α + α ) + α (κοίτα 3 4 3 4 ηλαδή, για να προσθέσουµε ν διανύσµατα α, α, α3,, αν, τα καθιστούµε διαδοχικά, οπότε το άθροισµά τους θα είναι το διάνυσµα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου Επειδή µάλιστα ισχύουν η αντιµεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισµα δε µεταάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν µερικοί από αυτούς αντικατασταθούν µε το άθροισµά τους ΘΕΩΡΗΜ: αποδείξτε τις ιδιότητες της πρόσθεσης B (πέρας) διανυσµάτων Μ + Π ΕΙΞΗ AB A (αρχή) πό το διπλανό σχήµα έχουµε: α + = OA+ AM= OM και + α= OB+ BM= OM Εποµένως, α + = + α + + γ γ πό το διπλανό σχήµα έχουµε: ( α + ) + γ= ( OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και --- α + ( + γ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ Εποµένως, ( α + ) + γ = + ( + γ ) + + γ Γ ι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς 7
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στην αφαίρεση διανυσµάτων Η διαφορά α του διανύσµατος από το διάνυσµα α ορίζεται ως άθροισµα των διανυσµάτων α και ηλαδή α = α+ ( ) + Σε µια ισότητα διανυσµάτων µπορούµε να µεταφέρουµε ένα διάνυσµα από το ένα µέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσηµό του Έτσι αν α+ = γ τότε α = γ Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν έχουµε δύο διανύσµατα α και, τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα, τέτοιο, ώστε + = α Πράγµατι: + = α ( ) + ( + ) = ( ) + α 0+ = α+ ( ) = α Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω ένα σταθερό σηµείο του χώρου Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα Μ, το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ Το σηµείο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο ν είναι ένα σηµείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα έχουµε OA + AB = OB και εποµένως O 8
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ AB OB OA = ηλαδή: Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής ναφερθείτε στο µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων (τριγωνική ανισότητα) + Στο διπλανό σχήµα λέπουµε το άθροισµα των διανυσµάτων α και πό την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουµε όµως ότι: ( OA ) ( AB) ( OB) ( OA) + ( AB) και εποµένως: α α + α + Παρατηρήσεις : Η ισότητα α+ = α + ισχύει µόνο όταν α Η ισότητα α = α+ ισχύει µόνο όταν α Τι ονοµάζουµε --- πολλαπλασιασµό αριθµού µε διάνυσµα; Έστω λ ένας πραγµατικός αριθµός µε λ 0 και α ένα µη µηδενικό διάνυσµα νοµάζουµε γινόµενο του λ µε το α και το συµολίζουµε µε λ α ή λ α ένα διάνυσµα το οποίο: 9
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ είναι οµόρροπο του α, αν λ > 0 και αντίρροπο του α, αν λ < 0 και έχει µέτρο λ α ν είναι λ = 0 ή 0 α =, τότε ορίζουµε ως λ α το µηδενικό διάνυσµα 0 Το γινόµενο α το συµολίζουµε και µε λ α λ Ιδιότητες πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα; Για το γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: Για παράδειγµα, αν το διάνυσµα α του παρακάτω σχήµατος έχει µέτρο, τότε το διάνυσµα 3 α είναι οµόρροπο µε το α και έχει µέτρο 3 α = = 3 α = 3 α =3 =6 ενώ το διάνυσµα 3 α είναι αντίρροπο µε το α, αλλά έχει και αυτό µέτρο ίσο µε 3α = 3 α =3 =6 () λ( α+ ) = λα+ λ () ( λ+ µ ) α = λα+ µ α (3) λ( µα) = ( λµ ) α 3 3 πόδειξη () : Υποθέτουµε ότι τα διανύσµατα α και είναι µη µηδενικά και ότι λ 0 Παίρνουµε ένα σηµείο και σχεδιάζουµε τα διανύσµατα OA = α, AB = Τότε είναι OB = α + Σχεδιάζουµε επιπλέον τα διανύσµατα A = λα O και OB = λ( α + ) λ>0 λ + λ( + ) 0
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Η ιδιότητα ισχύει προφανώς και όταν ένα τουλάχιστον από τα διανύσµατα α και είναι το µηδενικό ή όταν ο αριθµός λ είναι µηδέν ( ) ( ) Επειδή = = λ, ( ) ( ) τα τρίγωνα και είναι όµοια και εποµένως η πλευρά ( ) είναι παράλληλη µε την και ισχύει = λ ( ) υτό σηµαίνει ότι A B = λ AB = λ Εποµένως, επειδή O B = OA + A B, έχουµε λ( α+ ) = λα+ λ λ<0 λ( + ) + λ Παρατηρήσεις : Ως συνέπεια του ορισµού του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουµε: (i) λα= 0 λ= 0 ή α 0 = (ii) ( λα) = λ( α) = ( λα) --- (iii) λ( α )= λα λ (iv) ( λ µ ) α= λα µ α (v) ν λα = λ και λ 0, τότε α = (vi) ν λα = µ α και α 0, τότε λ= µ
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε γραµµικό συνδυασµό διανυσµάτων; ς θεωρήσουµε δύο διανύσµατα α και πό τα διανύσµατα αυτά παράγονται, για παράδειγµα, τα διανύσµατα γ= 3 α+5, δ= α+3 κτλ Καθένα από τα διανύσµατα αυτά λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α και Γενικά, ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός δύο διανυσµάτων α και κάθε διάνυσµα της µορφής v= κα+ λ, όπου κ, λ R ναφερθείτε στην συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων νάλογα ορίζεται και ο γραµµικός συνδυασµός τριών ή περισσότερων διανυσµάτων Έτσι, για παράδειγµα, το διάνυσµα v= 3 α + 5γ είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των α, και γ Όπως είδαµε, αν δύο διανύσµατα α και, όπου 0, συνδέονται µε τη σχέση α = λ, τότε τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα Ισχύει όµως και το αντίστροφο ηλαδή, αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει µοναδικός αριθµός λ τέτοιος ώστε α = λ Πράγµατι, αν α θέσουµε κ =, τότε α = κ Συνεπώς: α ν α, τότε α = κ δηλαδή α = α ν α, τότε α= κ δηλαδή α = ν 0 α =, τότε α = 0 ν = 0 τότε για οποιοδήποτε µη µηδενικό διάνυσµα αδεν υπάρχει λ ώστε α = λ Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ και µάλιστα µοναδικός (ιδιότητα iv), τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως: ΘΕΩΡΗΜ ν α, είναι δύο διανύσµατα, µε 0, τότε α // α = λ, λ R
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Υπολογίστε την διανυσµατική ακτίνα µέσου τµήµατος Μ ς πάρουµε ένα διάνυσµα AB και ένα σηµείο αναφοράς Για τη διανυσµατική ακτίνα έχουµε: OM του µέσου Μ του OM = OA+ AM και OM = OB+ BM τµήµατος Εποµένως, Άρα OA AM OB BM OA OB OM = + + + = + OA+ OB OM= Τι εννοούµε µε την έννοια άξονας; B (πέρας) Πάνω σε µια ευθεία AB A (αρχή) επιλέγουµε δύο σηµεία και Ι, έτσι ώστε το διάνυσµα OI να έχει µέτρο και να ρίσκεται στην ηµιευθεία O Λέµε τότε ότι έχουµε έναν άξονα µε αρχή το και µοναδιαίο διάνυσµα το OI = i και τον συµολίζουµε µε Η ηµιευθεία O λέγεται θετικός ηµιάξονας O, ενώ η O λέγεται αρνητικός ηµιάξονας O Ι Μ() --- ν, τώρα, πάνω στον άξονα i OM OM πάρουµε ένα σηµείο Μ, επειδή //, θα υπάρχει µόνο ένας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε ι = Τον αριθµό τον ονοµάζουµε τετµηµένη του Μ λλά και αντιστρόφως, από την ισότητα OM= ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγµατικό αριθµό αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του άξονα µε τετµηµένη Το σηµείο αυτό συµολίζεται µε Μ () 3
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ ναφερθείτε στο καρτεσιανό επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουµε δύο κάθετους άξονες και µε κοινή αρχή και µοναδιαία διανύσµατα τα i και j Λέµε τότε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο ή ακόµα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συµολίζουµε µε O Τι ονοµάζουµε συντεταγµένες ενός σηµείου; Το σύστηµα O λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό ρθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες και είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσµατα i και j είναι ισοµήκη Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο O παίρνουµε ένα σηµείο Μ πό το Μ φέρνουµε την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M, και την παράλληλη στον, που τέµνει τον στο M ν είναι η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα και η τετµηµένη του M ως προς τον άξονα, τότε ο λέγεται τετµηµένη του Μ και ο τεταγµένη του Μ Η τετµηµένη και η τεταγµένη λέγονται συντεταγµένες του Μ Έτσι σε κάθε σηµείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγµένων λλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πραγµατικών αριθµών αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο του επιπέδου, το οποίο ρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα παίρνουµε το σηµείο M ( ) και στον το σηµείο M ( ) πό τα M και M φέρνουµε παράλληλες στους άξονες και αντιστοίχως, που τέµνονται στο Μ Το σηµείο Μ είναι το ζητούµενο Ένα σηµείο Μ µε τετµηµένη και τεταγµένη συµολίζεται και µε M(, ) ή απλά µε (, ) Μ j i Μ(,) Μ Θεώρηµα 3: Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j 4
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ j i A A Ύπαρξη : Έστω O ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσµα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουµε το διάνυσµα OA = α ν A και A είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, έχουµε: OA = OA + OA () ν, είναι οι συντεταγµένες του A, τότε ισχύει OA = ι και OA = j Εποµένως η ισότητα () γράφεται α = i + j ποδείξαµε δηλαδή ότι το α είναι γραµµικός συνδυασµός των i και j B (πέρας) Μοναδικότητα: Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθµοί και είναι µοναδικοί AB Θα αποδείξουµε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραµµικού συνδυασµού των i και j είναι µοναδική A (αρχή) Πράγµατι, έστω ότι ισχύει και α = i + j Τότε θα έχουµε i + j = i + j ή ( ) i = ( ) j ν υποθέσουµε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει i = j Η σχέση αυτή, όµως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραµµικά Εποµένως =, που συνεπάγεται ότι και = Ώστε: --- Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ j Τα διανύσµατα i και j λέγονται συνιστώσες του διανύσµατος α κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθµοί, λέγονται συντεταγµένες του α στο σύστηµα O 5
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Πιο συγκεκριµένα, ο λέγεται τετµηµένη του α και ο λέγεται τεταγµένη του α Το α θα το συµολίζουµε µε το διατεταγµένο ζεύγος (, ) ναφερθείτε στις συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων ύο διανύσµατα είναι ίσα αν και µόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους είναι ίσες ν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες δύο διανυσµάτων α και του καρτεσιανού επιπέδου, τότε µπορούµε να ρούµε τις συντεταγµένες του αθροίσµατος α +, του γινοµένου λα, λ R και γενικά κάθε γραµµικού συνδυασµού των α και Πράγµατι, αν α =, ) και =, ), τότε έχουµε: ( ( α + = ( i + j ) + ( i + j) = ( + ) i + ( + ) j λ α = λ( i + j) = ( λ) i + ( λ) j Εποµένως α + = ( +, + ) και λα = ( λ, λ ) ή ισοδύναµα (, ) + (, ) = ( +, + ) Για παράδειγµα, αν α = (, ) και = (, ), τότε: α+ = (, ) + (,) = = (,), α = (, ) = (, ), α = (, ) (,) = = (, ) + (, ) = (0, 3) λ (, ) = ( λ, λ) Γενικότερα, για το γραµµικό συνδυασµό λα + µ έχουµε: λ α+ µ = λ, λ ) + ( µ, µ ) = ( λ + µ, λ + µ ) ( Υπολογίστε τις συντεταγµένες του µέσου ενός τµήµατος ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) (, ) καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του µέσου Μ του 6
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ B(, ) Μ(,) Επειδή OM = ( OA+ OB ) και OM= (, ), OA=, ), OB=, ) ( + + έχουµε: (, ) = [(, ) + (, )] =, Εποµένως ισχύει ( A(, ) + = και + = Υπολογίστε τις συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα ς θεωρήσουµε δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουµε ότι (, ) είναι οι συντεταγµένες του διανύσµατος AB A(, ) B(, ) Επειδή: AB= OB OA, AB= (, ), OB= (, ) και OA= (, ) έχουµε:, ) = (, ) (, ) = (, ) Εποµένως: ( ι συντεταγµένες (, ) του διανύσµατος µε άκρα τα σηµεία A, ) και, ) δίνονται από τις σχέσεις ( ( = και = ηλαδή: --- τετµηµένη του AB = τετµηµένη του - τετµηµένη του τεταγµένη του AB = τεταγµένη του - τεταγµένη του Για παράδειγµα, το διάνυσµα AB µε αρχή το (, ) και πέρας το (3,7) έχει συντεταγµένες = 3 = και = 7 = 5, δηλαδή είναι ίσο µε το α = (,5) 7
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Υπολογίστε το µέτρο ενός διανύσµατος αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες του Έστω α = (, ) ένα διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου και το σηµείο µε διανυσµατική ακτίνα OA = α ν και είναι οι προολές του στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σηµείο έχει τετµηµένη και τεταγµένη, θα ισχύει ( ) = και ( ) = Έτσι θα έχουµε: α = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = + = + Εποµένως: A A(,) ν α= (, ), τότε α = + Για παράδειγµα, αν α = (5, ), τότε α = 5 + = 3 Υπολογίστε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων αν γνωρίζετε τις συντεταγµένες τους B(, ) ς θεωρήσουµε τώρα δύο σηµεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σηµείων και είναι ίση µε το µέτρο του διανύσµατος AB = (, ), σύµφωνα µε τον τύπο α = + θα ισχύει: A(, ) ) + ( ) ( ) = ( Εποµένως: Η απόσταση των σηµείων (, ) και, ) είναι ίση µε ( ) + ( ) ( ) = ( 8
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Γωνία διανύσµατος α µε τον άξονα A(,) φ Έστω α = (, ) ένα µη µηδενικό διάνυσµα και A το σηµείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA = Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ηµιάξονας O αν στραφεί γύρω από το κατά τη θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία, την ονοµάζουµε γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα Είναι φανερό ότι: 0 φ< π Τι είναι ο συντελεστής διεύθυνσης; Θεωρούµε διάνυσµα α, αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα και γωνία φη γωνία τουα µε τον άξονα, ισχύει εφ φ= Το πηλίκο της τεταγµένης προς την τετµηµένη του διανύσµατος α = (, ), µε 0, το λέµε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συµολίζουµε µε λ α ή απλώς µε λ Εποµένως: --- λ= = εφφ Είναι φανερό ότι ν = 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α είναι ο λ = 0 ν =0, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α 9
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων µε χρήση συντεταγµένων Έστω α = (, ) και = (, ) καρτεσιανού επιπέδου Ισχύει ότι: Την ορίζουσα α = συντεταγµένες του διανύσµατος συντεταγµένες του διανύσµατος // 0 δύο διανύσµατα του, που έχει ως η τη γραµµή τις α και ως η γραµµή τις, τη λέµε ορίζουσα των διανυσµάτων α και (µε τη σειρά που δίνονται) και θα τη συµολίζουµε µε det( α, ) Έτσι, η παραπάνω ισοδυναµία διατυπώνεται ως εξής: α // det(, ) = 0 Τα διανύσµατα α = ( 3, ) και = ( 3, 3 ) είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = 3 3 = 3+ 3= 0, ενώ Τα διανύσµατα α = (, 3 ), = (, ) δεν είναι παράλληλα, αφού 3 det( α, ) = = 4+ 3 + 3= 7 0 ς θεωρήσουµε τώρα δύο διανύσµατα α = (, ) και = (, ) µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως Τότε έχουµε τις ισοδυναµίες: α // = 0 = = λ = λ Εποµένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσµατα α και µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ διατυπώνεται ως εξής: α // λ = λ 0
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση // α = 0 Π ΕΙΞΗ Για µια ορίζουσα Χ ισχύει: = det(, ) = Έστω α = (, ) και = (, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου ν τα διανύσµατα είναι παράλληλα και υποθέσουµε ότι 0, τότε θα υπάρχει λ R, τέτοιος, ώστε α = λ Εποµένως, θα έχουµε (, ) = λ(, ) ή ισοδύναµα: = λ και = λ, οπότε θα ισχύει = λ λ = ή ισοδύναµα = 0 0 ν = 0, τότε θα ισχύει = = 0 0 0 είξαµε δηλαδή ότι αν τα διανύσµατα α και είναι παράλληλα, τότε: = 0 ντιστρόφως, αν = 0, τότε τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα Πράγµατι, επειδή = 0, έχουµε = Εποµένως, ν 0, τότε =, οπότε, αν θέσουµε = λ, θα έχουµε: = λ και = λ Άρα, α = λ και συνεπώς α // --- ν = 0, τότε = 0, οπότε αν = 0, τα διανύσµατα α και θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγµένων, άρα και µεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν = 0, τότε το θα είναι το µηδενικό διάνυσµα και άρα, παράλληλο προς το α
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο; νοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και και το συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό α = α συν φ, φ F A όπου φ η γωνία των διανυσµάτων α και ν α = 0 ή = 0, τότε ορίζουµε α = 0 Παρατηρήσεις : Άµεσες συνέπειες του παραπάνω ορισµού είναι οι εξής: α = α (ντιµεταθετική ιδιότητα) ν α τότε α = 0 και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως ν α, τότε α = α και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόµενο α α συµολίζεται µε α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουµε: α = α α συν0= α Εποµένως α = α Ειδικότερα, για τα µοναδιαία διανύσµατα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j= j i = 0 και i = j = ναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου Έστω δύο διανυσµάτων α = (, ) και = (, ) Τότε ισχύει: α = + Για παράδειγµα, το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α και µε α = 3, π = 8 και φ= είναι 3 π α = 3 8 συν = 3 8 = 3 Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινο- µένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ Να αποδειχθεί η σχέση α = + Π ΕΙΞΗ Θεωρούµε διανύσµατα α = (, ) και = (, ) Με αρχή το παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = πό το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο έχουµε την ισότητα (, ) ( ) = ( ) + ( ) ( )( ) συν, θ (, ) η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σηµεία,, είναι συνευθειακά Όµως είναι: ( ) = ( ) + ( ), ( ) Εποµένως, έχουµε διαδοχικά: = + και ( ) = + ( ) + ( ) = + + + ( )( ) συν + + + = + + + ( )( ) συν και επειδή α ( )( ) συν=, έχουµε τελικά: α = + Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: () λα = α ( λ ) = λ ( α ), λ R () α ( + γ ) = α + α γ (3) α λλ = Π ΕΙΞΗ Πράγµατι, αν --- α = (, ), = (, ) και γ = ( 3, 3 ), τότε: () ( λα) = ( λ, λ )(, ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) και α ( λ ) = (, )( λ, λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = = λ( α ) Άρα: ( λα) = α ( λ) = λ( α ) 3
MAΘΗΜΤΙΚ ΛΥΚΕΙΥ () α ( + γ ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) 3 3 3 3 = ( + 3) + ( + 3) = ( + ) + ( 3 + 3) = α + α γ α α = + = = = λλ = (3) 0 0 Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων ν α = (, ) και = (, ) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου που σχηµατίζουν γωνία θ, τότε α α = α συνθ και εποµένως, συνθ= α Όµως, α = +, α = + και = + Εποµένως: συνθ= + + + ν θ είναι η γωνία των διανυσµάτων α = (, ) και = ( 3, ), τότε: 3+ συνθ = = + 3 + 5 = = = 5 0 π οπότε θ = 4 ναφερθείτε στην προολή διανύσµατος Έστω α, v µε 0 α Με αρχή ένα σηµείο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OM = ν πό το Μ φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της καθέτου Το διάνυσµα OM λέγεται προολή του ν στο α και συµολίζεται µε προ α ν ηλαδή: OM = προ α ν Για το εσωτερικό γινόµενο των α και ν έχουµε: α v= α ( OM = α προ α ν Εποµένως: + M M ) = α OM + α M M= α OM α ν = α προ α ν ποδεικνύεται ότι η προολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου v θ M M A 4