ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Σηµειώσεις µαθήµατος Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου Σεπτέµβριος 2002

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ...5.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...5.2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ...7.3. YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ...9.4. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO...2 2. ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ...4 2.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 2.2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ...4 2.3. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,)...8 2.3.. Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων...9 2.3.2. Γεννήτριες TAUSWORTHE...2 2.3.3. Έλεγχοι τυχαιότητας...2 2.4. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΑΛΛΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ...23 2.4.. Αντίστροφος µετασχηµατισµός...24 2.4.2. Σύνθεση συναρτήσεων - Συνέλιξη συναρτήσεων...26 2.4.3. Μέθοδος αποδοχής-απορρίψεως...27 2.4.4. Kανονική κατανοµή Ν(0,) - Ευρετικές µέθοδοι...29 2.4.5. Κατανοµή Γάµµα, gamma(α,β)...30 2.4.6. Χρονικά µεταβαλλόµενες διαδικασίες - Αφίξεις Poisson....3 2.5. ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ...34 3. ΣΥΝΘΕΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙTΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ...38 3.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...38 3.2. ΕΝΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ...38 3.2.. Περιγραφή...38 3.2.2. Mοντέλο διακριτών γεγονότων...39 3.3. ΣΕΙΡΙΑΚΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΛΙΣΤΩΝ...42 3.4. ΙΚΤΥΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (Queueing Networks)...43 3.4.. Περιγραφή...43 3.4.2. Μοντέλο διακριτών γεγονότων...45

3.4.3. Μέτρα απόδοσης δικτύων αναµονής...47 3.5. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ...50 3.5.. Περιγραφή...50 3.5.2. Μοντέλο διακριτών γεγονότων...50 3.6. ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV...52 3.6.. Θεωρητικά...52 3.6.2. Μοντέλο διακριτών γεγονότων...55 4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ...57 4.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...57 4.2. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ...57 4.2.. Oριακά θεωρήµατα...57 4.2.2. Εκτίµηση µέσου, διασποράς και συσχετίσεων...58 4.2.3. ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τον µέσο...6 4.2.4. Σύγκριση συστηµάτων...62 4.2.5. Στατιστικός προσδιορισµός του πλήθους προσοµοιώσεων...64 4.2.6. Εκτίµηση µόνιµης κατάστασης - Εξάλειψη µεταβατικών φαινοµένων...65 4.3. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ...66 4.3.. Τεχνική κοινών τυχαίων αριθµών (common random numbers)...66 4.3.2. Αντιθετικές µεταβλητές (antithetic variates)...68 4.3.3. Μεταβλητές ελέγχου (control variates)...68 4.4. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ...70 4.5. ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ...72 5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...8 5.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...8 5.2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΡΥΘΜΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ...83 5.2.. Οι θεµελιώδεις εξισώσεις...83 5.2.2. Ο αλγόριθµος...85 5.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ ΡΟΪΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ...87 5.3.. Περιγραφή αλγόριθµου προσοµοίωσης...87 5.3.2. Ενηµέρωση µεταβλητών κατάστασης...89 2

5.3.3. Προσαρµογή µεταβλητών...90 5.3.4. Ακαριαίες µεταβολές καταστάσεων χωρίς εκτέλεση νέου γεγονότος...90 5.3.5. Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων...9 5.3.6. Aνάλυση διαταραχών...9 5.4. Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΩΡΟΛΟΓΙΟΥ ΑΝΑΦΟΡΑΣ...92 5.5. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ...94 5.5.. Ρυθµοί εξυπηρέτησης...94 5.5.2. Χωρητικότητες χώρων αναµονής...95 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ SIMSCRIPT II.5...97 6.. H MEΘΟ ΟΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ...97 6.2. ΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SIMSCRIPT II.5...98 6.3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ...98 6.3.. ιαδικασία (PROCESS)...98 6.3.2. Πόρος (RESOURCE)...0 6.3.3. Αντικείµενα (ENTITIES)...03 6.3.4. Γεννήτριες τυχαίων αριθµών...05 6.3.5. Υπολογισµοί µέσων τιµών των µεταβλητών...06 6.3.6. Άλλες εντολές ελέγχου...07 6.4. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Μ Μ...08 6.5. ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΝΟΣ ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΥ...0 6.5.. Περιγραφή...0 6.5.2. Συµβολισµοί...2 6.5.3. Πρόγραµµα...4 6.6. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Sun...20 6.7. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ...22 6.7.. Εργαστήριο...22 6.7.2. Εργαστήριο 2...23 6.7.3. Εργαστήριο 3...23 6.7.4. Εργαστήριο 4...23 7. EΡΓΑΣΙΕΣ...25 7.. ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 (Κ+2)...25 3

7.2. ΣΥΣΤΗΜΑ Ε 2 Ε 2 Ν διαφορετικοί εξυπηρετούντες...25 7.3. ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ...26 7.4. AΛΥΣΙ Α MARKOV...26 7.5. ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Α...26 7.6. ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ - Β...27 7.7. ΡΟΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΟ ΜΗΧΑΝΩΝ...28 7.8. ΑΣΤΙΚΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΑΕΡΟ ΡΟΜΙΟ...28 7.9. ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΑ ΠΑΡΤΙ ΕΣ...29 7.0. ΑΝΑΜΟΝΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΥΟ ΤΥΠΟΥΣ ΠΕΛΑΤΩΝ...29 7.. Υ ΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΣ ΣΤΑΘΜΟΣ...30 7.2. ΙΚΤΥΟ JACKSON...3 7.3. ΙΚΤΥΟ JACKSON...32 7.4. ΓΕΝΕΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ...32 7.5. ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ...35 7.6. ΝΑΥΣΤΑΘΜΟΣ...35 7.7. ΧΡΗΜΑΤΙΣΤHΡΙΟ...36 7.8. ΣYΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓHΣ YΟ ΠΡΟΪOΝΤΩΝ, ΜΕ ΠΡΟΤΕΡΑΙOΤΗΤΕΣ...36 7.9. ΕΚΤEΛΕΣΗ EΡΓΟΥ (PROJECT)...37 7.20. ΤΡAΠΕΖΑ...38 8. Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α...40 9. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Ανασκόπηση Θεωρίας Ουρών...4 0. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ...43 4

. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Προσοµοίωση (simulation) είναι η µίµηση της λειτουργίας συστηµάτων ή της εξέλιξης διαδικασιών µέσα στο χρόνο µε τη βοήθεια υπολογιστή. ιαδικασία ή σύστηµα ονοµάζεται ένα σύνολο στοιχείων τα οποία εξελίσσονται και αλληλεπιδρούν σύµφωνα µε κάποιους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί εκφράζονται µε µαθηµατικές ή λογικές σχέσεις, και αποτελούν το µοντέλο του συστήµατος. Κατάσταση είναι το σύνολο των µεταβλητών οι οποίες δίνουν την απαραίτητη πληροφορία για την περιγραφή του συστήµατος. Παράδειγµα.. Η κίνηση υλικού σηµείου µάζας m επάνω σε µία ευθεία υπό την επίδραση σταθερής δύναµης F, περιγράφεται από το διάνυσµα s(t) υ(t) = θέση τη χρονική στιγµή t ταχύτητα τη χρονική στιγµή t το οποίο είναι το διάνυσµα καταστάσεως. Το µοντέλο του συστήµατος "υλικό σηµείο υπό την επίδραση δύναµης" δίδεται από τις σχέσεις υ(0) = υ 0 0, υ () t s(0) = s, s(t) = s 0 F = υ0 + t m F + υ0t+ t 2 m Στις εκφράσεις αυτές, οι s 0, υ 0 είναι οι τιµές της µετατόπισης και ταχύτητας τη χρονική στιγµή 0 και m είναι η µάζα του υλικού σηµείου. 2 Αν οι σχέσεις που περιγράφουν την εξέλιξη του συστήµατος είναι απλές, όπως αυτές του παραδείγµατος, τότε είναι δυνατή η εύρεση λύσεων κλειστής µορφής, οπότε λέµε ότι το µοντέλο επιλύεται αναλυτικά. Ωστόσο τα περισσότερα συστήµατα έχουν διάνυσµα κατάστασης µεγάλων διαστάσεων και περιγράφονται από πολύπλοκα µοντέλα των οποίων η αναλυτική επίλυση είναι αδύνατη. Για τη µελέτη τους εφαρµόζονται οι λεγόµενες αριθµητικές µέθοδοι. Τέτοιες είναι η αριθµητική ανάλυση και η προσοµοίωση. Η προσοµοίωση συνίσταται στην ανάπτυξη ενός µοντέλου του υπό εξέταση συστήµατος µε τη µορφή προγράµµατος σε υπολογιστή και στην εκτέλεση ενός (ή περισσοτέρων) πειράµατος το οποίο καταγράφει την κατάσταση του συστήµατος σε διαδοχικές χρονικές στιγµές αποτυπώνοντας ένα πιθανό σενάριο εξέλιξης του συστήµατος στο χρόνο. Η προσοµοίωση ευρίσκει εφαρµογές στην ανάλυση και σχεδίαση συστηµάτων παραγωγής (βιοµηχανία) στον έλεγχο αποθεµάτων (βιοµηχανία, εµπορικές επιχειρήσεις) στη µελέτη κυκλοφοριακών συστηµάτων (οδικό δίκτυο, αεροδρόµια) 5

στη µελέτη συστηµάτων εξυπηρετήσεως πελατών (τράπεζες, νοσοκοµεία, τηλεπικοινωνίες) στην αξιολόγηση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (χρηµατιστήριο, επενδύσεις, marketing). Με την προσοµοίωση µπορεί κανείς να αξιολογήσει την αποτελεσµατικότητα ή απόδοση ενός συστήµατος πριν αυτό κατασκευασθεί µε σκοπό τη βέλτιστη σχεδίασή του. Παράδειγµα.2. Μία µηχανή παράγει ένα κοµµάτι την ώρα. Στο τέλος κάθε ώρας γίνεται επιθεώρηση του κοµµατιού που εξέρχεται από τη µηχανή. Με πιθανότητα µ, το κοµµάτι περνά µε επιτυχία από τον έλεγχο, διαφορετικά επιστρέφει στη µηχανή γιά επανεπεξεργασία µίας ακόµη ώρας. Ζητάµε το µέσο ρυθµό παραγωγής της R όταν λειτουργήσει Τ ώρες συνολικά. Γιά την εκτέλεση του αλγορίθµου προσοµοίωσης στον υπολογιστή αναπτύσσεται ένα βοηθητικό πρόγραµµα το οποίο όταν καλείται δίδει το αποτέλεσµα Ε της επιθεώρησης ενός κοµµατιού (ελαττωµατικό: Ε = 0 µε πιθανότητα µ, αποδεκτό: Ε = µε πιθανότητα µ). Τέτοια προγράµµατα ονοµάζονται γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) και θα εξετασθούν σε επόµενο κεφάλαιο. Ο αλγόριθµος είναι ο εξής: (στα προγράµµατα, η εντολή τ = τ + x σηµαίνει ότι η τιµή της τ αυξάνεται κατά x). ΑΡΧΗ t = 0...(χρόνος) Ν = 0...(παραγωγή) 2. ΕΠΟΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ = ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΟΜΜΑΤΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ t = t +...(συµπλήρωση µίας ακόµη ώρας) ΑΝ t > Τ, ΤΟΤΕ πήγαινε στο (3) και περάτωσε την προσοµοίωση Ε = Γεννήτρια Τυχαίων Αριθµών...(αποτέλεσµα επιθεώρησης: 0 ή ) Ν = Ν + Ε...(ίδιο µε την εντολή ΑΝ Ε =, ΤΟΤΕ Ν = Ν + ) Επανάλαβε το βήµα (2) 3. ΤΕΛΟΣ R = N/Τ Το παράδειγµα αυτό δείχνει µία εφαρµογή της προσοµοίωσης στην ανάλυση συστήµατος παραγωγής. Σχεδίαση είναι το πρόβληµα του καθορισµού των παραµέτρων από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών ώστε η λειτουργία του συστήµατος να είναι η βέλτιστη δυνατή. Στην περίπτωση του παραδείγµατος, το πρόβληµα της σχεδίασης ανακύπτει όταν υπάρχει ένα σύνολο εναλλακτικών µηχανών κάθε µία από τις οποίες έχει διαφορετική διάρκεια κύκλου κατεργασίας, πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικού, αλλά και διαφορετικό κόστος αγοράς, λειτουργίας και συντήρησης. Τότε απαιτείται µία προσοµοίωση γιά κάθε µηχανή, ώστε να υπολογισθούν οι µέσοι ρυθµοί παραγωγής των, 6

να γίνει ανάλυση κόστους-αποτελέσµατος και να ευρεθεί η βέλτιστη επιλογή. Σηµειώστε ότι το παράδειγµα αυτό επιλύεται αναλυτικά: όταν T, τότε R = µ..2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ανάλογα µε το αν παρουσιάζουν διαχρονική εξέλιξη, τα συστήµατα διακρίνονται σε δυναµικά και στατικά (dynamic/static). υναµικό είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνάρτηση του χρόνου. Τα συστήµατα των παραδειγµάτων. και.2 είναι δυναµικά. Στατικό, αντίθετα, είναι το σύστηµα το οποίο δεν εµφανίζει εξέλιξη (δεν µεταβάλλεται) µε την πάροδο του χρόνου. 'Ενα εκκρεµές στη θέση ισορροπίας, το αποτέλεσµα της ρίψης ενός νοµίσµατος, ένα σύστηµα εξισώσεων, είναι στατικά συστήµατα. Τα δυναµικά συστήµατα διακρίνονται σε συστήµατα διακριτού χρόνου (discretetime systems), συστήµατα συνεχούς χρόνου (continuous-time systems) και υβριδικά συστήµατα (hybrid systems). Στα συστήµατα διακριτού χρόνου η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., ενώ παραµένει σταθερή στα διαστήµατα [t,t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), t k+ ] όπου F D, F S είναι κατάλληλες συναρτήσεις Συνεχές είναι το σύστηµα του οποίου η κατάσταση είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Η διαχρονική συµπεριφορά συνεχών συστηµάτων περιγράφεται συνήθως από διαφορικές εξισώσεις. ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) dt όπου F C είναι κατάλληλη συνάρτηση = F C [x(t),t] Στην πράξη σπάνια συναντάµε αµιγώς διακριτά ή αµιγώς συνεχή συστήµατα. Στα συνήθη συστήµατα η κατάσταση είναι κατά διαστήµατα συνεχής συνάρτηση του χρόνου και κάποιες χρονικές στιγµές παρουσιάζει βηµατικές (απότοµες) µεταβολές. Τα συστήµατα αυτά ονοµάζονται υβριδικά. Στα υβριδικά συστήµατα η κατάσταση µεταβάλλεται βηµατικά (απότοµα) σε διακριτές χρονικές στιγµές t, t 2, t 3,..., και συνεχώς στα διαστήµατα [t, t 2 ), [t 2, t 3 ),... ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: t k+ = t k + F S [x(t k ), t k ] 7

dx(t) = F C [x(t), t], για κάθε t [t k, t k+ ) dt x(t k+ ) = F D [x(t k+), t k+ ] Αν τη στιγµή t 0 = 0 η κατάσταση x(t 0 ) είναι γνωστή, τότε η πρώτη εξίσωση µας δίνει το χρόνο t, από τη δεύτερη υπολογίζουµε την x(t ) και από την τρίτη την x(t ). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία για όλες τις χρονικές στιγµές t, t 2, µέχρι το τέλος της προσοµοίωσης. Τα συστήµατα διακρίνονται επίσης σε στοχαστικά και αιτιοκρατικά (stochastic/deterministic). Αν το µοντέλο του συστήµατος είναι συνάρτηση γνωστών παραµέτρων ξ τότε το σύστηµα είναι αιτιοκρατικό. Για παράδειγµα, το ξ µπορεί να συµβολίζει το ρυθµό παραγωγής µίας µηχανής, ή το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών σε ένα σύστηµα εξυπηρέτησης. Τα προηγούµενα µοντέλα ήταν όλα αιτιοκρατικά, ωστόσο οι παράµετροι ξ παρελείφθησαν για λόγους απλούστευσης. Αν οι παράµετροι ξ εµφανίζουν τυχαίες µεταβολές τότε είναι στοχαστικό. Έχουµε λοιπόν για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] x(t k+ ) = F D [x(t k ), ξ k+, t k+ ] όπου ν k και ξ k είναι ακολουθίες τυχαίων µεταβλητών (στοχαστικές διαδικασίες). Για παράδειγµα, αν x(t) συµβολίζει τη συνολική παραγωγή µίας µηχανής µέχρι τη στιγµή t, t k είναι ο χρόνος στον οποίο συµβαίνει η k-οστή βλάβη, ν k είναι το διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ της k-οστής βλάβης και της (k + )-οστής και ξ k+ είναι η συνολική παραγωγή της µηχανής στο διάστηµα αυτό, τότε t k+ = t k + ν k x(t k+ ) = x(t k ) + ξ k+ Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε ένα ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] dt όπου w(t) είναι στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου. Τέλος έχουµε για το ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: dx(t) = F C [x(t), w(t), t] για κάθε t [t k, t k+ ) dt t k+ = t k + F S [x(t k ), ν k, t k ] 8

x(t k+ ) = F D [x(t k+), ξ k+, t k+ ] Το σύστηµα του Παραδείγµατος. είναι δυναµικό, συνεχές και αιτιοκρατικό, ενώ εκείνο του Παραδείγµατος.2 είναι δυναµικό, διακριτό και στοχαστικό. Το επόµενο σχήµα δείχνει τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί κανείς να µελετήσει τη λειτουργία ενός συστήµατος. ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΦΥΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (π.χ. αεροµοντελισµός) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Αναλυτική Επίλυση. Προσοµοίωση 2. Αριθµητική Ανάλυση.3. YBΡΙ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ Θα δούµε τώρα πώς αναπτύσσεται ένας αλγόριθµος υβριδικών συστηµάτων. Παράδειγµα.3 Μία χηµική βιοµηχανία παράγει υγρό καύσιµο µε ονοµαστικό ρυθµό παραγωγής R. 'Εστω x (t) η ποσότητα καυσίµου που έχει παραχθεί µέχρι τη στιγµή t και x 2 (t) ο ρυθµός παραγωγής καυσίµου. H κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από το ζεύγος [x (t), x 2 (t)]. Οταν το εργοστάσιο λειτουργεί κανονικά τότε x 2 =R (γνωστός σταθερός ρυθµός), ενώ όταν σηµειωθεί κάποια βλάβη η παραγωγή διακόπτεται και x 2 =0. Γιά την x (t) η εξίσωση καταστάσεως είναι t x (t) = x 2 (τ) dτ (.) 0 Τα υβριδικά συστήµατα αποτελούν ειδική κατηγορία των δυναµικών συστηµάτων διακριτών γεγονότων (discrete-event dynamic systems, DEDS). Τα συστήµατα αυτά λειτουργούν ως εξής. Στα διαστήµατα [t k,t k+ ) η κατάσταση µεταβάλλεται µε συνεχή τρόπο. Κάθε στιγµή υπάρχει ένα πλήθος διαφορετικών γεγονότων e, e 2,... τα οποία "συναγωνίζονται" για το ποιό θα συµβεί ενωρίτερα (στα υβριδικά συστήµατα υπάρχει ένα µόνο επικείµενο γεγονός χωρίς συναγωνισµό). Τη στιγµή t k λαµβάνει χώρα ένα γεγονός, έστω το e(t k ). Τότε η κατάσταση του συστήµατος µεταβάλλεται βηµατικά. Λόγω της µεταβολής αυτής, 9

καθένα από τα γεγονότα που ευρίσκονται σε ανταγωνισµό εκείνη τη στιγµή επαναπροσδιορίζει τον µελλοντικό χρόνο εµφάνισής του. Έτσι, το γεγονός e i τη στιγµή t k θα "αποκτήσει" ένα νέο χρόνο εµφάνισης Τ i, ο οποίος είναι µία συνάρτηση του t k, της κατάστασης του συστήµατος τη στιγµή εκείνη, του γεγονότος e(t k ) που συνέβη τότε, και άλλων, ενδεχοµένως, παραµέτρων του συστήµατος. Το επόµενο γεγονός του συστήµατος είναι εκείνο που θα συµβεί στο συντοµότερο χρόνο, δηλ. t k+ =mint i. H διαδικασία επαναλαµβάνεται γιά τη στιγµή t k+. Στο παράδειγµα που εξετάσαµε τα γεγονότα είναι οι βλάβες και οι επισκευές του συστήµατος γιατί τότε εµφανίζονται απότοµες µεταβολές στο διάνυσµα κατάστασης πχ. Παραγωγή x (t): Ρυθµός x 2 (t): R t : βλάβη t 2 : επισκευή Χρόνος t Παρατηρήστε ότι άν και έχουµε δύο τύπους γεγονότων, εν τούτοις κάθε στιγµή υπάρχει µόνο ένα επικείµενο γεγονός. Γιά την µελέτη τέτοιων συστηµάτων η προσοµοίωση είναι σήµερα το πλέον αποτελεσµατικό εργαλείο. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως προσοµοίωση διακριτών γεγονότων (discrete-event simulation). Ενα πρόγραµµα προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων περιέχει τις ακόλουθες µεταβλητές (σε παρένθεση αναφέρονται οι µεταβλητές του παραδείγµατος): Ρολόϊ προσοµοίωσης: Μία µεταβλητή που δίνει τον τρέχοντα χρόνο t (=ΤΩΡΑ). Κατάσταση του συστήµατος: Συλλογή µεταβλητών γιά την περιγραφή του συστήµατος (µεταβλητές: x i (t)). Εξισώσεις καταστάσεως: ίδουν τη µεταβολή των µεταβλητών καταστάσεως µε την πάροδο του χρόνου (Εξ. (.)). Χρόνος προηγούµενου γεγονότος: Η αµέσως προηγούµενη στιγµή κατά την οποία σηµειώθηκε βηµατική µεταβολή στο διάνυσµα κατάστασης. Αυτή η µεταβλητή είναι απαραίτητη γιά την "ενηµέρωση" των µεταβλητών κατάστασης, όπως θα δούµε στο επόµενο παράδειγµα. Λίστα επόµενων γεγονότων: Αν το σύστηµα αποτελείται από πολλές συνιστώσες (πχ. 0

πολλές µηχανές) τότε σε κάθε µία απ' αυτές µπορεί να συµβεί µία βηµατική µεταβολή στο µέλλον (π.χ. το γεγονός "βλάβη" ή "επισκευή" συνεπάγεται βηµατική µεταβολή του ρυθµού στις τιµές 0 ή R αντίστοιχα). Κάθε στοιχείο της λίστας αναφέρεται σε µία συνιστώσα του συστήµατος. Είναι ένα ζευγάρι που αποτελείται από το είδος και το χρόνο του επόµενου γεγονότος που πρόκειται να συµβεί στη συγκεκριµένη συνιστώσα πχ. (βλάβη, στιγµή που θα συµβεί βλάβη) (επισκευή, χρόνος που θα τελειώσει η επισκευή). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθµος προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων.. ΑΝΑΓΝΩΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Γιά το παράδειγµα: R, παράµετροι κατανοµής χρόνων ζωής και επισκευής, χρόνος περάτωσης της προσοµοίωσης TSIM 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ρολόϊ t=0 (τώρα) Χρόνος προηγούµενου γεγονότος ΤΠ=0 Καταστάσεις x =0 (στην αρχή δεν υπάρχει παραγωγή), x 2 =R (το σύστηµα λειτουργεί). Το σύστηµα είναι υβριδικό και στη λίστα επόµενων γεγονότων υπάρχει µόνο ένα ζεύγος: (βλάβη, χρόνος T β ), όπου: βλάβη = είδος επόµενου γεγονότος, και Τ β = η χρoνική στιγµή που θα σηµειωθεί η βλάβη = t + (χρόνος ζωής της µηχανής ο οποίος παράγεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών). 3. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΕΠΟΜΕΝΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΠ=t Βρές τον µικρότερο από τους χρόνους της λίστας και το αντίστοιχο γεγονός. Αυτό είναι το επόµενο γεγονός γιά όλο το σύστηµα. Θέσε t=χρόνος που θα συµβεί αυτό το γεγονός. [Στο παράδειγµα.3 η λίστα περιέχει µόνο ένα γεγονός και έναν χρόνο τ, άρα: t=τ β ]. Αν t > TSIM, τότε περάτωσε την προσοµοίωση µε το βήµα (6), αλλιώς, κάλεσε την κατάλληλη υπορουτίνα εκτέλεσης γεγονότος (4) ή (5). 4. ΒΛΑΒΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (t ΤΠ). Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = 0.

Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Επισκευή, Τ ε = t + E, όπου Ε = διάρκεια επισκευής που δίνεται από την γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 5. ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως εν χρειάζεται να υπολογίσουµε την x γιατί κατά την διάρκεια της επισκευής, δηλ. στο διάστηµα [ΤΠ,t), το σύστηµα δεν παράγει. Προσαρµογή µεταβλητών καταστάσεως x 2 = R. Προγραµµατισµός επόµενων γεγονότων στη λίστα Λίστα επόµενων γεγονότων: Bλάβη, Τ β = t k + ΧΖ, όπου ΧΖ = χρόνος ζωής του συστήµατος µέχρι την επόµενη βλάβη, που δίνεται από γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Επίστρεψε στο βήµα (3) 6. ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ενηµέρωση µεταβλητών καταστάσεως x x + x 2 (TSIM ΤΠ) Mέσος ρυθµός παραγωγής = x / TSIM. Σηµειώστε ότι σε ένα πρόγραµµα προσοµοίωσης οι µεταβλητές καταστάσεως (πχ. x i (t)) αποθηκεύονται ως σταθερές (δηλ. x i ), χωρίς να γίνεται αναφορά στη χρονική τους εξάρτηση..4. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO Με τον όρο Monte Carlo χαρακτηρίζεται κάθε αλγόριθµος προσοµοίωσης που χρησιµοποιεί γεννήτριες τυχαίων αριθµών. Ως τέτοια γεννήτρια µπορεί να θεωρηθεί και η ρουλέττα του καζίνο από το οποίο προέρχεται και το όνοµα της µεθόδου. Η προσοµοίωση Monte Carlo εφαρµόσθηκε κατά το δεύτερο παγκόσµιο πόλεµο γιά την ανάπτυξη της ατοµικής βόµβας. Θα αναφέρουµε µία εφαρµογή της, τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος β C = h(x)dx, (.2) α όπου h(x) µία συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογισθεί 2

αναλυτικά. Αυτό το πρόβληµα προφανώς είναι αιτιοκρατικό. Θα το λύσουµε µε εργαλεία από τη θεωρία πιθανοτήτων. Εστω Χ µία οµοιόµορφη τ.µ. στο διάστηµα (α, β) (συµβολικά γράφουµε X U(α, β)), και Υ µιά άλλη τ.µ. που δίνεται από τον τύπο Υ = (β α) h(χ). (.3) H Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = (β α) γιά x (α, β). Η αναµενόµενη τιµή της Υ είναι Ε{Υ} = Ε{(β α)h(x)} = (β α) Ε{h(X)}= β = (β α) h (x) dx (β α) α β = α β ( β α) h(x)f α X (x) dx h (x)dx = C. (.4) Γιά τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος C παράγουµε µία ακολουθία n ανεξάρτητων τυχαίων αριθµών x,..., x n U(α,β). Εφαρµόζοντας την Εξ. (.3) για X = x i, ευρίσκουµε την ακολουθία y,..., y n. Αποδεικνύεται ότι η δειγµατική µέση τιµή Y(n) των y i είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της C, δηλ. Ε{Υ(n)} = C. Πράγµατι, ορίζουµε οπότε Y(n) = n n y i i= n Ε[Υ(n)] = E y i = E(y i ) = C n n n i= n i= n i= = nc n Βλέπουµε ότι η µέση τιµή της Y(n) είναι ίση µε την ποσότητα που ζητάµε. Αλλά όµως και η µέση τιµή ενός µόνον αποτελέσµατος y i ισούται µε την ίδια ποσότητα, C. Τότε γιατί προτιµάµε το µέσο όρο Y(n) αντί µίας µόνο δειγµατικής τιµής y i που έχει λιγότερο υπολογιστικό βάρος; Οι διασπορά µίας εκτιµήτριας Υ(n) ή y i είναι το µέτρο της απόστασής της από τη µέση τιµή C. Παρατηρούµε ότι Var(y i ) = Var(Y) = E[(Y C) 2 ] ενώ, λόγω του ότι οι x i είναι ανεξάρτητες τ.µ., οι y i είναι επίσης ανεξάρτητες οπότε n Var[Y(n)] = Var y i = Var(y i ) = nvar(y) = n n 2 n 2 i= n i= = C. Var(Y) n Συνεπώς για n, η διασπορά της Y(n) τείνει στο 0, οπότε Y(n) C κατά µέσο τετράγωνο. Μπορούµε εποµένως να προσεγγίσουµε το C µε µεγάλη ακρίβεια επιλέγοντας µεγάλο n. Θα εξετάσουµε το πρόβληµα αυτό στο Κεφάλαιο 4. 3

2.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΓENNHTΡΙΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Είδαµε ότι για την προσοµοίωση στοχαστικών συστηµάτων απαιτείται η "παραγωγή" τυχαίων αριθµών που ακολουθούν συγκεκριµένες κατανοµές. Το επόµενο παράδειγµα δείχνει πόσο δύσκολο είναι αυτό. Παράδειγµα 2. Επιθυµούµε να παράγουµε µία ακολουθία 0 τυχαίων αριθµών X i που ακολουθούν την κατανοµή Bernoulli: Χ i =, ìε πιθανüτητα 0.5 0, ìε πιθανüτητα 0.5 Ας συγκρίνουµε τις ακολουθίες α) 00000 β) 00000 γ) 000000 ως προς την τυχαιότητα που εµφανίζουν. Στις δύο πρώτες, τα ψηφία εµφανίζονται µε την ίδια συχνότητα µε τα ψηφία 0 και αυτό συµφωνεί µε τις πιθανότητες: Ρ(Χ i =)=5/0=0.5. Η τρίτη ακολουθία έχει µόνο τέσσερα ψηφία ίσα µε. Εν τούτοις κάποιος θα θεωρούσε την ακολουθία (γ) "περισσότερο τυχαία" από την (β) η οποία εµφανίζει κάποια κανονικότητα. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις ακολουθίες έχουν την ίδια πιθανότητα να εµφανισθούν: Ρ(α)=Ρ(β)=Ρ(γ)= 0.5 0 = 0 3. Η τυχαιότητα είναι ο βαθµός του πόσο ασυνήθιστη ή απίθανη είναι µία ακολουθία. Σε επόµενη παράγραφο θα συζητήσουµε γιά τους στατιστικούς ελέγχους µε τους οποίους µετράµε το βαθµό τυχαιότητας που παρουσιάζουν ακολουθίες αριθµών. Οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών (random number generators) είναι µή γραµµικά µοντέλα της µορφής X k = f(x k ), όπου Χ,..., Χ k, Χ k,..., είναι οι διαδοχικοί τυχαίοι αριθµοί. Η συνάρτηση f ειναι τόσο πολύπλοκη ώστε η παρατήρηση και µόνον του αριθµού Χ k δεν αποκαλύπτει την εξάρτησή του από τον X k, δηλ. δεν προδίδει την f(.). Τέτοια µοντέλα ονοµάζονται και χαοτικά. Παραδείγµατα χαοτικών συστηµάτων είναι το κλίµα της γής, η τυρβώδης ροή θερµού υγρού µέσα σε ψυχρό, η κίνηση µιας µύγας στο χώρο κλπ. Τα χαοτικά συστήµατα είναι αιτιοκρατικά, όµως λόγω του ότι η f(.) είναι πολύπλοκη και όχι ακριβώς γνωστή εµφανίζουν ανεξήγητη ή τυχαία συµπεριφορά. 2.2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η αναµενόµενη τιµή ή µέσος µίας τ.µ. Χ συµβολίζεται µ Χ ή Ε{Χ} και ορίζεται από την σχέση 4

µ Χ = i= Ιδιότητες: Ε{αΧ} = α Ε{Χ}, α R, x i P(X = xi ), αν η Χ είναι διακριτή τ.µ. xf X (x)dx, αν η Χ είναι συνεχής τ.µ. n n E α i X i = α i E{ X i}, όπου α i R και οι Χ i είναι τ.µ. i= i= 2 Η διασπορά της Χ συµβολίζεται σ Χ ή Var{Χ} και ορίζεται από την σχέση σ 2 Χ =Ε{ (Χ µ Χ ) 2 } = Ε{ Χ 2 } (µ Χ ) 2. Η σ Χ ονοµάζεται τυπική απόκλιση της Χ. Ιδιότητες: Var{X) 0, Var{αΧ+β}=α 2 Var{Χ}, α,β R, n n 2 Var α 0 α ix + i = α i Var{ X i }, όπου α i R και οι Χ i είναι i= i= ανεξάρτητες ή έστω ασυσχέτιστες τ.µ. Η συµµεταβλητότητα δύο τ.µ. Χ, Υ είναι ο βαθµός της γραµµικής τους εξάρτησης ή συσχέτισης, συµβολίζεται Cov{X,Y} ή C XY και ορίζεται από τη σχέση C ΧY =Ε{ (Χ µ Χ )(Y µ Υ ) } = Ε{ΧΥ} (µ Χ µ Υ ). Ιδιότητες: Var{αΧ+βΥ}=α 2 Var{Χ}+ β 2 Var{Υ} + 2 α β C XY, α,β R, Αν C ΧY =0, τότε οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες. Κατανοµές συνεχών τ.µ. (α) Οµοιόµορφη, U(α,β) Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την µέγιστη τιµή β, και την ελάχιστη τιµή α µίας τ.µ., x [α, β] f(x) = β α 0, αλλού (β) Εκθετική, expo(β) x α F(x)= β α µ=(α+β)/2 σ 2 =(β α) 2 /2 Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή β, µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). 5

e x / β, x [0, ) β f (x) = 0, αλλού F(x)= e x/β µ=β σ 2 =β 2 (γ) Γάµµα, gamma(α,β) Αποτελεί γενίκευση της εκθετικής. Χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (0, ). fx ( ) = β α α e x / β x Γ(α) 0, αλλοý, x [0, ) και F(x)= α e x/ β j= 0 ( x/ β ) j! µ=αβ σ 2 =α β 2 j (εφόσον το α είναι φυσικός), Το Γ(α)= tα e tdt είναι η συνάρτηση Γάµµα του θετικού αριθµού α, µε Γ(α+)=αΓ(α) 0 (αν το α είναι θετικός πραγµατικός), και Γ(α+)=α! (αν το α είναι φυσικός αριθµός). Ιδιότητες: (α) gamma(,β) = expo(β) (β) Αν Υ gamma(α,), τότε η βυ gamma(α,β). (γ) Αν X,..., X n ανεξάρτητες expo(β) τότε το άθροισµά τους (Χ +...+ X n ) ακολουθεί την κατανοµή gamma(n,β) η οποία λέγεται κατανοµή n- Erlang(β). (δ) Weibull (α,β,γ) Όπως και η Γάµµα, αποτελεί γενίκευση της εκθετικής και χρησιµοποιείται όταν κάποιος γνωρίζει την αναµενόµενη τιµή και τη διασπορά µίας τ.µ. η οποία λαµβάνει τιµές στο (γ, ). Ιδιότητες: α x γ αβ α( x γ) α exp, αν x γ α fx ( ) = β x γ, F(x)= exp, β 0, αλλοý µ=γ+ β α Γ α Weibull(,β,0) = expo(β) Aν Χ α expo(β) Χ Weibull(α,β,0) σ 2 = β 2 2 2 2Γ Γ α α α α Αν γ=0 τότε η κατανοµή γράφεται Weibull(α,β). 6

(ε) Κανονική, Ν(µ,σ 2 ) Ιδιότητες: x fx ( ) = exp ( ì ) 2 2πσ2 2σ2 µ=µ σ 2 = σ 2 Αν Χ,Υ ασυσχέτιστες (Cοv(X,Y)=0) και κανονικές τότε είναι και ανεξάρτητες. Αν X i N(µ i,σ 2 i ) τότε η τ.µ. (α Χ +...+α n X n +β) ακολουθεί την κανονική n n n κατανοµή N β+ αiìi, αα i jcov(xi,x j). i= i= j= 2 (στ) Χί Τετράγωνο, χ n Αν X i N(0,) είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ 2 =Χ 2 +...+Χ 2 n ακολουθεί την κατανοµή Χι-Τετράγωνο µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). (ζ) Ταύ, κατανοµή του Student, t n Αν X N(0,) και Υ χ 2 n είναι ανεξάρτητες τότε η τ.µ. Χ/( Υ/ n ) ακολουθεί την κατανοµή Ταυ µε n βαθµούς ελευθερίας (πίνακας της κατανοµής δίδεται στο παράρτηµα). Κατανοµές διακριτών τ.µ. (α) Bernoulli p, αν x = 0 P(X=x)= = p x ( p) x, x {0,}, µ=p, σ 2 =p( p) p, αν x = Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό (β) υωνυµική, bin(n,p) Προκύπτει από άθροισµα n ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli P(X=k)= n k pk ( p) n k, k=0,,...n, µ=np, σ 2 =np( p) Παράδειγµα p= πιθανότητα ένα κοµµάτι να ευρεθεί ελαττωµατικό, Χ = πλήθος ελαττωµατικών σε δείγµα µεγέθους n. (γ) Γεωµετρική, geom(p) Eίναι το τυχαίο πλήθος ανεξάρτητων πειραµάτων Bernoulli µέχρις ότου προκύψει. P(X=k µηδενικά και µετα µία µονάδα)=p ( p) k, k=0,,..., µ=( p)/p, σ 2 =( p)/p 2 Παράδειγµα p= πιθανότητα µηχανή να υποστεί βλάβη κατα την διάρκεια της κατεργασίας ενός κοµµατιού, Χ = πλήθος κοµµατιών που θα παραχθούν µέχρις ότου 7

συµβεί η πρώτη βλάβη. (δ) Poisson (λ) Ενδιαφερόµαστε για το πλήθος γεγονότων τα οποία λαµβάνουν χώρα σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα, π.χ. (0,t), όταν δύο διαδοχικά γεγονότα απέχουν µεταξύ τους τυχαίο χρόνο µε εκθετική κατανοµή και µέση τιµή β (δηλ. κατανοµή expo(β)). εκθετική τ.µ 0 t t 2 t 3.... t k t t k+ Το πλήθος γεγονότων ακολουθεί την κατανοµή Poisson: P(X=k)= λ k e λ, k=0,,..., µ=λ σ 2 =λ, όπου λ=t/β k! Παράδειγµα Χ= πλήθος πελατών που θα φθάσουν στο διάστηµα (0,t) σε µία τράπεζα. Aν ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων εκθετικός µε µέση τιµή β, τότε σε χρόνο t θα φθάσουν t/β πελάτες κατα µέσον όρο. 2.3. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ OMOIOMOΡΦΗΣ (0,) ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: U(0,) Η οµοιόµορφη είναι η απλούστερη συνεχής κατανοµή. Εν τούτοις είναι πολύ χρήσιµη γιατί από αυτήν µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς µπορούµε να παράγουµε αριθµούς που ακολουθούν άλλες κατανοµές. Μιά παλιά τεχνική παραγωγής U(0,) τ.µ. είναι η µέθοδος κέντρου-τετραγώνου των von Neumann και Metropolis: α. Ξεκινάµε µε έναν 4-ψήφιο φυσικό αριθµό Ζ 0. Θέτουµε i = 0. β. Υψώνουµε τον Ζ i στο τετράγωνο και προκύπτει ένας 8-ψήφιος. Αν τα ψηφία του είναι λιγότερα από 8 συµπληρώνουµε µηδενικά στην αρχή του. Θέτουµε i i+. γ. Αποκόπτουµε τα δύο πρώτα και τα δύο τελευταία ψηφία, και προκύπτει ένας νέος 4- ψήφιος ακέραιος, ο Ζ i. Ο αριθµός U i = Ζ i /0000 είναι ο i-οστός τυχαίος αριθµός. Προφανώς U i [0,]. Επαναλαµβάνουµε το βήµα (β) γιά την παραγωγή του επόµενου αριθµού. Το πρόβληµα της µεθόδου αυτής είναι ότι από κάποιες επαναλήψεις και µετά οι Ζ i συγκλίνουν προς το 0. 8

2.3.. Γραµµικές γεννήτριες υπολοίπων (linear congruential generators) Ο τύπος τους είναι U i = Z i / n Z i = (αz i +γ) mod n, (2.) όπου x mod n συµβολίζει το υπόλοιπο της διαιρέσεως του x διά n, ο Z o είναι ακέραιος < n που λέγεται σπόρος (seed), και U i U(0,). Οι αριθµοί Z i είναι ακέραιοι < n. Οι υπόλοιποι αριθµοί είναι ακέραιοι και ικανοποιούν τις σχέσεις n > 0, α < n, και γ < n. Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία {Z i } είναι περιοδική µε περίοδο p n. Οταν p=n η γεννήτρια έχει πλήρη περίοδο και στην περίπτωση αυτή έχει µεγάλη ποικιλία διαφορετικών αριθµών Z i. Το ακόλουθο θεώρηµα καθορίζει τη συνθήκη πλήρους περιόδου. Θεώρηµα 2. Η γεννήτρια (2.) έχει πλήρη περίοδο αν και µόνο εάν ισχύουν οι συνθήκες: α. Ο µόνος φυσικός αριθµός που διαιρεί τα n και γ είναι ο. β. Αν q είναι κάποιος πρώτος αριθµός που διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. γ. Αν το 4 διαιρεί το n, τότε διαιρεί και το α. ύο γεννήτριες µε ικανοποιητική συµπεριφορά είναι οι ακόλουθες: Z i = (5 5 Z i + ) mod 2 35, Z i = (3459269Z i + 453806245) mod 2 3. Οταν γ=0 έχουµε την περίπτωση των πολλαπλασιαστικών γεννητριών οι οποίες δεν είναι πλήρους περιόδου. Ωστόσο χρησιµοποιούνται γιατί απαιτούν µία πρόσθεση λιγότερη και επί πλέον µπορεί να έχουν ασφαλώς µεγάλη περίοδο αν ικανοποιούν το ακόλουθο. Θεώρηµα 2.2 Η γεννήτρια (2.) µε γ=0 έχει περίοδο p=n αν ισχύουν: α. Το n είναι πρώτος αριθµός. β. Ο µικρότερος ακέραιος k γιά τον οποίον το α k διαιρείται από το n, είναι ο k=n. Γεννήτριες περιόδου n είναι οι Z i = (7 5 Z i ) mod (2 3 ), Z i = (630360006 Z i ) mod (2 3 ). Για τη δεύτερη γεννήτρια ο αλγόριθµος σε κώδικα FORTRAN παρουσιάζεται στη 9

συνέχεια (το C δηλώνει σχόλιο). 234567890234567890234567890234567890234567890234567890 FUNCTION RAND(Z) C******************************************************* C THIS FUNCTION GENERATES UNIFORM (0,) RANDOM NUMBERS * C******************************************************* INTEGER*4 Z,A,A2,P,B5,B6,XHI,XALO,LEFTLO,FHI,K DATA B5/32768/,B6/65536/,P/247483647/ DATA A/242/,A2/2643/ XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P XHI=Z/B6 XALO=(Z-XHI*B6)*A2 LEFTLO=XALO/B6 FHI=XHI*A2+LEFTLO K=FHI/B5 Z=(((XALO-LEFTLO*B6)-P)+(FHI-K*B5)*B6)+K IF(Z.LT.0)Z=Z+P RAND=(2*(Z/256)+)/677726. RETURN END 234567890234567890234567890234567890234567890234567890 Η γεννήτρια καλείται όπως οι συναρτήσεις ( πχ. U=COS(Z) ). Απαιτείται µόνον ο καθορισµός του αρχικού σπόρου Z (= Ζ i ) πριν από την πρώτη κλήση της. Σε κάθε επόµενη κλήση η ενηµέρωση των νέων τιµών Ζ (= Z i ) γίνεται αυτόµατα µέσα στην συνάρτηση. Το πρόγραµµα είναι µεγάλο διότι εκτελεί µε ακρίβεια αριθµητικές πράξεις µε αριθµούς που απαιτούν περισσότερα από 32 bits σε επεξεργαστές των 32 bits (το ο bit χρησιµοποιείται ως πρόσηµο και γιά τον µέγιστο θετικό ακέραιο 247483647 = 2 3 20