Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = 10x 1 + 15x + 0x 3 κάτω από τους περιορισμούς x 1 + 3x + 4x 3 100 (περιορισμός Α) 4x 1 + x 3 50 (περιορισμός B) -5x + 5x 3 0 (περιορισμός C) x 1 + x + x 3 = 0 (περιορισμός D) x 1, x, x 3 0 ο αλγόριθμος Simplex χρησιμοποιήθηκε για την επίλυσή του κι ύστερα από 4 επαναλήψεις τερμάτισε στο ακόλουθο tableau (x 4, x 5, x 6 περιθώριες και x 7, x 8, x 9 τεχνητές μεταβλητές): 10 15 0 0 0 0 -Μ -Μ -Μ B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 4 0 30 0-3 0 1-1 0 1 0-6 P 1 10 5 1-1 0 0-0.5 0 0.5 0-1 P 3 0 15 0 1 0 0.5 0-0.5 0 P 6 0 55 0 15 0 0.5 1 -.5-1 10 z 350 0 15 0 0 5 0-5 1. Ποια είναι η βέλτιστη λύση και ποια η βέλτιστη τιμή του προβλήματος;. Ποια θα ήταν η βέλτιστη λύση εάν το δεξιό μέλος του περιορισμού A αυξανόταν κι έφτανε τις 00 μονάδες; 3. Ποια θα ήταν η βέλτιστη τιμή εάν το δεξιό μέλος του περιορισμού B αυξανόταν κι έφτανε τις 60 μονάδες; 4. Υποθέστε ότι η τιμή του αντικειμενικού συντελεστή c 1 = 10 είναι λανθασμένη και σωστή είναι κάποια ĉ. 1 Υποδείξτε ένα διάστημα τιμών για την τιμή του ĉ 1 σε τρόπο ώστε η λύση του ανωτέρω tableau να εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη. 5. Ποια θα ήταν η βέλτιστη λύση του μοντέλου και ποια η βέλτιστη τιμή αν ήταν c 1 = 1; Προσοχή: οι απαντήσεις σας να είναι αιτιολογημένες και να συνδέονται απαραιτήτως με στοιχεία από το βέλτιστο tableau. ΘΕΜΑ ο : Το Delicious, ένα μικρό ζαχαροπλαστείο, χρησιμοποιεί αποκλειστικά οικολογικές πρώτες ύλες για την παραγωγή δύο διαφορετικών ειδών κέικ. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με τη λογική τιμή διάθεσής τους, έχει εξασφαλίσει στο Delicious φήμη και απρόσκοπτες πωλήσεις. Ο πίνακας που ακολουθεί, καταγράφει τις ανάγκες του κάθε είδους κέικ (σε ποσότητες των δώδεκα) από τις απαιτούμενες πρώτες ύλες, καθώς επίσης και τη διαθεσιμότητα αυτών των υλών μια συγκεκριμένη ημέρα. Αλεύρι (κιλά/δωδεκάδα) Αυγά (αριθμός/δωδεκάδα) Ζάχαρη (κιλά/δωδεκάδα) Μίγμα Φρούτων (κιλά/δωδεκάδα) Απλό κέικ 1 50 5 -- Κέικ φρούτου 10 40 10 15 ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ 150 500 90 10 Λαμβάνοντας υπόψη ότι, το καθαρό κέρδος από τα δώδεκα τεμάχια ανέρχεται σε 15 προκειμένου για τα απλά κέικ και σε 5 προκειμένου για τα κέικ φρούτου 1. Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο να οδηγεί στην εύρεση της βέλτιστης παραγωγής τη συζητούμενη ημέρα. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του.. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο επίλυσης π.γ.π. για να βρείτε την άριστη λύση και την άριστη τιμή του. Διατυπώστε τα αποτελέσματα με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. 3. Εάν ο ιδιοκτήτης του Delicious αποφάσιζε να διπλασιάσει το κέρδος (από τη δωδεκάδα) των απλών κέικ, πόσα περισσότερα θα πουλούσε και γιατί; (Εξηγήστε με σαφήνεια, χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 4. Υποθέστε ότι το 10% της διαθέσιμης ποσότητας του μίγματος φρούτων δεν αποθηκεύτηκε σωστά με αποτέλεσμα να καταστραφεί. Το γεγονός αυτό πως επηρεάζει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος; (Εξηγήστε με σαφήνεια, χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα). 0 30

ΘΕΜΑ 3 ο : Η εταιρεία WH αγοράζει πορτοκάλια από καλλιεργητές προκειμένου να παράγει ανάμικτο και φρέσκο χυμό. Το κόστος παραγωγής 1 μπουκαλιού ανάμικτου χυμού εκτιμάται σε 0.60, ενώ το κόστος παραγωγής 1 μπουκαλιού φρέσκου χυμού σε 0.85. Η εταιρεία έχει ως πολιτική, τουλάχιστον 30% αλλά όχι περισσότερο από 60% της παραγωγής της να είναι ανάμικτος χυμός. Επιπλέον, η WH επιθυμεί να ικανοποιήσει, αλλά όχι και να υπερβεί τη ζήτηση. Εκτιμάται ότι η ζήτηση για ανάμικτο χυμό θα είναι το πολύ 5000 μπουκάλια και επιπλέον 3 μπουκάλια για κάθε 1 που θα δαπανά για διαφήμιση του ανάμικτου χυμού. Αντίστοιχα, η ζήτηση για τον φρέσκο χυμό θα είναι το πολύ 4000 μπουκάλια και επιπλέον 5 μπουκάλια για κάθε 1 που θα δαπανά σε διαφήμιση του φρέσκου χυμού. Η εταιρεία προτίθεται να δαπανήσει 16000 για την παραγωγή και τη διαφήμιση των δύο χυμών. Η τιμή πώλησης του ανάμικτου χυμού ανέρχεται σε 1.45 το μπουκάλι και του φρέσκου χυμού σε 1.75 το μπουκάλι. Υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του πλήθους των μπουκαλιών ανάμικτου και φρέσκου χυμού που πρέπει να παραχθούν, καθώς επίσης και του ποσού των χρημάτων που πρέπει να δαπανηθεί στη διαφήμιση του καθενός προϊόντος προκειμένου η WH να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της. ΘΕΜΑ 4 ο : H Wivco παράγει δύο προϊόντα, έστω Α και Β. Ένα τεμάχιο προϊόντος Α πωλείται προς 15 και χρειάζεται για την κατασκευή του εργασία 0.75 ωρών, επεξεργασία σε μια μηχανή 1.5 ώρας και πρώτη ύλη μονάδων. Ανάλογα, ένα τεμάχιο προϊόντος Β πωλείται προς 8 και χρειάζεται για την κατασκευή του εργασία 0.50 ωρών, επεξεργασία σε μια μηχανή για 0.85 ώρες και πρώτη ύλη 1 μονάδας. Κάθε εβδομάδα, η Wivco μπορεί να προμηθευτεί μέχρι 400 μονάδες πρώτης ύλης πληρώνοντας 1.50 τη μονάδα, ενώ ο εβδομαδιαίος διαθέσιμος χρόνος στη μηχανή είναι 30 ώρες. Η Wivco απασχολεί 4 εργάτες οι οποίοι εργάζονται 40 ώρες την εβδομάδα και πληρώνονται 6 για κάθε ώρα υπερωρίας που προσφέρουν. Χωρίς διαφημιστική καμπάνια, η εβδομαδιαία ζήτηση των δύο προϊόντων, περιορίζεται στα 50 τεμάχια για το Α και στα 60 για το Β. Όμως, σύμφωνα με μια μελέτη, κάθε ευρώ που θα δαπανάται για τη διαφήμιση του προϊόντος Α, θα αυξάνει τη ζήτησή του κατά 10 μονάδες, ενώ κάθε ευρώ που θα δαπανάται για τη διαφήμιση του προϊόντος Β, θα αυξάνει τη ζήτησή του κατά 15 μονάδες. Η Wivco μπορεί να δαπανήσει το πολύ 100 για μια διαφημιστική καμπάνια των δύο προϊόντων της. Ας είναι P1, P το πλήθος των προϊόντων Α και Β που θα κατασκευαστούν αντίστοιχα, ΟΤ οι εβδομαδιαίες ώρες υπερωρίας που θα απαιτηθούν, RM οι μονάδες πρώτης ύλης που πρέπει να αγοράζονται εβδομαδιαία και Α1, Α τα χρήματα που θα δαπανηθούν για τη διαφήμιση των προϊόντων Α και Β αντίστοιχα. Τότε η Wivco μπορεί να εντοπίσει τη βέλτιστη παραγωγική διαδικασία, επιλύοντας το πρόβλημα γ.π. που δίνεται στη συνέχεια από το LINDO. Χρησιμοποιήστε τις πληροφορίες που περιέχονται στο αρχείο εξόδου προκειμένου να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν. 1. Εάν η υπερωρία κόστιζε μόνον 4 την ώρα, θα συνέφερε την Wivco να τη χρησιμοποιήσει;. Εάν κάθε τεμάχιο προϊόντος Α πωλείτο προς 15.50, ποια θα ήταν η νέα βέλτιστη λύση του μοντέλου; 3. Μέχρι ποιου ποσού θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η Wivco προκειμένου να εξασφαλίσει 10 επιπλέον ώρες στη μηχανή; 4. Εάν ο κανονικός χρόνος εργασίας κάθε εργάτη ήταν 45 ώρες την εβδομάδα, σε τι ποσό θα ανέρχονταν τα κέρδη της Wivco;

ΘΕΜΑ 1 ο : 1. Λόγω της μορφής του δοθέντος προβλήματος, προκειμένου να έρθει στην τυπική μορφή για να επιλυθεί με τη μέθοδο Simplex, αρχικά προστέθηκαν οι περιθώριες μεταβλητές x 4, x 5, x 6 (στον 1ο, ο και 3ο περιορισμό αντιστοίχως) και στη συνέχεια οι τεχνητές x 7, x 8, x 9 (στον ο, 3ο και 4ο περιορισμό αντιστοίχως). Βέλτιστη λύση είναι η x 1 = 5, x = 0, x 3 = 15, x 4 = 30, x 5 = 0, x 6 = 55 και βέλτιστη τιμή η z = 350.. Ο 1ος περιορισμός είναι χαλαρός (με περιθώρια τιμή x 4 = 30) και συνεπώς το b 1 μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα χωρίς να μεταβληθεί η βέλτιστη λύση. 3. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα χρειαζόμαστε τη δυϊκή τιμή που αντιστοιχεί στον ο περιορισμό καθώς επίσης και το εύρος εφικτότητας του b. Από το τελικό Simplex tableau διαπιστώνουμε ότι η δυϊκή τιμή που αναζητούμε ισούται με (-5)+(-Μ) = -5, ενώ, προκειμένου να εξασφαλιστεί η εφικτότητα λόγω της μεταβολής του b σε ˆb b πρέπει 30 5 15 55 max, min,. 1 0.5 0.5.5 Ισοδύναμα -10 Δ, κι άρα το ζητούμενο εύρος εφικτότητας είναι το [40, 7]. Επομένως, για b = 60 η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι μικρότερη της τρέχουσας κατά 5(60-50) = 50 μονάδες, ίση με 350 50 = 300. 4. Αναζητάμε το εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1. Έστω ĉ1 c 1. Τότε η γραμμή των z j c j στο βέλτιστο tableau γίνεται 10+Δ 15 0 0 0 0 -Μ -Μ -Μ B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 1 10+Δ 5 1-1 0 0-0.5 0 0.5 0-1 z 350 +5Δ 0 15 -Δ 0 0 5-0.5Δ 0-5+0.5Δ 0 30-Δ και κατά συνέπεια, η βέλτιστη λύση παραμένει ως έχει αν-ν: 15 0 5 0.5 0 Δ 10 Συνεπώς, για τιμές του c 1 στο διάστημα,0, η λύση x = (5, 0, 15, 30, 0, 55) που υπάρχει στο δοθέν tableau εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη (εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 ). 5. Επειδή η τιμή c 1 = 1 ανήκει στο εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 η βέλτιστη λύση του μοντέλου δεν θα μεταβληθεί. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης όμως θα γίνει ίση με 350 + 5 (1-10) = 360.

ΘΕΜΑ ο : 1. Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος, ζητούμενο είναι η εύρεση των δωδεκάδων απλών κέικ και κέικ φρούτων που πρέπει να παράγει ημερησίως το Delicious (μεταβλητές απόφασης), προκειμένου να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του (στόχος), λαμβάνοντας υπ όψιν τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πρώτων υλών. Ως εκ τούτου, μεταβλητές απόφασης του προβλήματος είναι οι παραγόμενες δωδεκάδες x 1 των απλών κέικ και οι παραγόμενες δωδεκάδες x των κέικ φρούτων. Τότε, συνολικό ημερήσιο κέρδος του Delicious του οποίου επιζητείται η μεγιστοποίηση θα ανέρχεται στα 15x 1 + 5x ευρώ. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από i) τη διαθεσιμότητα και κατανάλωση των πρώτων υλών: ii) 1x 1 + 10x 150 50x 1 + 40x 500 (διαθεσιμότητα σε αλεύρι) (διαθεσιμότητα σε αυγά) 5x 1 + 10x 90 (διαθεσιμότητα σε ζάχαρη) 15x 10 (διαθεσιμότητα στο μίγμα φρούτων) τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης: x 1, x 0.. Εφικτή περιοχή του προβλήματος είναι το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(10, 0), 4,6, Δ(, 8) και Ε(0, 8). Άριστη λύση είναι το σημείο Γ που αντιστοιχεί σε τιμή 3 3 της αντικειμενικής συνάρτησης z = 36. Το βέλτιστο ημερήσιο πλάνο παραγωγής που ορίζεται από την 3 παραγωγή 4 3 δωδεκάδων απλών κέικ (56 τεμαχίων) και 6 3 δωδεκάδων κέικ φρούτων (80 τεμαχίων) οδηγεί σε κέρδη 36. 3 Ε Δ Γ Α Β 3. Πρέπει να προχωρήσουμε σε ανάλυση ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή c 1. Η κορυφή Γ θα είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος όσο ισχύει κλίση της ευθείας κλίση της ευθείας Ζ κλίση της ευθείας

Η ανωτέρω σχέση δίνει 50 c 5 40 c 10 1 και για c = 5 οδηγεί στο εύρος αριστότητας [1.5, 31.5] του αντικειμενικού συντελεστή c 1. Επομένως για c 1 = 30 το σημείο Γ εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος. Συνεπώς, ο διπλασιασμός του κέρδους από τη δωδεκάδα των απλών κέικ, δεν επιφέρει περισσότερες ή λιγότερες πωλήσεις κέικ. 4. Αυτό σημαίνει ότι 0.10 10 = 1 κιλά του μίγματος φρούτων δεν είναι διαθέσιμα. Όμως, η βέλτιστη λύση του προβλήματος καθιστά χαλαρό τον 4ο περιορισμό με περιθώρια τιμή 0. Επομένως, το γεγονός ότι το 10% της διαθέσιμης ποσότητας του μίγματος φρούτων δεν είναι διαθέσιμο, δεν μεταβάλει την υποδειχθείσα ανωτέρω βέλτιστη λύση του προβλήματος.

ΘΕΜΑ 3 ο : Ας είναι x 1 x y 1 y το πλήθος των μπουκαλιών ανάμικτου χυμού που πρέπει να παραχθούν το πλήθος των μπουκαλιών φρέσκου χυμού που πρέπει να παραχθούν το ποσό των χρημάτων που πρέπει να δαπανηθούν στη διαφήμιση του ανάμικτου χυμού το ποσό των χρημάτων που πρέπει να δαπανηθούν στη διαφήμιση του φρέσκου χυμού Τότε το συνολικό κέρδος της WH που επιθυμούμε να μεγιστοποιήσουμε ανέρχεται σε (1.45 0.60)x 1 + (1.75 0.85)x - y 1 - y Οι περιορισμοί του προβλήματος προέρχονται από τη ζήτηση για τον ανάμικτο χυμό: x 1 5000 + 3y 1 τη ζήτηση για το φρέσκο χυμό: x 4000 + 5y το συνολικό προϋπολογισμό: 0.60x 1 + 0.85x + y 1 + y 16,000 την απαίτηση τουλάχιστο 30% της παραγωγής να είναι ανάμικτος χυμός: x 1 0.30(x 1 + x ) την απαίτηση το πολύ 60% της παραγωγής να είναι ανάμικτος χυμός: x 1 0.60(x 1 + x ) τη μη αρνητικότητα όλων των μεταβλητών: x 1, x, y 1, y 0

ΘΕΜΑ 4 ο : 1. Το εύρος αριστότητας του c 3 είναι το [6-.133, ). Η τιμή c 3 = 4 που διερευνάται, βρίσκεται στο συγκεκριμένο διάστημα τιμών, κι άρα δεν θα μεταβάλλει τη βέλτιστη λύση του μοντέλου που κατασκευάστηκε για το δοθέν πρόβλημα (στην οποία ΟΤ = 0). Συνεπώς, το κόστος των υπερωριών πρέπει να ελαττωθεί κι άλλο πριν γίνει συμφέρουσα για τη Wivco η επιλογή τους. (Επειδή το κόστος ευκαιρίας για τη μεταβλητή ΟΤ είναι.133, ο αντικειμενικός συντελεστής c 3 πρέπει να βελτιωθεί τουλάχιστον κατά.133 και να γίνει μικρότερος από 6-.133 = 3.867 προκειμένου η μεταβλητή ΟΤ να γίνει βασική).. Το εύρος αριστότητας του c 1 είναι το [15-0.533, 15+0.967). Η τιμή c 1 = 15.50 που διερευνάται, βρίσκεται στο συγκεκριμένο διάστημα τιμών, κι άρα η βέλτιστη λύση του μοντέλου που βρέθηκε, δεν θα αλλάξει. 3. Ο 7ος περιορισμός είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή 1. Δηλαδή υπάρχουν ακόμη 1 ώρες μηχανής τις οποίες η Wivco δεν χρησιμοποιεί στην παραγωγική διαδικασία. Κατά συνέπεια δεν έχει νόημα να πληρώσει κάποιο ποσό για την απόκτηση και επιπλέον ωρών. 4. Η δυϊκή τιμή του 3ου περιορισμού είναι 3.867 με εύρος εφικτότητας [157.50, 175]. Όμως, οι 45 ώρες εργασίας την εβδομάδα για τον κάθε εργάτη εξασφαλίζει στη Wivco συνολικό χρόνο 45 4 = 180, τιμή που είναι εκτός του ευρεθέντος εύρους. Κατά συνέπεια δεν μπορούμε να απαντήσουμε στο τεθέν ερώτημα με τα δοθέντα στοιχεία, απαιτείται παραμετρική ανάλυση για τον 3ο περιορισμό.