Γραμμές Μεταφοράς. Α. Δροσόπουλος. 19 Μαΐου Εισαγωγή 2. 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς 5

Γραμμές Μεταφοράς Α. Δροσόπουλος 19 Μαΐου 214 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς 5 3 Χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση 5 4 Γραμμές μεταφοράς μικρού και μεγάλου μήκους 7 5 Επιδερμικό φαινόμενο 8 6 Εξισώσεις των γραμμών μεταφοράς 8 7 Λύση όταν οι απώλειες είναι αμελητέες 1 8 Λύση των αρμονικών εξισώσεων 11 9 Μοντέλο δίθυρου 14 1 Λύση των αρμονικών εξισώσεων - Συνέχεια 16 11 Συντελεστής ανάκλασης και λόγος στασίμου κύματος 23 12 Η γραμμή μεταφοράς σαν στοιχείο κυκλώματος 25 13 Μετάδοση βαθμίδας τάσης σε γραμμή μεταφοράς 27 14 Μετάδοση παλμών σε γραμμή μεταφοράς 28 1

1 Εισαγωγή Οι γραμμές μεταφοράς είναι συστήματα δυο ή περισσοτέρων αγωγών που χρησιμοποιούνται στη «οδήγηση» (μεταφορά) ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ δυο σημείων. Ένα παράδειγμα είναι το ομοαξονικό καλώδιο που συνδέει το δέκτη τηλεόρασης με την αντίστοιχη κεραία. Άλλο παράδειγμα, η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από έναν ηλεκτρικό υποσταθμό στο σπίτι μας. Στόχος της γραμμής μεταφοράς είναι η μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από κάποιο πομπό σε κάποιο δέκτη με τις ελάχιστες δυνατές απώλειες. Αυτή η μεταφορά εξαρτάται από τη συχνότητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που μεταφέρουν την ενέργεια και τα φυσικά και ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των συστημάτων μεταφοράς/οδήγησης. Ο Πίνακας 1 δείχνει τρία συστήματα που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό ανάλογα με την απόδωση που έχουν για μεταφορά ενέργειας. Πίνακας 1: Συστήματα που χρησιμοποιούνται για μεταφορά/οδήγηση ηλεκτρικής ενέργειας Συχνότητα (Hz) Σύστημα μεταφοράς/οδήγησης ενέργειας 1 4 γραμμές μεταφοράς ισχύος / τηλεφωνικές γραμμές 1 4 1 8 ομοαξονικά καλώδια 1 8 1 1 ομοαξονικά καλώδια και κυματοδηγοί 1 1 1 12 κυματοδηγοί 1 4 ασύμφορα για κεραίες (απαιτείται μεγάλο φυσικό μέγεθος) 1 4 1 7 ραδιοφωνικά κύματα με κεραίες 1 7 1 1 τηλεοπτικά σήματα με κεραίες 1 1 1 12 ραντάρ Αν παρατηρήσουμε ένα ομοαξονικό καλώδιο θα δούμε ότι αποτελείται από έναν κεντρικό αγωγό στο εσωτερικό, μονωτικό υλικό, μεταλλικό πλέγμα (δεύτερος αγωγός) και την εξωτερική θήκη/περίβλημα. Ο εξωτερικός αγωγός περικλείει τελείως τον εσωτερικό και οι δυο αγωγοί είναι ηλεκτρικά απομονωμένοι λόγω του μονωτικού μεταξύ τους. Τα καλώδια αυτά χρησιμοποιούνται στη μεταφορά ασθενών σημάτων τάσης εφόσον η δομή αυτή προσφέρει πολύ καλή θωράκιση σε εξωτερικές παρεμβολές/θόρυβο. Στο περίβλημα ενός ομοαξονικού καλωδίου, μεταξύ άλλων, γράφει ότι έχει αντίσταση 5 ohms. Πως μπορεί δυο αγωγοί, μονωμένοι μεταξύ τους με ένα παχύ στρώμα πλαστικού να έχουν αντίσταση 5 Ω; Εάν μετρήσουμε την αντίσταση μεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού αγωγού με ένα ωμόμετρο βλέπουμε ότι είναι άπειρη (ανοικτό κύκλωμα). Επίσης, εάν μετρήσουμε την αντίσταση κάθε αγωγού κατά μήκος, βλέπουμε ότι είναι πολύ μικρή. Πουθενά δεν βλέπουμε με ένα ωμόμετρο, όπως και να το συνδέσουμε στο καλώδιο, τιμή αντιστάσεως 5 Ω. Το ωμόμετρο βέβαια λειτουργεί σαν μια πηγή συνεχούς τάσης που στέλνει ένα συνεχές ρεύμα σε ένα κύκλωμα και με το νόμο του Ohm υπολογίζει την αντίσταση. Το σύστημα των αγωγών στο ομοαξονικό διαθέτει επαγωγική και χωρητική αντίσταση και τα πράγματα αλλάζουν στο εναλλασσόμενο, ιδίως σε καλώδια μεγάλου μήκους και υψηλής συχνότητας. Οι ιδιότητες αυτές καθιστούν τέτοια συστήματα δυο αγωγών πολύ χρήσιμα στη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας και ορίζουμε αυτά τα συστήματα σαν ξεχωριστά στοιχεία/οντότητες με το όνομα γραμμές μεταφοράς. Παράδειγμα 1.1 Ποιά είναι η χωρητικότητα ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, δυο αγωγών, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α; Υποθέτουμε ότι οι αγωγοί είναι ίδιοι με ακτίνα r ο καθένας και φορτίο +Q και Q αντίστοιχα. Επιπλέον υποθέτουμε ότι α r και ότι το φορτίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα στους αγωγούς και ότι η κατανομή αυτή στον ένα αγωγό δεν επηρεάζει την κατανομή του φορτίου στον άλλο αγωγό. Το ηλεκτρικό πεδίο γύρω από έναν φορτισμένο αγωγό μπορεί να βρεθεί με το θεώρημα Gauss. Θεωρούμε κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας r και μήκους l ομόκεντρη με τον αγωγό. Έχουμε τότε E ds = E ds = E S = Q ε S S E = Q εs = Q 2πrlε 2

Σχήμα 1: Παραδείγματα γραμμών μεταφοράς. Διακρίνουμε ζεύγη παραλλήλων αγωγών και ομοαξονικά καλώδια. Υπάρχουν επίσης και γραμμές microstrip που υλοποιούνται σε ηλεκτρικές PCB πλακέτες. +Q Q A r l r a Σχήμα 2: Υπολογισμός χωρητικότητας γραμμής δυο αγωγών. 3

Επομένως, η ένταση του πεδίου (μέτρο) στο σημείο Α μεταξύ των δυο αγωγών είναι E 1 = Q 2πrlε και E 2 = Q 2π(α r)lε για τον κάθε αγωγό ξεχωριστά και E = E 1 + E 2 = Q 2πlε (1 r + 1 α r ) για το μέτρο της συνισταμένης έντασης από τους δυο αγωγούς ταυτόχρονα. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δυο αγωγών είναι α r U = Edr = Q α r α r 2πlε [ dr r + r r r dr α r ] = Q [ln r α r ln(α r) α r ] = 2πlε r r και η χωρητικότητα για α r. = Q 2πlε [ ln(α r ) ln r ln r + ln(α r )] = Q πlε ln α r r C = Q U = πεl ln α r r πεl ln α r Παράδειγμα 1.2 Ποιά είναι η χωρητικότητα ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, ομοαξονικού καλωδίου, με ακτίνες r 1, r 2 ; Q +Q r r 2 r 1 Σχήμα 3: Υπολογισμός χωρητικότητας ομοαξονικού καλωδίου. Το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των αγωγών στην περίπτωση αυτή οφείλεται μόνο στον εσωτερικό αγωγό και είναι Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δυο αγωγών είναι E = Q 2πrεl r 2 U = Edr = Q r2 2πεl dr r = r 1 r 1 Q 2πεl (ln r 2 ln r 1 ) = Q 2πεl ln r 2 r 1 και η χωρητικότητα C = Q U = 2πεl ln r 2 r 1 Παράδειγμα 1.3 Ποιά είναι η αυτεπαγωγή ενός τμήματος γραμμής μεταφοράς, μήκους l, δυο αγωγών ακτίνας α, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d; 4

I a d dr 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 ds=ldr I l Σχήμα 4: Υπολογισμός αυτεπαγωγής γραμμής δυο αγωγών. Υπολογίζουμε καταρχήν την μαγνητική ροή στο χώρο μεταξύ των δυο αγωγών. Το μαγνητικό πεδίο B που δημιουργεί ο κάθε αγωγός όταν διαρρέεται από ρεύμα I, φαίνεται στο σχ. 4. Λόγω συμμετρίας θεωρούμε το πεδίο B σταθερό στη λουρίδα ds. Για έναν ευθύγραμμο αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα I έχουμε (νόμος Biot-Savart) Επομένως, λαμβάνοντας υπόψην και τους δυο αγωγούς, B d l = B dl = μ I B 2π r = μ I B = μi 2πr Φ = 2 B ds = 2l B dr = μil d α π dr r = μil π α d α ln μil α π όταν d α. Τελικά L = Φ I = μl π ln d α Η παραπάνω σχέση είναι μόνο προσεγγιστική γιατί έχει αγνοηθεί η εσωτερική αυτεπαγωγή που οφείλεται στη μαγνητική ροή μέσα στους ίδιους τους αγωγούς. Η τελευταία εξαρτάται έντονα από τη συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος και το επιδερμικό φαινόμενο. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζεται προσεγγιστικά και η αυτεπαγωγή ενός ομοαξονικού καλωδίου ότι είναι L = Φ I = μl 2π ln d α ln d α 2 Πρακτικοί υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων γραμμών μεταφοράς Οι παραπάνω υπολογισμοί ηλεκτρικών ιδιοτήτων χωρητικότητας και επαγωγής για παράλληλες γραμμές μεταφοράς και ομοαξονικά καλώδια γίνονται πιο σύνθετοι όσο ξεφεύγουμε από καταστάσεις συμμετρίας. Καταφεύγουμε τότε σε αριθμητικές μεθόδους που υλοποιούνται σε προγράμματα για τον υπολογιστή. Τα εμπορικά πακέτα με τέτοιες εφαρμογές έχουν υψηλό κόστος ανάλογα με το εύρος που καλύπτουν. Αναφέρεται εδώ η εφαρμογή ATLC [14], ανοικτού λογισμικού που βασίζεται στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (finite difference). Στο Σχ. 5 βλέπουμε τους υπολογισμούς της εφαρμογής για σύστημα δυο παραλλήλων αγωγών, συμμετρικού και μη-συμμετρικού ομοαξονικού. 3 Χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γραμμή μεταφοράς, με άπειρο μήκος αγωγών, χωρίς να τερματίζεται σε κάποιο φορτίο (ανοικτό κυκλωμα, σχ. 6a). Τι γίνεται όταν κλείσουμε τον διακόπτη; Θα υπάρξει κάποιο ρεύμα; Μεταξύ των γραμμών υπάρχει διηλεκτρικό (αέρας ή άλλο υλικό). Αυτό σημαίνει την ύπαρξη κάποιας χωρητικότητας μεταξύ των αγωγών που την φανταζόμαστε σαν μια σειρά παραλλήλων πυκνωτών (σχ. 6b). Όταν κλείσει ο διακόπτης εφαρμόζεται ξαφνική τάση στα άκρα των πυκνωτών που σημαίνει ότι θα τραβήξουν ρεύμα από την πηγή ανάλογα με τη σχέση i = C(du/dt) και να αρχίσουν να φορτίζονται. Για ιδανικό διακόπτη όπου dt, το ρεύμα θα ήταν i. Εκτός όμως από τη χωρητικότητα μεταξύ των αγωγών, υπάρχει και κάποια επαγωγή κατα μήκος τους, όπως είδαμε από τα προηγούμενα παραδείγματα. Η εικόνα γίνεται τώρα πιο σύνθετη (σχ. 6c). Ρεύμα σε κάποιο επαγωγέα σημαίνει τη 5

Σχήμα 5: Παραδείγματα εφαρμογής ATLC για σύστημα δυο παραλλήλων αγωγών, συμμετρικού και μη-συμμετρικού ομοαξονικού καλωδίου. Από αριστερά προς δεξιά φαίνεται το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου, η πυκνότητα ενέργειας και το πεδίο τάσης γύρω από τους αγωγούς. απειρο µηκος απειρο µηκος (a) απειρο µηκος (b) απειρο µηκος (c) (d) Σχήμα 6: Γραμμή μεταφοράς απείρου μήκους. Μια φυσική εικόνα. απειρο µηκος 1 km 1 km (a) (b) (c) Σχήμα 7: Γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους. 6

δημιουργία μαγνητικού πεδίου, την αποθήκευση ενέργειας στο πεδίο και την δημιουργία τάσης που αντιτίθεται στο αρχικό ρεύμα. Κάθε αγωγός στη γραμμή μεταφοράς τραβάει ρεύμα από τη πηγή λόγω της χωρητικότητας μεταξύ των αγωγών, και η επαγωγή κατα μήκος των αγωγών ελλατώνει την τάση κατά u = L(di/dt). Έτσι το ρεύμα που τραβάει η γραμμή δεν γίνεται ποτέ άπειρο. Η φόρτιση/εκφόρτιση πυκνωτών/πηνίων σημαίνει την μεταφορά ενέργειας με μορφή ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατα μήκος της γραμμής που μεταδίδεται με κάποια ταχύτητα v. Εφόσον η γραμμή δεν τερματίζεται, η κατανεμημένη χωρητικότητα δεν πρόκειται ποτέ να φορτιστεί στην τάση της πηγής και η κατανεμημένη επαγωγή δεν πρόκειται ποτέ να αφήσει το ρεύμα να γίνει πολύ μεγάλο. Το τελικό αποτέλεσμα των παραπάνω αλληλεπιδράσεων είναι να υπάρχει κάποια διαρροή ρεύματος από την πηγή, παρόλο που το κύκλωμα είναι ανοικτό, και η πηγή να βλέπει τη γραμμή μεταφοράς σαν κάποιο φορτίο, παρόλο που αυτή δεν τερματίζεται σε κάποιο φορτίο. Η αντίσταση/εμπέδηση που παρουσιάζει η γραμμή μεταφοράς ονομάζεται χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση και εξαρτάται από τη γεωμετρία και το υλικό της εκάστοτε γραμμής. Τα 5 Ω που αναφέραμε παραπάνω για το ομοαξονικό καλώδιο είναι η χαρακτηριστική του αντίσταση/εμπέδηση που θα μπορούσαμε να μετρήσουμε αν ήταν απείρου μήκους και είχαμε ιδανικό ωμόμετρο. Επομένως όταν η γραμμή μεταφοράς είναι απείρου μήκους η πηγή βλέπει μπροστά της αντίσταση ίση με την χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής. Τι συμβαίνει όταν η γραμμή μεταφοράς δεν είναι απείρου μήκους; Η ασυνέχεια στο τέλος της γραμμής δημιουργεί τις κατάλληλες συνθήκες ώστε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα που μεταδίδεται να υποστεί ανάκλαση και μέρος του να επιστέψει στην πηγή. Στο σχ. 7c θεωρούμε μια γραμμή μεταφοράς μήκους 1 km, με χαρακτηριστική αντίσταση 5 Ω και ταχύτητα μετάδοσης v =.6c όπου c = 3 1 8 m/s η ταχύτητα του φωτός. Για ανοικτή γραμμή, σχ. 7a, όπου ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t =, η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για 11.111 μs (χρόνος που περνάει για να πάει και να έρθει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα) και για t > 11.111 μs βλέπει το ανοικτό κύκλωμα. Για βραχυκυκλωμένη γραμμή σχ. 7b, όπου ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t =, η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για 11.111 μs (χρόνος που περνάει για να πάει και να έρθει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα) και για t > 11.111 μs βλέπει το βραχυκύκλωμα. Η μόνη περίπτωση όπου δεν έχουμε ανακλάσεις είναι όταν η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο ίσο με την χαρακτηριστική της αντίσταση. Στην περίπτωση αυτή η πηγή βλέπει αντίσταση 5 Ω για όλη τη διάρκεια t >. Τέλος, στην περίπτωση όπου η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο διαφορετικό της χαρακτηριστικής αντίστασης έχουμε μερική ανάκλαση. Ανάκλαση έχουμε επίσης και στο ανακλώμενο κύμα που επιστρέφει στην πηγή όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής (ή η ισοδύναμη κατά Thevenin) δεν είναι ίση με τη χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής. Στα παραπάνω έχουμε θεωρήσει αμελητέα την ωμική αντίσταση κατα μήκος και μεταξύ των αγωγών της γραμμής μεταφοράς. 4 Γραμμές μεταφοράς μικρού και μεγάλου μήκους Σε DC και χαμηλής συχνότητας AC κυκλώματα, η χαρακτηριστκή εμπέδηση γραμμών μεταφοράς, συνήθως θεωρείται αμελητέα. Όπως είδαμε παραπάνω για γραμμές μεταφοράς μήκους 1 km που συνδέονται σε DC πηγή, η πηγή βλέπει την χαρακτηριστκή εμπέδηση μόνο για 11.111 μs. Από κει και πέρα βλέπει το φορτίο που τερματίζεται η γραμμή. Αν η πηγή είναι χαμηλής συχνότητας AC, π.χ. 5 Hz, η περίοδος ενός ημιτόνου (κυματομορφής) διαρκεί 2 ms. Το διάστημα που διανύει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα μέσα σε αυτό το χρόνο όταν μεταδίδεται με την ταχύτητα του φωτός είναι 6 km. Το διάστημα αυτό το ονομάζουμε μήκος κύματος και είναι λ = v f όπου v η ταχύτητα μετάδοσης (εν γένει κλάσμα της ταχύτητας του φωτός) και f η συχνότητα του κύματος. Για το προηγούμενο παράδειγμα όπου v =.6c το αντίστοιχο λ είναι 36 km. Διαχωρίζουμε τις γραμμές μεταφορές σε «ηλεκτρικά» μικρού μήκους όταν το φυσικό τους μέγεθος είναι μικρότερο ή ίσο με λ/4 για τη συχνότητα της τάσης ή ρεύματος που μεταφέρουν. Για τα 5 Hz και v =.6c π.χ. το φυσικό μήκος θα πρέπει να ξεπεράσει τα 9 km για να θεωρήσουμε τα φαινόμενα μετάδοσης μη αμελητέα. Για συχνότητες RF όμως, π.χ. 1 MHz και για v =.6c το αντίστοιχο λ/4 = 45 cm. Γραμμές μεταφοράς για αυτή τη συχνότητα που έχουν φυσικό μήκος μεγαλύτερο από 45 cm είναι «ηλεκτρικά» μεγάλου μήκους. Για ηλεκτρικά μικρού μήκους γραμμές μεταφοράς αγνοούμε την χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής εφόσον η επίδρασή της διαρκεί για πολύ μικρό χρονικό διάστημα και η πηγή στο κύκλωμα βλέπει μόνο το τελικό φορτίο. Αντίθετα, για ηλεκτρικά μεγάλου μήκους γραμμές μεταφοράς, το φορτίο που βλέπει η πηγή επηρεάζεται σημαντικά από τη χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση της γραμμής (πολλαπλές ανακλάσεις). Μόνο όταν το φορτίο είναι ίδιο με τη χαρακτηριστική αντίσταση/εμπέδηση της γραμμής, μόνο τότε δεν έχουμε ανακλάσεις και η ανάλυση του κυκλώματος είναι απλή και χωρίς προβλήματα. 7

5 Επιδερμικό φαινόμενο Όταν σε μεταλλικό αγωγό κυκλοφορεί συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα θεωρούμε ότι οι φορείς του ρεύματος, τα ηλεκτρόνια, κινούνται ομοιόμορφα μέσα στον αγωγό από το ψηλό δυναμικο στο χαμηλό (συμβατική φορά ρεύματος). Τα πράγματα αλλάζουν στο εναλλασσόμενο. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που συνοδεύει τα φορτία τα κάνει να ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα. Οι αυξήσεις και μειώσεις στα πλάτη των ταλαντώσεων δημιουργούν φαινόμενα αυτεπαγωγής μεταξύ των φορτίων με αποτέλεσμα την επιβράδυνση των κινήσεών τους. Η μαγνητική ροή είναι εντονώτερη στο κέντρο άρα και η αντίσταση στην κίνηση των φορτίων είναι μεγαλύτερη εκεί. Η αντίσταση αυτή αυξάνεται με τη συχνότητα και εκτοπίζει τα φορτία από το κέντρο προς την επιφάνεια του αγωγού. Για παράδειγμα, σε χάλκινο αγωγό, για f > 1 MHz, η κίνηση των ηλεκτρονίων στο κέντρο είναι τόσο μικρή έτσι ώστε να μπορούμε να αφαιρέσουμε το υλικό στο κέντρο χωρίς να παρατηρήσουμε κάποια αισθητή διαφορά στην μετάδοση του ηλεκτρικού ρεύματος. 1.9.8.7.6 I/I.5.4.3.2.1 2 4 6 8 1 x/δ Σχήμα 8: Πυκνότητα ρεύματος από την επιφάνεια του αγωγού x/δ = προς το κέντρο. Μέσα στην επιδερμίδα δ βρίσκεται το 63% του ρεύματος. Το υπόλοιπο 27% συνεχίζει μέχρι το κέντρο. Η σχέση που προσδιορίζει το πάχος της επιδερμίδας δ, το πάχος που η πυκνότητα του ρεύματος πέφτει στο 1/e της επιφανειακής τιμής είναι δ = 2ρ ωμ όπου ρ η ειδική αντίσταση του αγωγού και μ = μ μ r η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Για τον χαλκό, ρ = 1.72 1 8 Ω m και μ = 1.2566 1 6 N/A 2. Οπότε για f = 1 MHz έχουμε δ = 6.6 μm. Τονίζεται επίσης το γεγονός ότι εφόσον το ρεύμα συγκεντρώνεται σε μικρότερη επιφάνεια, η αντίσταση στη διέλευσή του μεγαλώνει. Αυτός είναι και ο λόγος που η αντίσταση των γραμμών μεταφοράς προσδιορίζεται από μέτρηση της ισχύος και του ρεύματος από τη σχέση R = P /I 2. Όπως αναφέρθηκε μπορούμε να αφαιρέσουμε μεγάλο μέρος από το εσωτερικό ενός μεταλλικού αγωγού ή να το αντικαταστήσουμε με κάποιο άλλο υλικό ή ακόμα να κάνουμε κάποια επίστρωση π.χ. με ασήμι (καλύτερη αγωγιμότητα από το χαλκό) σε πυρήνα από σίδερο. Για παράδειγμα, στη μεταφορά υψηλής τάσης και ρεύματος, οι γραμμές μεταφοράς αποτελούνται από πολλούς αλουμινένιους αγωγούς στριφογυρισμένους γύρω από χαλύβδινους αγωγούς που στηρίζουν καλύτερα τα χιλιόμετρα των γραμμών μεταφοράς χωρίς επίπτωση στις ολικές ηλεκτρικές ιδιότητες που αφορούν τη μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας. 6 Εξισώσεις των γραμμών μεταφοράς Θα δούμε στα παρακάτω μια εισαγωγή στη θεωρία των γραμμών μεταφοράς σε δίκτυα διανομής. Η θεωρία αυτή αναπτύχτηκε για να προσδιορίζονται οι εμπεδήσεις, τάσεις και ρεύματα σε ένα δίκτυο έτσι ώστε να τερματίζεται κατάλληλα για μέγιστη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από πηγή σε φορτίο. Βασική προϋπόθεση επίσης είναι ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα πρέπει να έχουν μήκος κύματος της ίδιας τάξης μεγέθους με το μήκος της γραμμής μεταφοράς. Αλλοιώς απαιτείται θεωρία κυματοδηγών ή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με κεραίες. Θεωρούμε επίσης ότι έχουμε σταθερά ηλεκτρικά χαρακτηριστικά, ότι το αρχικό σήμα/ενέργεια έχει έξοδο και δρόμο επιστροφής και ότι τα ηλεκτρομαγνητικά 8

κύματα από τα οποία απαρτίζεται είναι εγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα (ΤΕΜ) όπου το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση μετάδοσης. Όταν εφαρμοστεί μια τάση στο ένα άκρο μιας γραμμής μεταφοράς, η κυματομορφή της τάσης ταξιδεύει στη γραμμή με ταχύτητα που προσδιορίζεται απο τα χαρακτηριστικά της γραμμής. Όταν το κύμα φτάσει στο άλλο άκρο, γίνεται ολική ανάκλαση, μερική ανάκλαση ή ολική απορόφηση από το φορτίο. Το τι γίνεται εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της γραμμής και το φορτίο τερματισμού. Ανάκλαση σημαίνει στάσιμα κύματα με μήκος κύματος που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της γραμμής και το φορτίο. Για μέγιστη μεταφορά ενέργειας τα χαρακτηριστικά του φορτίου πρέπει να ταιριάζουν με τα χαρακτηριστικά της γραμμής. Σε μια γραμμή μεταφοράς διακρίνουμε τα εξης μεγέθη, την σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση και τη σύνθετη αγωγιμότητα. Η πρώτη είναι απλωμένη κατά μήκος της γραμμής και η δεύτερη περιγράφει τις διαρροές μεταξύ του ζεύγους αγωγών που αποτελούν τη γραμμή. Η εμπέδηση χωρίζεται σε μια πραγματική, σταθερή αντίσταση και μια επαγωγή που εξαρτάται από τη συχνότητα. Η σύνθετη αγωγιμότητα χωρίζεται σε μια πραγματική, σταθερή αγωγιμότητα και μια χωρητικότητα που εξαρτάται πάλι από τη συχνότητα. Σε γραμμές μεταφοράς οι παραπάνω παράμετροι είναι απλωμένοι με συνεχή τρόπο σε όλη τη γραμμή. Το παραπάνω μοντέλο ισχύει με καλή ακρίβεια μέχρι περίπου 1 GHz. Θεωρούμε ένα μικρό τμήμα από μια γραμμή μεταφοράς, δυο παράλληλοι αγωγοί μήκους Δx όπως φαίνεται στο σχ. 9. i(x,t) R x L x N i(x+ x,t) + + u(x,t) G x C x u(x+ x,t) - - x x x+ x Σχήμα 9: Μοντέλο γραμμής μεταφοράς Οι παράμετροι του τμήματος είναι R, ωμική αντίσταση ανά μονάδα μήκους (ζεύγος αγωγών) σε Ω/m L, επαγωγή ανά μονάδα μήκους (ζεύγος αγωγών) σε H/m G, αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους σε S/m C, χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους σε F/m Οι μεταβλητές u(x, t), u(x + Δx, t) είναι η στιγμιαία τάση στα σημεία x και x + Δx. Ομοίως, οι μεταβλητές i(x, t), i(x + Δx, t) είναι το στιγμιαίο ρεύμα στα σημεία x και x + Δx. Εφαρμογή του κανόνα τάσης του Kirchhoff στο βρόγχο μας δίνει i(x, t) RΔx i(x, t) + LΔx + u(x + Δx, t) u(x, t) = t u(x + Δx, t) u(x, t) i(x, t) = Ri(x, t) + L Δx t και στο όριο Δx έχουμε u(x, t) i(x, t) = Ri(x, t) + L x t Εφαρμογή του κανόνα ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Ν μας δίνει i(x, t) GΔx u(x + Δx, t) CΔx u(x + Δx, t) t i(x + Δx, t) = i(x + Δx, t) i(x, t) u(x + Δx, t) = Gu(x + Δx, t) + C Δx t και στο όριο Δx έχουμε 9

i(x, t) u(x, t) = Gu(x, t) + C x t Οι παραπάνω εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσεις γραμμών μεταφοράς ή εξισώσεις τηλεγράφου (telegrapher s equations). Μια συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους είναι η μέθοδος διαγωνιζομένων μεταβλητών. Για δυο μεταβλητές π.χ., δεχόμαστε ότι η λύση είναι της μορφής f(x, t) = X(x)T (t) και εφαρμόζοντας οριακές και αρχικές συνθήκες επιχειρούμε να λύσουμε τις εξισώσεις υπό μορφή σειρών. Μια παραπάνω απλοποίηση είναι να θεωρήσουμε αρμονική εξάρτηση από το χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση που εξαρτάται από το χρόνο είναι ημιτονοειδούς μορφής, T (t) cos(ωt + φ). Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε λύσεις της μορφής: u(x, t) = U r (x) cos(ωt + φ u ) i(x, t) = I r (x) cos(ωt + φ i ) όπου U r (x), I r (x) είναι πραγματικές συναρτήσεις μόνο της θέσης x. Έχουμε τότε: u(x, t) = U r (x) cos(ωt + φ u ) = Re[U r (x)e j(ωt+φ u) ] = Re[U r (x)e jφ u e jωt ] = Re[U(x)e jωt ] i(x, t) = I r (x) cos(ωt + φ i ) = Re[I r (x)e j(ωt+φ i) ] = Re[I r (x)e jφ i e jωt ] = Re[I(x)e jωt ] όπου U(x) = U r (x)e jφ u = Ur (x)/φ u και I(x) = I r (x)e jφ i = Ir (x)/φ i οι φάσορες (παραστατικοί μιγάδες) τάσης και ρεύματος. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεταβλητές αντικαθιστούμε στις εξισώσεις τηλεγράφου u(x, t) U(x)e jωt i(x, t) I(x)e jωt και έχουμε du(x) dx di(x) dx = (R + jωl)i(x) = (G + jωc)u(x) τις αρμονικές εξισώσεις γραμμών μεταφοράς όπου U(x) και I(x) είναι φάσορες (παραστατικοί μιγάδες) της τάσης και του ρεύματος στη θέση x. Επανακτούμε τις κυματομορφές u(x, t) και i(x, t) από u(x, t) = Re[U(x)e jωt ] i(x, t) = Re[I(x)e jωt ] 7 Λύση όταν οι απώλειες είναι αμελητέες Μια παρένθεση εδώ. Υπάρχει ακόμα μια απλοποίηση που μπορεί να γίνει στις αρχικές εξισώσεις τηλεγράφου που αποτελεί μια καλή προσέγγιση σε πολλές εφαρμογές. Η παραδοχή ότι έχουμε αμελητέες απώλειες. Αυτό σημαίνει ότι R = G = και οι γενικές εξισώσεις απλοποιούνται σε u(x, t) i(x, t) = L x t και i(x, t) x = C u(x, t) t Παραγωγίζοντας τη μια εξίσωση ως προς την απόσταση και την άλλη ως προς το χρόνο και αντικαθιστώντας τη μια στην άλλη, έχουμε 2 u x 2 = LC 2 u 2 i t 2 και x 2 = LC 2 i t 2 δυο εξισώσεις με την ίδια μαθηματική μορφή. Η μορφή αυτή αναγνωρίζεται ότι είναι η κλασσική κυματική εξίσωση όπου η ταχύτητα μετάδοσης είναι 2 y x 2 = 1 2 y v 2 t 2 v = 1 LC 1

1.5 1.5 1 t= 1 t=.5.5 t=dt t=dt -.5 -.5-1 -1-1.5 2 4 6 8 1 x -1.5 2 4 6 8 1 x Σχήμα 1: Κύματα που ταξιδεύουν δεξιά ή αριστερά. Η γενική λύση της κυματικής εξίσωσης είναι γνωστή και είναι της μορφής y(x, t) = y + (t x v ) + y (t + x v ) το άθροισμα ενός κύματος y + που ταξιδεύει προς τα δεξιά και ενός y που ταξιδεύει προς τα αριστερά, Μπορούμε να «ακολουθήσουμε» το όρισμα t x/v (διατηρώντας το σταθερό) αν μετακινηθούμε απόσταση dx = +vdt, δηλ. κινηθούμε προς τα δεξιά με ταχύτητα v. Επίσης, μπορούμε να «ακολουθήσουμε» το όρισμα t + x/v (διατηρώντας το σταθερό) αν μετακινηθούμε απόσταση dx = vdt, δηλ. κινηθούμε προς τα αριστερά με ταχύτητα v. 8 Λύση των αρμονικών εξισώσεων Ακολουθώντας την ιδέα που εφαρμόσαμε στο προηγούμενο εδάφιο, παίρνουμε τις γενικές αρμονικές εξισώσεις με τους φάσορες U(x), I(x) du dx = (jωl + R) I (1) di = (jωc + G) U (2) dx Παραγωγίζοντας την (1) ως προς x και αντικαθιστώντας την (2) στο αποτέλεσμα, έχουμε όπου γ = (jωl + R)(jωC + G) = a + jb. d 2 U dx 2 = (jωl + R)(jωC + G) U = γ2 U (3) Η σταθερά γ ονομάζεται σταθερά μετάδοσης (propagation constant), έχει διαστάσεις [m 1 ], το πραγματικό της μέρος a είναι η σταθερά απόσβεσης (attenuation constant) με διαστάσεις Np/m και το φανταστικό της μέρος b είναι η σταθερά φάσης (phase constant) με διαστάσεις rad/m. Ομοίως και για το ρεύμα I, αν παραγωγίσουμε την (2) ως προς x και αντικαταστήσουμε την (1) στο αποτέλεσμα, καταλήγουμε στην d 2 I dx 2 = γ2 I (4) Όπως και στη γενική λύση της κυματικής εξίσωσης με αμελητέες απώλειες, οι φάσορες U(x) και I(x) μπορούν να γραφούν σαν άθροισμα κυματομορφών τάσης και ρεύματος που ταξιδεύουν δεξιά και αριστερά στη γραμμή μεταφοράς U(x) = U + (x) + U (x) = U + e γx + U eγx I(x) = I + (x) + I (x) = I + e γx + I eγx Στις παραπάνω εξισώσεις βλέπουμε ότι η λύση είναι εκθετικής μορφής ως προς τη μεταβλητή x και τα πλάτη U +, U, I +, I είναι σταθερά. 11

Αποδεικνύεται ότι U + I + = U I = R + jωl γ εάν ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία: du dx = (jωl + R) I [ γu + e γx + γu eγx ] = (jωl + R)[I + e γx + I eγx ] [γu + ]e γx [γu ]eγx = [(R + jωl)i + ]e γx + [(R + jωl)i ]eγx Εξισώνοντας τους συντελεστές των e γx και e γx έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα. Η σημασία του αποτελέσματος είναι ότι τα κύματα τάσης όταν φθάσουν στο τέλος της γραμμής απλώς ανακλώνται με την ίδια φάση ενώ τα κύματα ρεύματος ανακλώνται αλλάζοντας ταυτόχρονα και τη φάση τους κατά 18. Για γραμμή απείρου μήκους δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα και U(x) = U + e γx I(x) = I + e γx Στην περίπτωση αυτή ο λόγος της τάσης ως προς το ρεύμα είναι η χαρακτηριστική αντίσταση /εμπέδηση της γραμμής Z = U(x) I(x) = U + I + = R + jωl γ = γ G + jωc = R + jωl G + jωc I i I L Z g + U g U (γ,z ) i Z L U L - Z i x= x =l x x =l-x x=l x = Σχήμα 11: Γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους με φορτίο τερματισμού Z L. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γραμμή μεταφοράς πεπερασμένου μήκους l, με χαρακτηριστική αντίσταση /εμπέδηση Z και φορτίο τερματισμού Z L. Μια ημιτονική πηγή τάσης U g / με εσωτερική εμπέδηση Z g είναι συνδεδεμένη στην αρχή της γραμμής στο x =. Οι εξισώσεις που έχουμε είναι U(x) = U + e γx + U eγx I(x) = I + e γx + I eγx U + I + = U I = Z Δοθέντων των χαρακτηριστικών της γραμμής: γ, Z και l, έχουμε τέσσερις αγνώστους: U +, U, I+ και I. Οι άγνωστοι αυτοί δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους εφόσον συνδέονται στα x = και x = l από ( U I ) = U i = Z x= I i και ( U i I ) = U L = Z x=l I L L όπου Z i η εμπέδηση εισόδου στη γραμμή και Z L η εμπέδηση του φορτίου τερματισμού στην έξοδο. Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε την τάση U(x) και το ρεύμα I(x) στην είσοδο και έξοδο μιας γραμμής μεταφοράς μήκους l ως εξής: U i = U(x = ) = U + + U 12

I i = I(x = ) = U + Z U Z U L = U(x = l) = U + e γl + U eγl I L = I(x = l) = U + Z e γl U Z e γl Λύνοντας τις δυο τελευταίες εξισώσεις ως προς U + και U έχουμε U + = 1 2 (U L + I L Z )e γl οπότε οι δυο πρώτες γράφονται ως: U = 1 2 (U L I L Z )e γl U i = U + + U = 1 2 (U L + I L Z )e γl + 1 2 (U L I L Z )e γl = U L e γl + e γl 2 + I L Z e γl e γl 2 = U L cosh(γl) + I L Z sinh(γl) I i = U + Z U Z = 1 2Z (U L + I L Z )e γl 1 2Z (U L I L Z )e γl = ή, υπό μορφή πινάκων: U L e γl e γl e γl + e γl + I Z 2 L = U L sinh(γl) + I 2 Z L cosh(γl) ( U i I i ) = cosh(γl) sinh(γl) Z Z sinh(γl) cosh(γl) ( U L IL ) = ( A B C D ) ( U L ) IL όπου χρησιμοποιήσαμε τις υπερβολικές συναρτήσεις sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z C. Η παραπάνω σχέση μας δίνει τα U i, I i εάν γνωρίζουμε τα U L, I L και τα χαρακτηριστικά της γραμμής μεταφοράς Z, γ, l. Στην περίπτωση όπου γνωρίζουμε τα U i, I i μπορούμε να υπολογίσουμε τα U L, I L αντιστρέφοντας τον πίνακα: ( U L IL ) = ( 1 A B C D ) ( U i ) = I i εφόσον AD BC = cosh 2 (γl) sinh 2 (γl) = 1. ( 1 D B ( AD BC C A ) ( U i ) = I i D B C A ) ( U i I i ) Οι παραπάνω σχέσεις με πίνακες οδηγούν στο μοντέλο της γραμμής μεταφοράς σαν δίθυρο όπως φαίνεται στο σχ. 12. I i I L I 1 I 2 U i U L U 1 U 2 Σχήμα 12: Γραμμή μεταφοράς σαν δίθυρο (αριστερά) και γενικό μοντέλο διθύρου (δεξιά). 13

9 Μοντέλο δίθυρου Σύμφωνα με το μοντέλο δίθυρου η τάση και το ρεύμα, εισόδου σε και εξόδου από μια γραμμή μεταφοράς σχετίζονται ως ( U 1 I 1 ) = ( A B C D ) ( U 2 I 2 ) και ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) Το μοντέλο διθύρου διευκολύνει πολύ τη μελέτη της επίδρασης ενός καναλιού επικοινωνιών, που αποτελείται από τμήματα γραμμών μεταφοράς, σε μια πραγματική εγκατάσταση. Θα χρειαστούμε όμως πρώτα τα μοντέλα για μερικά απλά δίθυρα. I 1 Z I 2 I 1 I 2 U 1 U 2 U 1 Y U 2 (a) (b) I 1 I 2 I 1 Z s I 2 U 1 U 2 U 1 Z p U 2 (c) (d) Σχήμα 13: Μερικά απλά δίθυρα Για το εν σειρά δίθυρο έχουμε ( A B C D ) = ( 1 Z 1 ) U 1 = U 2 + ZI 2 I 1 = I 2 όπου η πρώτη σχέση είναι ο κανόνας τάσεων στο βρόγχο που σχηματίζει το δίθυρο ενώ η δεύτερη σχέση δείχνει απλώς ότι ένας κλάδος διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα. Για το παράλληλο δίθυρο ( A B C D ) = ( 1 Y 1 ) U 1 = U 2 I 1 = Y U 2 + I 2 Η πρώτη σχέση λέει απλώς ότι η τάση στα άκρα μιας αντίστασης είναι ίδια. Η δεύτερη είναι πάλι ο κανόνας ρευμάτων στον επάνω κόμβο. Μπορούμε τώρα να συνδέσουμε το εν σειρά και παράλληλο δίθυρο (Σχ. 13 (d)) ως εξής: Οι σχέσεις είναι τώρα ( U 1 I 1 ) = ( 1 Z s 1 ) ( 1 1/Z p 1 ) ( U 2 I 2 ) = ( 1 + Z s/z p Z s 1/Z p 1 ) ( U 2 I 2 ) U 1 = (1 + Z s /Z p )U 2 + Z s I 2 I 1 = U 2 /Z p + I 2 } U 1 = (1 + Z s /Z p )U 2 + Z s (I 1 U 2 /Z p ) = U 2 + I 1 Z s πάλι ο κανόνας τάσεων για το βρόγχο. Γνωρίζουμε ότι για μια απλή γραμμή μεταφοράς με χαρακτηριστική αντίσταση Z και σταθερά μετάδοσης γ έχουμε ( A B C D ) = ( cosh(γl) Z sinh(γl) sinh(γl)/z cosh(γl) ) Εάν θεωρήσουμε αμελητέες απώλειες (R, G ) R + jωl Z = G + jωc L C γ = (R + jωl)(g + jωc) = a + jb ω 2 LC = jω LC = jb 14

Άρα, χρησιμοποιώντας την σχέση του Euler, e jθ = cos θ + j sin θ, έχουμε: cosh(γl) = cosh(jbl) = ejbl + e jbl = cos(bl) 2 sinh(γl) = sinh(jbl) = ejbl e jbl 2 = j ejbl e jbl j2 A B ( C D ) = ( cos(bl) jz sin(bl) ) j sin(bl)/z cos(bl) = j sin(bl) Εάν τώρα τοποθετήσουμε μια εμπέδηση Z L στην έξοδο του δίθυρου τότε U 2 = I 2 Z L και η εμπέδηση εισόδου Z i στη γραμμή συναρτήσει της Z L είναι U 1 = AU 2 + BI 2 = (AZ L + B)I 2 } Z I 1 = CU 2 + DI 2 = (CZ L + D)I i = U 1 = AZ L + B 2 I 1 CZ L + D Αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς Z L έχουμε Z i (CZ L + D) = AZ L + B Z L = B DZ i CZ i A = DZ i B A CZ i Οι παραπάνω σχέσεις μας δίνουν την εμπέδηση εισόδου/εξόδου συναρτήσει της εμπέδησης εξόδου/εισόδου και τις παραμέτρους της γραμμής μεταφοράς. Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το ισοδύναμο Thevenin που φαίνεται στο παρακάτω κύκλωμα. Z g I 1 I 2 A Z TH A U g U 1 U 2 Z L U TH Z L B B Σχήμα 14: Ισοδύναμο Thevenin Για την τάση Thevenin, την τάση με ανοικτούς ακροδέκτες, έχουμε Επίσης, από διαιρέτη τάσης στον αριστερό βρόγχο και η τάση Thevenin είναι U TH = U 2 = I 2 = Z L και Z i = A C U 1 = Z i Z i + Z g U g U 1 = AU 2 + BI 2 = AU 2 U 2 = U 1 A Z i Z i + Z g U g A = A C A C + Z g U g A = U g A + CZ g Για την αντίσταση Thevenin, βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης, U g =, και U 1 = Z g I 1 από κανόνα τάσης στον αριστερό βρόγχο. Επομένως U 1 = AU 2 + BI 2 I 1 = CU 2 + DI 2 } Z gi 1 = AU 2 + BI 2 Z g I 1 = Z g CU 2 + Z g DI 2 Z TH = U 2 I 2 Επίσης, για τη συνάρτηση μεταφοράς, όπου U 2 = I 2 Z L, έχουμε H = U 2 U 1 = Z L I 2 AU 2 + BI 2 = } (A + Z g C)U 2 + (B + Z g D)I 2 = = B + DZ g A + CZ g Z L I 2 (AZ L + B)I 2 = Z L AZ L + B 15

Το μοντέλο του διθύρου είναι χρήσιμο στην μελέτη ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τις γραμμές μεταφοράς σαν κανάλι επικοινωνιών γιατί μια ηλεκτρική εγκατάσταση αποτελείται από διάφορα τμήματα γραμμών μεταφοράς. Μια διαδρομή από πομπό σε δέκτη μπορεί να παρασταθεί από ένα τελικό δίθυρο που είναι απλώς ο διαδοχικός πολ/σμός των πινάκων ABCD των επιμέρους τμημάτων. Το μόνο που χρειάζεται να προσθέσουμε στα παραπάνω είναι η περίπτωση των διακλαδώσεων. Μια διακλάδωση (tap) έχει πίνακα ( A B C D ) = ( tap 1 1/Z i,tap 1 ) όπου η Z i,tap είναι η ολική εμπέδηση που φαίνεται από τα άκρα της διακλάδωσης στο τμήμα που εισέρχεται στη διακλάδωση. Αν υπάρχει και κάποια ή κάποιες πηγές σε αυτό το τμήμα, τότε υπολογίζουμε το ισοδύναμο Thevenin. Με μορφή διαγράμματος (σχ. 15) εισοδος tap 1 tap n εξοδος τµηµα 1 τµηµα n Σχήμα 15: Διαδρομή με τμήματα γραμμών μεταφοράς και διακλαδώσεις. [ABCD] ολική = [ABCD] τμήμα_1 [ABCD] tap_1 [ABCD] τμήμα_n 1 Λύση των αρμονικών εξισώσεων - Συνέχεια Μπορούμε να εκφράσουμε την τάση, ρεύμα και εμπέδηση σε κάποιο τυχαίο σημείο της γραμμής συναρτήσει των U i, I i ή των U L, I L. Συνήθως έχουμε πρόσβαση στο φορτίο και μας βολεύει να χρησιμοποιήσουμε την δεύτερη επιλογή. Έχουμε για x = l U L = U + e γl + U eγl I L = U + Z e γl U Z e γl Λύνοντας ως προς U + και U έχουμε U + = 1 2 (U L + I L Z )e γl και μετά από αντικαταστάσεις U = 1 2 (U L I L Z )e γl U(x) = I L 2 [(Z L + Z )e γ(l x) + (Z L Z )e γ(l x) ] I(x) = I L 2Z [(Z L + Z )e γ(l x) (Z L Z )e γ(l x) ] Εφόσον οι μεταβλητές l και x εμφανίζονται στον συνδυασμό l x, ορίζουμε μια καινούργια μεταβλητή x = l x. Οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται τότε U(x ) = I L 2 [(Z L + Z )e γx + (Z L Z )e γx ] I(x ) = I L 2Z [(Z L + Z )e γx (Z L Z )e γx ] Χρησιμοποιώντας υπερβολικές συναρτήσεις όπου sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z C, οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται U(x ) = I L (Z L cosh γx + Z sinh γx ) (5) I(x ) = I L Z (Z L sinh γx + Z cosh γx ) (6) 16

Σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής x η εμπέδηση είναι Z(x ) = U(x ) I(x ) = Z Z L cosh γx + Z sinh γx Z L sinh γx + Z cosh γx = Z Z L + Z tanh γx Z + Z L tanh γx (7) Στην είσοδο της γραμμής, x = l και η πηγή βλέπει εμπέδηση εισόδου Z i = Z(x = l) = Z Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl (8) Οι παραπάνω σχέσεις ταυτίζονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που είχαμε με το μοντέλο διθύρου. Η τάση εισόδου και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή είναι U i = Z i Z g + Z i U g και I i = Η μέση ισχύς που παρέχει η πηγή στην είσοδο της γραμμής είναι U g Z g + Z i και η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο είναι P i = 1 2 Re[U ii i ] x=,x =l P L = 1 2 Re[U LIL ] = 1 2 x=l,x = 2 U L R Z L = 1 L 2 I L 2 R L Ο παράγων 1 2 εμφανίζεται από το γεγονός ότι ο ορισμός των φασόρων δεν έγινε με την ενεργό τιμή αλλά το πλάτος των κυματομορφών. Για ευκολία στις πράξεις και χωρίς μεγάλο σφάλμα, θεωρούμε συνήθως τα τμήματα γραμμών μεταφοράς να έχουν μηδενικές απώλειες, δηλ. R =, G =, γ = jb, tanh γl = j tan(bl). Η εμπέδηση εισόδου γίνεται τότε Για την περίπτωση αυτή, έχουμε επίσης P i = P L. Z i = Z Z L + jz tan(bl) Z + jz L tan(bl) Ω Μια άλλη σημαντική περίπτωση είναι όταν η γραμμή τερματίζεται σε φορτίο Z L = Z. Από την εξ. 7 βλέπουμε ότι για κάθε < x < l και Z(x ) = Z U(x) = (I L Z e γl )e γx = U i e γx I(x) = (I L e γl )e γx = I i e γx Βλέπουμε δηλ. ότι η τάση και το ρεύμα σε αυτή την περίπτωση είναι σαν το μήκος της γραμμής να είναι άπειρο και δεν έχουμε ανακλάσεις. Παράδειγμα 1.1 Μια πηγή τάσης με εσωτερική αντίσταση 1 Ω και τάση ανοικτού κυκλώματος u g (t) =.3 cos(2πft) V, όπου f = 1 MHz, συνδέεται με γραμμής μεταφοράς μηδενικών απωλειών και χαρακτηριστική εμπέδηση 5 Ω. Το φυσικό μήκος της γραμμής είναι 4 m και η ταχύτητα μετάδωσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι 2.5 1 8 m/s. Εάν το φορτίο τερματισμού Z L είναι ίσο με την χαρακτηριστική εμπέδηση Z της γραμμής, να βρεθούν α) η στιγμιαία τάση και ρεύμα σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής, β) η στιγμιαία τάση και ρεύμα στο φορτίο τη χρονική στιγμή t = 3 ns και γ) η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο. Για την εύρεση της τάσης και ρεύματος σε τυχαίο σημείο στη γραμμή μεταφοράς πρέπει πρώτα να βρούμε την τάση και το ρεύμα εισόδου (x =, x = l). Έχουμε 17

U g =.3 / V Z g = 1 Ω Z = 5 Ω ω = 2π 1 8 rad/s v = 2.5 1 8 m/s l = 4 m Εφόσον το φορτίο τερματισμού είναι ταιριασμένο με τη χαρακτηριστική εμπέδηση έχουμε Z L = Z. Για τον ίδιο λόγο Z i = Z = 5 Ω. Επομένως U i = 5 5 + 1.3 / =.294 / V Η σταθερά μετάδοσης γ είναι I i =.3 / 5 + 1 = 5.9 / ma γ = (R + jωl)(g + jωc) = (jωl)(jωc) = jω LC = j ω v = j.8π = j2.513 rad/m όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι εφόσον οι απώλειες είναι μηδενικές, από την κυματική εξίσωση τάσης ή ρεύματος εχουμε v = 1/ LC. Οπότε U(x) =.294e j2.513x V και I(x) = 5.9e j2.513x ma και η στιγμιαία τάση και ρεύμα σε ένα τυχαίο σημείο της γραμμής είναι u(x, t) = Re[U(x)e jωt ] = Re[.294e j(ωt 2.513x) ] =.294 cos(ωt 2.513x) V i(x, t) = Re[I(x)e jωt ] = Re[5.9e j(ωt 2.513x) ] = 5.9 cos(ωt 2.513x) ma Στο φορτίο τερματισμού x = l = 4 m οπότε u(4, t) =.294 cos(ωt 1.5) V και i(4, t) = 5.9 cos(ωt 1.5) ma Για την χρονική στιγμή t = 3 ns έχουμε u(4, 3) =.294 cos(ω 3 1 9 1.5) =.9 V και i(4, 3) = 5.9 cos(ω 3 1 9 1.5) = 1.8 ma Προσέξτε έτσι ώστε το όρισμα στα συνημίτονα να είναι σε ακτίνια (rad). Η μέση ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο στην περίπτωση μηδενικών απωλειών είναι ίδια με τη μέση ισχύ στην είσοδο της γραμμής. Οπότε P L = P i = 1 2 Re[U ii i ] = 1 2 [.294 5.9 1 3 ] = 8.7 1 4 =.87 mw Παράδειγμα 1.2 Ένα ομοαξονικό καλώδιο για τη συχνότητα 12 MHz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά R = 1.25 Ω/m, L = 12.8 μh/m, G =.78 ms/m και C = 1.62 pf/m. Υπολογείστε τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, τη σταθερά μετάδοσης γ, τη σταθερά απόσβεσης a και τη σταθερά φάσης b. Για μήκος καλωδίου 12 m υπολογείστε τον πίνακα [ABCD]. Για τάση εισόδου U i = 3 V και Z L = Z υπολογείστε U L και I L. Πόσα db θα είναι η διαφορά των μέτρων των τάσεων εισόδου και εξόδου; Έχουμε ω = 2πf = 7.54 1 7 rad/s R + jωl Z = G + jωc = 115.63 /4.51 Ω γ = (R + jωl)(g + jωc) =.873 /49.41 =.568 + j.663 m 1 Η σταθερά απόσβεσης a =.568 m 1 και η σταθερά φάσης b =.663 rad/m. Ο πίνακας [ABCD] είναι: 18

( A B C D ) = cosh(γl) sinh(γl) Z Z sinh(γl) cosh(γl) και μας χρειάζονται οι υπερβολικές συναρτήσεις sinh(z) = 1 2 (ez e z ) και cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) για z = γl. Έχουμε z = γl = 12(.568 + j.663) = 6.815 + j7.955 e z = e 6.815+j7.955 = e 6.815 e j7.955 = e 6.815 [ cos(7.955) + j sin(7.955)] = 911.3(.11 + j.995) = 91.66 + j96.7 e z = e 6.815 j7.955 = e 6.815 e j7.955 = e 6.815 [ cos(7.955) j sin(7.955)] = sinh(z) = ez e z =.197(.11 j.995) = 1.14 1 4 j1.92 1 3 2 cosh(z) = ez + e z 2 = 91.66 + j96.7 + 1.14 1 4 + j1.92 1 3 2 = 91.66 + j96.7 1.14 1 4 j1.92 1 3 2 = 45.83 + j453.4 = 45.83 + j453.4 Το e z είναι αμελητέο (ίσως) στις παραπάνω υπερβολικές συναρτήσεις. Προσέξτε επίσης ώστε τα ορίσματα στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις να είναι σε ακτίνια (rad). A = cosh(γl) = 45.83 + j453.4 B = Z sinh(γl) = ( 3.641 + j3.482) 1 5 C = sinh(γl) Z =.235 + j.339 D = cosh(γl) = 45.83 + j453.4 Για τάση εισόδου U i = 3 V και Z L = Ζ έχουμε Z i = Z Z L + Z tanh(γl) Z + Z L tanh(γl) = Z οπότε ( U L IL ) = ( I i = U i Z i =.271 / 4.5 A D B C A ) ( U i I i ) = (.329 / 95.8 V.298 / 136.3 ma ) Τα παραπάνω αποτελέσματα είναι ιδιαίτερα επιρρεπή σε στρογγυλοποίηση εφόσον έχουμε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθμών. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες: U L = DU i BI i = ( 13749.262937816 + j1368.2382294795) ( 13749.2271849286 + j1368.565744385) =.331885391174 j.32751491547 =.32918 / 95.772 V I L = CU i + AI i = ( 7.4585398425927 j11.618711694417)+ (7.458324642323 + j11.616654141367) = ( 2.1525636195 j2.57553546296) 1 4 =.29773 / 136.28 ma βλέπουμε ότι η διαφορά εμφανίζεται από το 7ο σημαντικό ψηφίο και μετά. Αυτό σημαίνει ότι το e z που υπολογίσαμε παραπάνω ΔΕΝ ήταν αμελητέο και ότι ο υπολογιστικός τρόπος που ακολουθήσαμε, αν και σωστός, χρειάζεται υπολογιστή με ακρίβεια πράξεων double precision. 19

Επομένως, αποφεύγοντας τις ενδιάμεσες πράξεις, έχουμε: U L = DU i BI i = cosh(z)u i Z sinh(z)i i = cosh(z)u i Z sinh(z) U i Z = [cosh(z) sinh(z)]u i = e z U i = e al e jbl U i =.329 / bl 18/π =.329 / 455.77 =.329 / 95.77 V I L = CU i + AI i = sinh(z) U Z i + cosh(z) U i cosh(z) sinh(z) = U Z Z i = e z Z U i =.29773 / 136.28 ma Για τη διαφορά σε db των μέτρων των τάσεων εισόδου και εξόδου: U 2 log 1 U i 2 log 1 U L = 2 log i 1 = 59.2 db U L Παράδειγμα 1.3 Σε ηλεκτρολογική εγκατάσταση που χρησιμοποιείται για σύστημα επικοινωνιών η διαδρομή πομπού / δέκτη αποτελείται από δυο τμήματα γραμμής μεταφοράς μήκους 1 και 2 m αντίστοιχα. Στην ενδιάμεση διακλάδωση θεωρούμε ότι η υπόλοιπη εγκατάσταση φαίνεται σαν παράλληλη εμπέδηση Z t = 2 Ω. Θεωρούμε ότι οι απώλειες είναι αμελητέες και τα χαρακτηριστικά της γραμμής για τη συγκεκριμένη εφαρμογή είναι Z = 5 Ω, b =.1 rad/m. Αν θέλουμε να έχουμε U 2 = 22 V, I 2 = 2 A τι τάση και ρεύμα πρέπει να έχουμε στην είσοδο της γραμμής; ( U 1 I 1 ) = ( cos(1b) j sin(1b)/z jz sin(1b) cos(1b) ) ( 1 1/Z t 1 ) ( cos(2b) jz sin(2b) j sin(2b)/z cos(2b) ) ( 22 2 ) = (.54 j42.4 j.17.54 ) ( 1.5 1 Άρα, U 1 = 236.9/ 178.7 V και I 1 = 2.39/158.7 A. (.416 j45.46 ) ( j.18.416 ) ( 22 2.99 j.87 9.564 + j7.56.1 + j.3.99 + j.123 ) ( 22 2 ) = ( 236.9 j5.148 2.227 + j.8667 ) = ( 236.9/ 178.7 2.39/158.7 ) ) = Παράδειγμα 1.4 Μια πηγή τάσης με εσωτερική αντίσταση 25 Ω και τάση ανοικτού κυκλώματος u g (t) = 15 cos(2πft) V, όπου f = 2 MHz, συνδέεται με γραμμής μεταφοράς αμελητέων απωλειών και χαρακτηριστική εμπέδηση 5 Ω. Το φυσικό μήκος της γραμμής είναι 9 m και η ταχύτητα μετάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι 2.5 1 8 m/s. Εάν το φορτίο τερματισμού Z L = Z /4 όπου Z είναι η χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, να βρεθούν α) η εμπέδηση εισόδου στη γραμμή β) η τάση και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή γ) η τάση και το ρεύμα εξόδου από τη γραμμή δ) η μιγαδική ισχύς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος. Έχουμε U g = 15 / V Z g = 25 Ω Z = 5 Ω Z L = 12.5 Ω ω = 2πf = 1.258 1 8 rad/s v = 2.5 1 8 m/s l = 9 m 2

Η σταθερά μετάδοσης γ είναι γ = (R + jωl)(g + jωc) = (jωl)(jωc) = jω LC = j ω v = j.53 = jb rad/m όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι εφόσον οι απώλειες είναι μηδενικές, από την κυματική εξίσωση τάσης ή ρεύματος εχουμε v = 1/ LC. Οπότε ο πίνακας [ABCD] για τη γραμμή είναι ( A B C D ) = ( cos(bl) jz sin(bl) j sin(bl)/z cos(bl) ) = (.187 j49.1 j.196.187 ) και η εμπέδηση εισόδου Z i = AZ L + B CZ L + D = AZ /4 + B CZ /4 + D = 131 + j9.4 = 159.2 /34.6 Ω Επομένως η τάση και το ρεύμα εισόδου στη γραμμή είναι U 1 = I 1 = και η τάση και το ρεύμα εξόδου της γραμμής είναι Z i Z i + Z g U g = 13.2 + j1.4 = 13.24 /4.52 V U g Z i + Z g =.72 j.42 = 83.2 / 3.1 ma ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) U 2 =.425 + j3.34 = 3.37 /97.2 V I 2 =.34 + j.267 =.269 /97.2 A από όπου μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι U 2 /I 2 = 12.5 Ω = Z L. Η μιγαδική ισχύς που δίνει η γεννήτρια είναι S s = U g I1 = 1.8+j.626 VA. Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση της γεννήτριας είναι S g = I 1 2 Z g =.173 VA. Η μιγαδική ισχύς στην είσοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S 1 = U 1 I1 =.96 + j.626 VA. Όπως βλέπουμε S s S g S 1 =.1 (με την ακρίβεια των τριών σημαντικών ψηφίων που κάναμε τις πράξεις). Επίσης, η μιγαδική ισχύς στην έξοδο της γραμμής (στο φορτίο) είναι S L = U 2 I2 =.96 VA. Βλέπουμε ότι η πραγματική ισχύς στην είσοδο και έξοδο της γραμμής είναι ίσες καθώς επίσης ότι έχουμε και άεργο ισχύ.626 VAR να δεσμεύεται μέσα στη γραμμή. Δοκιμάστε το παραπάνω παράδειγμα με Z L = Z. Τι παρατηρείτε τότε με την ισχύ; Παράδειγμα 1.5 Ένα ομοαξονικό καλώδιο για τη συχνότητα 632 khz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά R =.67 Ω/m, L = 28.5 μh/m, G = 41.3 ms/m και C = 28.1 pf/m. Υπολογίστε τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, τη σταθερά μετάδοσης γ, τη σταθερά απόσβεσης a και τη σταθερά φάσης b. Για το συγκεκριμένο καλώδιο η εμπέδηση εξόδου είναι Z L = Z. Ποια είναι η εμπέδηση εισόδου Z i ; Απλοποιήστε τις σχέσεις μέσω του πίνακα [ABCD] που συνδέουν τάση και ρεύμα εισόδου και εξόδου για καλώδιο μήκους l και αποδείξτε ότι για τις τάσεις έχουμε U L = exp( γl)u i. Ποια είναι η αντίστοιχη σχέση για το ρεύμα; Εφαρμόστε τις παραπάνω σχέσεις στην περίπτωση όπου τάση εισόδου U i = 38/8 V, μήκος καλωδίου l = 2 m και Z L = Z υπολογίζοντας τάση και ρεύμα εξόδου U L και I L (μέτρο και φάση). f = 632 khz ω = 2πf = 3.971 Mrad/s R + jωl Z = G + jωc = 113.2 /89.7.4131 /1.15 = 52.343 /44.26 Ω γ = (jωl + R)(jωC + G) = 2.162 /45.4 = 1.518 + j1.54 m 1 a = Re{γ} = 1.518 m 1 b = Im{γ} = 1.54 rad/m Z Z i = Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl = Z Z + Z tanh γl Z + Z tanh γl = Z 21

ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( U L IL ) = ( D B C A ) ( U i I i ) U L = DU i BI i = cosh(z)u i Z sinh(z)i i = cosh(z)u i Z sinh(z) U i Z = [cosh(z) sinh(z)]u i = e z U i = e γl U i I L = CU i + AI i = sinh(z) U Z i + cosh(z) U i = Z cosh(z) sinh(z) U Z i = e z U Z i = e γl U Z i z = γl = 2(1.518 + j1.54) = 3.36 + j3.79 e z = e 3.36 e j3.79 = e 3.36 [ cos(3.79) j sin(3.79)] = =.4827(.9984 j.62552) =.479 j.2991 =.482 / 176.4 U L = e z U i = 18.247 / 96.4 V I L = U L Z =.3486 / 14.7 A Παράδειγμα 1.6 Στη γραμμή μεταφοράς της προηγούμενης άσκησης θεωρούμε ότι οι απώλειες είναι αμελητέες. Ποιος είναι τότε ο πίνακας [ABCD] για μήκος γραμμής l = 2 m; Εάν η εμπέδηση εξόδου είναι Z L = 2 Ω, ποια είναι η εμπέδηση εισόδου Z i ; Εάν η γραμμή συνδεθεί στην είσοδο με πηγή τάσης U g = 22/ V και εσωτερική αντίσταση 5 Ω ποια είναι η τάση και ρεύμα εισόδου στη γραμμή; Ποια είναι η τάση και ρεύμα εξόδου από τη γραμμή; Ποια είναι επίσης η μιγαδική ισχύς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος; Σχολιάστε το αποτέλεσμα. Z = L C = 37.7 Ω ( γ = (jωl)(jωc) = ω 2 LC = jω LC = jb = j.36 rad/m cosh(jbl) = cos(bl) =.986 A B C D ) = cos(bl) j sin(bl) Z jz sin(bl) cos(bl) sinh(jbl) = j sin(bl) = j.166 = (.986 j61.49 j.45.986 tanh(jbl) = sinh(jbl) j sin(bl) = = j tan(bl) = j.1685 cosh(jbl) cos(bl) ) Επομένως, τάση και ρεύμα εισόδου: Z Z i = Z L + Z tanh γl Z + Z L tanh γl = Z Z L + jz tan(bl) Z + jz L tan(bl) = 28.6 / 12.1 Ω U 1 = Z i Z i + 5 22 = 178.1 / 2.3 V και τάση και ρεύμα εξόδου: I 1 = 22 Z i + 5 =.854 /9.78 A ( U 2 I 2 ) = ( D B C A ) ( U 1 I 1 ) U 2 = 172.4 /15 V I 2 =.862 /15 A από όπου μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι U 2 /I 2 = 2 Ω = Z L. Η μιγαδική ισχύς που δίνει η γεννήτρια είναι S s = U g I 1 = 185.6 j31.9 = 187.8 / 9.8 VA. Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση της γεννήτριας είναι S g = I 1 2 Z g = 36.4 VA. 22

Η μιγαδική ισχύς στην είσοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S 1 = U 1 I 1 = 148.6 j31.9 = 152 / 12.1 VA. Η μιγαδική ισχύς στην έξοδο της γραμμής μεταφοράς είναι S L = U 2 I2 = 148.6 VA. Όπως βλέπουμε S s S g S 1 = 2.8 1 14 + j3.6 1 15 (με την ακρίβεια που κάναμε τις πράξεις). Επίσης η πραγματική ισχύς στην είσοδο και έξοδο της γραμμής είναι ίσες που σημαίνει ότι δεσμεύεται άεργος ισχύ 31.9 VAR μέσα στη γραμμή. Παράδειγμα 1.7 Μια γραμμή μεταφοράς για τη συχνότητα 2 MHz έχει κατανεμημένα χαρακτηριστικά L = 25.6 nh/m και C = 4.552 pf/m. Θεωρούμε απώλειες αμελητέες και μήκος γραμμής l = 15 m. Επιπλέον, η γραμμή είναι συνδεδεμένη σε πηγή U g = 5 V με εσωτερική αντίσταση Z g = 45 Ω. Ποιος είναι ο πίνακας [ABCD], το φορτίο Z L για μέγιστη μεταφορά ισχύος καθώς και η εμπέδηση εισόδου Z i στη γραμμή; Για αμελητέες απώλειες Z = L C = 75.241 Ω γ = (jωl)(jωc) = ω 2 LC = jω LC = jb = j.4276 rad/m ( cosh(jbl) = cos(bl) =.81 A B C D ) = cos(bl) j sin(bl) Z Το ισοδύναμο Thevenin από το μέρος του φορτίου έχει επομένως πρέπει jz sin(bl) cos(bl) sinh(jbl) = j sin(bl) = j.598 = ( Z TH = B + DZ g A + CZ g = 58.44 + j3.7 Ω Z L = Z TH = 58.44 j3.7 = 65.73/27.2 Ω Η εμπέδηση εισόδου (κάνετε συμβολικά τις πράξεις με τα A, B, C, D) είναι Z i = AZ L + B CZ L + D = Z g = 45 Ω.81 j45.2 j.8.81 ) Θα μπορούσατε να συμπεράνετε το τελευταίο αποτέλεσμα χωρίς να κάνετε τις πράξεις; 11 Συντελεστής ανάκλασης και λόγος στασίμου κύματος Οι εξισώσεις για την τάση και το ρεύμα στο σημείο x για μια γραμμή μεταφοράς όπου x = αντιστοιχεί στην είσοδο της γραμμής και x = l στο τέλος της είναι: U(x) = U + e γx + U eγx και I(x) = I + e γx + I eγx και U + I + = U I = Z Για ευκολία μας επιλέγουμε την μεταβλητή x = x έτσι ώστε x = αντιστοιχεί στην έξοδο της γραμμής (φορτίο) και x = l στην είσοδο. Οι εξισώσεις γίνονται τότε: Στο φορτίο έχουμε x = και U(x ) = U + eγx + U e γx και I(x ) = 1 Z (U + eγx U e γx ) Οπότε U() = U + + U και I() = 1 (U + Z U ) και Z L = U() I() U + + U = Z L Z (U + U ) Γ L = U U + = Z L Z Z L + Z 23

ο συντελεστής ανάκλασης της τάσης στο φορτίο. Με την ίδια διαδικασία έχουμε επίσης τον συντελεστή ανάκλασης του ρεύματος στο φορτίο Γ L = I I + = U U + = Z Z L Z L + Z = Γ L Ο συντελεστής ανακλάσεως είναι μιγαδικός αριθμός, Γ = Γ e θ Γ, με μέτρο Γ 1 να φανερώνει κατά πόσο αλλάζει το μέτρο της ανακλωμένης τάσης ή ρεύματος σε σχέση με την προσκείμενη και με την γωνία θ Γ να δείχνει πόσο αλλάζει η φάση της ανακλωμένης τάσης ή ρεύματος σε σχέση με την προσκείμενη. Οι εξισώσεις της γραμμής μεταφοράς σε τυχαίο σημείο x γίνονται τότε: U(x ) = U + eγx (1 + Γ L e 2γx ) και I(x ) = U + eγx Z (1 Γ L e 2γx ) και με ορισμό του γενικευμένου συντελεστή ανάκλασης Γ(x ) = Γ L e 2γx γίνονται U(x ) = U + eγx (1 + Γ(x )) και I(x ) = U + eγx Z (1 Γ(x )) Ορίζουμε την εμπέδηση της γραμμής σε κάποιο σημείο x ως Z(x ) = U(x ) I(x ) = Z 1 + Γ(x ) 1 Γ(x ) Το νόημα της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι αν «κόψουμε» τη γραμμή στο σημείο x και «τοποθετήσουμε» εκεί μια εμπέδηση Z(x ) το τμήμα αριστερά δεν καταλαβαίνει την αλλαγή και συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν το «κόψιμο». Η Z(x ) είναι ίση με την εμπέδηση του υπολοίπου τμήματος στα δεξιά, συμπεριλαμβανομένου και του φορτίου Z L. Επομένως η εμπέδηση εισόδου μπορεί να γραφεί και ως: Z i = Z(l) = U(l) I(l) = Z 1 + Γ(l) 1 Γ(l) = = Z Z L + Z tanh(γl) Z + Z L tanh(γl) Ο εναλλακτικός αυτός τρόπος είναι πιο εύχρηστος εφόσον ο συντελεστής ανάκλασης μπορεί να μετρηθεί πιο εύκολα στο εργαστήριο. Όπως είδαμε παραπάνω η τάση σε κάποιο τυχαίο σημείο x είναι U(x ) = U + eγx (1 + Γ(x )) το άθροισμα ενός προσκείμενου U π και ενός ανακλώμενου U α κύματος τάσης. Σε κάποια σημεία η προσκείμενη και ανακλώμενη τάση συμβάλουν θετικά με μέγιστο και σε κάποια άλλα σημεία συμβάλουν αρνητικά με U max = U π + U α = U π + Γ U π = U π (1 + Γ ) U min = U π U α = U π Γ U π = U π (1 Γ ) Αυτό σημαίνει ότι εν γένει η προσκείμενη και ανακλώμενη τάση μας δημιουργεί κάποιο στάσιμο κύμα. Το παρακάτω κομμάτι κώδικα g=j*.5; x=:.1:3; G=.7; U=exp(g.*x).*(1+G*exp(-2*g.*x)); plot(x,abs(u)); grid; xlabel( x ) μας δείχνει τη μορφή του στάσιμου κύματος (σχ. 16) για κάποιες τιμές των παραμέτρων μιας γραμμής μεταφοράς. Μπορείτε και εσείς να πειραματιστείτε. Ορίζουμε τον λόγο της μέγιστης τιμής του μέτρου U max προς την ελάχιστη τιμή του μέτρου U min σαν τον λόγο στασίμου κύματος τάσης (voltage standing wave ratio, VSWR) 24 S = U max U min = 1 + Γ 1 Γ

Σχήμα 16: Στάσιμο κύμα όπου φαίνονται μέγιστα και ελάχιστα στο κύμα τάσης. Είναι ένα μέγεθος που δείχνει το βαθμό των ανακλάσεων μέσα σε μια γραμμή μεταφοράς. Όσο πιο μεγάλο είναι το S τόσο πιο πολύ ενέργεια παραμένει εγκλωβισμένη στη γραμμή στα στάσιμα κύματα που δημιουργούνται από τις ανακλάσεις. Το S μπορεί να μετρηθεί σχετικά εύκολα στο εργαστήριο και από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο Γ = S 1 S + 1 Ορισμένες χαρακτηριστικές τιμές για την περίπτωση άνευ απωλειών Γ = S = 1 όταν Z L = Z (ταιριασμένο φορτίο) Γ = 1 S όταν Z L = (βραχυκύκλωμα) Γ = +1 S όταν Z L (ανοικτό κύκλωμα) 12 Η γραμμή μεταφοράς σαν στοιχείο κυκλώματος Οι γραμμές μεταφοράς χρησιμοποιούνται για την μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας και πληροφορίας μεταξύ δυο σημείων. Μπορούν όμως επίσης να χρησιμοποιηθούν και σαν στοιχεία κυκλωμάτων με χρήσιμες ιδιότητες ειδικά για συχνότητες από 3 MHz (λ = 1m) έως 3 GHz (λ =.1m). Σε αυτές τις συχνότητες η κατασκευή των συνήθων διακριτών στοιχείων παρουσιάζουν δυσκολίες και η επίδραση τυχόν παρασιτικών ηλεκτρικών πεδίων γίνεται μεγαλύτερη. Τμήματα γραμμών μεταφοράς μπορούν να δώσουν επιθυμητά επαγωγικά ή χωρητικά χαρακτηριστικά σε κάποιο κύκλωμα και να συνδέσουν κατάλληλα τυχαία φορτία με γεννήτριες για μέγιστη μεταφορά ισχύος. Για συχνότητες < 3 MHz οι φυσικές διαστάσεις των γραμμών μεταφοράς γίνονται πολύ μεγάλες ενώ για συχνότητες > 3 GHz γίνονται πολύ μικρές. Στην τελευταία περίπτωση ενδείκνυται η χρήση κυματοδηγών. Όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, για ευκολία στις πράξεις και χωρίς μεγάλο σφάλμα, θεωρούμε συνήθως τα τμήματα γραμμών μεταφοράς να έχουν μηδενικές απώλειες, δηλ. R =, G =, γ = jb, tanh γl = j tan(bl). Η εμπέδηση εισόδου γίνεται τότε Z i = R Z L + jr tan(bl) R + jz L tan(bl) Ω όπου θέσαμε Z = R εφόσον η χαρακτηριστική εμπέδηση είναι καθαρά ωμική. Διακρίνουμε τις εξης περιπτώσεις: 1. Ανοικτό κύκλωμα τερματισμού (Z L ). Έχουμε τότε Z i = lim [R Z L + jr tan(bl) Z L R + jz L tan(bl) ] = j R tan(bl) = jr cot(bl) Ανάλογα με την τιμή της cot(bl) που εξαρτάται από τη συχνότητα και το φυσικό μήκος της γραμμής μεταφοράς, η Z i μπορεί να είναι καθαρά επαγωγική ή χωρητική. Για την περίπτωση μάλιστα όπου το φυσικό μήκος είναι πολύ μικρότερο του μήκους κύματος bl 1 έχουμε tan bl bl και Z i = j R bl = j L/C ω LCl = j 1 ωcl 25