Βασικές γώσεις Μαθηµατικώ Α και Β Λυκείου που πρέπει α ξέρουµε για α ξεκιήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Επιµέλεια Όµηρος Κορακιαίτης Προσθήκες διορθώσεις: Θεολόγος Πααγιωτίδης
Άλγεβρα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Ότα έα γιόµεο παραγότω είαι µηδέ τι συµπέρασµα µπορούµε α βγάλουµε; Ότα έα γιόµεο παραγότω είαι µηδέ, τότε έας τουλάχιστο από τους παράγοτες του πρέπει α είαι µηδέ. Για παράδειγµα, α α β γ = 0 α = 0 ή β = 0 ή γ = 0. ( )(+)= 0 = 0 ή +=0 = ή = - Ότα έα κλάσµα είαι µηδέ τι συµπεράσµατα µπορούµε α βγάλουµε; Ότι ο αριθµητής είαι µηδέ (Προσοχή! Ο παροοµαστής είαι πάτα διαφορετικός από + το µηδέ). Για παράδειγµα, = 0 += 0 και 0 = ή =. - Τι µπορούµε α κάουµε και στα δύο µέλη µιας ισότητας; α) Μπορούµε α προσθέσουµε και στα δύο µέλη µιας ισότητας το ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει: α = β α + γ = β + γ β) Μπορούµε α πολλαπλασιάσουµε τα δύο µέλη µιας ισότητας µε το ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει: α = β α γ = β γ, γ 0 γ) Μπορούµε α διαιρέσουµε και τα µέλη µιας ισότητας µε το ίδιο µη µηδεικό α- ριθµό. Μη ξεχάµε ότι διαίρεση είαι πολλαπλασιασµός µε το ατίστροφο! - Τι οοµάζουµε δύαµη α v ; ύαµη α, µε βάση έα πραγµατικό αριθµό α και εκθέτη έα φυσικό αριθµό είαι έα γιόµεο παραγότω, που ο καθέας είαι ίσος µε το α i) α v = α α α α ( παράγοτες) δηλαδή φορές. ii) A =, τότε ισχύει α = α iii) Α = 0, και α 0, τότε είαι: α 0 =. - Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάµεω; κ κ α α κ α λ = α κ+λ = α, β β β 0 κ α α κ λ κλ λ ( α ) = α = ( α ) κ κ κ λ = α, α 0 (α β) κ = α κ β κ κ a = λ κ - Βασικές ταυτότητες: α) (α + β) = α + αβ + β β) (α β) = α αβ + β γ) (α+β) (α β) = α β δ) α β = (α β)(α + αβ + β ) ε) α + β = (α+β) (α αβ + β ) στ) (α + β) = α + α β + αβ + β ζ) (α β) = α α β + αβ β η) α β = (α β)(α - + α - β + +αβ - +β - ) θ) α + β + γ αβγ = (α+β+γ)[ (α β) (β γ) (γ α) ] κ) Α α + β + γ = 0, τότε α +β +γ = αβγ, α 0 a
Προσοχή! Τις ταυτότητες πρέπει α τις βλέπουµε και ως Άραβες (δηλαδή από τα δεξιά προς τα αριστερά), για παράδειγµα, 9 = = ( )(+) και έχουµε κάει παραγοτοποίηση, δηλαδή γιόµεο παραγότω. - Πότε λέµε ότι έας αριθµός α είαι µεγαλύτερος από το αριθµό β; Έας αριθµός α λέµε ότι είαι µεγαλύτερος από το β, ότα η διαφορά α β είαι θετικός αριθµός: Ισχύει: α > β α β > 0 - Ποιες ιδιότητες ισχύου στις αισότητες; i) Α α >0 και β >0, τότε α + β > 0 (Το άθροισµα θετικώ αριθµώ είαι θετικό) ii) Α α < 0 και β < 0, τότε α + β <0 (Το άθροισµα αρητικώ αριθµώ είαι αρητικό) α iii) Α α, β οµόσηµοι α β >0 και > 0 β α iv) Α α, β ετερόσηµοι α β <0 και < 0 β v) Για κάθε α R ισχύει: α 0. vi) Για τη διάταξη ισχύει: α < β και β < γ α < γ (µεταβατική ιδιότητα) - Τι µπορούµε α κάουµε και στα δύο µέλη µιας αισότητας; i) Μπορούµε α προσθέσουµε το ίδιο αριθµό στα µέλη µιας αισότητας. ηλαδή: Α α > β, τότε ισχύει α + γ > β + γ ii) Μπορούµε α πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας αισότητας µε το ίδιο θετικό αριθµό, οπότε προκύπτει αισότητα µε τη ίδια φορά. ηλαδή: Α γ > 0 και α > β, τότε α γ >β γ iii) Μπορούµε α πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας αισότητας µε το ίδιο αρητικό α- ριθµό, οπότε προκύπτει αισότητα µε ατίθετη φορά. ηλαδή: Α γ < 0 και α > β, τότε ισχύει α γ < β γ ηλαδή πρέπει α ξέρουµε το πρόσηµο του αριθµού µε το οποίο πολλαπλασιάζουµε και τα µέλη µιας αισότητας! (βλέπε π.χ. σελίδα 9) Παράδειγµα: Να λυθεί η αίσωση (κλασµατική αίσωση γιατί ο άγωστος είαι στο παροοµαστή) Λύση: + 0 (τα κάουµε οµώυµα). ( + ) ( ) ( )( ) + + ( + ) 0 0 ( ) ( ) + 0 ( + ) ( ) 0, που µηδείζεται στα σηµεία, 0 και. ( ) 0 + ή 0 + + Περιορισµοί: 0 και. (+) + + + Άρα το σύολο λύσεω είαι ή (-) + 0 < < (, ] U (0,) (+) (-) + +
- Τι µπορούµε α κάουµε µε δύο αισότητες; α) Μπορούµε α τις προσθέσουµε κατά µέλη, ότα έχου τη ίδια φορά, οπότε προκύπτει αισότητα µε τη ίδια φορά. ηλαδή: α > β Α, τότε α + γ > β + δ γ > δ β) Μπορούµε α τις πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη, ότα έχου τη ίδια φορά και θετικούς όρους, οπότε προκύπτει αισότητα µε τη ίδια φορά. ηλαδή: α > β Α α, β, γ, δ > 0 και, τότε ισχύει α γ > β δ γ > δ - Α α, β 0 και N, τότε ισχύου: α) α β α β v και β) α > β α > v β - Α δύο αριθµοί α, β είαι οµόσηµοι, τότε ο ατίστροφος του µεγαλύτερου είαι µικρότερος από το ατίστροφο του µικρότερου, δηλαδή: Α α, β οµόσηµοι και α > β, τότε < α β - Τι οοµάζουµε ιοστή ρίζα εός µη αρητικού αριθµού α; Είαι ο µη αρητικός αριθµός, που ότα υψωθεί στη, δίει α. ηλαδή: v α = = α, 0 - Ιδιότητες τω ριζώ Η ρίζα είαι δύαµη! Πράγµατι, ) Α α 0 τότε ( α) = α / α = α ) α = α α o είαι άρτιος και α = α, α ο είαι περιττός. π.χ. α = α, α = α ) Α α, β 0, τότε: α β = α β α α 4) Α α, β 0 µε β 0, τότε: = β β κ 5) Α α, β 0 και κ, θετικοί ακέραιοι, τότε: ( α) κ 6) Α α 0 και µ, θετικοί ακέραιοι, τότε: 7) Α α 0 και µ,, ρ θετικοί ακέραιοι, τότε: α = και α β = α β µ µ α = α ρ µ ρ µ α = α µ / 8) Α α > 0 και µ Ζ και θετικός ακέραιος, τότε: α = α µ ε χρειάζεται α ξέρετε «απ έξω» αυτές τις ιδιότητες!! Είαι ίδιες µε αυτές τω δυά- µεω, π.χ. µ µ µ µ µ µ α = α = α = α = α = Προσοχή! Ότα έχουµε εξισώσεις µε ρίζες για α τις «διώξουµε» υψώουµε στο τετράγωο. Με το τρόπο αυτό άθελά µας εισάγουµε και έες «αεπιθύµητες» ρίζες. Για το λόγο αυτό ελέγχουµε µια µια τις ρίζες που βρήκαµε α επαληθεύου τη αρχική εξίσωση, α όχι τις απορρίπτουµε. Παράδειγµα: Να λύσετε τη εξίσωση Περιορισµοί: Θα πρέπει 0. Άρα ( ) = 6 α = = και η αρχική εξίσωση γράφεται:
( ) ( 6 ) = =6 + +6 = 0 =4 ή =9 Επααλήθευση: 4 = ±, ισχύει µόο για τη θετική τιµή της ρίζα, αφού = 6 4 και 6 4 Επίσης 9 = ± ισχύει µόο για τη αρητική τιµή της ρίζας, αφού = 6 9 και 6 9 - Πως παραγοτοποιούµε το τριώυµο α + β + γ µε α 0; Προσοχή! Το τριώυµο εµφαίζεται πατού! Είαι το αλάτι τω µαθηµατικώ! α) Α > 0, τότε το τριώυµο έχει δύο ρίζες, έστω ρ < ρ και τρέπεται σε γιόµεο: α + β + γ = α( ρ )( ρ ) β) Α = 0, τότε το τριώυµο έχει µια διπλή ρίζα, έστω τη ρ και έχουµε: α + β + γ = α( ρ) γ) Α <0, τότε το τριώυµο δε έχει πραγµατικές ρίζες και δε παραγοτοποιείται. - Ποιο το πρόσηµο του τριωύµου α + β + γ µε α 0 και R; α) Α >0, τότε έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άισες, τις < και έχουµε: + οµόσηµο ετερόσηµο οµόσηµο f() του α 0 του α 0 του α Εποµέως το τριώυµο έχει το πρόσηµό του α (οµόσηµο του α) ότα το παίρει τι- µές εκτός του διαστήµατος τω ριζώ και ατίθετο πρόσηµο (ετερόσηµο του α) µόο ότα το παίρει τιµές αάµεσα στις ρίζες του τριωύµου. β) Α =0, τότε για το πρόσηµο του f() έχουµε το παρακάτω πίακα: β/α + f() οµόσηµο οµόσηµο του α 0 του α β Εποµέως το f() είαι οµόσηµο του α σε όλο το R εκτός του, όπου είαι µηδέ. α γ) Α <0, τότε το τριώυµο είαι οµόσηµο του α για κάθε R. Συοψίζοτας, η µόη περίπτωση που το τριώυµο είαι ετερόσηµο του α είαι ό- τα < < όπου, είαι οι ρίζες του τριωύµου. Άθροισµα και γιόµεο ριζώ τριωύµου: Για κάθε τριώυµο α + β + γ = f() µε ρίζες, ισχύει + = β/α και = γ/α Προσοχή! Εδώ (όπως και στις εξισώσεις µε ρίζες) υπάρχου περιορισµοί! - Κλασµατικές εξισώσεις: Ότα ο άγωστος βρίσκεται στο παροοµαστή. Προσοχή! Εδώ (όπως και στις εξισώσεις µε ρίζες) υπάρχου περιορισµοί! 0 0 Παράδειγµα: Να λύσετε τη εξίσωση = + + Λύση: Περιορισµοί: + 0 και + 0 Πολλαπλασιάζουµε τη αρχική εξίσωση µε το ΕΚΠ (ελάχιστο κοιό πολλαπλάσιο) τω 0 0 παροοµαστώ, ( + )( + ) ( + )( + ) = ( + )( + ) + + 4
( ) ( + )( + ) = 0( ) 0 + + +5 4=0 = ή = 7 και οι δύο δε αήκου στους παραπάω περιορισµούς, άρα είαι δεκτές. - Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού Ορισµός: α α α 0 α = α αα < 0 - Ιδιότητες τω απόλυτω τιµώ ) a 0 a α και a α εώ a = α ) Α θ > 0, τότε: = θ = θ ή = θ = α = α ή = α ) Α θ > 0, τότε: <θ θ < < θ 4) Α θ > 0, τότε: >θ < θ ή > θ 5) α = α Προσοχή! η ρίζα και το τετράγωο φεύγου και αφήου πίσω τους τη απόλυτη τιµή! Σε ορισµέες περιπτώσεις για α διώξουµε τη απόλυτη τιµή «συµφέρει» α υψώσουµε στο τετράγωο, για παράδειγµα η εξίσωση + = = =( ) += 4+4 = =/ εώ σε άλλες όχι, για παράδειγµα: Να λυθεί η εξίσωση + = Λύση: Εδώ φτιάχουµε πιακάκι µε τις ρίζες κάθε παράγοτα ( και ) + + 0 + + 0 + + Άρα έχουµε: Για < : += = =/ < δεκτή ρίζα Για : = αδύατη Για > = =5 =5/ > δεκτή ρίζα. Παραγοτοποίηση πολυωύµου: Για α γράψουµε έα πολυώυµο ως γιόµεο πρωτοβάθµιω παραγότω ( ρ) θα χρησιµοποιήσουµε τα παρακάτω θεωρήµατα: Θεώρηµα 0 : Έα πολυώυµο P() έχει παράγοτα το ρ α και µόο α το ρ είαι ρίζα του P(), δηλαδή α και µόο α P(ρ)=0 Θεώρηµα 0 : Α ο ακέραιος ρ ( 0) είαι ρίζα της πολυωυµικής εξίσωσης α + α - - + +α + α 0 = 0 µε ακέραιους συτελεστές α 0, α,,α τότε ο ρ είαι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Με άλλα λόγια πρώτα ψάχουµε στους διαιρέτες του σταθερού όρου, ελπίζοτας α βρούµε κάποια ρίζα και µετά κάουµε πολυωυµική διαίρεση, όπως φαίεται στο παρακάτω παράδειγµα: 5
Παράδειγµα: Να παραγοτοποιήσετε το πολυώυµο P() = + + και στη συέχεια α λύσετε τη εξίσωση P() = 0 Λύση: Οι πιθαές ακέραιες ρίζες είαι οι διαιρέτες του δηλαδή ±, ±. Με δοκιµές βρίσκουµε P() = 0 άρα το είαι παράγοτας (δηλαδή διαιρεί ακριβώς) του P(). Στη συέχεια κάουµε πολυωυµικές διαιρέσεις: + + + ιαιρούµε το µε το και προκύπτει + Πολλαπλασιάζουµε και αλλάζουµε πρόσηµο + Προσθέτουµε και κατεβάζουµε το επόµεο όρο + + 0 Υπόλοιπο 0 (άρα τέλεια διαίρεση) Άρα P() = ( )( ) Το τριώυµο έχει ρίζες 5 + 5 P() = ( ) ( )( ) 5 και + 5 άρα τελικά 5 P() = 0 = ή = + 5 ή = - Συστήµατα Γραµµικώ Εξισώσεω Έστω έα γραµµικό σύστηµα (, δηλαδή εξισώσεω µε αγώστους): α + β y = γ (Σ) µε α,β,γ R α + β y = γ Η πιο απλή µέθοδος επίλυσής του είαι η ατικατάσταση, δηλαδή λύουµε τη πρώτη ε- ξίσωση ως προς το έα άγωστο (π.χ. το y) και ατικαθιστούµε στη δεύτερη. Μια άλλη µέθοδος επίλυσης είαι µε ορίζουσες (εδείκυται ότα έχουµε παραµετρικά συστήµατα). α β γ β α γ D =, D =, D y= α α γ α α γ D Dy Τότε: α) α D 0 το σύστηµα έχει µοαδική λύση =, y= D D β) α D = 0 και (D 0 ή Dy 0) τότε το σύστηµα είαι αδύατο γ) α D = 0 και D = 0 και Dy = 0 τότε το σύστηµα είαι αόριστο(απαιτείται επιπλέο διερεύηση) Παράδειγµα: λ y= λ Να λυθεί το σύστηµα λ y= λ Παρατηρούµε ότι οι συτελεστές και οι σταθεροί όροι δε είαι όλοι συγκεκριµέοι αριθ- µοί αλλά µπορεί α εξαρτώται από παραµέτρους (λ). Πρέπει εποµέως, για τις διάφορες τιµές του λ, α εξετάσουµε πότε προκύπτει σύστηµα που έχει µοαδική λύση τη οποία και α βρούµε ή πότε προκύπτει σύστηµα αδύατο ή µε άπειρες λύσεις: Η εργασία αυτή λέγεται διερεύηση. Έχοτας υπόψη το παρακάτω πίακα, ακολουθούµε τα εξής βήµατα - Βήµα : Υπολογίζουµε τις ορίζουσες D, D, Dy: 6
Έχοµε: λ D = λ = λ + λ = λ(λ ) λ D = = (λ ) + λ = λ λ λ D y= λ λ = λ λ (λ ) = λ ( λ+) = λ ( λ) λ - Βήµα : Βρίσκουµε τις τιµές της παραµέτρου, για τις οποίες είαι D = 0 Έχουµε: D = 0 λ (λ ) = 0 λ = 0 ή λ = - Βήµα : Εξετάζουµε περιπτώσεις αάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου λ. i) Α λ 0 και λ, τότε είαι D 0 και εποµέως το σύστηµα έχει µια και µοαδική λύση, τη: D λ ( λ ) = = = = D λ λ λ λ ( ) ( λ) ( λ ) Dy λ y = = = D λ ii) Α λ = 0, τότε το σύστηµα γίεται: 0 y = 0 y= ή 0 y= 0 y= 0 iii) Α λ =, τότε το σύστηµα γίεται: y= y= ή 4 y= y= ( ) λ λ ( λ ) λ( λ ) = λ που είαι αδύατο που έχει άπειρες λύσεις Επειδή y = y =, λύσεις του συστήµατος στη περίπτωση αυτή είαι όλα τα ζεύγη της µορφής (, ), όπου οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. - Πρόοδοι: - Αριθµητική πρόοδος (ΑΠ), είαι η ακολουθία τω αριθµώ (όρω) α, α, α,,α, όπου ο κάθε όρος προκύπτει από το προηγούµεο συ κάποιο σταθερό µη µηδεικό αριθµό που λέγεται διαφορά ω, δηλαδή α = α + ( ) ω (µε ω 0) είαι ο γεικός (- οστός) όρος α+ α και S = [ α + ( ) ω] = είαι το άθροισµα τω -πρώτω όρω της ΑΠ - Γεωµετρική Πρόοδος (ΓΠ) είαι η ακολουθία α, α, α,.α, όπου ο κάθε όρος προκύπτει από το προηγούµεο επί κάποιο σταθερό ( 0 και ) αριθµό, δηλαδή α = α α λ- ( λ ) είαι ο γεικός ( οστός) όρος και S = είαι το άθροισµα τω - λ α πρώτω όρω της ΓΠ και S = είαι το άθροισµα απείρω πρώτω όρω της ΓΠ λ ότα < λ < και λ 0. 7
- Εκθετική συάρτηση Έστω α έας θετικός αριθµός. Για κάθε ΙR ορίζεται η δύαµη α (βλέπε σελ. ). Επο- µέως ατιστοιχίζοτας κάθε ΙR στη δύαµη α, ορίζουµε τη συάρτηση: f: IR IR µε f() = α, η οποία, στη περίπτωση που είαι α, λέγεται εκθετική συάρτηση µε βάση το α. (Α είαι α =, τότε έχουµε τη σταθερή συάρτηση f() = ) Η συάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συάρτηση της µορφής f() = α µε α >, έχει τις εξής ιδιότητες: Έχει πεδίο ορισµού το IR. (δείτε σελίδα 4) Έχει σύολο τιµώ (δείτε σελίδα 4) το διάστηµα (0, + ) τω θετικώ πραγµατικώ α- ριθµώ. Είαι γησίως αύξουσα στο IR. ηλαδή για κάθε, IR ισχύει : α <, τότε α < α που χρησιµοποιείται στη επίλυση αισώσεω Η γραφική της παράστασης τέµει το άξοα y, y στο σηµείο Α(0,) και έχει ασύµπτωτη το αρητικό ηµιάξοα τω. και επιπλέο: ΟΛΕΣ τις ιδιότητες τω δυάµεω που παρουσιάστηκα παραπάω (σελίδα ). Παρόµοιες ιδιότητες έχει και η συάρτηση f()=α µε 0<α<, µόο που είαι γησίως φθίουσα στο R και έχει ασύµπτωτη το θετικό ηµιάξοα τω. Σχόλιο: Από τη µοοτοία της εκθετικής συάρτησης f() = α µε 0<α, προκύπτει ότι: α τότε α α οπότε, µε απαγωγή σε άτοπο, έχουµε ότι : α α = α, τότε =. Εποµέως, ισχύει η ισοδυαµία: α = α = που εφαρµόζεται στη επίλυση εξισώσεω. Παραδείγµατα: ο. Να λυθού οι εξισώσεις: i) = ii) 9 8 9 = 0 64 Λύση i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = = 6 = 6 = [Επειδή η εκθετική συάρτηση είαι ] 64 ii) H εξίσωση γράφεται 8 9 = 0 ( ) 8 9 = 0 επειδή 9= και ( ) = Α θέσουµε = y, αυτή ισοδυαµεί µε το τριώυµο y 8 y 9 = 0 το οποίο έχει ρίζες τους αριθµούς και 9. Εποµέως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις τω εξισώσεω: = και = 9. Απ αυτές η πρώτη είαι αδύατη, αφού < 0, εώ η δεύτερη γράφεται = και έχει ρίζα το =, που είαι και µοαδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης. ο. Να λυθού οι αισώσεις: i) Λύση i) Έχουµε > 9 ii) + < 4 8
> > > + > 0 < ή > 9 διότι η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα σύµφωα µε τα παραπάω. ii) Έχουµε + + < < + > + > 0 < ή > 4 διότι η συάρτηση (/) είαι γησίως φθίουσα σύµφωα µε τα παραπάω. - Λογάριθµοι: Έοια λογάριθµου: Σε ποιό αριθµό πρέπει α υψώσω το e ώστε α πάρω ; Η απάτηση είαι y. Οµοίως, και πιο εύκολα καταοητό, ότα η βάση είαι κάποιος άλλος θετικός αριθµός ( ) π.χ., δηλαδή, σε ποιό αριθµό πρέπει α υψώσω το ώστε α πάρω 8; Η απάτηση είαι log 8 = γιατί = =8! Γι αυτό η λογαριθµική είαι η ατίστροφη συάρτηση της εκθετικής! - Ιδιότητες λογαρίθµω: ln( y) = ln + lny 9 ln(/y) = ln lny ln κ = κ ln ln = 0 lne = Σε όλες τις ιδιότητες, y > 0. Οι ίδιες ιδιότητες ισχύου και για log (δηλαδή λογάριθµο µε βάση το 0). Ορισµός βασική έοια λογαρίθµου: ln = y = e y (και log =y =0 y ) (το e είαι η βάση του λογαρίθµου, δηλαδή log e = ln. Επίσης είαι η βάση και της εκθετικής συάρτησης. Οµοίως για το 0 ότα έχουµε log) - Που χρησιµοποιούται οι λογάριθµοι; Πατού, αλλά κυρίως στη αάλυση. Για παράδειγµα στο 0 θέµα τω Παελλαδικώ εξετάσεω 004 στα Μαθηµατικά κατεύθυσης Γ Λυκείου έπρεπε α λύσει ο µαθητής τη εξίσωση: ln + = 0 (ln + ) = 0 - Λογάριθµοι και εξισώσεις αισώσεις. Επειδή οι συαρτήσεις y = ln και y = log είαι γησίως αύξουσες ισχύει > ln >ln (οµοίως για log). Με τη ιδιότητα αυτή λύουµε λογαριθµικές αισότητες. Επίσης ισχύει = ln = ln δηλαδή είαι συαρτήσεις. Με τη ιδιότητα αυτή λύουµε λογαριθµικές εξισώσεις όπως στα πιο κάτω παραδείγµατα. Για παράδειγµα στις Παελλαδικές 004, Μαθηµατικά ΓΠ Β Λυκείου 4 0 Θέµα, κατα- λήγαµε στη αισότητα ln ln ln γιατί η συάρτηση y = ln 5 5 είαι γησίως αύξουσα. Άρα ln ln ln Όµως το ln < 0 γιατί < οπότε 5 5 5 ln α διαιρέσω πατού µε ln παίρω 0 (δηλαδή αλλάζει η φορά!) 5 ln5 Επίσης στη Φυσική Γεικής Παιδείας στις Παελλαδικές Εξετάσεις 004 στο Θέµα 4 0 που ααφερότα στη διάσπαση ραδιεεργώ πυρήω καταλήγαµε στη εξίσωση N 0 N = N 0 N 0 N 0 9 = = + = λ t N 8 N 8 N 8 N e 8 0
τη οποία έπρεπε α λύσουµε ως προς t: t 9 9 9 e λ = λ t= ln t = ln 8 8 λ 8 Άλλο παράδειγµα από Παελλαδικές εξετάσεις είαι το ακόλουθο: Για τη µελέτη τω ακροτάτω (τοπικό µέγιστο ή/και τοπικό ελάχιστο) µίας συάρτησης καταλήγαµε στη επίλυση της εξίσωσης ( ln+)=0 = 0 ή ln + = 0 = 0 ή ln = = 0 ή = e /. Η πρώτη ρίζα απορρίπτεται γιατί το πεδίο ορισµού της ln είαι το (0, + ). Άρα καταλήγουµε στη δεύτερη ρίζα = e / =. e Στη συέχεια για α µελετήσουµε τη συάρτηση ως προς τη µοοτοία (γησίως αύξουσα ή φθίουσα) έπρεπε α λύσουµε τη αίσωση: (ln +) > 0 ln + >0 αφού ήδη ξέρουµε ότι (0, + ) δηλαδή >0. Άρα έχουµε ln + > 0 ln > / Πρέπει α θυµηθούµε ότι η συάρτηση y=ln είαι γησίως αύξουσα, δηλαδή lnα>lnβ α>β. ln > / ln > lne -/ >e -/ > e (το αποτέλεσµα αυτό φάηκε άσχηµο στους µαθητές και σε ορισµέους καθηγητές αλλά ο αριθµός e είαι από τους σηµατικότερους στη ιστορία τω Μαθηµατικώ και εµφαίζεται σε µία από τις πιο όµορφες, σηµατικές και πλήρεις εξισώσεις τη e iπ + =0!). - Ευθεία και Κωικές Τοµές: Γραµµή Εξίσωση Παρατηρήσεις Ευθεία y = λ +β Έχει συτελεστή διεύθυσης λ και τέ- µει το άξοα y y στο σηµείο (0,β) Ευθεία y y = λ ( ) Έχει συτελεστή διεύθυσης λ και περά από το σηµείο ( o o o, y o ) Ευθεία = Κατακόρυφη ευθεία για τη οποία δε 0 ορίζεται συτελεστής διεύθυσης Κύκλος ( o ) + (y y o ) = ρ Έχει κέτρο το σηµείο Κ(, y ) και α- o o κτία ρ Παραβολή y = p Έχει εστία στο σηµείο Ε(p/,0) και διευθετούσα τη ευθεία = p/ Έλλειψη y Έχει εστίες τα σηµεία Ε ( γ, 0), Ε(γ, 0) + = α β µε γ = α β Υπερβολή y Έχει εστίες τα σηµεία Ε ( γ, 0), Ε(γ, 0) = α β µε γ = α + β 0
y y - Συτελεστής διεύθυσης ευθείας λ = όπου A(,y ) και B(,y ) είαι σηµεία της ευθείας. Ισχύει λ=εφθ όπου θ η γωία που σχηµατίζει ο θετικός άξοας µε τη ευθεία. Α δύο ευθείες ε : y=λ +β και ε : y = λ + β είαι παράλληλες τότε έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης, δηλαδή ε //ε λ =λ Α δύο ευθείες ε : y=λ +β και ε : y=λ +β είαι κάθετες τότε το γιόµεο τω συτελεστώ διεύθυσής τους είαι, δηλαδή ε ε λ λ =. - Που χρησιµοποιούται; Κυρίως στους µιγαδικούς (εύρεση γεωµετρικώ τόπω) εώ η ευθεία εµφαίζεται πατού! (γεωµετρικοί τόποι, εφαπτοµέη καµπύλης κλπ) Παράδειγµα 0 : Σε πολλές περιπτώσεις µας ζητάε α βρούµε τη εξίσωση της µεσοκαθέτου του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ µε γωστά άκρα Α( A,y A ) και Β( B,y B ). H (ε) περάει από το Μ (το µέσο του ΑΒ) το οποίο έχει συτεταγµέες A+ B y A+ yb, και έχει συτελεστή διεύθυσης: y ym λ (ε ) = M για το οποίο ισχύει λ (ε) λ ΑΒ = αφού η (ε) ΑΒ. Άρα λ ε = και ( ) λ AB = y y λ =. B A B A λ AB ( ε ) B A yb y A yb + y A B A B A Άρα η (ε) έχει εξίσωση: y= + ( yb y A) yb y A (προσοχή! µε συγκεκριµέα ούµερα τα πράγµατα είαι πιο απλά!) Πρέπει α παρατηρήσουµε ότι όλα τα σηµεία της ευθείας (ε) ισαπέχου από τα Α και Β. Άρα η ευθεία (ε) είαι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω του επιπέδου που ισαπέχου από συγκεκριµέα γωστά σηµεία Α και Β, ή d(μ,α) = d(μ,β) όπου Μ(,y) (ε). Παράδειγµα 0 : Ο κύκλος είαι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω του επιπέδου που α- πέχου από έα συγκεκριµέο και γωστό σηµείο Κ( o,y o ) συγκεκριµέη και γωστή α- πόσταση ρ. ηλαδή, η εξίσωση του κύκλου C, ( o ) + (y y o ) = ρ είαι ισοδύαµη µε τη πιο απλή d(m,k) = ρ, όπου Μ(,y) C έα τυχαίο σηµείο του κύκλου, Κ το κέτρο του και ρ (>0) η ακτία του κύκλου. Πρέπει δηλαδή α καταοήσουµε τη ευθεία και τις κωικές τοµές µε το ορισµό τους, δηλαδή τη πραγµατική τους υπόσταση ως γεωµετρικούς τόπους.
- Τριγωοµετρία (για όχι και τόσο γερές µήµες) Πίακας τριγωοµετρικώ αριθµώ ορισµέω γωιώ. i ω ηµω συω εφω σφω 0 0 ο ή 0 rad 0 0 0 0 π ή rad 6 45 0 π ή rad 4 60 0 π ή rad δε ορίζεται 4 90 0 ή π rad 0 δε ορίζεται (γιατί ο παροοµαστής = 0) Μηµοικός καόας συµπλήρωσης του παραπάω πίακα: - Στήλη ηµιτόου: ηµϑ = i / 4, όπου i=0,,,, 4. - Στήλη συηµιτόου: η ατίστροφη σειρά της προηγούµεης - Στήλη εφαπτοµέης: από τη διαίρεση τω δύο προηγούµεω στηλώ (=ηµθ/συθ) - Στήλη συεφαπτοµέης: η ατίστροφη σειρά της προηγούµεης. Προσοχή! οι 80 0 µοίρες ατιστοιχού σε π rad, άρα µ (µοίρες) = 80 0 α (rad) / π Σχέσεις µεταξύ τριγωοµετρικώ αριθµώ: α) Ατιθέτω τόξω Τα ατίθετα τόξα, έχου το ίδιο συηµίτοο και ατίθετους όλους τους άλλους τριγωοµετρικούς αριθµούς δηλαδή: ηµ( ) = ηµ συ( ) = συ εφ( ) = εφ σφ( ) = σφ β) Παραπληρωµατικώ τόξω Τα παραπληρωµατικά τόξα, π έχου το ίδιο ηµίτοο και ατίθετους όλους τους άλλους τριγωοµετρικούς αριθµούς, δηλαδή: ηµ(π ) = ηµ συ(π ) = συ εφ(π ) = εφ σφ(π )= σφ γ) Συµπληρωµατικώ τόξω Στα συµπληρωµατικά τόξα, π το ηµίτοο του εός τόξου είαι το συηµίτοο του άλλου και η εφαπτοµέη του εός είαι συεφαπτοµέη του άλλου δηλαδή: ηµ( π ) = συ συ( π ) = ηµ εφ( π ) =σφ σφ( π )=εφ δ) Τόξω που διαφέρου κατά π Τα τόξα που διαφέρου κατά π:, π+ έχου ατίθετο ηµίτοο και συηµίτοο και ίση εφαπτόµεη και συεφαπτόµεη, δηλαδή: ηµ(π+) = ηµ συ(π+) = συ εφ(π+)=εφ σφ(π+) = σφ 0 - Άλλοι χρήσιµοι τύποι ηµ(α+β) = ηµα συβ + ηµβ συα συ(α+β) = συα συβ ηµα ηµβ εφα+ εφβ εφ( α+ β) = εφα εφβ ηµ(α-β) = ηµα συβ ηµβ συα συ(α-β) = συα συβ + ηµα ηµβ εφα εφβ εφ( α β) = + εφα εφβ
ηµα = ηµα συα συα = συ α + συ α συ α = () συα = συ α ηµ α συα = -ηµ α συ α ηµ α = () εφα εφα = Οι τύποι () και () λέγοται τύποι αποτετραγωισµού εφ α γιατί «φεύγου» τα τετράγωα. Προσοχή! Ο δεύτερος πίακας βγαίει από το πρώτο µε ατικατάσταση β=α. Γεικά η τριγωοµετρία θέλει περισσότερο καταόηση του τριγωοµετρικού κύκλου και κάποιω βασικώ σχέσεω παρά αποµηµόευση. - Τριγωοµετρικές εξισώσεις Για α λύσουµε µία τριγωοµετρική εξίσωση προσπαθούµε µετά τη εκτέλεση τω πράξεω α φτάσουµε σε µία από τις παρακάτω µορφές.( ίπλα σε καθεµιά δίεται η λύση της): = κπ+ θ ή α) ηµ = ηµθ, κ Z = κπ+ π θ β) συ = συθ = κπ± θ, κ Z γ) εφ = εφθ = κπ + θ, κ Ζ δ) σφ = σφθ = κπ + θ, κ Ζ Προσοχή! Ότα µας ζητού τις λύσεις µιας τριγωοµετρικής εξίσωσης σε συγκεκριµέο διάστηµα, π.χ. στο [0,π), τότε χρησιµοποιούµε τους παραπάω γεικούς τύπους και α- τικαθιστούµε το κ µε 0, ±, ± κλπ µέχρι α «βγούµε» έξω από το συγκεκριµέο διάστηµα, π.χ. [0,π). - Πώς ορίζουµε το ηµίτοο και το συηµίτοο µιας γωίας στο τριγωοµετρικό κύκλο και ποιες είαι οι άµεσες συέπειες του ορισµού; Α η τελική πλευρά της γωίας ω τέµει το τριγωοµετρικό κύκλο στο σηµείο Μ(,y), τότε: i) ηµω = y (η τεταγµέη του Μ) ii) συω= (η τετµηµέη του Μ) Άµεση συέπεια τω ορισµώ αυτώ είαι: Οι τιµές τω ηµω και συω δε µπορού α υπερβού κατ απόλυτη τιµή τη ακτία του κύκλου, δηλαδή το. Όπότε: ηµω και συω iii) Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα +y = έχουµε τη βασική τριγωοµετρική ταυτότητα ηµ ω + συ ω = για κάθε γωία ω. Τα πρόσηµα τω τριγωοµετρικώ αριθµώ αάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά τους φαίοται στο παρακάτω πίακα (για τους παπαγάλους, το ΟΗΕΣ). 0 0 0 4 0 ηµ + + συ + + εφ + + σφ + + θετικοί Όλοι Ηµιτ Εφ Συ
Ο τριγωοµετρικός κύκλος: Ο άξοας ατιστοιχεί στο συω και ο y y στο ηµω. Η ακτία του κύκλου είαι ίση µε. Συαρτήσεις (η πεµπτουσία τω µαθηµατικώ! ή όλα είαι συαρτήσεις) - Τι οοµάζουµε πραγµατική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α; Έστω Α έα µη κεό υποσύολο του R. Οοµάζουµε πραγµατική συάρτηση µε πεδίο ο- ρισµού το Α µια διαδικασία (function) f, µε τη οποία κάθε στοιχείο A ατιστοιχίζεται σε έα µόο πραγµατικό αριθµό y. Το y οοµάζεται τιµή της συάρτησης f στο και συµβολίζεται µε f(). Για α εκφράσουµε τη διαδικασία αυτή γράφουµε: f: Α R έτσι ώστε κάθε A f() = y R. Το, που παριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται αεξάρτητη µεταβλητή, εώ το γράµµα y που παριστάει τη τιµή της f στο, λέγεται εξαρτηµέη µεταβλητή (γιατί ε- ξαρτάται από το ). Το πεδίο ορισµού Α της f το παριστάουµε και µε D f. - Τι οοµάζουµε µαθηµατικό τύπο µιας συάρτησης; Η εξίσωση που δίει τη τιµή µιας συάρτησης στο λέγεται µαθηµατικός τύπος της συάρτησης. π.χ. για τη συάρτηση f για τη οποία έχουµε: + + ο µαθηµατικός τύπος της είαι f ( ) =. - Τι οοµάζουµε σύολο (ή πεδίο) τιµώ της συάρτησης f µε πεδίο ορισµού το Α; Είαι το σύολο που έχει για στοιχεία του τις τιµές της f σε όλα τα A, συµβολίζεται µε f(a). Είαι f(a) = {y R έτσι ώστε υπάρχει A µε y = f()} - Ποια στοιχεία πρέπει α δοθού για α οριστεί µια συάρτηση; Πρέπει α δοθού: α) Το πεδίο ορισµού της Α και β) Η τιµή της συάρτησης f() σε κάθε A, δηλαδή ο µαθηµατικός τύπος της συάρτησης. Προσοχή! Γεικά στη αάλυση α µας δώσου µόο το µαθηµατικό τύπο της συάρτησης θα πρέπει α βρούµε εµείς το πεδίο ορισµού της! - Ότα µιας συάρτησης δίεται µόο ο τύπος της, τότε ποιο είαι το πεδίο ορισµού της; Είαι το σύολο όλω τω πραγµατικώ αριθµώ, για τους οποίους το f() έχει όηµα, δηλαδή f() R. ιακρίουµε τις εξής βασικές περιπτώσεις: Α η συάρτηση είαι κλασµατική τότε βρίσκουµε τις ρίζες του παραοµαστή και τις εξαιρούµε από το R. + π.χ. ότα δοθεί ο τύπος f ( ) = της συάρτησης f, βρίσκουµε τις ρίζες του παροοµαστή λύοτας τη εξίσωση = 0 ( = ή = ) Οπότε το πεδίο ορισµού της f είαι Α = R {,}. 4
Α η συάρτηση είαι άρρητη, τότε εξαιρούµε από το R τις τιµές του που κάου το υπόρριζο αρητικό, δηλαδή το υπόρριζο α είαι µη αρητικό. π.χ. α f ( ) = 4, τότε πρέπει: 4 0 ή (το τριώυµο πρέπει α είαι θετικό ή µηδέ, δηλαδή οµόση- µο του ). Άρα το πεδίο ορισµού της f είαι Α = (, ] [, + ). Η συάρτηση f() = α, α, α>0 έχει πεδίο ορισµού το R. H συάρτηση f() = log α, α, α >0 έχει πεδίο ορισµού το Α= (0, + ) Α η συάρτηση περιέχει log α, ή ln τότε η ποσότητα που λογαριθµίζεται πρέπει α είαι θετική (αυστηρά, δηλαδή >0). π.χ. f() = ln( 5 +4) Πρέπει 5 + 4>0 (τι σας έλεγα για το τριώυµο;) 5 5+ Είαι = 5 6= 9 και = =, = = 4. Κάουµε πίακα προσήµω του 5 + 4 4 + 5 + 4 + 0 0 + Άρα το πεδίο ορισµού της συάρτησης f είαι: D f = (, ) (4, + ). Συδυασµός τω παραπάω: π.χ. f ( ) =, όπου θα πρέπει ο παροοµαστής 5+ 4 α είαι διαφορετικός από µηδέ και η υπόριζη ποσότητα (το τριώυµο) α είαι θετική, άρα 5+4>0 ( )( 4)>0 < ή >4, δηλαδή Α=(,) (4, + ). - Τι οοµάζουµε γραφική παράσταση συάρτησης f που έχει πεδίο ορισµού Α; Είαι το σύολο τω σηµείω Μ(,y) για τα οποία ισχύει y = f(), δηλαδή το σύολο τω σηµείω Μ(,f()), A. Η γραφική παράσταση της συάρτησης f συµβολίζεται µε C f. Προσοχή! όλα τα σηµεία που αήκου στη C f ικαοποιού τη σχέση y=f() και ατιστρόφως, όλα τα ζεύγη αριθµώ (,y) που ικαοποιού τη σχέση y = f() είαι σηµεία της C f. - Τι οοµάζουµε εξίσωση της γραφικής παράστασης της συάρτησης f; Οοµάζουµε τη εξίσωση: y = f() π.χ. για τη συάρτηση f() = + 5 η εξίσωση της γραφικής παράστασης είαι η ευθεία µε εξίσωση y = + 5 - Πώς µπορούµε α καταλάβουµε ότι µια γραµµή είαι γραφική παράσταση συάρτησης; Ότα οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία έχει µε τη γραµµή το πολύ έα κοιό σηµείο. Ο κύκλος δε είαι συάρτηση! Η γραφική του παράσταση και η ευθεία = 0 τέµοται σε σηµεία. 5
- Πώς µπορούµε α βρούµε το πεδίο ορισµού και το σύολο τιµώ µιας συάρτησης α γωρίζουµε τη γραφική της παράσταση; Ι) Το πεδίο ορισµού είαι το σύολο όλω τω τετµηµέω τω σηµείω της C f. Για το διπλαό σχήµα είαι D f = [α, β] II) Το σύολο τιµώ της f, είαι το σύολο f(a) τω τεταγµέω τω ση- µείω της C f. Για το διπλαό σχήµα είαι: f (A) = [f(α), f(β)] - Πώς βρίσκουµε τη τιµή της συάρτησης f στο o A από τη γραφική της παράσταση; Βρίσκουµε τη τεταγµέη του σηµείου τοµής της ευθείας = 0 µε τη γραφική παράσταση. ηλαδή, φέρουµε κάθετη προς το άξοα στο σηµείο του µε τετµηµέη o, η οποία τέµει τη γραφική παράσταση στο σηµείο Α και από το Α φέρουµε κάθετη προς το άξοα y y που το τέµει στο σηµείο µε τεταγµέη f( o ). Άρα η τιµή της f στο o είαι το f( o ). - Πως κάουµε τη γραφική παράσταση µίας συάρτησης;. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού. Βρίσκουµε τα τοπικά ελάχιστα και τοπικά µέγιστα (ακρότατα). Βρίσκουµε τη µοοτοία (γησίως αύξουσα, γησίως φθίουσα) 4. Φτιάχουµε έα πίακα τιµώ ((, f()) και βρίσκουµε τα σηµεία τοµής µε τους άξοες (οι λύσεις της εξίσωσης f()=y=0), y y (τα σηµεία (0,f(0)) εφόσο υπάρχου). Στα και βοηθού πολύ οι γώσεις για τη παράγωγο της συάρτησης. Στο παρακάτω σχήµα φαίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης y=(-) (+) Τι συµπεράσµατα βγάζετε από το παραπάω σχήµα για:. Το πεδίο ορισµού της f. Τα ακρότατα της f. Τη µοοτοία της f 6
. Να λύσετε τη εξίσωση: + 4 = 0. Να λύσετε τις αισώσεις: 5+ 6 i) 5 < 0 ii) +. Να λύσετε το σύστηµα: + y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ < = = 7 4 iii) log ( + ) + log 5 < 4. Να λυθού οι εξισώσεις: i) log(+) + log( ) = log ii) log( +) log = log iii) 5 = - iv) - = + 5. Να λυθού οι εξισώσεις: i) = 8 ii) + = 5 6. Να λυθού οι αισώσεις: i) + < ii) 5 7. Να λυθεί η εξίσωση: + = 8. Α <<7, α δείξετε ότι η παράσταση A= 6+ 9+ 4+ 49 είαι αεξάρτητη του. 9. Να λυθού οι εξισώσεις: i) ηµ = ii) ηµ = iii) ηµ = 0 iv) συ = v) συ = vi) συ = 0 0. Να λυθού οι εξισώσεις: i) εφ = ii) σφ = iii) εφ = iv) ηµ = v) ηµ ηµ + = 0. Να κάετε τις γραφικές παραστάσεις τω παρακάτω συαρτήσεω: i) y = ηµ ii) y = συ iii) y = / iv) y= + v) y= + + vi) y=e vii) y = ln viii) y = + i) y = + ) y=e - i) y=ln( ). Να παραγοτοποιήσετε το πολυώυµο P() και στη συέχεια α λύσετε τη αισότητα P()>0, όπου P() = + ++6. 7