ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3 Μαΐου 13 8: 11: ΜΕΡΟΣ Α Προτεινόμενες Λύσεις 1. Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.. Να υολογίσετε τo όριο +ημ lim e -1 +ημ 1+ συν lim lim e -1 DLH e 3. Να βρείτε τα τοικά ακρότατα και τα σημεία καμής της συνάρτησης, αν υάρχουν. Σελίδα 1/14
Για Για Για 4. Δίνεται η έλλειψη, με α β. Αν η εστιακή αόσταση μονάδες και η εκκεντρότητα της είναι του β και να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης, να βρείτε τις τιμές του α και Άρα Σελίδα /14
5. Δίνεται ο ίνακας Α. Να βρείτε τις ραγματικές τιμές των κ και λ, για τις οοίες ισχύει Α κ Α λ, όου και είναι ο μοναδιαίος και ο μηδενικός ίνακας αντίστοιχα. κ κ λ Άρα: 6. Δίνονται τα ψηφία, 1,, 3, 4, 5. Να βρείτε: (α) Πόσους τετραψήφιους αριθμούς μορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία αυτά αν δεν ειτρέεται εανάληψη ψηφίων. (β) Πόσοι αό τους ιο άνω αριθμούς είναι άρτιοι. (α) 5543 3 τετραψήφιους αριθμούς (β) (i) Αν στις μονάδες: Φάσεις Χ Δ Μ Τρόοι 5 5 4 3 5431 6 (ii) Αν {,4} στις μονάδες: 443 96 Σύνολο: 6+96=156 άρτιους αριθμούς Σελίδα 3/14
7. Δίνεται η υερβολή και το σημείο της Α. (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της υερβολής στο σημείο Α είναι. (β) Η κάθετη της υερβολής στο σημείο Α τέμνει ξανά την υερβολή στο σημείο. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την Α. y 1 1 y 1 y 4 1 y 3 (α) y y y (1,) (β) y 3 4 3 4 1 Άρα, 1 4 και 1 ομένως, 1 B 4, Κέντρο κύκλου, 3 3, 4 3 3 5 5 5 5 15 5 5 R 1 4 4 4 16 16 4 Κύκλος: 3 3 15 3 y y y 3 5 4 16 Σελίδα 4/14
8. Έστω και δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου. (α) Να γράψετε ότε τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. (β) Να αοδείξετε ότι. α) Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα αν η ραγματοοίηση του ενός αοκλείει την ραγματοοίηση του άλλου. ή Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα ανpa B PA P(B) ή Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα αν P(A B) ή Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα αν AB β) A τρόος: τρόος: A B A B A P A B A B P(A) PA B PA B P(A) εειδή AB και A B P A B P(A) P(A B) PA B P(A B') PA P(A B) ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αό το διάγραμμα ιο άνω Σελίδα 5/14
9. Να υολογίσετε: (α) Το εμβαδόν τoυ χωρίου ου ερικλείεται αό τις καμύλες,, με, και τον άξονα Ο. (β) Τον όγκο του στερεού ου αράγεται αό την λήρη εριστροφή του ιο άνω χωρίου γύρω αό τον άξονα Ο. α) ημχ συνχ χ 4 4 4 (συνχ ημχ)d [ημχ συνχ] ( ) ( 1) ( 1)τ.μ. 4 4 V (συν χ ημ χ)d συν d ημχ 4 (1 ) κ.μ. Σελίδα 6/14
1. Συνάρτηση, με συνεχή δεύτερη αράγωγο στο, αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο και η καμύλη της ερνά αό το σημείο. Αν ισχύει, να υολογίσετε το. Λύση Αό τα δεδομένα έχουμε : και f()=1 ' '' [ f ( ) f ( )] d 3 ' '' f ( ) d f ( ) d 3 ' ' f ( ) d d[ f ( )] 3 ' f f f ' ' f ( ) f ( ) f ( ) d 3 ( ) ( ) ( ) 3 ' f( ) f ( ) 3 f f f ' () () () 3 f () 1 3 f () 4 Σελίδα 7/14
ΜΕΡΟΣ Β 1. Δίνεται η συνάρτηση Αφού βρείτε το εδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων, τα τοικά ακρότατα και τις ασύμτωτες της συνάρτησης, να την αραστήσετε γραφικά.,1 Για, y 1 (,1) Και, για y, (,) y ( )( 1) 4 y Για 4 χ - 1 4 f (χ) - - + + - f(χ) min m 1 Για, y 1 4, y 9 1 min,1 m 4, 9 Σελίδα 8/14
Ασύμτωτες: 1 lim lim 1 άρα y οριζόντια ασύμτωτος. 1 lim lim 1 lim lim lim 1 lim 1 4 K. A. 4 1 1 K. A. 1 Σελίδα 9/14
. Δίνεται η καμύλη και σημείο της Α κ λ, κ. (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφατομένης της καμύλης στο σημείο Α. (β) Αν η εφατομένη στο σημείο Α τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ο και Ο σε σημεία και Γ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το εμβαδόν κ του τριγώνου Ο Γ (Ο η αρχή των αξόνων) είναι κ κ κ. (γ) Να βρείτε την τιμή του κ έτσι ώστε το εμβαδόν Ο Γ να είναι μέγιστο. κ του τριγώνου (α) y e e e ( φ): y e e ( ) y e e (1 ) (β) Για y e (1 ) Ά,, e (1 ) Για y (1 ) Ά, (1 ), 1 1 e ομένως (γ) 1 1 e 1 e 1 1 1 e 1 1 e 1 1 1 ( ί ) ή 1 κ 1 + - έ ό 1 Σελίδα 1/14
3. Έξι αντρεμένα ζευγάρια βρίσκονται σε μια αίθουσα. ιλέγουμε τυχαία τέσσερα άτομα αό αυτά. Να βρείτε: (α) Την ιθανότητα να ειλεγούν αντρεμένα ζευγάρια μόνο. (β) Την ιθανότητα να μην ειλεγεί κανένα αντρεμένο ζευγάρι. (γ) Την ιθανότητα να ειλεγεί ένα μόνο αντρεμένο ζευγάρι. (α) Έστω Α το ενδεχόμενο να ειλεγούν αντρεμένα ζευγάρια. 6 1 PA ( ) 1 33 4 (β) Έστω το ενδεχόμενο να μην ειλεγεί αντρεμένο ζευγάρι. 6 4 4 16 PB ( ) 1 33 4 (γ) Έστω Γ το ενδεχόμενο να ειλεγεί μόνο ένα αντρεμένο ζευγάρι. 1 16 16 P( ) 1 P( A) P( B) 1 33 33 33 Άλλοι τρόοι: 6 1 5 1 16 (i) P( ) 1 33 4 65 1 16 (ii) P( ) 1 33 4 6 1 18 1 1 1 16 (iii) P( ) 1 33 4 Σελίδα 11/14
4. Δίνεται η αραβολή με εστία και τυχαίο σημείο της Α,. Φέρουμε ευθεία κάθετη στην Α στο σημείο, η οοία τέμνει τη διευθετούσα της αραβολής στο σημείο. (α) Να δείξετε ότι η είναι η εφατομένη της αραβολής στο σημείο. (β) Να βρείτε την εξίσωση της καμύλης στην οοία ανήκει ο γεωμετρικός τόος της κορυφής Γ του ορθογωνίου αραλληλογράμμου Α Γ, καθώς το Α κινείται άνω στην αραβολή. α) t t 1 λα λb t 1 t t 1 ξίσωση : ψ (χ 1) t t 1 t 1 t 1 Για χ 1 ψ ( ) 1, t t t λ t 1 t t t t 1 t 1 1 t 1 t t 1 t t 1 t Α Σελίδα 1/14
dψ dψ ψ 4χ ψ 4 d d ψ λ εφα 1 t t Άρα λ Α = λ εφα και Α κοινό σημείο άρα Α είναι εφατομένη της αραβολής. β) Έστω Κ μέσο της Α. Τότε: t 1 t t 1 3t 1 χ κ, ψκ t t Όμως Κ μέσο της Γ χγ χ χκ χγ χκ χ t 11 t ψγ ψ 3t 1 ψκ ψγ ψκ ψ t Άρα t = χ+ 3t 1 (3t 1) [3( ) 1] ψ ψ ψ t t χ ψ (3χ 5) χ ο ζητούμενος Γ.Τ. Σελίδα 13/14
5. Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις και, τέτοιες ώστε,. (α) Με τη βοήθεια της αντικατάστασης ή με οοιοδήοτε άλλο τρόο, να δείξετε ότι. (β) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d u d du ά u u Ι Ά f ( ) d f ( u) du f ( ) d f ( ) d f ( ) d 4 εφ d. 1 3 4 [ f ( ) f ( )] d g( ) d εφ χ β) Έστω f(χ) χ 1 3 χ εφ ( χ) εφ χ εφ χ 3 εφ χ Τότε f( χ) χ χ χ 13 1 1 3 1 3 1 3 χ χ 3 χ χ εφ χ 3 εφ χ (1 3 )εφ χ f(χ) f( χ) εφ χ g() χ χ χ 3 1 3 1 3 1 4 4 4 εφ Άρα Ι d εφ χ d (τεμ χ 1)d 1 3 4 4 εφχ χ 4 1 4 4 Σελίδα 14/14