TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto L sen º hipotenusa L cateto contiguo L º hipotenusa L cateto opuesto L tg º cateto contiguo L Para calcular las razones trigonométricas de 0º y 60º, nos ayudamos de un triángulo equilátero que dividimos por la base para obtener un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 0º y 60º, como el de la figura. sen 0º cateto opuesto hipotenusa L L cateto contiguo L 0º hipotenusa L L cateto opuesto tg 0º cateto contiguo L cateto opuesto L sen 60º hipotenusa L L cateto contiguo 60º hipotenusa L cateto opuesto L tg 0º cateto contiguo L. Si A > 0,8, siendo A un ángulo agudo, cómo es sen A y tg A? Teniendo en cuenta que las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante son positivas, y que el cuadrado de un número comprendido entre 0 y es menor que el número, se aplica la relación fundamental de la trigonometría: + : ( 0,8) + < < ( 0,8) 0, 6 : < 0, 6 > 0,8 sen > 0,8 0,8 : : > : > < 0,6 0,6
. 0 6 < < 0 8, di entre que valores están comprendidos y. - Sí > 0,6 : > 0,6 : > 0,6 : 0,6 > : 0,6 > : < 0, 8 - Si < 0,8 : < 0,8 : < 0,6 : 0,6 < : 0,6 < : > 0, 6 Conclusión: Sí 0,6 < < 0,8 0,6 < < 0,8 > 0,6 0,6 - Si : tg > > 0, 7 < 0,8 0,8 < 0,8 0,8 - Sí : < <, > 0,6 0,6 Conclusión: Sí 0,6 < < 0,8 0,7 < <,. Calcular las restantes razones trigonométricas. a) ; > 0 b) ; < 0 c) sec ; < 0 d) ec ; (0, π) e) ; > 0 a. ; > 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la tangente y del seno, la tangente es positiva en el º o º cuadrante, el seno es positivo en el º o º cuadrante, por lo tanto pertenece al º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones. seno y ecante + Si º Cuadrante : eno y secante + tangente y cotangente + Conocido el valor de la tangente se obtienen la cotangente y la secante. cotag tag tag + sec : sec ± tag + + + Con la secante se obtiene el eno sec : sec Conocidas la tangente y el eno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. tag : tag Por último del seno se obtiene la ecante. ec b. ; < 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la tangente y del seno, la tangente es positiva en el º o º cuadrante, el seno es negativo en el º o º cuadrante, por lo tanto pertenece al º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones. seno y ecante Si º Cuadrante : eno y secante tangente y cotangente +
Conocido el valor de la tangente se obtienen la cotangente y la secante. cotag tag tag + sec : sec ± tag + + 0 Con la secante se obtiene el eno sec : sec 0 0 0 Conocidas la tangente y el eno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. tag : tag 0 0 0 0 Por último del seno se obtiene la ecante. ec 0 0 0 0 0 c. sec ; < 0. El cuadrante se determinan mediante el signo de la secante y de la tangente, la secante es positiva en el º o º cuadrante, la tangente es negativa en el º o º cuadrante, por lo tanto pertenece al º cuadrante que en el que se cumplen las dos condiciones. seno y ecante Si º Cuadrante : eno y secante + tangente y cotangente Conocida la secante se calcula el eno y la tangente. sec : sec tag + sec : tag ± sec 8 Conocidas la tangente y el eno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. tag : tag ( 8) Conocidas las razones directas (seno y tangente) se calculan la inversas (ecante y cotangente) mediante su definición. ec 8 : 8 8 8 cotag tag 8 8 d. sec /; (0, π). La secante es negativa en el º y º cuadrante, si además se tiene en cuenta que el ángulo no pertenece ni al º ni al º cuadrante se concluye que pertenece al º cuadrante. seno y ecante Si º Cuadrante : eno y secante tangente y cotangente + Conocida la secante se calcula el eno y la tangente. sec : tag + sec : tag ± sec + sec 6 9 7 9 8 8 7
Conocidas la tangente y el eno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. 7 7 tag : tag Conocidas las razones directas (seno y tangente) se calculan la inversas (ecante y cotangente) mediante su definición. ec 7 : cotag 7 7 7 tag 7 7 e. ; > 0. El seno es negativo en el º y º cuadrante, el eno es positivo en el º y º cuadrante, por lo tanto el ángulo pertenece al º cuadrante. seno y ecante Si º Cuadrante : eno y secante + tangente y cotangente Conocido el valor del seno se calcula el eno mediante la ecuación fundamental. + ± + Conocido el seno y el eno se calcula la tangente por su definición. 8 tag 8 8 8 9 8 9 8 7 7 Conocidas las razones directas (seno, eno y tangente) se calculan la inversas (ecante, secante y cotangente) mediante su definición. ec cotag tag sec 8 8 8 8 8 8 8. Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de sus ángulos asociados agudos. a) º b) 0º c) 0º d) 0º e) 0º f) 90º g) Sabiendo que tg 8º 0, calcular la razones trigonométricas de los siguientes ángulos: i) 7º ii) 08º iii) 6º iv) 98º v) º vi) 88º vii) º a. º es suplementario con º (º + º 80º). Las razones trigonométricas de º están relacionadas con las de º, la forma más sencilla de encontrar esta relación es de forma gráfica. 8 8
sen º sen º tgº º sen º º sen º º tg º b. 0º es suplementario con 60º (0º + 60º 80º). Las razones trigonométricas de 0º están relacionadas con las de 60º, la forma más sencilla de encontrar esta relación es de forma gráfica. sen 0º sen 60º 0º tgº 60º sen 0º 0º sen 60º 60º tg 60º c. 0º equivalente a 0º, asociado a 0º sen 0º sen 0º 0º 0º tg ( 0º ) sen ( 0º ) tg0º ( 0º ) d. 0º se asocia a 60º porque se diferencia del él en 80º (0º 60º +80º). sen 0º sen 60 0º 60º sen 0º sen 60º tg 0º tg 60 0º 60º e. 0º suplementario de 0º (0º + 0º 80º) sen 0º sen 0º 0º 0º tg0º sen 0º 0º sen 0º 0º tg 0º
f. 90. Por ser un ángulo superior a 60º, se divide por 60 y nos quedamos con el resto. 60º 60º+0 Las razones trigonométricas de 90º coinciden con las de 0º, (relación entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas, 60º ó π radianes) y las de este (0º) se relacionan con las de 0º (0º 80º+0º). sen90º 90º sen ( 60º + 0º ) ( 60º + 0º ) sen 0º sen 0º 0º 0º sen 0º sen 0º tg 90º tg ( 60º + 0º ) tg 0º tg 0º 0 0º g. Lo primero es calcular el seno y el eno de 8º conocida la tangente (tg 8º 0,). Por ser un ángulo del primer cuadrante, todas sus razones trigonométricas son positivas. Conocido el valor de la tangente se obtienen la secante. tag 8º + sec 8º : sec8º ± tag 8º + + 0, +, 0 Con la secante se obtiene el eno sec 8º : 8º 0, 9 8º sec8º,0 Conocidas la tangente y el eno se obtiene el seno mediante la definición de tangente. sen 8º tag 8º : sen 8º 8 tag8 0,9 0, 0, 0 8º i. 7º 90º 8º sen 7º 8º 0,9 7º sen 8º 0,0 sen7º 8º tg 7º, 7º sen 8º tg8º 0, ii. 08º 90º + 8º sen 08º 8 0,9 08º sen8º 0,0 sen08º 8º tg08º 08º sen 8º tg8º 0,, 6
iii. 6º 80º 8º sen 6º sen 8º 0,0 6º 8º 0,9 sen6º sen 8º tg6º tg8º 0, 6º 8º iv. 98º 80º + 8º sen98º sen 8º 0,0 98º 8º 0,9 sen98º sen 8º tg 98º tg8º 0, 98º 8º v. º 70º 8º sen º 8 0,9 º sen8º 0,0 sen º 8º tg º, º sen 8º tg8º 0, vi. 98º 70º + 8º sen 88º 8 0,9 88º sen8º 0,0 sen 88º 8º tg 88º 88º sen 8º tg8º 0,, vii. º 8º sen ( 8º ) sen 8º 0, 0 ( 8º ) 8º 0, 9 sen ( ) ( 8º ) 8º ( 8) º tg sen 8º tg8º 0, 8º 7
6. Sabiendo que siendo 0 < < 90 y β siendo 90 < β < 80 calcular: a) b) tg β c) sen (+β) d) tg (β) e) tg β f) sen El primer paso es calcular las rezones trigonométricas de y β que no conocemos. seno + siendo 0 < < 90 º Cuadrante : eno + tangente + Conocido el valor de la tangente se obtienen la secante y, de esta el eno tag + sec : sec ± tag + + + Con la secante se obtiene el eno sec : sec Conocidos los valores del eno y la tangente se calcula el valor del seno. tag : tag seno + β siendo 90 < β < 80 º Cuadrante : eno tangente + Partiendo del eno se calcula el seno y, con el seno y el eno la tangente. sen β + β : sen β ± β + tg β sen β β Conocidas las razones trigonométricas de y β, se resuelven los apartados del ejercicio. 6 a) Sen b) + c) sen ( β) β + sen β + + 8 8
+ tg β 6 tg + tg β + 6 6 d) ( β) e) tg 0 β β β f) sen sen β + β ( ) + 8 0 6 sen 0º + sen º 7. Calcular: 7º º Aplicando las expresiones de transformación de sumas en productos: A + B A B sen A + sen B sen A + B A B A B sen sen 0º + º 0º º sen sen 0º + sen º sen 60º º º 7º º 0º + º 0º º sen 60º sen º sen º sen º sen sen º tg º 8. Simplificar las siguientes expresiones: a) sen b) + + + + c) Sen + ² Primero se calcula el ( + ) + + ( ) sen sen 9
sen a a + Conocido el, se simplifica la expresion. Sen + ² a sen a sen a sen a + a sen a sen d) sen + sen sen + sen ( sen) ( + sen) e) sen sen ( + ) ( ) ( ) ( ) f) + ² + sen² + sen + + + + sen + + ( + ) + ( + ) + + g) h) i) j) k) sen sen sen sen ( ) ( + ) sec sec + ( ) + + sec + sec ec + ctg ec + c + sen + sen + + ( + ) ( ) + 0
9. Demostrar si son verdaderas o falsas las siguientes ecuaciones: + tg β a) tg β c + ctg β + tg β + tg β + tg β tg β c + ctg β tg β + + tg β tg β ctg + tg b) ctg tg + sen + c + c sen sec + c) + c sec ec sen + + c + sen sen d) ctg² ² ctg² ² sen c c e) sen² ²β sen²β ² β sec ec ( ) ( ) ( sen β) + sen β sen β f) sen tg ( ) g) + tg + sen tg sen + + + + h) ² ²β sen² sen²β ² sen²β β sen β ( sen β) ( ) sen β sen β sen β + sen β sen β i) c sec ec c sec ec
j) ( + )² + ( )² ( + ) + ( ) + sen + + sen + ( + ) + ( + ) + c k) ctg tg ctg c ctg ctg ( ) + ( ) l) + tg ctg + + ctg + sen tg + c m) + ec + + + c + ec + + n) + c + ( )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + o) + ctg ec + + ec p) + + + + ( β) ( + β) q) tgβ sen( + β) + sen( β) ( β) ( + β) β + sen β β sen β sen( + β) + sen( β) β + sen β + β sen β sen β sen β tgβ β β [ ]
r) sec² sec s) sen (+β) sen (β) sen² sen²β sen( + β) sen( β) β + sen β β sen β ( ) ( ) ( β) ( sen β) β sen β ( sen β) ( ) sen β sen β sen β + sen β sen β t) + + + + + No se cumple sen u) tg² sen² tg² sen² sen sen sen sen sen sen sen ( ) v) sen (+co) + (+) + ( ) ( ) + + + + + c + + + + + + + + ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + + w) + ec + + sen + + ( + + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + + + ( + ) ( + ) sen + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ec ( + ) x) sec + ec ec + + sec + ec + sen sen sen ec ( ) ( ) y) + β tg + sen β sen β β tg
+ β tg β tg + + ( + β) ( + β) ( β) ( β) + + ( + β) ( + β) ( β) ( β) ( ( + β) ) ( + ( β) ) ( ( β) ) ( + ( + β) ) + + ( β) ( + β) ( + β) ( β) ( + β) ( β) ( β) ( + β) + β + sen senβ β + sen senβ + β sen senβ β sen senβ ( + β) ( β) ( β) ( + β) + sen senβ sen senβ ( + β) ( β) ( β) ( + β) + sen senβ sen senβ (( β sen β) ( β sen β) ) (( β + sen β) ( β sen β) ) + sen senβ sen senβ + sen senβ sen senβ + sen senβ sen senβ + sen senβ sen senβ β) ( sen β) ( β) ( sen β) ) sen β sen β ( ( sen β) ( ) sen β) sen β sen β + sen β ( sen β sen β + sen β) sen β ( sen β) + sen senβ + sen β sen senβ + sen β + sen senβ + sen β sen senβ + sen β + sen senβ + sen β sen senβ + sen β ( + sen β) + sen β + sen β ( sen β) sen β sen β z) + sec + + + + sec aa) + c ec + + c + ec
bb) sec² + ctg ec² + tg² ( ) + + sec + c + + + + + + sen sen + + + ec + sen sen 0. Demostrar que en todo triangulo rectángulo se cumple: ) ) b i. sen B tg B a c ) bc ii. sen B a ) ) ) sen B + C iii. tg B ) ) B + sen C ) ) ) ) ) ) iv. tg A + tg B + tg C tg A tg B tg C ) ) b i. sen B tg B a c Por definición: ) cateto opuesto sen B hipotenusa ) cateto opuesto tg B cateto contiguo ) ) sen B tg B b a b a b c b b c a c ii. ) sen B bc a ) ) ) sen B sen B B ) ) b c bc sen B B a a a iii. ) ) ) sen B + C tg B ) ) B + sen C Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, y A es el ángulo recto, se cumple B ) + C ) 90º ) ) ) sen B + C ) ) ) ) tg B ) ) sen B + C sen B + ( 90º B) ( 90 ) B + sen C : ) ) ) ) ) ) B + sen C B + sen ( 90º B) sen ( 90 ) C 90º B ) ) ) ) sen B + sen B sen B sen B ) ) ) ) ) tg B B + B B B
iv. ) ) ) ) ) ) tg A + tg B + tg C tg A tg B tg C Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, ) ) ) ) ) ) A + B + C 80º A 80º B + C Si dos ángulos son iguales, sus tangentes también lo serán: ) ) ) tg A tg 80º B + C ( ) ( ( ) Para ángulos complementarios tg (80 ) ) ) ) tg A tg ( B + C) Desarrollando la tangente de la suma de ángulos. ) ) ) tg B + tg C tg A ) ) tg B tg C Ordenando la igualdad se llega expresión propuesta. ) ) ) ) ) tg A ( tg B tg C) ( tg B + tg C) ) ) ) ) ) ) tg A tg A tg B tg C tg B tg C ) ) ) ) ) ) tg A tg B tg C tg A + tg B + tg C. Expresar y en función de. Se parte de la expresión de la tangente del ángulo mitad, a a tg + a Haciendo el cambio: a a + De esta expresión se despeja el eno del ángulo doble en función de la tangente del ángulo. Elevando al cuadrado se quita la raíz tg + + tg + : + ( ) + : ( + ) + El seno el ángulo doble se obtiene de la ecuación fundamental aplicada al ángulo doble y sustituyendo el eno por su expresión en función de la tangente. + + + ( ) : + ( + ) + ( + + ) ( + ) + + + + + + + + + : ( + ) ( + ) ( + ) : tg + 6