ΚΕΣ 01 Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) Νικόλας Τσαπατσούλης Λέκτορας Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 1 DiStefano [1995]: Chapters 1 & 2 Tewari [2005]: Chapter 1, Chapter 2: Section 2.1 1
Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου: Τι είναι; Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ονοµάζουµε κάθε διάταξη φυσικών στοιχείων τα οποία είναι διασυνδεδεµένα µε τέτοιο τρόπο ώστε να καθοδηγούν, ελέγχουν ή ρυθµίζουν τον εαυτό τους ή άλλα συστήµατα ώστε να συµπεριφέρονται (λειτουργούν) µε ένα προδιαγεγραµµένο τρόπο. Παραδείγµατα: Οικιακές συσκευές όπως ψυγείο, πλυντήριο, ηλεκτρικός θερµοσίφωνας Βιοµηχανικά συγκροτήµατα κατασκευής χαρτιού, ζάχαρης, λιπασµάτων αυτοκινήτων Φυτικός και ζωικός κόσµος: Το πληρέστερο παράδειγµα συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου είναι ο άνθρωπος Οδήγηση αυτοκινήτου Ιστορικά Στοιχεία -18 ο αιώνα: Σποραδικές εφαρµογές αυτοµατισµών χωρίς αξιόλογα αποτελέσµατα 1769-1867: Ανάπτυξη αυτοµατισµών αλλά χωρίς θεωρητικό υπόβαθρο (διαισθητικά) 1769: Η ανάπτυξη και χρήση του φυγοκεντρικού ρυθµιστή ταχύτητας του Watt στις ατµοµηχανές έδωσε µια σηµαντική ώθηση στη βιοµηχανία 1868-1930: Με τις εργασίες των Maxwell, Vyshnegradskii, Routh τέθηκαν η βάσεις µαθηµατικής τεκµηρίωσης των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου µε πρακτικό παράδειγµα τον φυγοκεντρικό ρυθµιστή ταχύτητας του Watt 1930-1960: Ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας (Nyquist, Black, Nichols, Bode) αυτοµάτου ελέγχου η οποία επικεντρώνεται κυρίως: Σε συστήµατα µιας εισόδου µιας εξόδου (SISO) Χρήση γραφικών µεθόδων σχεδίασης (γεωµετρικός τόπος ριζών, διαγράµµατα Nyquist, Bode, Nichols κλπ) Ανάλυση και σχεδίαση στο πεδίο της συχνότητας 2
Ιστορικά Στοιχεία (ΙΙ) 1960- : Ανάπτυξη της σύγχρονης θεωρίας (Kalman, Jury, Kailath) αυτοµάτου ελέγχου η οποία εξετάζει, µεταξύ άλλων: Συστήµατα µιας πολλών εισόδων πολλών εξόδων (MIMO) Χρήση αναλυτικών µεθόδων σχεδίασης (σχεδίαση στο χώρο κατάστασης, βέλτιστος και στοχαστικός έλεγχος, προσαρµοστικό έλεγχος) Χρήση ψηφιακών µικροϋπολογιστών για έλεγχο συστηµάτων αλλά και για επίλυση συστηµάτων (γραµµικών και µη) Ορυθµιστής του Ήρωνα του Αλεξανδρέα Βασικά στοιχεία: Είσοδος: Άναµµα φωτιάς Σύστηµα προς έλεγχο: Πύλη ναού Έξοδος: Άνοιγµα πύλης ναού Ρυθµιστής / Ελεγκτής: Συγκοινωνούντα δοχεία νερού, τροχαλίες σχοινιών, αντίβαρο 3
Βασικά στοιχεία: Ο φυγοκεντρικός ρυθµιστής ταχύτητας του Watt Είσοδος: Ατµός Σύστηµα προς έλεγχο: Ατµοµηχανή (ταχύτητα περιστροφής) Έξοδος: Γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ατµοµηχανής Ρυθµιστής / Ελεγκτής: Φυγοκεντρικό σύστηµα, µάζες m, βαλβίδα ΗΒασική οµή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Σύστηµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεµένων µεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονοµάζουµε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία εφαρµόζεται στο σύστηµα ώστε να επιτελεστεί το ζητούµενο έργο Έξοδο ονοµάζουµε το πραγµατικό αποτέλεσµα ή απόκριση η οποία λαµβάνεται από την εφαρµογή της εισόδου στο σύστηµα. Για την µελέτη ενός συστήµατος χρειάζεται η µαθηµατική µοντελοποίηση (περιγραφή) του µέσω ενός τελεστή T, έτσι ώστε y(t) = T[u(t)], όπου µε Τ[ ] συµβολίζουµε την εφαρµογή του τελεστή Τ. 4
Μελέτη Συστηµάτων Συνήθως κατά τη µελέτη συστηµάτων γνωρίζουµε δύο από τα τρία στοιχεία του τριπτύχου {σύστηµα (µαθηµατική µοντελοποίηση), είσοδο, έξοδο} και επιδιώκουµε να υπολογίσουµε το τρίτο. Σε αυτό το πλαίσιο ορίζουµε οι επόµενες κατηγορίες προβληµάτων: Ανάλυση συστήµατος, δηλαδή µε δεδοµένη την είσοδο u(t) και τo σύστηµα Τ[ ] ζητείται να υπολογιστεί η έξοδος y(t). Συνήθως η ανάλυση ενός συστήµατος αφορά τη δυνατότητα προσδιορισµού της εξόδου για κάθε δυνατή είσοδο. Για αυτό στο σκοπό υπολογίζεται η έξοδος του συστήµατος σε κάποιες πρότυπες µορφές εισόδου όπως η συνάρτηση dirac (κρουστική συνάρτηση) δ(t) και η βηµατική συνάρτηση u s (t). Αναγνώριση συστήµατος, δηλαδή µε δεδοµένες την είσοδο u(t) και την έξοδο y(t) ζητείται να υπολογιστεί τo σύστηµα Τ[ ] (µαθηµατικό µοντέλο) Μελέτη Συστηµάτων (ΙΙ) Εκτίµηση εισόδου, δηλαδή µε δεδοµένη την έξοδο y(t) και τo σύστηµα Τ[ ] ζητείται να υπολογιστεί η είσοδο u(t). (συνήθως η αιτία που προκάλεσε την συγκεκριµένη έξοδο) Η εκτίµηση εισόδου στην ιατρική γνωστή και ως διάγνωση Η σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου, δεν υπάγεται σε καµία από τις προηγούµενες κατηγορίες προβληµάτων αλλά τίθεται ως: «Με δεδοµένο τo σύστηµα Τ[ ] ζητείται να σχεδιαστεί ένα υποσύστηµα (το οποίο ονοµάζεται ελεγκτής ή ρυθµιστής ή αντισταθµιστής) το οποίο να δηµιουργεί µια είσοδο u(t) η οποία αν εφαρµοστεί στο σύστηµα δηµιουργεί την επιθυµητή έξοδο y(t).» 5
Κατηγορίες Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Τα συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: Ανοικτά Κλειστά Ανοικτό είναι ένα σύστηµα όταν η είσοδος u(t) δεν είναι συνάρτηση της εξόδου y(t) Κλειστό είναι ένα σύστηµα όταν η είσοδος u(t) είναι συνάρτηση της εξόδου y(t) Ανοικτά Συστήµατα Τα ανοικτά συστήµατα έχουν δύο σηµαντικά χαρακτηριστικά: Η απόδοση τους (δηλαδή το κατά πόσο επιτυγχάνουν την επιθυµητή έξοδο) εξαρτάται από το καλιµπράρισµα που τους έχει γίνει Καλιµπράρισµα ονοµάζουµε τη ρύθµιση της σχέσης εισόδου-εξόδου έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η απαιτούµενη ακρίβεια όσον αφορά το επιθυµητό αποτέλεσµα (π.χ. Η ρύθµιση της διάρκειας ψησίµατος στην τοστιέρα ώστε να επιτευχθεί το σωστό ψήσιµο του ψωµιού) εν παρουσιάζουν προβλήµατα ευστάθειας (π.χ. Στην περίπτωση της τοστιέρας δεν υπάρχει περίπτωση αδιάκοπης λειτουργίας επειδή δεν έχει επιτευχθεί το επιθυµητό αποτέλεσµα) Παραδείγµατα ανοικτών συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου: Πλυντήριο: Ο ρυθµιστής είναι το πρόγραµµα που θέτει το πλυντήριο σε µια σειρά από λειτουργίες όπως αλλαγή νερού, στίψιµο ρούχων κλπ. Η έξοδος του συστήµατος (δηλ. ο βαθµός καθαρισµού των ρούχων δεν λαµβάνεται υπόψη στο καθορισµό της επόµενης λειτουργίας). Τοστιέρα Σύστηµα σηµατοδότησης δρόµων 6
Κλειστά Συστήµατα Τα κλειστά συστήµατα ονοµάζονται και συστήµατα ανατροφοδότησης (feedback) Ανατροφοδότηση ονοµάζουµε τη διαδικασία διοχέτευσης πληροφορίας όσον αφορά την τρέχουσα έξοδο του συστήµατος στην είσοδο του. Τα κλειστά συστήµατα είναι λιγότερο ευαίσθητα σε διαταραχές που µπορεί να επηρεάσουν το σύστηµα ιαταραχές ονοµάζουµε τις µεταβολές του περιβάλλοντος ή του υπό έλεγχο συστήµατος ή άλλες αιτίες που έχουν ως αποτέλεσµα η έξοδος του συστήµατος να αποκλίνει από την επιθυµητή συµπεριφορά Παραδείγµατα κλειστών συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου: Θερµοσίφωνο: Ο ρυθµιστής είναι ένας θερµοστάτης που πρακτικά συµπεριφέρεται ως διακόπτης. Όταν το νερό αποκτήσει την επιθυµητή θερµοκρασία (συνήθως 70 0 C) ο διακόπτης ανοίγει οπότε διακόπτεται η τροφοδοσία ηλεκτρικού ρεύµατος. Όταν η θερµοκρασία του νερού πέσει κάτω µια συγκεκριµένη τιµή (συνήθως 65 0 C) ο διακόπτης κλείνει και επανέρχεται η τροφοδοσία ρεύµατος. Ψυγείο, αυτόµατος πιλότος σε αεροσκάφη, τηλεκατευθυνόµενοι πύραυλοι, κλπ. Χαρακτηριστικά συστηµάτων ανατροφοδότησης Τα συστήµατα ανατροφοδότησης παρουσιάζουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Αυξηµένη ακρίβεια στη δηµιουργία της επιθυµητής εξόδου Τάση προς ταλάντωση και αστάθεια (π.χ. το θερµοσίφωνο θα εναλλάσσεται διαρκώς ανάµεσα σε κατάσταση θέρµανσης του νερού και αδράνειας) Μεγαλύτερη ανοχή ως προς τις διαταραχές (π.χ. Η µειωµένη αποτελεσµατικότητα του θερµαντικού στοιχείου στο θερµοσίφωνο δεν οδηγεί σε αδυναµία θέρµανσης του νερού αλλά απλά σε περισσότερο χρόνο τον διακόπτη σε κατάσταση on) Μεγαλύτερη ανοχή ως προς τη µη γραµµικότητα (πολλά φυσικά συστήµατα µοντελοποιούνται ως γραµµικά µαθηµατικά µοντέλα. Η µοντελοποίηση αυτή δεν είναι πάντοτε ακριβής) Αυξηµένο εύρος ζώνης (δηλαδή παρουσιάζουν επιθυµητή λειτουργία σε ένα µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων) 7
Στάδια Ανάπτυξης Σ.Α.Ε Η ανάπτυξη Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου περιλαµβάνει τρία βασικά στάδια: Το πρώτο αφορά τη µαθηµατική µοντελοποίηση του προς έλεγχο συστήµατος (το οποίο συχνά αποκαλείται βιοµηχανική εγκατάσταση - plant) και του ελεγκτή (controller). Το επόµενο στάδιο είναι η ανάλυση της συµπεριφοράς του συστήµατος, δηλαδή η εύρεση της απόκρισης του (στο χρόνο / χώρο και στη συχνότητα) σε κάθε µορφή εισόδου (διέγερσης). Ιδιαίτερα κρίσιµη είναι η ανάλυση της ευστάθειας του συστήµατος µε δεδοµένο ότι για να έχει ένα σύστηµα µια προδιαγεγραµµένη συµπεριφορά σε συγκεκριµένη διέγερση πρέπει να διασφαλίζεται ότι το σύστηµα είναι ανθεκτικό σε τυχαίες διακυµάνσεις της διέγερσης και επιπλέον ότι η εσωτερική του κατάσταση είναι πάντοτε γνωστή (παρατηρήσιµη). Το τελευταίο στάδιο αφορά τη σχεδίαση ελεγκτών ή / και αντισταθµιστών οι οποίοι αν προσαρτηθούν στο υπό έλεγχο σύστηµα µπορούν να το οδηγήσουν στο να έχει την επιθυµητή συµπεριφορά Περιγραφή (Μοντελοποίηση) Συστήµατος Αυτοµάτου Ελέγχου Μαθηµατική µοντελοποίηση αφορά το προς έλεγχο συστήµατος και αλλά και τον ελεγκτή (controller). Η µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων µε γραµµικά µαθηµατικά µοντέλα είναι το επιθυµητό αποτέλεσµα αυτού του σταδίου, δεδοµένου ότι τα γραµµικά συστήµατα είναι ευκολότερα ως προς την µελέτη της συµπεριφοράς τους. Πρέπει πάντως να τονιστεί ότι η µαθηµατική µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων δεν είναι εύκολη και η ακρίβεια της µοντελοποίησης µπορεί να οδηγήσει ή όχι σε ένα επιτυχηµένο Σύστηµα Αυτοµάτου Ελέγχου. 8
Χαοτικά Συστήµατα Χαοτικό ονοµάζουµε ένα σύστηµα στο οποίο µια µικρή αλλαγή στην αρχική του κατάσταση το οδηγεί πολύ διαφορετική κατάσταση σε µεταγενέστερο χρόνο Παράδειγµα χαοτικού συστήµατος: διπλό εκκρεµές. Προσέξτε την αλλαγή της γωνίας θ 2 (t) ως αποτέλεσµα µιας πολύ µικρής αλλαγής της αρχικής θέσης του συστήµατος (γωνία θ 1 (0)) Παραδείγµατα Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Πολλά Σ.Α.Ε είναι σχεδιασµένα έτσι ώστε κάποια µεταβλητή του συστήµατος, όπως ηλεκτρική τάση, θέση ή ταχύτητα µιας µάζας, στάθµη ή ροή ενός υγρού, θερµοκρασία ενός θαλάµου. Η ειδική κατηγορία Σ.Α.Ε στην οποία γίνεται έλεγχος µηχανικής κίνησης, όπως π.χ. της ταχύτητας ή της θέσης µιας µάζας, είναι γνωστή και ως σερβοµηχανισµός 9
Σερβοµηχανισµός Θέσης Έξοδος: Η γωνιακή θέση y του µικρού γραναζιού Είσοδος: Γωνιακή θέση ω του τιµονιού Σερβοµηχανισµός Ταχύτητας 10
Τηλεκατευθυνόµενος Πύραυλος Πυρηνικός Αντιδραστήρας 11
Ρυθµιστής Τάσης Ατµοστροβιλογεννήτρια 12