ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ RADON NIKODYM ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH, ΣΥΝΕΧΗ ΙΔΙΑΖΟΝΤΑ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΤΟΝ L¹ ΖΑΚΥΝΘΙΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Πετράκης Μίνως ΧΑΝΙΑ, 2011

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή...σελ.2 1.Προκατακτικά -Ορισµοί...σελ.3 2.Ηιδιότητα Rado - Nikodym...σελ.8 3. Martigales...σελ.12 4.Τελεστέςστον L 1...σελ.21 5.Η RNPσεδυϊκούςχώρους...σελ.38 6.Ιδιάζοντασυνεχήµέτρακαιτελεστέςστον L 1...σελ.41 Βιβλιογραφία...σελ.48 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην διατριβή αυτή, παρουσιάζουµε µια συνοπτική εισαγωγή στη θεωρία στην θεωρία των χώρων µε την RNP (Ιδιότητα Rado Nikodym). ίνουµε όµως πλήρη απόδειξη του βασικού θεωρήµατος της detability (θεώρηµα 6.8). Στο [D] ο R. Doss αποδεικνύει το εξής αποτέλεσµα: ΑντολείναισυνεχέςµέτροστονκύκλοΠτότευπάρχει m (mείναιτοµέτρο Lebesgueστον Π)έτσιώστε λ m. Στοκεφάλαιο 6χρησιµοποιούµεαναπαραστάσειςτελεστώνστον L 1 µεστοχαστικούς πυρήνες και αποδεικνύουµε ότι στην περίπτωση που το µέτρο λ είναι Rajchma το µέτρον στοθεώρηµατου R.Doss µπορείναπαρθείναείναιένα Rieszγινόµενοτης µορφής w lim Π 1 cos k x (θεώρηµα 6.8). k1 Τοµέτροαυτόείναιιδιάζονπροςτο m. Επίσης παραθέτουµε εφαρµογές στην πραγµατική ανάλυση ενός θεωρήµατος από το [Β2]. 2

1.Προκατακτικά - Ορισµοί Έστω (,,)έναςχώροςπιθανότηταςκαι Xέναςχώρος Baach. Μίασυνάρτησηκαλείταιαπλήεάνυπάρχουν x 1, x 2,..., x XκαιΕ 1,Ε 2,...,Ε Ν έστι ώστε f : x i χ Ε1 όπουχ Ε1 ω 0εάνω Ε i. To (Boher)ολοκλήρωµαµιαςαπλής i1 συναρτήσεως f είναι εξ ορισµού fdλ x i λε Ε ι,ε Σ. Ε i1 Μίασυνάρτηση f : X καλείταιµετρήσιµηεάνυπάρχειµιαακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s f 0 λ-σχεδόνπαντού. Εάν f : X είναιµετρήσιµησυνάρτησηκαιυπάρχειακολουθίααπλών συναρτήσεων s έτσιώστε lim s fdλ 0τότεηf καλείται Boher ολοκληρώσιµη. Σ αυτήν την περίπτωση fdλορίζεται Ε Σσαντοόριο lim s dλ. Ε E Ο ίδιος ο Boher έδωσε τον παρακάτω χαρακτηρισµό των Boher ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. 1.1Θεώρηµα :Έστω f : X µιαµετρήσιµησυνάρτηση.η f είναι Boher ολοκληρώσιµη εάν και µόνο αν fdλ. Ω Με L X 1 λσυµβολίζουµετονχώρο Baachόλωντων Boherολοκληρώσιµων Παρατήρηση: πολλά από τα κλασικά θεωρήµατα για µετρήσιµες πραγµατικές συναρτήσεις και Lebesgue ολοκληρώσιµες συναρτήσεις γενικεύονται στην περίπτωση διανυσµατικών συναρτήσεων µε τιµές σ ένα χώρο Baach. Σχεδόν όλες οι αποδείξεις παραµένουν οι ίδιες (αρκεί κάποιος να αντικαταστήσει τις απόλυτες τιµές µε νόρµες). Παρακάτω αναφέρονται (χωρίς απόδειξη) ορισµένα θεωρήµατα για Boher συναρτήσεις. 1.Έστω f µιαακολουθίααπο Boherολοκληρώσιµεςσυναρτήσεις f : X. Εάν lim f fστολ-µέτρο (δηλαδήεάν limλω Ω:f ω fω ε 0 ε 0 ) 3

καιεάνυπάρχειπραγµατική Lebesgueολοκληρώσιµησηνάρτηση g :Ωέτσιώστε f gλ-σχεδόνπαντού,τότεηf είναι Boher oοκληρώσιµηκαι lim f dλ f dλ Ε Σ. E E 2.Εάν f L X 1 τότε fdλ fdλ Ε Σ. Ε Ε 3.Εάν f, g L 1 X και fdλ gdλ Ε Στότε f g λ-σχεδόνπαντού. Ε Ε 4.Εάν f : 0, 1 X είναι Boherολοκληρώσιµητότεγιαόλασχεδόντα s 0, 1 sh ftdt fs. έχουµε lim 1 h h0 S 5.Έστω Tέναςκλειστόςτελεστήςαπότονχώρο Baach Xστονχώρο BaachΨ.Εάν η f : XκαιηTf :ΩΨείναι Boherολοκληρώσιµεςτότε T fdλ Tfdλ. E Ε 6.Εάν f L X 1 καιε Σ,λΕ 0τότε 1 λε fdλ cofe. Ε Ένααποτασηµαντικάθεωρήµαταγιαµετρήσιµεςσυναρτήσεις f : Xείναιτο θεώρηµα Μετρησιµότητας του Pettis. 1.2Θεώρηµα [D-U] :Έστω f : Xµιασυνάρτηση.Ταεπόµεναείναιισοδύναµα. 1.Ηfείναιµετρίσιµη 2. x X ηπραγµατικήσυνάρτηση x f :ΩείναιµετρήσιµηκαιυπάρχειΕ Σ, λε 0έτσιώστετοσύνολο fω\εείναι (orm)διαχωρίσιµουποσύνολοτο X. Απόδειξη: (1 2)Αςυποθέσουµεότιηf: X είναιµετρίσιµη.αποτοθεώτηµατου Egoroff µπορούµεναβρούµεµιαακολουθία f απλώνσυναρτήσεωνέτσιώστε lim f f 0 λ-σχεδόνοµοιόµορφα. ηλαδήγιακάθε NυπάρχειένασύνολοΕ Σέτσιώστε 4

λε 1 και lim f fοµοιόµορφαστοω\ε.κάθεσυνάρτηση f έχειπεδίοτιµώνένα φραγµένο υποσύνολο κάποιου υπόχωρου του X που είναι πεπερασµένης διάστασης. Εποµένωςτοσύνολο fω\ε είναιολικάφραγµένο (totally bouded)καιδιαχωρίσιµο. Είναιφανερόλοιπόνότιτοσύνολο f Ω\Ε fω\ε είναιδιαχωρίσιµο. Παρατηρούµε επίσης ότι το σύνολο Ω\ 1 1 1 Ω\Ε Ε έχειλ-µέτροµηδέναφού λε 1.ΈχουµεαποδείξειλοιπόνότιυπάρχεισύνολοΕ,λΕ 0έτσιώστετο σύνολο fω\εείναιδιαχωρίσιµο. 1 Εάν x X τότεησυνάρτηση x f είναιαπλήαφούηf είναιαπλή.γνωρίζουµεότι f ω fωγιαόλασχεδόνταω Ωεποµένως x f ω x fωγιαόλασχεδόντα ω Ω.Αυτόσηµαίνειότιησυνάρτηση x f :Ωείναιµετρήσιµη. 2 1 :ΈστωΕ Σ,µελΕ 0και fω\εδιαχωρίσιµουποσύνολοτου X.Έστω x ένααριθµήσιµοπυκνόυποσύνολοτου fω\ε.μετηβοήθειατουθεωρήµατος Hah-Baachµπορούµεναδιαλέξουµεµιαακολουθία x συναρτησοειδώνστον X έτσιώστε x x x και x 1.Εάνω Ω\Ετότε fω sup x fω.εποµένως ησυνάρτηση f x είναιµετρήσιµη. Έστωε 0.ΘεωρούµετασύνολαΕ ω Ω:g ω ε.εάντοµέτρολείναι πλήρεςτότεκάθεε ανήκειστηνσ.σεκάθεπερίπτωση β Σµελβ E 0. Ορίζουµετηνσυνάρτηση g :ΩXωςεξής: gω χ εάνωεβ \ β m m gω 0εάνω β. Παρατηρούµεότι gω fω εγιαόλασχεδόνταω Ω. ηλαδήηf µπορείνα προσεγγιστεί από µια συνάρτηση g που παίρνει αριθµήσιµο το πλήθος τιµές. Εάν πάρουµεε 1 είναιφανερόότιµπορούµενακατασκευάσουµεµιαακολουθία g από συναρτήσειςπουπαίρνουναριθµήσιµεςτοπλήθοςτιµέςκαι g f 1 σχεδόν παντού.κάθε g έχειτηµορφή g x,m X E,m µεε,i Ε,j εάν i jκαι E,m Σ. m1 Επειδήτοµέτρολείναιπεπερασµένοείναιδυνατόννα "κόψουµε"λίγοτις g καινα ορίσουµεµιαακολουθία f απόαπλέςσυναρτήσειςπουνασυγκλίνουνσχεδόνπαντού στην f. Αυτό σηµαίνει ότι είναι η f είναι µετρήσιµη. ΈστωΩέναµηκενόσύνολο,Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩκαι Xέναςχώρος Baach. 5

1.3Ορισµός: Hαπεικόνησηµ :ΣXκαλείταιδιανυσµατικόµέτρο (vector measure) εάνµ Α µα γιακάθεακολουθία Α ξένωνσυνόλωναπότηνσ-άλγεβρα Σ. 1 1 Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι η σειρά µα όχιµόνοσυγκλίνειαλλάκαικάθε 1 αναδιάταξη των όρων της δίνει συγκλίνουσα σειρά εάν το µ είναι διανυσµατικό µέτρο. Η κύµανση (variatio) ενός διανυσµατικού µέτρου µ είναι η (επεκτεταµένη πραγµατική)συνάρτηση µ :Σ0,τηςοποίαςητιµήσ ένασύνολο E Σείναι µ Ε sup µa όπουτο supremumτοπαίρνουµεπάνωσ όλεςτιςδιαµερίσεις π Aπ τουεσεπεπερασµένοτοπλήθοςξένωναναδύοστοιχείωναπότηνσ.εάν µ Ω τότε το διανυσµατικό µέτρο µ καλείται µέτρο φραγµένης κύµανσης (bouded variatio). Εάν Ω,Σ,λείναιέναςχώροςπιθανότητας, Xέναςχώρος Baachκαι f L 1 X λµια Boher ολοκληρώσιµη συνάρτηση µπορούµε να ορίσουµε ένα διανυσµατικό µέτρο µ :ΣXωςεξής:µΕ fdλ,ε Σ.Τοότιτοµείναιαριθµήσιµαπροσθετικό Ε χρειάζεταιαπόδειξη (ΕάνΕ Ε µε Ε ακολουθίαξένωναναδυοσυνόλωναπότη Στότεησειρά fdλσυγκλίνειαπολύτωςγιατίκυριαρχείταιαπότηνσυγκλίνουσα 1Ε σειράf dλ.παρατηρούµεότι 1 Ε fdλ f dλ Ε 1Ε 1 fdλ.είναιφανερόότι Ε 1 limλ m m1 Ε 0καιεποµένως ότιµ Ε µε ). 1 1 lim m fdλ 0 Ε Ε 1Ε m1 1 fdλ fdλ.αυτόσηµαίνει Τοµέτροµ,µΕ fdλείναιφραγµένηςκύµανσης (bouded variatio)καιαπολύτως Ε συνεχέςωςπροςτολ(δηλαδήεάν E ΣκαιλΕ 0τότε µ Ε 0). Είναι φυσικό να ρωτήσουµε εάν κάθε διανυσµατικό µέτρο µ, που είναι φραγµένης κύµανσης και είναι απόλυτα συνεχές ως προς το λ προέρχεται απο µια Boher 6

ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι αρνητική όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγµα:Έστω Ω,Σ,λ 0, 1, Lebesgueµετρήσιµασύνολα, Lebesgueµέτρο). Έστω XοBaachχώρος L 1 0, 1.Θεωρούµετοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣL 1 0, 1που ορίζεταιωςεξήςµα X Α,Α Σ. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι το µ είναι ένα διανυσµατικό µέτρο πεπερασµένης κύµανσης και απολύτως συνεχές ως προς λ. Αςυποθέσουµεότι f L 1 L 1λέτσιώστεµΑ f dλθακαταλήξουµεσεάτοπο. Έστω F L 0, 1 L 1 0, 1.Είναιφανερόότι F, ftdλt F, ftdλt F, X A Ftdλt. Αυτόσυνεπάγεταιότιυπάρχειένα Α Α σύνολοαf ΣµελΑF 0έτσιώστε F, ft Ftt 0, 1\AF. Α Α Έστω Ι ηακολουθίαόλωντωνυποδιαστηµάτωντου 0, 1µερητάάκρα.Έστω F X I L 0, 1.ΈστωΑ ΑF και x 0. 1\Α. 1 Έχουµε ότι fxsdλs F sfxsdλs F x.εάν x I τότε F x 0 Ι εποµένως fxs 0γιαόλασχεδόντα s 0, 1εάν x 0, 1 \Α.Αυτόσυνεπάγεταιότι η f : 0, 1 L 1 µηδενίζεταισχεδόνπαντού. ενείναιδυνατόνλοιπον fdλ X Α, Α Σ. Α 7

2.ΗΙ ΙΟΤΗΤΑ RADON - NIKODYM 2.1Ορισµός:Οχώρος Baach Xλέµεότιέχειτην Rado - NikodymΙδιότητα (RNP) εάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λκαιγιακάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX (το οποίο είναι φραγµένης κύµανσης και απόλυτως συνεχές ως προς το λ) υπάρχει Boher ολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λέτσιώστεµε f dλ E Σ. 2.2 Ορισµός: Έστω Κ ένα κλειστό φραγµένο κυρτό υποσύνολο του χώρου Baach X. ToσύνολοΚέχειτην Rado - NikodymΙδιότηταεάνγιακάθεχώροπιθανότητας Ω,Σ,λ καικάθεδιανυσµατικόµέτροµ :ΣXτοοποίοείναιαπολύτωςσυνεχέςωςπροςλ, είναιφραγµένηςκύµανσηςκαιπουτο "average rage"αµ µε,ε Σ,λΕ 0. λε περιέχεταιστοκυπάρχει f L 1 X λέτσιώστεµα fdλ E Σ. Ε ΈνακλειστόκαικυρτόυποσύνολοΚ Xέχειτην RNPεάνκάθεκλειστό,κυρτόκαι φραγµένο υποσύνολο του Κ έχει την RNP. Οιχώροι L 1, c o, c0, 1, l, L δενέχουντην RNP.Κάθεαυτοπαθήςχώρος,κάθεδυϊκός χώροςείναιδιαχωρίσιµος (π.χ. l 1 )κάθεχώροςµε boudelly completeβάσηέχειτην RNP. Είναιπολύεύκολοναδείκανείςότι: 1.Εάν X,Ψείναιισοµορφικοίχώροι BaachκαιοXέχειτην RNPτότεκαιοΨέχειτην RNP. 2. EάνοXέχειτην RNPτότεκαικάθευπόχωροςτου Xέχειτην RNP. 3.Εάνκάθεδιαχωρίσιµοςυπόχωροςτου Xέχειτην RNPτότεκαιοXέχειτην RNP. 2.3Ορισµός:ΈστωΑέναφραγµένουποσύνολοτου X.ΤοΑκαλείται detableεάν ε 0 xεαέτσιώστε x coa\b ε x. (coσυµβολίζειτηνκλειστήκυρτήθήκηκαι B ε x y X : x y ε) ΕάνΑείναιέναφραγµένουποσύνολοτου X,α 0και f X, f 0τότετο slice τουα πουορίζεταιαπότο f καιτοαείναιτοσύνολο sα, f,α x Α:fx supfa α. Είναιεύκολοναδείκανείς (µετηβοήθειατου Hah-Baach)ότιένασύνολοΑείναι detableεάνκαιµόνοεάν ε 0υπάρχεικάποιο slice sa, f,ατουοποίουηδιάµετρος 8

είναι µικρότερη απο ε. Το 1967 ο M.A.Rieffel εισήγαγε την ένοια της detability και απέδειξε το εξής θεώρηµα. 2.4 Θεώρηµα [D-U] : Έστω X ένας χώρος Baach. Εάν κάθε φραγµένο υποσύνολο του Xείναι detableτότεοxέχειτην RNPιδιότητα. Απόδειξη:Έστωµ :ΣXέναδιανυσµατικόµέτροφραγµένηςκύµανσηςκαι απολύτως συνεχές ως προς το µέτρο πιθανότητας λ. Εάν µ είναι η variatio του µ από το κλασικό Rado-Nikodym θεώρηµα µπορούµε ναβρούµε h L 1 λ, h 0έτσιώστε µ Ε hdλ, Ε Σ.Εάν F ΣµεΑF συµβολίσουµετοσύνολο µg λg : G F,λG 0. Εάνησυνάρτηση hείναιφραγµένηστο Fτότετο AFείναιφραγµένοσύνολοδιότι µg λg µ G λg 1 λg hdλ. G Η καρδιά της απόδειξης Rieffel βρίσκεται στο επόµενο λήµµα. Ε 2.5Λήµµα: 3 0,Ε ΣµελΕ 0,F Σµε F ΕκαιλF 0έτσιώστε diamaf ε.γιανααποδείξουµετολήµµααςυποθέσουµεότιη hείναιφραγµένηστο 9

Ε,καιεποµένωςτοσύνολοΑΕείναιφραγµένο.Αυτόµπορούµενατοκάνουµεχωρίς βλάβητηςγενικότηταςαφούε ω Ε:hω.ΤοσύνολοΑΕείναι detable εποµένως F 0 Ε,λF 0 0έτσιώστε µf 0 λf 0 coαε\β ε µf 0 2 λf 0 Q. Εάν diamaf εέχουµεαποδείξειτολήµµα.εάν diamaf ετότε Β F 0,λΒ 0 έτσιώστε µβ Q.Πραγµατικάεάν µκ Q Κ F λβ λκ 0,λΚ 0τότε µκ µf 0 λκ λf 0 ε diamaf ε ε ε. ιαλέγουµετώραµια maximal 2 2 2 (αναγκαστικάαριθµήσιµη)οικογένειααπόξέναανάδύοσύνολα Β,λΒ 0,Β F 0 και µβ λβ Q.Θεωρούµετοσύνολο F F 0 \Β.ΕάνλF 0τότεµF 0και µπορούµεναγράψουµε µf 0 λf 0 µ Β λβ i λβ λβ i µβ.αυτόσηµαίνειότιτο µf 0 λβ λf 0 βρίσκεταιστο Qπράγµαάτοπο. ενείναιλοιπόνδυνατόνναείναιλf 0. ΕποµένωςλF 0.Απότην maximalityτης Β εάν G FκαιλG 0τότε µg Q µg µf 0 ε. Αυτόσυνεπάγεταιότι diamaf εκαιτολήµµαέχει λg λg λf 0 2 αποδειχθεί. Τώρα συνεχίζουµε την απόδειξη του θεωρήµατος. Μπορούµε να πάρουµε (ξανά!) µια maximal (αναγκαστικααρθµήσιµη)οικογένεια Ε i i απόξέναανάδύοσύνολαστην Σ,λΕ i 0έτσιώστε diamaε i ε i.είναιφανερότώραότιµεεπαγωγήµπορούµενα βρούµεµιαακολουθίαδιαµερίσεωνπ Ε i i,αύξουσαωςπροςτην refiemetέτσι ώστε diamaε i 1 1,.Θεωρούµετησυνάρτηση g 2 1 :ΩX, g µe i i λe i X E i. Παρατηρούµεότιηg είναιοµοιόµορφα Cauchy (g ω g m ω 1 2 1 εάν m )και εποµένωςηg συγκλίνειστην L X 1 νόρµασεκάποιασυνάρτηση g L X 1. ΓιακάθεΕ Σ έχουµε ότι µε g dλ Ε µε i E i µe i λe i i ΕποµένωςµE lim g dλ gdλ Ε Σ. Ε Ε λε i E µε i E µε i λε i E λε i i λε i E Εδώ τελείωσε η απόδειξη του θεωρήµατος! Παρατήρηση:ΑςυποθέσουµεότιτοΑΩ µε,ε Σ,λΕ 0είναιφραγµένο λε απότο 1.Έστωφ g g 1, 1.Είναιφανερόότιφ x i X Ei, µε x i X,x i 1 2.Μπορούµεναορίσουµε v : S l 1 ωςεξής vε,i 1 2 λε Ε i.έστωτ : l 1 Xένας (φραγµένος)γραµµικόςτελεστής i 10

έτσωώστετe,i 2 x i όπουτο e,i είναιτο, iµοναδικόδιάνυσµατηςσυνηθισµένης βάσηςτου l 1. ΜπορείεύκολαναδείκανείςότιΤ v µ. Παρατήρηση:Έστωµ :Σέναπραγµάτικοµέτροστο 0, 1καιέστωότι µε λεόπουλτοµέτρο Lebesgue.Μετηµέθοδοτηςαποδείξεωςτου προηγούµενου θεωρήµατος µπορούµε να αποδείξουµε ότι το µέτρο µ έχει µια Rado-Nikody παράγωγο. Έτσι έχουµε µια πολύ απόδειξη του κλασικού Rado-Nikody θεωρήµατος. Η παρατήρηση αυτή οφείλεται στον R.E.Huff. 11

3. Martigales Έστω Ω,Σ,λέναςχώροςπιθανότηταςκαιΣ Σµιασ-άλγεβραυποσυνόλωντουΩ. Με Xσυµβολίζουµεκάποιοχώρο Baach. Hσυνάρτηση g L 1 X λκαλείται coditioal expectatioτης fωςπροςσ εάνηgείναισ -µετρήσιµηκαι gdλ fdλ,ε Σ.ΜεΕf Σ συµβολίζουµετην coditioal expectatioτης fωςπροςσ. Ε Ε Παρατήρηση:Τοκλασικόθεώρηµα Rado - Nikodymδίδειαµέσωςότιεάν f :Ω είναιµιαπραγµατικήσυνάρτησηκαισ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣτότεηΕf Σ υπάρχει.πραγµατικάεάνησ είναιτοµέτροµα fdλτότε m λκαιηεf Σ είναιηrado-nikodymπαράγωγος dm dλ. Ο ίδιος συλλογισµός αποδεικνύει ότι αν f :ΩXείναιµια boherολοκληρώσιµησυνάρτησηκαιοxέχειτην RNPτότεηΕf Σ υπάρχει. Α Αυτόπουείναισηµαντικόείναιότιακόµακαιεάνοχώρος Xδενέχειτην RNP µπορούµεναορίσουµε coditioal expectatioσυναρτήσεωνστον L 1 X ωςεξής:ξεκινάµε απότιςαπλέςσυναρτήσειςτηςµορφής f x i X Ai, A i Σ, x i X.ΟρίζουµεΕf Σ x i ΕX Ai /Σ όπουηεx Ai /Σ είναιηπραγµατική coditioal expectatioτης i1 συνάρτησης X Ai L 1 λ. i1 Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή (που η f είναι απλή συνάρτηση) έχουµε 1.Ηg Εf Σ είναισ µετρήσιµη 2. gdλ x i EX Ai /Σ x i Α Α Α X Ai fdλ,a Σ. Α 3.ΗΕf Σ είναιγραµµικήωςπροςτην f. 4.ΗΕf Σ ω Εf/Σ ω Εάντώρα f L X 1 λείναιµιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση 12

f :ΩX τότεηf µπορείναπροσεγγιθείαπόαπλέςσυναρτήσεις S.Ηακολουθία Εs /Σ 1 είναι Cauchyστον L 1 X λκαιτοόριοτηςείναιανεξάρτητοαπότηνακολουθία S.ΤοόριοαυτόείναιηΕf Σ.Όλαταπαραπάνωσυνοψίζονταιστοεξής 3.1Θεώρηµα:Έστω f L X 1 Ω,Σ,λ,Σ Σµιασ-υποάλγεβρατηςΣ.Υπάρχει g Εf Σ (ουσιαστικάµοναδική)έτσιώστε α.εf Σ L X 1 Ω,Σ,λ β. gdλ fdλ,a Σ Α Α ΟτελεστήςΕ/Σ : L X 1 L X 1 είναιγραµµικόςκαιικανοποιείταεξής: 1. Εf Σ ω Εf/Σ ωλ-σχεδόνπαντού 2. Εf Σ ω f 1, L X 1 λ 3.ΕάνΣ Σ είναισ-άλγεβρατότεεεf Σ /Σ ΕΕf Σ /Σ Εf Σ. 3.2Ορισµός:ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ...Σµιααύξουσαακολουθία f,σ, fl X 1 λ καλείται martigaleεάνεf 1 /Σ f,. Παράδειγµα 1:Έστω L X 1 λκαισ 0 Σ 1...Σ µιααύξουσαακολουθία σ-αλγεβρων.έστω f Εf/Σ.Τότεηακολουθία f,σ είναιένα martigale. Παράδειγµα 2:Έστω x,k, 0, 1, 2,..., k 1, 2,..., 2 έναδένδροσ έναχώρο Baach X. Aυτόσηµαίνειότιηακολουθία x,k είναιφραγµένηκαι x,k 1 x 2 1, 2k 1 x 1,2k 0, 1, 2,..., 1 k 2. Έστω I,k k1 k,, 0, 1, 2,..., 1 k 2 ηακολουθίατωνδυαδικώνδιαστηµάτων.μεσ 2 2 συµβολίζουµετηνπεπερασµένηάλγεβραπουγεννάταιαπότην I,k 1 k 2. 13

Μπορούµε να ορίσουµε ένα martigale µε τιµές στο χώρο X ως εξής: ξ 0 x 01 X Io1 ξ 1 x 11 X I11 x 12 X 12 2 ξ x,k X I,k,ξ : 0, 1 X. k1 Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι ξ 0 ξ 1 αφού x 01 1 x 2 11 x 12.Οµοίως 0,1 0,1 έχουµεότιεξ 1 /Σ ξ. ηλαδήηακολουθία ξ,σ είναιένα martigale. Έναδένδρο x,k καλείταιε-δένδροεάν x 1,2k1 x,k ε k 1 k 2. Είναιφανερόότιτο martigale ξ Σ πουαντιστοιχείσ έναε-δένδροδενµπορείνα συγκλίνειαφού ξ 1 t ξ t ε,t 0, 1.Στον L 1 0, 1υπάρχειένα 1-δένδρο. X k1 2, k 2 Πραγµατικάεάν h,k, 1 k 2, 0, 1,... έχουµεότι h 1,k 1 1 2 k, 1 k 2 και h 1,2k1 h 1,2k 1 1. Είναιεπίσηςφανερόότι h,k είναιδένδρο δηλαδή h 1,2k1 h 1,2k 2h,k,,k, 1 k 2. 14

3.3 MAXIMAL INEQUALITY [Bou] :ΈστωΣ 0 Σ 1...Σ Σµιααύξουσα ακολουθία σ-αλγεβρών από µετρήσιµα υποσύνολα του Ω. Έστω h µιαακολουθίαθετικώνπραγµατικώνσυναρτήσεωνέτσιώστε: 1.Ηh j είναιησ j µετρήσιµη j 2.Εάν i,α Σ j τότε h i d λ h d λ και Α Α 3. sup h j j Ω Τότε c 0λω Ω: sup h j ω c 1 c j Ω sup h j dλ. Απόδειξη:Έστω έναςσταθερόςφυσικόςαριθµός.μεα 1 συµβολίζουµετο σύνλο ω Ω:h 1 ω c. j Ω Εάν 2 i µεα i συµβολίζουµετοσύνολοα i ω Ω, h 1 ω c,..., h i1 ω c, και h 1 ω c.είναιφανερόότια i Σ i καια ι Α j, i j, 1 i. Παρατηρούµε ότι c λω Ω: sup h j ω c cλ A i cλα i h i dλ h dλ h dλ sup j Ω Έχουµελοιπόναποδείξειότιλω : sup h j ω c 1 c i1 j Ω έχουµελω : sup h j ω c 1 c j i1 sup h j. j Ω i1 A i j Ω i1 A i sup h j. Είναιφανερόότιεάν Ω j 3.4ΤΟΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ LEVY - DΕVB [Bou] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότηταςκαι Σ 1 Σ 2...Σ....Σακολουθίααπόσ-υποάλγεβρεςτηςΣτωνοποίωνηένωσηγεννά τησ.έστω f Ef/Σ όπου f µιαοποιαδήποτε Boherολοκληρώσιµησυνάρτηση f L 1 X λ. Tότε lim f ω fωλ-σχεδόνπαντούκαι lim f f 1 0. Απόδειξη:Έστωφ f L X 1 λέτσιώστε f ω fω 0λ-σχεδόνπαντούκαι f f 1 0όταν. θααποδειχθείότιτοφείναικλειστόκαιπυκνόστον L X 1 λ 15

Α )Τοφείναιπυκνόστον L 1 X λ :Εάν f L 1 X Ω,Σ,λ (δηλαδήεάνηf είναι Σ -µετρήσιµητότεεf/σ k f k f φ. Είναιφανερόλοιπόνότι φ L 1 X Ω,Σ,λ. Κάθεσυνάρτησητηςµορφής x X A, x X A Σ ανήκειστοφ. 1 Αφούη Σ είναιπυκνήστηνσµπορούµεναδούµεότικαικάθεσυνάρτησητης 1 µορφής x X B, x X, B Σανήκειστηνφ.Παρατηρούµεότιογραµµικόςχώροςφ περιέχειτοπυκνόσύνολοτωναπλώνσυναρτήσεων φείναιπυκνόστον L X 1 Ω,Σ,λ. 1 Β )Οφείναικλειστόςστον L X 1 λ. Έστω f στηνκλειστήθήκητουφ. ε 0,δ 0 g φέτσιώστε f g 1 2 ε δ. Έστω g EG/Σ. Γιαόλασχεδόνταω Ωέχουµε f ω f κ ω g ω g κ ω f g ω f k g k ω g ω g κ ω Ef Έστω h j ω Εf g/σ j ω. Απότιςπαραπάνωανισότητεςκαιαπότοότι g φ έχουµε ότι lim sup f ω f k ω 2 sup h j ω,λ-σχεδόνπαντού.ηακολουθία h j,k ικανοποιεί τις συνθήκες της maximal iequality (3.3) και εποµένως λω : lim sup f ω f k ω ε λω : 2 sup h j ω ε 2 ε,k j j sup h j 1 2 ε j sup Αφούταε,δήτανοποιοιδήποτεθετικοίαριθµοίέιναιφανερόότιτοόριο lim ω fω υπάρχει σχεδόν παντού. Τώρα θα µπορέσουµε να αποδείξουµε ότι η f που πήραµε στο φ ανήκειστοφ.ε 0µπορούµεναβρούµε g L 1 X Ω,Σ Ν,λγιακάποιοΝ έτσιώστε f g 1 ε. Όταν Νέχουµε 2 f f 1 f g 1 g Eg/Σ 1 Eg f/σ 1 ε 0 g f 2 1 0.Αυτό συνεπάγεταιότικάποιαυπακολουθία f i της f συγκλίνεισχεδόνπαντούστην f fω lim f i ω fω lim f ωλ. i j Ω 3.5Θεώρηµα [D-U] :Έστω Xέναςχώρος Baachκαι K Xείναικλειστό,φραγµένο σύνολο µε την RNP. Τότε κάθε martigale µε τιµές στο K συγκλίνει σχεδόν παντού. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοΚέχειτην RNPγιατοχώρο Ω,Σ,λκαιότι Σ 1 Σ 2...Σ είναιµιααύξουσαακολουθίασ-υποάλγεβρωντηςσκαιότιη Σ γεννάτηνσ. Έστω f,σ ένα martigaleµετιµέςστοκ.ορίζουµεταδιανυσµατικά µέτραµα f dλ,α Σ,. Tαµείναισυνεχήωςπροςλµ λ. Eίναι Α εύκολοναδείκανείςότιτο "average rage" Aµ µ E λε,λε 0περιέχεταιστοΚ. ιότιεάν x X,τότε x µ A λa 1 λα Α 1 x f λ λ supx x : x K. ΑφούτοΚείναι (ασθενώς)κλειστό,κυρτό µ Α Κ. Παρατηρούµετώραότιτο lim µ λα Aυπάρχει 16

Α Σ αφούτο f,σ είναι martigaleκαιηακολουθία f dλείναιτελικάσταθερή 1 γιαα Σ. Μάλισταµπορείναδειχθείότιτοόριο lim µ Aυπάρχει Α Σαφούη Σ γεννάτηνσ.πραγµατικά ε 0,Α Σ Β Σ Ν γιακάποιον έτσιώστε λαβ ε όπουμ supx, x K. Εάν Nέχουµε 2Μ f dλ f Ν dλ Α Α Β Β ΑΒ f dλ f Ν dλ f dλ f Ν dλ 0 2λΑΒΜ ε. Αφούλοιπόνηακολουθίαµ A είναι Cachyτοόριοµ A lim µ Aυπάρχει.Το ΑΒ Α ΑΣ θεώρηµατων Vitali - Hah -Saks (3.6)συνεπάγεταιότιτοµ :ΣΧ,µA limµ A είναιµέτρο (δηλαδήείναιαριθµήσιµαπροσθετικό).αφούµ λ,αµ Αµ Κ καιτοκέχειτην RNPυπάρχει f L 1 Χ Ω,Σ,λέτσιώστεµA fdλ Α Σ. ΓιαΑ Σ έχουµε fdλ µa µ A f dλ Ef/Σ f λ-σχεδόνπαντού.απότοθεώρηµα Α Α του Levy-Doob (3.6) έχουµε ότι lim f ω fω 0λσχεδόνπαντού.Απεδείχθη λοιπόνότιεάντοκέχειτην RNPτότεκάθε martigaleµετιµέςστο Kσυγκλίνεισχεδόν παντού. Α 1 Στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα των Vitali-Hah-Saks. Για πληρώτητα παραθέτουµε την απόδειξη του από τον Duford-Schwartz Yel.Ip155. 3.6Θεώρηµα VITALI-HAHN-SAKS [D-S] :Έστω Ω,Σ,λχώροςπιθανότητας, X χώρος Baach καιµ :ΣΧµιαακολουθίααπόλ-συνεχή µ λδιανυσµατικά µέτρα.εάντοόριο lim µ Ευπάρχει Ε Στότε lim µ Ε 0οµοιόµορφα λε0 1, 2, 3,... Επιπλέοντοµ :ΣΧ,µΕ lim µ Εείναιδιανυσµατικόµέτρο. Απόδειξη: Μπορεί εύκολα να δεί κανείς ότι µπορούµε να ορίσουµε µια µετρική στο Σ. ΗαπόστασητωνσυνόλωνΑ,Β ΣθαείναιλΑΒ.Μπορείνααποδειχείότιαναυτόςο µετρικόςχωρόςείναιπλήρης.κάθεµ :ΣΧείναισυνεχήςσυνάρτησηαπότον µετρικόχώροσστοχεπειδήµ λ.τασύνολα Σ,m E : E Σ, µ E µ m E εείναικλειστά ε 0. Εποµένωςκαιτοσύνολο Σ ρ Σ,m είναικλειστόστονπλήρηµετρικόχώροσ.αφούτο limµeυπάρχει,mp Ε ΣέχουµεότιΣ Σ ρ.απότοθεώρηµατου BaireκάποιοαπόταΣ ρ έχει ρ1 εσωτερικόσηµείο.υπάρχειλοιπόνακέραιος q, r 0, A Σέτσιώστε ΕστησειράΚµε κέντροτοακαιακτίνα rναέχουµε µ E µ m E ε,, m 1. Αςπάρουµε 0 δr έτσιώστε µ Β ε 1, 2, 3,..., q 1, q ΒµελΒ δ. ΕάντώραλΒ δγια κάποιοβέτσιώστεα\β,αβναανήκουνστησφαίρακ Ε Σ:λΑΕ r. Θα 17

έχουµε µ Β µ q Β µ Β µ q Β µ q B µ A B µ q A B µ A\B µ q A\B Έχουµε δείξει λοιπόν ότι lim µ Ε 0οµοιόµορφαγια 1, 2, 3,... λε0 Αποµένει να δειχθεί ότι µ είναι αριθµήσιµα προσθετικό. Αρκεί να δείξουµε ότι µ Ε m 0γιακάθεφθίνουσαακολουθίαΕ 0 Ε 1...Ε m... µε E i. Έχουµε γιαµιατέτοιαακολουθία Ε ι ότιλε m Σ λε \Ε k1. Απότην έχουµεότι ε 0 m ε έτσιώστε µ Ε m ε m m ε, 1, 2,... µe m ε m m ε µε m 0 A.E.D. m km i1 3.7Λήµµα:ΈστωΚένακυρτόκλειστόφραγµένουποσύνολοτουΧ.Έστω Σ 1 Σ 2...Σ µιααύξουσαακολουθίασ-αλγεβρώνστο 0, 1καιξ : 0, 1 Κµια ακολουθίααπόσ µετρήσιµεςσυναρτήσειςγιατηνοποίασ ξ E j 1 ε. (Εδώµε Ε συµβολίζουµετην ExpectatioωςπροςΣ. Tότευπάρχειένα martigale ξ,σ µε τιµέςστο έτσιώστε ξ ξ 1 ε. Απόδειξη: fix k. Έχουµεότι ξ Ε κ ξ κ1 1 Σ E k ξ E k ξ 1 1 ε. Ηακολουθία Ε κ ξ 1 k µπορείνααποδειχθείότιείναι Cauchyκαιεποµένωςσυγκλίνειστον L 1 X σ έναόριοξ k. Είναιφανερόότι ξ κ ξ κ ε. Ηξ κ παίρνειτιµές (σχεδονπαντου)στοσύνολο Κ.Παρατηρούµεότιξ κ1 lim E κ1 ξ εποµένως E κ ξ κ1 lim E κ ξ ξ κ. Αυτό σηµαίνειότιηακολουθία ξ κ,σ κ κ είναιένα martigale. Είµαστε τώρα σε θέση να αποδείξουµε το εξής θεώρηµα 3.8Θεώρηµα [D-U] :ΈστωΚένακλειστόφραγµένοκυρτόυποσύνολοτουΧ.Εάν κάθε martigaleξ : 0, 1 ΚσυγκλίνεισχεδόνπαντούτότεκάθευποσύνολοτουΚ είναι detable. Απόδειξη:ΑςυποθέσουµεότιτοσύνολοΑ Κδενείναι detable.αυτοσηµαίνειότι ε 0έτσιώστε x A, x coa\bx,ε. Αρκείνααποδείξουµεότιυπάρχειµια ακολουθίασ 1 Σ 2...Σ,... σαλγεβρώναπό (µετρήσιµα)υποσύνολατου0, 1και µιαακολουθία ξ ξ : 0, 1 Kέτσιώστε 18

1.ΚάθεΣ είναιπεπερασµένη 2. ξ 1 ξ ε 3.Κάθεξ είναισ -µετρήσιµηκαιπαίρνειτιµέςστοα. 4. Σ ξ Ε ξ 1 1 ε. 3 ΗκατασκευήτωνΣ καιτωνξ θαγίνειεπαγωγήωςπρος. α.σ 1 φ,0, 1,ξ 1 x X 0,1 όπου xείναιέναοποιοδήποτεστοιχείοτουα. j β.αςυποθέσουµεότιέχουµεκατασκευάσειτηνσ καιξ. Έστω Ι i i1 ηδιαµέριση του 0, 1πουγεννάτηνΣ,καιαςυποθέσουµεότιηξ : 0, 1 Αείναιτηςµορφής ξ Σ j x i X Ii x 1, x 2,..., x j A. i1 Fix i.γνωρίσουµεότι x i coa\bx i,εκαιεποµένωςυπάρχουνθετικοίαριθµοί λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki, καιστοιχεία x i,1, x i,2,..., x i,ki τουσυνόλουα\βx i,ε έτσιώστε i.λ i,1,λ i,2,...,λ i,ki 1 ii. x i λ i,1 x i,1...λ i,ki x i,ki ε 3 ώστελι i,κ λ i,κ λι i. 2. ΈστωΙ i,1,ι i,2,...,ι i,ki µιαδιαµέρισητουι i έτσι (Εδώβέβαιατολείναιτοµέτρο Lebesgue). ΟρίζουµεΣ 1 ναείναιηάλγεβραπουγεννάταιαπότο Ι i,κ : 1 i j, 1 k k i. Eπίσηςορίζουµεξ 1 : 0, 1 Xναείναιξ 1 έχουµεότι ξ 1 ξ 1 ε. j Σ k i i1k1 Σ x i,k X Ii,k. Eπειδή x i x i,k εiκαι k Παρατηρούµε ότι 19

j k j λi Εξ 1 ΣΣ x i,k i,k X λi i I i ξ E ξ 1 1 Σ x i k i Σ λ i,κ x i,k i1k1 j i1 k1 λι i ε 3 2. Αυτό συνεπάγεταισξ E ξ 1 1 ε. Μπορούµεναπούµεότιµέχριτώραέχουµε 3 αποδείξει το εξής θεώρηµα. 3.9 Θεώρηµα: Έστω Κ ένα κυρτό, κλειστό, φραγµένο υποσύνολο του X. Τα επόµενα είνα ισοδύναµα. (1).ΤοΚέχειτην RNP (2). Κάθε martigale µε τιµές στο Κ συγκλίνει σχεδόν παντού (3). Κάθε υποσύνολο του Κ είναι martigale (3)(1) (2.4) (1)(2) (3.5) (2)(3) (3.8) 20

4ΤΕΛΕΣΤΕΣΣΤΟΝ L 1 ΈστωΤ : L 1 0, 1 XέναςτελεστήςκαιΑ 0, 1ένασύνολοθετικούµέτρου.ΜεΓ Α συµβολίζουµετοσύνολογ Α Τφ : sup pφ Α,φ 0,φ 1. 4.1Λήµµα [B1] :Έστω SΓ Α, x,αένα sliceτουσυνόλουγ Α.Τότευπάρχει Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SΓ Α, x, a. Aπόδειξη:Έστωγ sup x Γ Α aκαιφ 0, sup pφ Α,φ 1έτσιώστε φτ x γ. ΤοσύνολοΚ y L 1 Α : y 0 και yτ x γy 1 είναιέναςκυρτόςκλειστός κώνοςτου L 1 Α. Είναιφανερόότιφ Κκαιεποµένωςαπότοθεώρηµα Hah-Baach g L Aέτσιώστεφg sup yg 0. yκ ΤοσύνολοΒ g 0είναιέναυποσύνολοτουΑκαιέχειθετικόµέτρο.Εάντώρα y 0, y 1και sup py Βέχουµεότι yτ x γ (αφού y Κ) x Ty sup x Γ Α α ΑυτόσηµαίνειότιΓ Β SΓ Α, x, a. Αναπαραστάσιµοι Τελεστές 4.2Ορισµός:Έστω Xέναςχώρος Baach.ΈναςτελεστήςΤ : L 1 0, 1 Xένας τελεστής.αςυποθέσουµεότι ε 0Α 0, 1θετικούµέτρου Β Α,λΒ 0έτσι ώστε diamγ Β ε. ΤότεοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. Απόδειξη:Τοδιανυσµατικόµέτροµ :ΣX,µΑ ΤX Α έχειτηνιδιότητα : Ε 0, 1µελΕ 0 Ε 1 Εέτσιώστετο average rage Αµ µε λε,ε Ε 1,λΕ 0ναέχειδιάµετροµικρότερητουε.Όπωςπροκύπτειαπό την απόδειξη του θεωρήµατος (2.4) το µ έχει Rado-Nikodym παράγωγο η οποία θα είναι η συνάρτηση που "αναπαραστά" τον Τ. 4.3Θεώρηµα:ΈστωΚ Xένακυρτόκλειστόυποσύνολοτου Xµετην RNP.Εάν Τ : L 1 0, 1 XείναιέναςτελεστήςέτσιώστεΓ 0,1 Τφ :φ0,φ 1 ΚτότεοΤ είναι αναπαραστάσιµος. 21

Απόδειξη:ΕάνΑ 0, 1,λΑ 0τότετοσύνολοΓ Α Τφ :φ0 sup pφ Α,φ1 είναι detableκαιεποµένως ε 0 slice SτουΓ Α έτσιώστε diams ε. Απότολήµµα (4.1) Β Α,λΒ 0έτσιώστεΓ Β SκαιότιοτελεστήςΤείναιαναπαραστάσιµος. 4.4Θεώρηµα:ΈστωΚένακλειστόκυρτόφραγµένουποσύνολοτου X.Εάνκάθε τελεστήςτ : L 1 XέτσιώστεΓ 0,1 Κείναιαναπαραστάσιµοςτότεκάθε martigaleµε τιµέςστοκσυγκλίνεισχεδόνπαντού (καιεποµένωςτοκέχειτην RNP). Απόδειξη:Έστωξ : 0, 1 Xένα martigaleµετιµέςστοκ.θεωρούµετοντελεστή Τ : L 1 X,Τφ lim ξ φ. (Τοόριουπάρχειγιακάθεαπλήσυνάρτησηφκαιεποµένως φ L 1 ). Έστω g L X ηπαράγωγοςτουτ.έχουµεότιφg lim ξ φ,φ L 1. Αυτόσηµαίνει ότιεg/σ ξ. Aπότοθεώρηµατου Levy-Doobέχουµεότιτο martigaleσυγκλίνει σχεδόν παντού στην g. 4.5Θεώρηµα (Daford-Pettis) [D-U] :ΈστωΤ : L 1 X έναςαναπαραστάσιµος τελεστής.εάνκ L 1 καιτοσύνολοτκείναι orm-συµπαγέςυποσύνολοτου X. Απόδειξη:Αςυποθέσουµεότι g L X έτσιώστετf fgdλ,f L 1. ΈστωΚένα φραγµένοοµοιόµορφαολοκληρώσιµο (uiformly itergalle)υποσύνολοτου L 1. ιαλέγουµεµιαακολουθία g απλώνσυναρτήσεωνηοποίανασυγκλίνεισχεδόν παντούστην g.απότοθεώρηµατου EgoroffµπορούµεναβρούµεένασύνολοΕ 1 έτσι ώστε lim g gοµοιόµορφαστοε 1 καιτοµέτρολ0, 1\Ε 1 ναείναιτόσοµικρόώστε 0,1\Ε 1 Ε f dλ f K. Τ1 Αφούησυνάρτηση g X E1 : 0, 1 Xέχει (σχετ.)συµπαγέςπεδίοτιµών,οτελεστής f fgdλείναισυµπαγήςκαιεποµένωςτοσύνολο fgdλ,f Κείναισχετ. E 1 συµπαγής. E 1 Παρατηρούµεότιγια f Κ fgdλ Τε 0,1\Ε 1 Τ1 ε. 22

Τοσύνολο Τf : f Κ fgdλ fgdλ, f Κείναι totally boudedαπό E 1 0,1\Ε 1 2ε σφαίρες.άρατοσύνολοτκείναισχετ.συµπαγές. 4.6Θεώρηµα (Lewis - Stegall):ΈστωΤ : L 1 Xέναςτελεστής.ΟΤείναι αναπαραστάσιµοςεάνκαιµόνοεάνυπάρχουντελεστές S : L 1 l 1, U : l 1 Xέτσιώστε Τ US. Ηαπόδειξη (στηγλώσσατωνδιανυσµατικώνµέτρων)έχειγίνειστoκεφάλαιο 2. Παρατήρηση:Γνωρίζουµεότιοχώρος l 1 έχειτηνιδιότητατου Schurδηλαδήεάνµια ακολουθίασυγλίνειασθενώςστον l 1 τότεσυγκλίνεικαιστηνόρµατου l 1.Τοθεώρηµα των Lewis - Stegall δίνει µια άλλη απόδειξη του θεωρήµατος των Duford-Pettis (4.5). 4.7Θεώρηµα:ΈστωΤ : L 1 Xέναςασθενώςσυµπαγήςτελεστής.ΤότεοΤείναι αναπαραστάσιµος. Απόδειξη [S] : Χωρίς βλαβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. Έστω W ένα ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του X έτσι ώστε Τf : f 1 1 W. Μπορούµεναδεχθούµεότιτο Wείναικυρτόσυµµετρικό. ιαλέγουµεµιαακολουθία x i i1 όταν X, x i 1ηοποία "νορµάρει"κάθεστοιχείο του X (δηλαδήεάν x X, τότε x sup x i x ).Έστωα sup x. i xw Ορίζουµε την απεικόνηση Φ : W Q Π α,α i1 Φx x i x i1 x W. ΗσυνάρτησηΦείναιοµοιοµορφισµόςτου Wµετηνασθενήτοπολογίατου Q (διότιη cox i, i 0είναι w πυκνήστηνβ x x X,x 1καιεποµένωςείναι πυκνή ως προς την οµοιόµορφη σύγλιση στην ασθενώς συµπαγή κυρτά υποσύνολα του X). Έστω h i T x i L. Μπορούµεναδούµεότι sup h i ω T x i α i Ορίζουµε y : 0, 1 Q yω h i ω i1. Αφού η y είναι η "κατά συντεταγµένες µετρήσιµη" είναι µετρήσιµη. Θα δείξουµε ότι 23

yω ΦW λ σχεδόνπαντούκαιτότεησυνάρτησηφ 1 Ψθαείναιη"παράγωγος τουτ. Ισχυριζόµαστεότι τοσύνολο A ω : x Wµε x i x h i ω 1 i έχει µέτρο 1.Αυτότοσύνολοείναιµετρήσιµοεπειδήείναιτηςµορφής y 1 Uόποθ Uείναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Q. Ορίζουµε τον τελεστή S X l, S x x i x i1. Οτελεστής S Tείναιαναπαραστάσιµοςµεπαράγωγο τηνσυνάρτησηω h i ω i1. Τοσύνολο S T f : f 1 1περιέχειστοσύνολο S Wπουείναι ormσυµπαγές.αυτόσηµαίνειότι h i ω i1 είναιστο S Wγιαόλα σχεδόνταω 0, 1. ΑυτόσυνεπάγεταιότιλA 1 λ A 1. Γιαω A διαλέγουµε x Wέτσι ώστε i x i x h i ω 1. 1 1 Έστω x 0 έναασθενέςσηµείοσυσσώρευσηςτης x 1. Τότε x i x 0 h i ω i. Αυτό σηµαίνειότι yω ΦW λ σχεδόνπαντού.ησυνάρτησηφ 1 Ψ : 0, 1 Xείναιη παράγωγος του Τ. 4.8Πόρισµα:ΕάνΤ : L 1 XείναιασθενώςσυµπαγήςτότεοΤαπεικονίζειασθενώς συµπαγήυποσύνολατου L 1 σε ormσυµπαγήυποσύνολατου X. 4.9 Superlemma [Bou] : (Asplud, Namioka, Bourgai). Έστω Τ,Κ 0,Κ 1 κλειστά,κυρτάφραγµέναυποσύνολατουχώρου Baach Xκαιε 0 έτσι ώστε (1) J coκ 0 Κ 1 (2)Κ ο Jκαι diamκ 0 ε (3) J\Κ 1 Τότευπάρχειένα sliceτου Jτοοποίοπεριέχειένασηµείοτου Κ 0 καιτουοποίουη διάµετρος είναι µικρότερη του ε. Απόδειξη: r 0, 1θέτουµε C r x X : x 1 λx 0 λx 1, x 0 Κ 1, r λ1. 24

Παρατηρούµεότιόπωςτο r 0τακυρτάσύνολα C r αυξάνουναπότοσύνολοκ 1 στο σύνολο co coκ 0 Κ 1. Πρώταθααποδειχθείότιεάν 0 r 1τότε J\C r K 0 \C r. Έστω f X έτσιώστε sup fk 1 sup ft Έχουµελοιπόνότι sup ft sup fco sup fco maxsup fk 0, sup fk 1 sup ft. Eπίσης παρατηρούµε ότι sup fc r sup fc r sup1 λ sup fk 0 λ sup fk 1 :λr, 1 1 r sup fk 0 rsup Αυτόσυνεπάγεταιότιδενείναιδυνατόν C r K 0 αφούτότε sup fc r sup fk 0. Τοεπόµενοβήµαείναινααποδείξουµεότι diamj\c r εεάντο rείναιαρκετάκοντά στο 0. Αφού J coέχουµε J\C r co\c r. Eπειδήτο C r είναικλειστότο co\c r είναιπυκνόστο co\c r. Εποµένωςεάν w J\C r καιδ 0 x co\c r έτσιώστε w x δ. ιαλέγουµε x 0 K o, x 1 K 1 καιλ 0, rέτσιώστεχ 1 λx 0 λx 1. Έχουµεότι w x 0 w x x x 0 δ λx 0 x 1 δ rmόπου Μ sup 0 y 1 : y 0 Κ 0, y 1 Κ 1 Είναιεύκολοναδούµετώραότι diamj\c r δ rm diamk o δrm Επειδή diamk o εεάνπάρουµεταδ, rκατάλληλαµικράµπορούµενακάνουµετην διάµετροτου J\C r µικρότερηαποε. Τώραεάν x 0 K o και x 0 J\C r τότευπάρχειένα sliceτου Jξένοπρόςτο C r.το slice αυτό έχει διάµετρο µικρότερη απο ε. Υπάρχειµια w µορφήτου Superlemmaηοποίαµπορείναδιατυπωθείωςεξής. Superlemma :Έστωε 0, J, K 0, K 1 w -συµπαγήυποσύνολατουδυϊκούχώρου Baach X έτσιώστε (1) J cok 0 K 1 w cok 0 K 1 (2) K 0 Jκαι diamk o ε (3) J\K 1 25

Τότευπάρχειένα w sliceτου JτοοποίοπεριέχειένασηµείοτουΚ 0 καιτουοποίου η διάµετρος είναι µικρότερη απο ε. 4.10Θεώρηµα [Bou] :ΈστωΚέναασθενώςσυµπαγέςκυρτόυποσύνολοτου X.Τότε τοκέχειτην RNP. Aπόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι το Κ είναι διαχωρίσιµο ασθενώς συµπαγές υποσύνολο του XκαιότιτοΚδενείναι detable.έστω x i έναπυκνόυποσύνολοτουκκαιε 0. Έστω D ασθενώςκλειστήθήκητου w K K. Παρατηρούµεότι Bx i, ε. 3 Το σύνολο D µε την ασθενή τοπολογία είναι συµπαγής (Hausdorff) και αφού τα σύνολα DBx i, ε είναιασθενώςκλειστάαπότοθεώρηµακατηγορίαςτου Baire 2 µπορούµεναβρούµεέναασθενώςανοικτόυποσύνολοτου Vτου Xέτσιώστε V D Bx i, ε γιακάποιο i 3 i1 ΈστωΚ 0 cov Dκαι Κ 1 coκ\v Παρατηρούµε ότι (1)Κ cok 0 K 1 (2) diamk o ε. Έστωτώρα x extk V. (Αφού V D. υπάρχειτέτοιο x).έχουµεότι x ασθενήθήκη Κ\Vκαιεποµένως x K 1 coκ\v. ηλαδή (3) K\K 1. Το Superlemma µπορεί να εφαρµοστεί για το σύνολο Κ αφού ισχύουν τα (1),(2),(3). Εποµένωςυπάρχειένα sliceτουκδιαµέτρουε. ΑυτόσηµαίνειότιτοΚείναι detable. 4.11Λήµµα:Έστω D, Cκλειστάφραγµένακυρτάυποσύνολατου X.Έστω J codcκαιέστω fx sup ft sup fcγιακάποιο f X και x J. Τότε x D. Απόδειξη: x codcέτσιώστε x x 0. Αςυποθέσουµεότι x λ d 1 λ c, 0 λ 1 d D, c C. Χωρίςβλάβητηςγενικότητας υποθέτουµεότι λ lim λ f/d 1 λ fc λ sup fd 1 λ sup fc sup fj. 26