ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Μέθοδοι Παραγωγής Τυχαίων Αριθμών από Συνεχείς Κατανομές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέοδοι Παραγωγής Τυχαίων Αριμών από Συνεχείς Κατανομές Σε αυτό το κεφάαιο, α συνεχίσουμε την παρουσίαση μεόδων παραγωγής τυχαίων αριμών μεετώντας την περίπτωση συνεχών κατανομών. Όπως α δούμε, για την παραγωγή τυχαίων αριμών από συνεχείς κατανομές α χρησιμοποιήσουμε και πάι τις μεόδους που παρουσιάστηκαν στην διακριτή περίπτωση, κατάηα τροποποιημένες. Υποέτουμε γενικά ότι επιυμούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από μία συνεχή κατανομή με σ.κ. και σ.π.π. F Pr, R, F, R αντίστοιχα. 3. Η μέοδος της Αντιστροφής Θεωρούμε και πάι ως δεδομένο ότι μπορούμε να παράγουμε εύκοα έναν ψευδό-τυχαίο αριμό U από την U, και επιυμούμε χρησιμοποιώντας τον αριμό U να παράγουμε έναν ψευδό-τυχαίο αριμό από μια συνεχή κατανομή F. Η μέοδος της αντιστροφής βασίζεται στην παρατήρηση ότι η τ.μ. F U, όπου U ~ U,, ακοουεί την επιυμητή κατανομή F. Υπενυμίζεται β. σχετική παρατήρηση Παραγράφου. ότι στη διακριτή περίπτωση η μέοδος της αντιστροφής υπέκρυπτε τον ίδιο μετασχηματισμό της U και για αυτό πρόκειται ουσιαστικά για την ίδια μέοδο. Αρχικά, υπενυμίζεται ο ορισμός της γενικευμένης αντιστρόφου β. Παρ... μιας σ.κ. F, F u F [ u,] { : F [ u,]}, u [,]. Ο συγκεκριμένος ορισμός καύπτει και την περίπτωση όπου η F δεν είναι αντιστρέψιμη π.χ. στη διακριτή περίπτωση, αά και στην συνεχή περίπτωση όταν η F δεν είναι γνήσια αύξουσα. Στην περίπτωση που η F είναι αντιστρέψιμη π.χ. συνεχής και γνήσια αύξουσα τότε ο παραπάνω ορισμός της γενικευμένης αντιστρόφου συμπίπτει προφανώς με την κασσική αντίστροφη τιμή της συνάρτησης F στο u. Παρατηρούμε επίσης ότι η F ως συνάρτηση κατανομής είναι δεξιά συνεχής, και άρα το mum α επιτυγχάνεται εντός του συνόου {: F [u,]}. Επομένως μπορούμε ισοδύναμα να γράφουμε ότι F u m{: F [u,]}. Η μέοδος οιπόν της αντιστροφής για οποιεσδήποτε π.χ. διακριτές ή συνεχείς κατανομές βασίζεται στην επόμενη πρόταση. Πρόταση. Αν U ~ U, και F είναι μία οποιαδήποτε συνάρτηση κατανομής, τότε η τυχαία μεταβητή F U έχει συνάρτηση κατανομής F. Απόδειξη. Η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. Χ είναι ίση με Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 6

Pr Pr F U Prm{ t : F t U}. Διαπιστώνοντας τώρα ότι m{ t : F t U} U F διότι m{ t : F t U} t : F t U, και επειδή F t F F U, F U { t : F t U} m{ t : F t U}, έπεται τεικά ότι Pr Pr U F F. Συνεπώς, η μέοδος της αντιστροφής για την παραγωγή τυχαίων αριμών από μια κατανομή με σ.κ. F περιγράφεται από τον επόμενο γενικό αγόριμο: ΒΗΜΑ. Παράγουμε έναν τυχαίο αριμό U ~ U, ΒΗΜΑ. Θέτουμε F U. Προφανώς, τις περισσότερες φορές δεν είναι εύκοο να βρούμε άμεσα την γενικευμένη αντίστροφη F - U π.χ. στη διακριτή περίπτωση ή σε συνεχείς κατανομές με σ.κ. πεπεγμένης μορφής. Ας δούμε όμως πως μπορούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από ορισμένες γνωστές συνεχείς κατανομές χρησιμοποιώντας την μέοδο αυτή. Α. Ομοιόμορφη κατανομή στο α,β U,b. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η σ.π.π. και σ.κ. αντίστοιχα είναι, F,, b, b b και άρα αν U ~ U,, η τ.μ. Χ F U + U b α ακοουεί την ομοιόμορφη στο,b. Β. Εκετική κατανομή Ep. Αν μία τ.μ. ακοουεί εκετική κατανομή με παράμετρο >, τότε υπενυμίζεται ότι α έχει σ.π.π. και σ.κ. αντίστοιχα,, F, >. Η F είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση στο, και ειδικότερα, F u u u l u. Επομένως, ένας αγόριμος παραγωγής τυχαίων αριμών από την εκετική κατανομή με παράμετρο, είναι: ΒΗΜΑ. Παράγουμε έναν τυχαίο αριμό U ~ U, ΒΗΜΑ. Θέτουμε l U. Επειδή και η U ~ U, όταν U ~ U,, α μπορούσαμε απούστερα να έσουμε lu. Γ. Η κατανομή Γάμμα G,. Αν μία τ.μ. ακοουεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους, >, τότε υπενυμίζεται ότι α έχει σ.π.π. και σ.κ. αντίστοιχα, Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 7

Γ, >, y και F y, y >. Γ Είναι φανερό ότι, αν και η F αντιστρέφεται, η αντίστροφή της δεν μπορεί να παρασταεί με έναν κειστό τύπο και επομένως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε άμεσα τη μέοδο αντιστροφής. Αν όμως το είναι φυσικός δη., τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τυχαίους αριμούς από την εκετική κατανομή που όπως είδαμε παράγονται εύκοα. Συγκεκριμένα, είναι γνωστό ότι το άροισμα Χ + Χ +...+, το πήος ανεξάρτητων τ.μ. από την εκετική με παράμετρο, ακοουεί κατανομή γάμμα με παραμέτρους,. Επομένως, αν U ~ U,,,,...,, είναι ανεξάρτητες τ.μ., τότε οι τ.μ. lu ~ Ep,,,...,, και τεικά η τ.μ. lu l α ακοουεί κατανομή G,. Συνοψίζοντας, μπορούμε να παράγουμε τυχαίους α- ριμούς από την κατανομή G, ως εξής: ΒΗΜΑ. Παράγουμε τυχαίους αριμούς U,U,...,U ~ U, ΒΗΜΑ. Θέτουμε l UU LU. Μία υοποίηση του παραπάνω αγορίμου μέσω Mthmtc είναι η ακόουη: k5; 3; -Log[Prouct[Rom[],{k}]]/.3594 ενώ για αριμούς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύνοο εντοών: k 5; 3; ; romumbrs {}; Do[r -Log[Prouct[Rom[], {k}]]/; romumbrs App[romumbrs, r];, {}] Prt[romumbrs] {.3594,.53,.7979, 3.867,.9646,.8839,.98587,.54376,.65477,.5377,.637865,.89546,.65458,.475,.3959,.6699,.6554,.7369, 3.779,.48,.7657, 4.34688,.7963,.748,.45764,.8587,.66843,.849,.7444,.756,.57948,.56743,.8,.877,.7673,.5375,.97447,.8748,.589,.734,.947,.3485,.96453,.694,.9688,.57388,.833,.83459,.33,.695,.69456,.6798,.7683,.937,.77383,.37,.535,.73,.749,.7784,.73845,.648,.56959, 3.5663,.5343,.3887,.95567,.7947,.643,.3936,.8756,.9554,.9,.5795,.9556,.38973,.5767,.7399,.99957,.394,.68,.8883,.6994,.469,.86,.9547,.46888,.999,.459,.64488,.46669,.573,.46586,.6534,.6949,.34449,.93869,.4475, 3.735,.6} U, Οι παραπάνω αριμοί μπορεί να εωρηεί ότι αποτεούν ένα τυχαίο δείγμα από την κατανομή γάμμα k 5, 3. Συνεπώς, αν πάρουμε ένα αρκετά μεγάο δείγμα, α πρέπει το ιστόγραμμα συχνοτήτων να προσεγγίζει την σ.π.π. της γάμμα 5,3. Αυτό είναι δυνατόν να επαηευτεί και μέσα από το Mthmtc ως εξής: αρχικά κατασκευάζουμε τη ίστα romumbrs παράγοντας αριμούς από τη συγκεκριμένη κατανομή. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις εντοές: Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 8

<<Grphcs`Grphcs`; h Hstogrm[romumbrs, HstogrmScl -> ]; p Plot[^k*^k - /k -!*Ep[-*], {,, 5}]; Show[h, p];.6.5.4.3.... 3. 4. 5. παίρνουμε ένα κοινό γράφημα της σ.π.π της γάμμα 5,3 και του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων του ψευδο-τυχαίου δείγματος των αριμών. Όπως ήταν αναμενόμενο, το ιστόγραμμα προσεγγίζει την σ.π.π. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε συγκρίνοντας την συνάρτηση κατανομής της κατανομής γάμμα με την εμπειρική συνάρτηση κατανομής του ψευδο-τυχαίου δείγματος εδώ, η ίστα romumbrs περιέχει «τυχαίο» δείγμα μεγέους από την γάμμα 5,3: sr Sort[romumbrs]; t Tbl[{sr[[k]], k/.}, {k,, }]; L LstPlot[t]; p Plot[Itgrt[^k*^k - /k -!*Ep[-*],{,, t}], {t,, 5}]; Show[L, p].8.6.4. 3 4 5 Παρατηρούμε και πάι ότι η εμπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος προσεγγίζει αρκετά ικανοποιητικά τη συνάρτηση κατανομής της κατανομής γάμμα για έναν Υπενυμίζεται ότι η εμπειρική συνάρτηση κατανομής από ένα τυχαίο δείγμα Χ,Χ,...,Χ ~ F είναι #{ } F I, R όπου Ι ή ανάογα με το αν ή όχι η οποία αποτεεί εκτίμηση της σ.κ. F από τον νόμο των μεγάων αριμών, I E I P F με πι.. Η εμπειρική συνάρτηση κατανομής αάζει τιμές στα διατεταγμένα σημεία Χ, Χ,..., Χ και επίσης, k F k I k. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 9

πιο εμπεριστατωμένο έεγχο, α μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το τέστ Kolmogorv-Smrov. Παρατήρηση τυχαίοι αριμοί από την κατανομή Posso μέσω της εκετικής κατανομής. Ένας εναακτικός τρόπος παραγωγής τυχαίων αριμών από την κατανομή Posso μπορεί να βρεεί χρησιμοποιώντας τυχαίους αριμούς από την εκετική κατανομή. Συγκεκριμένα, α βασιστούμε στο γεγονός ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ συμβάντων σε μία ανέιξη Posso με ένταση είναι ανεξάρτητοι και ακοουούν εκετική κατανομή Ep η διαδικασία Posso α εξετασεί αναυτικότερα σε ε- πόμενο κεφάαιο. Αν N t είναι το πήος των συμβάντων στο χρονικό διάστημα [,t], και Χ, Χ,... είναι οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ συμβάντων, τότε N t m{ : t}. 3... k 3 k k t Επομένως, αν Χ, Χ,... ~ Ep, η τ.μ. Nt m{ : t} ~ Pot. Αυτό μπορεί να αποδειχεί και άμεσα. Πράγματι, Pr N t k Pr k k η τ.μ. ~ G k, και επομένως, Pr N t k Pr N t k Pr N t t Γ k k + t t k k k! k k k [ ] k k, k k t k t t t k!. k! k! Άρα τεικά, αν U, U,... ~ U,, η τ.μ. N m{ : lu } m{ : l U t k! m{ : U }. ακοουεί την κατανομή Posso με παράμετρο U, U. Ο αντίστοιχος αγόριμος α είναι: ΒΗΜΑ. Θέτουμε και P. ΒΗΜΑ. Παράγουμε ένα τυχαίο αριμό U από την U, και έτουμε P P U. ΒΗΜΑ 3. Εάν P < τότε έτουμε N και σταματάμε. Διαφορετικά, έτουμε + και γυρίζουμε στο βήμα. k+ } k Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 3

3.. Η μέοδος απόρριψης. Η μέοδος απόρριψης που χρησιμοποιήηκε για την παραγωγή τυχαίων αριμών από διακριτές κατανομές μπορεί να τροποποιηεί ώστε να εφαρμόζεται και για την συνεχή περίπτωση. Έστω οιπόν ότι επιυμούμε την παραγωγή τυχαίων αριμών από μία συνεχή κατανομή με σ.π.π., R. Έστω επίσης ότι μπορούμε εύκοα να παράγουμε τυχαίους αριμούς από μία άη συνεχή κατανομή με σ.π.π g, R. Απαιτούμε και πάι να ισχύει ότι αν g τότε και. Όπως και στη διακριτή περίπτωση, παράγουμε με οποιοδήποτε τρόπο έναν τυχαίο αριμό Y από την κατανομή με σ.π.π. g και στη συνέχεια τον αποδεχόμαστε έτουμε Υ με πιανότητα ανάογη του πηίκου Y / gy. Εάν δεν γίνει αποδεκτός, παράγουμε έναν άο τυχαίο αριμό από την κατανομή με σ.π.π. g κ.ο.κ. Πιο συγκεκριμένα, εωρούμε και πάι ότι υπάρχει μία σταερά c < για την οποία ισχύει c για κάε : g. g ο αγόριμος αποδοχής - απόρριψης είναι ο εξής: ΒΗΜΑ. Παράγουμε έναν τυχαίο αριμό Y από κατανομή με σ.π.π. g. ΒΗΜΑ. Παράγουμε έναν τυχαίο αριμό U ~ U,. Y ΒΗΜΑ 3. Εάν U τότε έτουμε Y και σταματάμε. cg Y Εάν όχι, επιστρέφουμε στο. Ο τυχαίος αριμός Χ που παράγεται από τον παραπάνω αγόριμο έχει συνάρτηση πυκνότητας πιανότητας. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού είναι ανάογη με τη διακριτή περίπτωση: αρχικά παρατηρούμε ότι σε κάε επανάηψη δεχόμαστε ή απορρίπτουμε την τιμή Υ ανεξάρτητα από τις προηγούμενες επαναήψεις και με πιανότητα, Y y y Pr U Pr U g y y g y y cg Y R cg y R cg y επειδή y/cgy α είναι PrU < y/cgy y/cgy και άρα Pr Pr η Υ έγινε δεκτή στην -οστή επανάηψη και Y Pr απορρίψεις, η -οστή επανάηψη δεκτή και Y R y y c c Y Pr U, Y c cg Y y y Pr U g y y g y y c cg y c cg y y y y y c c. Tο πήος Ν των επαναήψεων του αγορίμου μέχρι την αποδοχή μιας τιμής προφανώς ακοουεί και πάι τη γεωμετρική κατανομή με πιανότητα επιτυχίας /c. Eπομένως χρειάζονται κατά μέσο όρο ΕΝ c επαναήψεις και άρα α πρέπει να πάρουμε όσο το δυνατό μικρότερο c. Το μικρότερο c που μπορούμε να πάρουμε είναι Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 3

c sup{, : g }. g Η μέοδος απόρριψης είναι πού ισχυρή στην συνεχή περίπτωση διότι μας βοηά να παράγουμε τυχαίους αριμούς από κατανομές των οποίων η F - δεν μπορεί να γραφεί σε κειστή μορφή και άρα δεν α μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέοδο της αντιστροφής. Δ. H Κατανομή Βήτα B,b. Έστω ότι έουμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή Βήτα με παραμέτρους, b η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιανότητας: Γ + b Γ Γ b, b,,, b >. Η σ.π.π. αμβάνει γνήσια ετικές τιμές μόνο στο, οπότε μπορούμε ως βοηητική κατανομή να χρησιμοποιήσουμε την U,, δηαδή g,,. Η σ.π.π. της κατανομής βήτα για διάφορες τιμές των παραμέτρων, b δίνεται στα παρακάτω γραφήματα: 5 4 3 b.5 5 5 4 3 b 5.5.5 5 4..4.6.8 b 5 4..4.6.8.5 b 5 3.5 5 3 5..4.6.8..4.6.8 Η σταερά c α πρέπει να ικανοποιεί την c,,, g και άρα αρκεί να βρούμε το μέγιστο της στο,. Αν < ή b < τότε η δεν είναι άνω φραγμένη στο, αν < τότε lm και αν b < τότε lm και άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέοδο. Αν τώρα, b b > τότε η b είναι φίνουσα στο, και άρα c b. Αντίστοιχα, αν >, b τότε η,, είναι αύξουσα στο, και άρα c. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 3

Τέος, α εξετάσουμε την πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου, b >. Αρκεί να βρούμε σε ποιο σημείο αμβάνει μέγιστη τιμή η l για,. Θα ισχύει ότι Γ + b b l l + l + b l Γ Γ b και άρα τα πιανά σημεία μεγίστου της l και ισοδύναμα της α ικανοποιούν την b b. + b Το σημείο αυτό ανήκει στο, διότι >, b > ενώ b b l <, και επομένως,, lm, lm. Άρα, για >, b > έτουμε b Γ + b b c. + b Γ Γ b + b Ο αγόριμος παραγωγής για >, b > α είναι : ΒΗΜΑ. Παράγουμε τυχαίους αριμούς U, U ~ U,. + b U + b b ΒΗΜΑ. Εάν U U U τότε έτουμε U b και c b σταματάμε. Εάν όχι, επιστρέφουμε στο. Ο μέσος αριμός επαναήψεων του αγορίμου α είναι c. Έστω π.χ. ότι επιυμούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή Βήτα 5,. Υοποιώντας των παραπάνω αγόριμο μέσω του Mthmtc α έχουμε: 5; b ; ; romumbrs Tbl[, {}]; ; Whl[<, U Rom[]; U Rom[]; I[U<+b-^+b-*-^-+*b-^-b+* U^ - * - U^b -,romumbrs[[]] U; +] ]; Prt[romumbrs]; {.759498,.8979,.838,.6374,.35544,.9475,.7544,.735,.8875,.878366,.9457,.68945,.788969,.94773,.79894,.33956,.445,.6546,.5764,.8557,.7976,.8395,.55356,.4557,.5863,.846,.9378,.6377,.63365,.84,.793543,.36836,.737,.8994,.768867,.78653,.675,.666,.8599,.73874,.74,.95788,.964,.47996,.95696,.8383,.689889,.945,.838577,.9769,.4799,.9957,.65978,.59495,.7544,.88577,.74563,.73356,.878685,.65494,.6633,.479637,.7954,.84839,.8898,.67563,.693687,.55359,.445673,.767,.56736,.54767,.777,.78,.989,.478587,.9396,.75464,.65678,.9355,.658833,.9669,.7584,.3799,.4489,.78996,.57348,.65654,.69335,.79485,.79947,.76983,.65757,.55578,.69889,.679,.78979,.5445,.8477,.53677} Ο μέσος αριμός επαναήψεων για την παραγωγή κάε αριμού στη συγκεκριμένη περίπτωση α είναι Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 33

b 4 Γ + b b 6! 4 c.4576. + b 5 Γ Γ b + b!4! 5 Οι παραπάνω αριμοί μπορεί να εωρηεί ότι αποτεούν ένα τυχαίο δείγμα από την κατανομή Βήτα 5,. Όπως και στην περίπτωση της κατανομής Γάμμα που εξετάσαμε παραπάνω, μπορούμε να δούμε πως το ιστόγραμμα συχνοτήτων ενός μεγάου δείγματος προσεγγίζει την συνάρτηση πυκνότητας πιανότητας της Βήτα 5,: <<Grphcs`Grphcs`; h Hstogrm[romumbrs, HstogrmScl -> ]; p Plot[Gmm[+b]/Gmm[]*Gmm[b]*^-*-^b-,{,, }]; Show[h, p];.5.5.5..4.6.8. Επίσης, μπορούμε να συγκρίνουμε την συνάρτηση κατανομής της κατανομής Βήτα 5, με την εμπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος εδώ, χρησιμοποιούμε «τυχαίο» δείγμα μεγέους από την Βήτα 5,: 5; b ; sr Sort[romumbrs]; t Tbl[{sr[[]], /.}, {,, }]; L LstPlot[t]; p Plot[Itgrt[Gmm[ + b]/gmm[]*gmm[b] *^ - * - ^b -, {,, t}], {t,, }]; Show[L, p];.8.6.4...4.6.8 Σε αυτό το σημείο αξίζει να δούμε πιο παραστατικά πως περίπου ειτουργεί η μέοδος της απόρριψης. Θα το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παραπάνω παράδειγμα. Έστω οιπόν και πάι ότι έουμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή Βήτα με παραμέτρους α5 και β χρησιμοποιώντας τυχαίους αριμούς από την U,. Οι σ.π.π. της κατανομής Βήτα 5, και της U, έχουν την ακόουη μορφή: Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 34

5 4 : σ.π.π. της Bήτα 5, g : σ.π.π. της U, 3 c g g πιανότητα αποδοχής του U U αποδεκτοί τυχαίοι αριμοί Αν τώρα παράγουμε k τυχαίους αριμούς U,U,,U k από την U, τότε αυτοί προφανώς α κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα, β. παραπάνω σχήμα. Αντίετα, εάν έαμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή Βήτα 5, τότε οι αριμοί αυτοί α έπρεπε να κατανέμονται πιο πυκνά γύρω από το.8 περίπου και πιο α- ραιά «κοντά» στο και στο σύμφωνα και με την μορφή της σ.π.π. που φαίνεται παραπάνω. Η ιδέα εδώ είναι να «απορρίψουμε» κάποιους από τους k ομοιόμορφα κατανεμημένους αριμούς που προέρχονται από την U, έτσι ώστε αυτοί που α μείνουν γίνουν αποδεκτοί να είναι πιο πυκνοί γύρω από το.8 και πιο αραιοί κοντά στο και στο. Ο κάε ένας οιπόν από τους k αρχικούς αριμούς, π.χ. ο U, γίνεται δεκτός με πιανότητα ανάογη του πηίκου U /c gu. Eπομένως α γίνονται δεκτοί περισσότεροι αριμοί στις περιοχές που η είναι μεγαύτερη δη. «κοντά» στο.8, αμβάνοντας ένα τεικό δείγμα το οποίο μπορεί να εωρηεί ότι προέρχεται από την Βήτα 5,. Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε γενικότερα όπως αποδεικνύεται και αυστηρά παραπάνω να παράγουμε τυχαίους αριμούς από μία κατανομή με σ.π.π. χρησιμοποιώντας τυχαίους αριμούς από μία κατανομή με σ.π.π. g. Αν για το σκοπό αυτό χρησιμοποιηούν k τυχαίοι αριμοί από την κατανομή g, τότε κάε ένας από αυτούς α γίνει αποδεκτός με πιανότητα /c, ανεξάρτητα από τους υπόοιπους, και επομένως α γίνουν αποδεκτοί κατά μέσο όρο k/c αριμοί μάιστα, το πήος των αριμών που α γίνουν αποδεκτοί ακοουεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους k και /c. Ε. Η κατανομή Γάμμα G, με τη μέοδο απόρριψης. Σε προηγούμενη παράγραφο είδαμε πως μπορούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από τη συγκεκριμένη κατανομή όταν {,,...} χρησιμοποιώντας τυχαίους αριμούς από την εκετική κατανομή. Σε αυτή την παράγραφο α δούμε πως μπορούμε εναακτικά να αξιοποιήσουμε τη μέοδο απόρριψης για την παραγωγή τυχαίων αριμών από την G, για οποιοδήποτε >. Υπενυμίζεται ότι η G, έχει σ.π.π.: Γ, > >, >. Είναι εύκοο να δούμε ότι αν Z ~ G, τότε η Z/ ~ G,. Πράγματι, αν Z ~ G,, δηαδή / Γ τότε Z Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 35

Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 36 Pr Pr Z Z F Z Γ, και άρα η Z/ ~ G,. Επομένως, για να παράγουμε ένα τυχαίο αριμό από τη G, αρκεί να παραχεί πρώτα ένα Ζ ~ G, και στη συνέχεια να πάρουμε Χ Ζ/. Ας δούμε αρχικά οιπόν πως μπορούμε να πάρουμε τυχαίους αριμούς από τη G,. Η σ.π.π. της κατανομής γάμμα αμβάνει γνήσια ετικές τιμές στο, οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως βοηητική κατανομή την U,. Παρατηρούμε ότι η σ.π.π. της εκετικής κατανομής από την οποία μπορούμε εύκοα να παράγουμε τυχαίους αριμούς είναι ετική στο,. Θα εξετάσουμε οιπόν αν μπορεί να χρησιμοποιηεί η εκετική κατανομή Ep. Αρκεί να υπάρχει σταερά c < η οποία να ικανοποιεί την σχέση, > Γ Γ c g h. Εάν > ή < η συνάρτηση h προφανώς δεν μπορεί να φραχεί άνω. Για <, > πιανά σημεία μεγίστου της h ικανοποιούν την h + Γ Γ + Γ, και άρα πιανό μέγιστο αμβάνεται όταν + >. Είναι εύκοο να δούμε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική για / και τεικά η h μεγιστοποιείται στο, h h. Άρα μπορούμε ως c να εωρήσουμε το h h c Γ. Ως βοηητική κατανομή οιπόν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε εκετική κατανομή με παράμετρο <. Επειδή όμως ο μέσος αριμός επαναήψεων για την παραγωγή ενός αριμού με τη μέοδο αυτή είναι c, προφανώς είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε το < που εαχιστοποιεί το c c ή ισοδύναμα εαχιστοποιεί το c '. Επειδή, c ' και / <, / ' > c, το c α εαχιστοποιείται για /. Άρα, ως βοηητική κατανομή α χρησιμοποιήσουμε την εκετική με παράμετρο / δηαδή την εκετική που έχει ίδια μέση τιμή με την γάμμα G, που έουμε να παράγουμε και ως σταερά c την / / c Γ Γ.

η οποία είναι περίπου ίση με / π για μεγάο α. Άρα τεικά, ο αντίστοιχος αγόριμος παραγωγής τυχαίων αριμών Χ από την G, α είναι o εξής: ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U, και έτουμε Y lu δη. Υ ~ Ep/ ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U,. Y Y / ΒΗΜΑ 3. Εάν U Y / τότε έτουμε Ζ Y και πάμε στο 4. cg Y Εάν όχι, επιστρέφουμε στο. ΒΗΜΑ 4. Θέτουμε Χ Ζ /. Y / Ή πιο σύντομα, παρατηρώντας και ότι Y / U lu : ΒΗΜΑ. Παράγουμε U,U ~ U, ΒΗΜΑ. Εάν U U lu τότε έτουμε lu και σταματάμε. Εάν όχι, επιστρέφουμε στο. Έστω π.χ. ότι επιυμούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή G3.5,.5. Υοποιώντας των παραπάνω αγόριμο μέσω του Mthmtc α έχουμε: ;3.5;l.5;romumbrsTbl[,{}];; Whl[<,URom[];URom[]; I[U<-Ep[]*U*Log[U]^-, romumbrs[[]]-*log[u]/l;+] ]; Prt[romumbrs] {.668,.6636,.39484,.34647, 3.654,.68778,.5644,.374,.6668,.95463,.447,.45985,.95549,.44,.5599,.35,.7666,.3536,.858,.597,.6735,.93553,.34,.658876,.368,.935,.6573,.456,.69,.38856,.55,.79,.66,.495,.496354,.5349,.7655,.64593,.985,.88545,.465,.577,.943396,.8685,.49,.565869,.674,.7998,.9363,.454,.47546,.7949,.438954,.979487,.67,.53655,.8784,.475,.6549,.4388,.597,.47483,.48447,.4789,.3633,.55775,.69499,.3656,.75534,.33,.7894,.63664,.8574,.84,.55677,.48756,.55899,.547,.5,.394886,.4, 3.83,.44,.36487,.44,.677,.55,.48855,.445,.5553,.669839,.8,.9,.9885,.584,.547,.756,.934,.546,.395} Ο μέσος αριμός επαναήψεων για την παραγωγή κάε αριμού στη συγκεκριμένη περίπτωση α είναι 3.5 3.5 3.5 c.989 Γ3.5.5.5. 5 π Γ Γ3.5 Όπως και παραπάνω, μπορούμε να δούμε πως το ιστόγραμμα συχνοτήτων ενός μεγάου δείγματος από την G3.5,.5 προσεγγίζει την σ.π.π. της G3.5,.5: <<Grphcs`Grphcs`; h Hstogrm[romumbrs, HstogrmScl -> ]; p Plot[^*^ - *Ep[-*]/Gmm[], {,, 3*/}]; Show[h, p]; Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 37

.6.5.4.3.... 3. 4. 5. 6. 7. Επίσης, μπορούμε να συγκρίνουμε την συνάρτηση κατανομής της G3.5,.5 με την εμπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος εδώ, : 3.5;.5; sr Sort[romumbrs]; t Tbl[{sr[[]], /.}, {,, }]; L LstPlot[t]; p Plot[Itgrt[^*^-*Ep[-*]/Gmm[],{,,t}],{t,,3*/}]; Show[L, p];.8.6.4. 3 4 5 ΣΤ. Η κανονική κατανομή με τη μέοδο απόρριψης. Τυχαίοι αριμοί από την κανονική κατανομή Νμ,σ είναι πού χρήσιμοι γιατί εμφανίζονται σε αρκετές εφαρμογές. Σε αυτή την παράγραφο α δούμε πως μπορούμε να παράγουμε τέτοιους αριμούς χρησιμοποιώντας τη μέοδο της απόρριψης. Αρχικά παρατηρούμε ότι αρκεί να επιτύχουμε την παραγωγή τυχαίων αριμών από την N, διότι αν Ζ ~ Ν, τότε μ + σζ ~ Νμ,σ. Υπενυμίζεται ότι η Ν, έχει σ.π.π.: / φ, R. π Η συγκεκριμένη σ.π.π. είναι γνήσια ετική σε όο τον άξονα των πραγματικών και συνεπώς δεν μπορούμε άμεσα να χρησιμοποιήσουμε ως βοηητική την εκετική κατανομή όπως π.χ. στην περίπτωση της κατανομής γάμμα. Για τον όγο αυτό, α πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν έμμεσο τρόπο. Αρχικά παρατηρούμε ότι αν Ζ ~ Ν, τότε η απόυτη τιμή της Ζ α έχει σ.π.π. : Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 38

Z Pr Z Pr Z Φ Φ / Φ φ,, π η οποία είναι γνήσια ετική μόνο για. Συνεπώς, μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι δυνατή η παραγωγή τυχαίων αριμών από τη κατανομή της Ζ με σ.π.π. βασιζόμενοι στην εκετική κατανομή Ep. Αρκεί να υπάρχει σταερά c < η οποία να ικανοποιεί την σχέση / / π h c, >. g π Είναι πού εύκοο να διαπιστώσουμε ότι η h μεγιστοποιείται στο και συνεπώς έτουμε / c m h h, > π το οποίο με τη σειρά του εαχιστοποιείται όταν έτσι ώστε να έχουμε εάχιστο αριμό επαναήψεων του αγορίμου. Άρα είναι δυνατή η παραγωγή τυχαίων αριμών με τη μέοδο της απόρριψης από την κατανομή με σ.π.π.. Τεικός μας όμως σκοπός είναι η παραγωγή αριμών από την Ν,. Παρατηρούμε οιπόν ότι αν W είναι μία τ.μ. με σ.π.π. την και Ι μία δίτιμη τ.μ. ανεξ. από την W με PrI PrI.5, τότε η τ.μ. Χ ΙW είναι τυπική κανονική. Πράγματι, Pr Pr IW Pr IW I Pr I + Pr IW I Pr I + Pr W, Pr W + Pr W < Pr W <, < και συνεπώς, W, / Pr, R W, < π Συνοψίζοντας, ο αντίστοιχος αγόριμος παραγωγής τυχαίων αριμών Χ από την Nμ,σ α είναι o εξής: ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U, και έτουμε Y lu δη. Υ ~ Ep ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U,. Y Y / ΒΗΜΑ 3. Εάν U τότε έτουμε W Y και πάμε στο 4. Εάν όχι, επι- cg Y στρέφουμε στο. ΒΗΜΑ 4. Παράγουμε U 3 ~ U, και έτουμε Z W αν U 3.5 ή Z W αν U 3 <.5. ΒΗΜΑ 5. Θέτουμε Χ μ + σζ Χ ~ Νμ,σ Ή πιο σύντομα, παρατηρώντας και ότι Z sgu 3.5W: ΒΗΜΑ. Παράγουμε U, U, U 3 ~ U,. ΒΗΜΑ. Εάν lu + lu τότε έτουμε μ + σ sg U 3.5 lu και σταματάμε. Εάν όχι, επιστρέφουμε στο. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 39

Ο μέσος αριμός επαναήψεων για την παραγωγή ενός αριμού είναι / c h.3549. π Έστω π.χ. ότι επιυμούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή N,4. Υοποιώντας τoν παραπάνω αγόριμο μέσω του Mthmtc α έχουμε: ; μ ; σ ; romumbrs Tbl[, {}]; Do[rpt Tru; Whl[rpt, URom[]; URom[]; U3Rom[]; I[*Log[U] < - + Log[U]^, rpt Fls] ]; romumbrs[[]] μ + σ*sg[u3 -.5]*Log[U];, {,, }]; Prt[romumbrs] {6.5944, 5.3896,.99975, 4.9995,.85598, -.737, -.44365, 4.63,.4837, -.4499,.47897,.5986,.636,.63,.74569,.387,.6595,.8438,.3433,., 4.3486, 4.99,.743, 4.48, 4.765,.7369,.9644, -.68, 4.448, 3.763,.9473,.48433,.367,.64, 3.43868,.664, -.8435,.66497, -.4667,.795,.6955,.574, 5.36,.97, 5.4354,.53,.794, 4.9845, 3.638, -.3656, 4.73969,.739, 4.5856,.6, -.75, 3.453, -.6747,.6846, -.48557, -6.6884,.9675, -.85, -5.48496, -.894,.74364,.3995, 6.65, -.8498,.6483,.5478,.4487, 9.93836,.4647, 3.34947, 4.9437, -7.336, -.38475, -.998,.5833,.646,.754796, -.65, 3.6789,.5569,.6977,.47535,.765, 9.433, 6.37, 6.9,.44655, 4.968, 5.86359,.83598, 6.8335,.3943, 3.944,.4738, 5.7, 3.6675} Μπορούμε επίσης να δούμε πως το ιστόγραμμα συχνοτήτων ενός μεγάου δείγματος από την N, 4 προσεγγίζει την σ.π.π. της N, 4: <<Grphcs`Grphcs`; h Hstogrm[romumbrs, HstogrmScl -> ]; p Plot[Ep[- - μ^/*σ^]/*p*σ^^.5, {, μ - 4*σ, μ + 4*σ}]; Show[h, p];..5..5-5. -.5..5 5. 7.5. Τέος, μπορούμε να συγκρίνουμε την συνάρτηση κατανομής της Ν, 4 με την ε- μπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος εδώ, : sr Sort[romumbrs]; t Tbl[{sr[[]], /.}, {,, }]; L LstPlot[t]; p Plot[ Itgrt[Ep[- - μ^/*σ^]/*p*σ^^.5,{, -Ity, t}], {t, μ - 4*σ, μ + 4*σ}]; Show[L, p]; Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 4

.8.6.4. -5 -.5.5 5 7.5 Ζ. Η ποική ή Bo-Mullr μέοδος παραγωγής κανονικών τ.μ. Μία άη μέοδος παραγωγής κανονικών τ.μ. είναι η γνωστή ως ποική μέοδος. Η μέοδος αυτή βασίζεται στον μετασχηματισμό σε ποικές συντεταγμένες μιας διδιάστατης κανονικής μετασχηματισμός Bo-Mullr. Συγκεκριμένα, αν Χ,Υ είναι ανεξάρτητες τ.μ. από την Ν, με σ.π.π, Y, y Y y π π y π + y,, y R, τότε οι ποικές συντεταγμένες R,Θ R:ακτίνα, Θ:γωνία του σημείου Χ,Υ στο επίπεδο, αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητες τ.μ. με R ~ Ep/ και Θ ~ U,π. R, Y Θ Ας δούμε τις επτομέρειες της μεόδου αυτής. Είναι γνωστό ότι η έση Χ,Υ ενός σημείου στο επίπεδο μπορεί να καοριστεί μονοσήμαντα και από το ζεύγος R,Θ όπου R είναι η απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων και Θ η γωνία που σχηματίζει ο οριζόντιος άξονας με την ευεία που περνάει από την αρχή των αξόνων και το σημείο. Συγκεκριμένα, αν Χ,Υ είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου, τότε οι ποικές του συντεταγμένες α είναι και αντίστροφα, R + Y, Θ rct / Y R cos Θ, Y Rs Θ. Όπως αναφέρηκε και παραπάνω, αν οι ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ ~ Ν,, τότε και οι τ.μ. R, Θ είναι ανεξάρτητες και μάιστα R ~ Ep/ και Θ ~ U,π. Πράγματι, εωρώντας τον μετασχηματισμό r, g, y, g, y + y,rct / g:r \{,}, [,π y Εκτός από το σημείο,, το οποίο όμως έχει μηδενική πιανότητα να εμφανιστεί. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 4

με αντίστροφο μετασχηματισμό τον, y h r,, h r, r cos, r s, προκύπτει βέπε υποσημείωση 3 ότι η σ.π.π. του ζεύγους R, Θ α είναι h h r r,,,,,, Y h r h r R Θ h h r, Y r cos, r s h r r r cos r s h h r cos r s π r cos + r s r r / / cos s r r / / s cos r π / / / / r cos r cos + r s r s r r Θ, r >, [,π. R π Άρα, R ~ Ep/, Θ ~ U,π και R, Θ ανεξάρτητες. Συνεπώς, αν πάρουμε τυχαία ένα σημείο στο επίπεδο με ποικές συντεταγμένες R,Θ ώστε R ~ Ep/, Θ ~ U,π ανεξάρτητες τ.μ., τότε το σημείο αυτό έχει καρτεσιανές συντεταγμένες Χ,Υ RcosΘ, RsΘ οι οποίες κατανέμονται στο επίπεδο σύμφωνα με τη διδιάστατη τυπική κανονική. Η συγκεκριμένη παρατήρηση μας υποδεικνύει έναν εναακτικό τρόπο παραγωγής τυχαίων αριμών από την κανονική κατανομή χρησιμοποιώντας τυχαίους αριμούς από την εκετική και την ομοιόμορφη. Ο σχετικός αγόριμος παραγωγής τυχαίων αριμών από την Νμ,σ, σύμφωνα με τα παραπάνω, α είναι: ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U, και έτουμε R lu δη. Υ ~ Ep/ ΒΗΜΑ. Παράγουμε U ~ U, και έτουμε Θ πu δη. Θ ~ U,π ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε RcosΘ και Υ RsΘ. Χ, Υ ~ Ν, ΒΗΜΑ 4. Θέτουμε Χ μ + σχ, Χ μ + συ. Η πιο συνοπτικά: ΒΗΜΑ. Παράγουμε U, U ~ U, ΒΗΜΑ. Θέτουμε μ + σ lu cosπu, μ + σ lu sπ. U Είναι αξιοπρόσεκτο το γεγονός ότι ο παραπάνω αγόριμος παράγει δύο τυχαίους αριμούς από την Νμ,σ και χρειάζεται μόνο δύο τυχαίους αριμούς από την ομοιό- 3 Υπενυμίζεται ότι αν ένα τυχαίο διάνυσμα,,..., με συνεχή -διάστατη κατανομή έχει σ.π.π. > για A R, και ο μετασχηματισμός y g g:a Β R είναι αντιστρέψιμος g: -, επί με αντίστροφο μετασχηματισμό τον hy h:b A, τότε το τυχαίο διάνυσμα Υ g έχει σ.π.π. h Y y h y y όπου h/y είναι το απόυτο της ορίζουσας του πίνακα Jcob που ως,j στοιχείο έχει την μερική παράγωγο h / y,,,...,, j,,..., αρκεί φυσικά να υπάρχουν και να είναι συνεχείς όες j οι μερικές παράγωγοι h / y. j Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 4

μορφη. Συγκρινόμενος με τον αγόριμο που προκύπτει από τη μέοδο αντιστροφής, ο συγκεκριμένος απαιτεί ιγότερα βήματα αά προϋποέτει τον υποογισμό ενός ημίτονου και ενός συνημίτονου που εωρείται χρονοβόρος. Για το όγο αυτό έχει προταεί μία τροποποίηση του παραπάνω αγορίμου ώστε να παρακάμπτονται οι συγκεκριμένοι υποογισμοί. Συγκεκριμένα, αν παράγουμε ζεύγη V, V ανεξάρτητων τ.μ. ώστε V, V ~ U, μέχρι να βρεεί ότι V +V δηαδή μέχρι το V,V να ανήκει στον μοναδιαίο κύκο, τότε είναι εύκοο να δειχεί ότι το σημείο V,V είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στον μοναδιαίο κύκο. Συνεπώς, αν R,Θ οι ποικές του συντεταγμένες, α ισχύει ότι h h r r,,,, ', ' V, V h r h r R Θ h h r V, cos, s,,,, V r r π r. π και άρα οι R,Θ είναι ανεξάρτητες τ.μ. με R ~ U,, Θ ~ U,π. Στον παραπάνω αγόριμο είδαμε ότι χρειαζόμαστε το ημίτονο και το συνημίτονο μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης στο,π γωνίας. Η Θ είναι μία τέτοια γωνία, και μπορούμε να υποογίσουμε το ημίτονο και συνημίτονό της εύκοα επειδή γνωρίζουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες V,V του σημείου που προέρχεται. Συγκεκριμένα, α είναι β. σχήμα V V V V s Θ, cosθ R R V + V V + V - R V V - Άρα συνοψίζοντας, αν παράγουμε V,V ομοιόμορφα κατανεμημένους στο, τυχαίους αριμούς έως ότου το V,V βρεεί εντός του μοναδιαίου κύκου, και στη συνέχεια έσουμε V V R V + V, s Θ, cosθ V + V V + V τότε οι R, Θ είναι ανεξάρτητες με R ~ U,, και Θ ~ U,π, δηαδή μπορούν να χρησιμοποιηούν στον αγόριμο που παρουσιάσαμε παραπάνω στη έση των U και Θ αντίστοιχα. Ο νέος αγόριμος τώρα α έχει τη μορφή ΒΗΜΑ. Παράγουμε U, U ~ U, και έτουμε V U, V U. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 43 ΒΗΜΑ. Αν V +V τότε προχωράμε στο 3. Διαφορετικά, πάμε πάι στο. ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε ΒΗΜΑ 4. Θέτουμε R V + V, V V μ + σ l R, μ + σ l R. R R

Η παραπάνω μέοδος καείται ποική μέοδος. Ο νέος αυτός αγόριμος είναι τώρα φανερά καύτερος από τον αντίστοιχο της μεόδου απόρριψης. Χρειάζεται κατά μέσο όρο 4/π.73 επαναήψεις Pr V +V π / 4 και για κάε δύο τυχαίους α- ριμούς από την ομοιόμορφη, παράγει δύο τυχαίους αριμούς από την κανονική. Η μέοδος της απόρριψης χρειαζόταν κατά μέσο όρο.3549 επαναήψεις και για κάε τρεις τυχαίους αριμούς από την ομοιόμορφη, παρήγαγε έναν τυχαίο αριμό από την κανονική. Έστω π.χ. ότι επιυμούμε να παράγουμε και πάι τυχαίους αριμούς από την κατανομή N,4. Υοποιώντας των παραπάνω αγόριμο μέσω του Mthmtc α έχουμε: ; μ ; σ ; romumbrs Tbl[, {}]; Do[rpt Tru; Whl[rpt, URom[];URom[]; V U-; V U-; R V^ + V^; I[R <, rpt Fls] ]; romumbrs[[ - ]] μ + σ*v*-*log[r]/r^.5; romumbrs[[]] μ + σ*v*-*log[r]/r^.5;, {,, /}]; Prt[romumbrs]; {.58,.943, 3.7399, 3.43,.3558,.88474,.46857, -3.877,.976,.96438, 3.4337,.794,.47,.77,.4557,.87, -.393663, 4.99949, 4.97537,.5589,.95655,.66958,.743877, -.94439, 3.679, -.389,.83964,.6787,.336,.8765, 3.73759, -.43765,.76, 6.44388, 4.7948,.6557,.66594, 3.636, -.787,.744, -.3485, 3.69997,.676, 4.74938, 4.447,.8,.46679, -.633348, 3.55883,.758, 4.745, 3.9368, 3.5577,.9953,.4966, 4.6558, 3.978,.66497,.3754, 4.7567,.89553, -.9666,.6464,.6455,.7869, 4.59794,.964,.47999, 5.659,.9676, 5.6,.63964,.66, 4.859, 3.5, -.78377, 4.67, 3.4549,.9744,.3445, -.4,.35793,.865,.647457,.87989,.7679,.9433,.44499,.975, -.98364,.9344,.46696, -.693, 4.969, -.84753,.65, 3.334,.574,.4935, 4.78957} Μπορούμε και πάι να δούμε πως το ιστόγραμμα συχνοτήτων ενός μεγάου δείγματος από την N, 4 προσεγγίζει την σ.π.π. της N, 4: <<Grphcs`Grphcs`; h Hstogrm[romumbrs, HstogrmScl -> ]; p Plot[Ep[- - μ^/*σ^]/*p*σ^^.5, {, μ - 4*σ, μ + 4*σ}]; Show[h, p];..5..5-5. -.5..5 5. 7.5 Τέος, μπορούμε και πάι να συγκρίνουμε την συνάρτηση κατανομής της Ν, 4 με την εμπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος εδώ, : Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 44

sr Sort[romumbrs]; t Tbl[{sr[[]], /.}, {,, }]; L LstPlot[t]; p Plot[ Itgrt[Ep[- - μ^/*σ^]/*p*σ^^.5,{, -Ity, t}], {t, μ - 4*σ, μ + 4*σ}]; Show[L, p];.8.6.4. -5 -.5.5 5 7.5 Παρατήρηση. Αξίζει να αναφέρουμε ότι αρκετοί ερευνητές και υποογιστικά προγράμματα χρησιμοποιούν κάποιες άες προσεγγιστικές μεόδους για την παραγωγή τυχαίων αριμών από την N,: Παράγουμε τυχαίους αριμούς U,U,,U από την U, και στη συνέχεια έτουμε U 6. Από το κεντρικό οριακό εώρημα αποδεικνύεται εύκοα ότι η παραπάνω τ.μ. ακοουεί προσεγγιστικά Ν,. Η μέοδος αυτή δεν είναι ακριβής αά υοποιείται πού εύκοα απαιτείται μόνο πρόσεση. Μία άη μέοδος βασίζεται στη μέοδο της αντιστροφής, δηαδή από το γεγονός ότι Φ - U ~ N, αν U ~ U, Φ: σ.κ. της Ν,. Μπορεί να μην υπάρχει κειστός τύπος για την Φ -, αά μπορούν εναακτικά να χρησιμοποιηούν αρκετά ακριβείς προσεγγιστικές εκφράσεις. Συγκεκριμένα, για.5 u, αποδεικνύεται ότι + t Φ u t, t log u, + b t + b t για συγκεκριμένες σταερές,,b,b. Το σφάμα στον παραπάνω τύπο είναι μικρότερο του.3. Το πεονέκτημα του παραπάνω αγορίμου είναι ότι είναι αρκετά γρήγορος. Παρατήρηση. Σε αρκετές περιπτώσεις είναι αναγκαία η παραγωγή τυχαίων αριμών από μία πουδιάστατη κανονική κατανομή. Συγκεκριμένα, έστω ότι επιυμούμε την παραγωγή τυχαίων διανυσμάτων Χ Χ,Χ,...,Χ k από μία k-διάστατη κανονική κατανομή με διάνυσμα μέσων τιμών μ μ,μ,...,μ k και πίνακα διασποράς Σ [Cov, j ],j. Η παραγωγή τέτοιων τυχαίων διανυσμάτων μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας k ανεξάρτητες τ.μ. Ζ, Ζ,..., Ζ k ~ Ν,. Συγκεκριμένα, είναι εύκοο να αποδειχεί ότι αν Ζ ~ Ν,Ι όπου Ι: μοναδιαίος πίνακας το τ.δ. Χ Σ / Ζ + μ ~ Νμ,Σ. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 45

Η ρίζα του Σ που εμφανίζεται παραπάνω είναι Σ / PΛ / P - όπου P είναι ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Σ και Λ ο πίνακας που έχει στη διαγώνιο τις ιδιοτιμές του Σ από το εώρημα φασματικής ανάυσης, Σ PΛP - ενώ Λ / g[ / ]. Στην περίπτωση που v c Σ, c v διδιάστατη κανονική τότε υποογίζεται εύκοα ότι ο Σ / είναι ίσος με Σ / v + v + + v c v + v v c + + v + v + όπου v v + 4c, v + v, v + v +. Για μεγαύτερες διαστάσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Mthmtc για να βρούμε τον Σ /, π.χ.: Sgm {{,, }, {, 3, }, {,, }}; l Egvlus[N[Sgm]]; W Trspos[Egvctors[N[Sgm]]]; SqRootSgm W.DgolMtr[l^.5].Ivrs[N[W]] {{.879,.347,.387685}, {.347,.56,.689}, {.387685,.689,.754}} Στη συνέχεια παράγουμε k το πήος τυχαίους αριμούς Ζ,...,Ζ k ~ Ν, π.χ. με τη μέοδο Bo-Mullr και εκτεούμε τον μετασχηματισμό Χ Σ / Ζ + μ. Το τυχαίο διάνυσμα Χ ~ Νμ,Σ. Ασκήσεις. Περιγράψτε κατάηες μεόδους για την παραγωγή τυχαίων αριμών από τις κατανομές με σ.κ. ή σ.π.π. α /,, β F + /,, γ β F p, < < κατανομή Wbull δ, R διπή εκετική, ε,.. Εάν Χ ~ Ep, περιγράψτε έναν αγόριμο παραγωγής τυχαίων αριμών από την δεσμευμένη κατανομή της Χ δεδομένου ότι Χ < α. Χρησιμοποιώντας τέτοιους αριμούς εκτιμήστε την δεσμευμένη μέση τιμή ΕΧ Χ < α και συγκρίνετέ την με την ακριβή τιμή. 3. Χρησιμοποιήστε την μέοδο της σύνεσης β. Κεφ για να παράγετε τυχαίους αριμούς από τις κατανομές με σ.κ. 3 5 + + α F,, β F,,, 3 4. Έστω ότι μία σ.π.π. μπορεί να γραφεί ως μίξη στη μορφή y y y. Y Y Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 46

Πως μπορούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από την κατανομή της Χ όταν είναι δυνατή η παραγωγή τυχαίων αριμών από την κατανομή της Χ Υ y και της Υ; Ως εφαρμογή, αποδείξτε ότι αν Χ Y y ~ N,/y και Υ ~ χ τότε Χ ~ t κατανομή stut με β.ε.. Χρησιμοποιώντας το γεγονός αυτό, παράγετε τυχαίους αριμούς από την t. Πως αιώς μπορούμε να παράγουμε αριμούς από αυτή την κατανομή; 5. Αν είναι δυνατή η παραγωγή τυχαίων αριμών από τις κατανομές με σ.κ. F,,,...,, πως μπορούμε να παράγουμε τυχαίους αριμούς από τις κατανομές F F, b F F. 6. α Έστω U, U,, U +m- ανεξάρτητες τ.μ. από την U,. Αν συμβοίσουμε με U,U,,U +m- τις διατεταγμένες U, U,, U +m- U : μικρότερη,..., U +m- : μεγαύτερη από τις U να αποδείξετε ότι η -διατεταγμένη τ.μ. U ακοουεί κατανομή Βήτα με παραμέτρους α, b m. β Αν, Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.μ. που ακοουούν την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους, και m, αντίστοιχα, αποδείξτε ότι η τ.μ. Χ/Χ+Υ ακοουεί κατανομή Βήτα με παραμέτρους α, b m. γ Κατασκευάστε δύο προγράμματα χρησιμοποιώντας το Μthmtc που παράγουν τυχαίους αριμούς από την Βήτα,m χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις α και β αντίστοιχα. Boutsks M.V. 4 Σημειώσεις μαήματος «Μέοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 47