Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός ανοικτού ωρολογίου αρχίζει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα πάνω στο ωροδείκτη και ϕτάνει στο άκρο του στις 13:. Ο ωροδείκτης έχει µήκος ένα µέτρο και κινείται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. (1) Γράψτε τις παραµετρικές συναρτήσεις που περιγράφουν τη ϑέση του σαλιγκαριού τη χρονική στιγµή t διαλέγοντας ένα ϐολικό για το συγκεκριµένο πρόβληµα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων. (2) Υπολογίστε το µήκος της [ καµπύλης που ϑα διανύσει το σαλιγκάρι σε αυτή την ώρα. (Υπόδειξη: 1+x 2 = 1 2 x 1+x2 +sinh 1 (x) ] ) Άσκηση 1 Λύση: (α) (ax+1)(x 2 +1) = 1 ( a 2 +1 Οπότε a 2 ) ax 1 ax+1 x 2 +1 = 1 a 2 +1 [aln ax+1 a 2 ln(x2 +1)+arctan(x)]+c c (ax+1)(x 2 +1) = lim c (ax+1)(x 2 +1) = 1 ( alna+ 1 ) a 2 +1 2 (ϐ) Το άκρο του ωροδείκτηqϑα έχει συντεταγµένεςq = (cosθ,sinθ) (σε µονάδες µέτρου). Το θ ϑα εκφραστεί σε µονάδες χρόνου µε απλή αναλογία { π/2,t = θ = π/3,t = 1 1
και επειδή η γωνία ϑα αυξάνει γραµµικά µε το χρόνο, άρα θ = (π/3) (π/6)t Η ϑέση του σαλιγκαριού ϑα είναι P = (tcosθ,tsinθ) άρα [ π x = tcos 2 π ] 6 t ( π ) y = tcos 6 t ( π ) = tsin 6 t Υπολογίζουµε τις παραγώγους ẋ(t) = sin(u(t))+t u(t)cos(u(t)) ẏ(t) = cos(u(t)) t usin(u(t)) όπου u(t) = πt/6 και ẋ 2 +ẏ 2 = 1+(πt/6) 2 άρα το µήκος της τροχιάς ϑα είναι L = 1 1+(πt/6)2 dt = 36+π 2 12 + 3sinh 1 π/6) π Άσκηση 2: Η πυκνότητα ενέργειας της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέµπει το µέλαν σώµα ϑερµοκρασίας Τ στο µήκος κύµατος λ υπολογίζεται από το νοµο του Planck U(λ) = 8πhc λ 5 (e hc/(λkt) 1) 2
όπου h είναι η σταθερά Planck, c η ταχύτητα του ϕωτός και k η σταθερά του Boltzman. (α) Αξιοποιώντας το ανάπτυγµα MacLauren δείξτε οτι για µεγάλες τιµές του µήκους κύµατος, έτσι ώστε hc/(λkt) 1 ϑα ισχύει προσεγγιστικά η σχέση U(λ) 8πkT λ 4 που είναι γνωστή στη ϕυσική ως νόµος Rayleigh Jeans. (ϐ) Η συνάρτηση U(λ) (ο νόµος του Planck ) παρουσιάζει µέγιστο στο µήκος κύµατος λ max. είξτε ότι το λ max 1/T (νόµος του Wien ). Άσκηση 2 Λύση: (α) Αναπτύσσοντας το e x 1 + x και εισάγοντας το στο νόµο του P lanck υπολογίζουµε εύκολα το Ϲητούµενο. (ϐ) Επειδή ο αριθµητής είναι σταθερός, αρκεί να ϐρούµε το σηµείο που ελαχιστοποιείται η συνάρτηση g(λ) = λ 5 (exp(hc/(λkt) 1). Από τη σχέση dg dλ = 5λ4 e hc/(λkt) ehc/(λkt) hcλ 3 = λ max 1 kt T Άσκηση 3: Επιλέξτε 2 από τα 3 υποθέµατα και λύστε τα. (α) Αποδείξτε ότι: sinh 1 x = ln(x+ x 2 +1) (ϐ) Αποδείξτε ότι: d/(tanh 1 x) = 1/(1 x 2 ) (γ) Βρείτε το όριο: lim x (sinx) sinx Λύση Άσκησης 3: (α) y = sinhx = ex e x 2 = 2y = e x 1 e x Θέτωνταςz = e x παίρνουµε2y = z 1/z, η λύση της οποίας είναιz = y± y 2 +1. Αφού δε έχουµε z = e x >, συνεπάγεται ότι z = e x = y + y 2 +1 = x = ln(y + y 2 +1) = sinh 1 y Άρα τελικά αντικαθιστώντας το y µε x έχουµε: sinh 1 x = ln(x+ x 2 +1) (ϐ) y = tanh 1 x = x = tanhy = = 1 = d (tanhy) = sech2 y dy dy = 1 sech 2 y = 1 1 tanh 2 y = 1 1 x 2 3
(γ)lim x f(x) όπουf(x) = (sinx) sinx. Εχουµε λοιπόνlim x f(x) = = lim x f(x) = e lim x lnf(x) Εποµένως ϑέλω να ϐρω το όριο: ln(sin x) lim[sinxln(sinx)] = lim x x 1/sinx = lim cosx/sinx x cosx/sin 2 x = limsinx = x = lim x f(x) = explim x lnf(x) = 1 Άσκηση 4: ύο αυτοκίνητα κινούνται σε ευθείες λεωφόρους που τέµνονται κάθετα. Το αυτοκίνητο Α πλησιάζει τη διασταύρωση µε ταχύτητα v A = 1km/h και το δεύτερο αυτοκίνητο µε ταχύτητα v B = 13km/h. Ποιος ο ϱυθµός µεταβολής της απόστασης µεταξύ των 2 αυτοκινήτων την στιγµή που το Α και Β αυτοκίνητο απέχουν 5 και 12 km αντίστοιχα από την διασταύρωση. Λύση Άσκησης 4: Εχουµε r(t) 2 = x(t) 2 +y(t) 2 και παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο 2r dr [ dt = 2x ] dt +2ydy = [2xv A +2yv B ] dt Κατά την Ϲητούµενη στιγµή έχουµε r 2 = 5 2 +12 2 και εποµένως: dr dt = xv A +yv B x2 +y = 5 1+12 13 = 158.46km 2 25+144 Το αποτέλεσµα είναι σωστό όποιο και πρόσηµο να έχετε ϐάλει. Άσκηση 5: α) Να προσδιορισθεί το αόριστο ολοκλήρωµα: sin 2 xcos 2 x. ϐ) Να υπολογισθεί το εµβαδόν της τοµής του καρδιοειδούς r = 3+2cosθ και του κύκλου r = 3. Λύση Άσκησης 5: α) Η συνάρτηση είναι άρτια ως προς sinx και cosx. Άρα, ϑεωρούµε το µετασχηµατισµό u = tan x. Τότε sinx = u, cosx = 1 du, = 1+u 2 1+u 2 1+u. 2 Εποµένως, το Ϲητούµενο ολοκλήρωµα γράφεται (1+u 2 )du du = u 2 u + 2 du = 1 u +u+c 4
sin 2 xcos 2 x = 1 tanx +tanx+c. Σηµείωση: Υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης. ϐ) r 1 = 3+2cosθ, r 2 = 3. Πεδίο ορισµού: θ [,2π). Σηµεία τοµής: r 1 = r 2 θ = ±π/2. Σχέσεις µετασχηµατισµού: x = rcosθ και ψ = rsinθ. Ζητούµενο εµβαδόν: E = 2(E 1 +E 2 ). E 2 = 1 2 π π/2 r2 1 dθ = 1 2 E 1 = πr2 2 4 = 9π 4. π π/2 (3+2cosθ)2 dθ (cos 2 θ = [1+cos(2θ)]/2) E 2 = 11π 4 6. Συνεπώς: E = 1π 12. Άσκηση 6: Θεωρούµε τη πεπερασµένη επιφάνεια που δηµιουργείται από τη τοµή των καµπύλων z = f 1 (x) = x και z = f 2 (x) = x 3 µε x. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που δηµιουργείται από τη περιστροφή της παραπάνω επιφάνειας (α) ως προς τον άξονα x και (ϐ) ως προς τον άξονα z. Λύση Άσκησης 6: Οι συναρτήσειςz = x καιz = x 3 τέµνονται στα σηµεία(,) και(1,1). 5
α) Το στερεό που δηµιουργείται από την περιστροφή του γραµµοσκιασµένου χωρίου, ως προς τον άξονα Ox, έχει όγκο V 1 = π 1 (x 2 x 6 ) V 1 = 4π 21. ϐ) Οταν η περιστροφή γίνει ως προς τον άξονα Oz, έχουµε V 2 = π 1 (z 2/3 z 2 )dz V 2 = 4π 15. Σηµείωση: Στις προηγούµενες λύσεις χρησιµοποιήθηκαν κυλινδρικοί δίσκοι (διατµήσεις). Στη δεύτερη περίπτωση ϐολεύει και η µέθοδος των κυλινδρικών ϕλοιών. Τότε, ϑέτοντας z 1 = x και z 2 = x 3. dv 2 = 2πxz 1 2πxz 2 V 2 = 4π 15, 6