Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa}
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α}
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Ηµιχώρος α R. a R n E = {x R n ax > α}
Βασικές έννοιες και ορισµοί Κυρτό Σύνολο x 1, x 2 C R n λ R, λ [0, 1] λx 1 + (1 λ)x 2 C
Βασικές έννοιες και ορισµοί Κυρτό Σύνολο x 1, x 2 C R n λ R, λ [0, 1] λx 1 + (1 λ)x 2 C Κυρτό Σύνολο (γενίκευση) p N, i = 1,..., p, x i C p λ i R, λ i = 1 i=1 p λ i x i C i=1
Πολύτοπο (1, 0, 3) (0, 0, 3) (0, 1, 3) (1, 0, 2) (0, 0, 0) (2, 0, 0) (0, 2, 0) (2, 2, 0)
Πολύτοπο Πολύτοπο Ενα σηµείο x ανήκει στο πολύτοπο P εάν : A p x b p όπου A p : m n πίνακας x : n 1 και b p : m 1 διανύσµατα κολόνα
Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1
Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1 λa p x 1 + (1 λ)a p x 2 λb p + (1 λ)b p A p (λx 1 + (1 λ)x 2 ) b p
Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1 λa p x 1 + (1 λ)a p x 2 λb p + (1 λ)b p A p (λx 1 + (1 λ)x 2 ) b p Το σηµείο λx 1 + (1 λ)x 2 ανήκει στο P
Ακρότατα Σηµεία Ακρότατα Σηµεία (Extreme Points) Ενα σηµείο x είναι ακρότατο σηµείο ενός πολύτοπου P εάν x 1, x 2 P λx 1 + (1 λ)x 2 x για κάθε λ (0, 1)
Ακρότατα Σηµεία Ακρότατα Σηµεία (Extreme Points) Ενα σηµείο x είναι ακρότατο σηµείο ενός πολύτοπου P εάν x 1, x 2 P λx 1 + (1 λ)x 2 x για κάθε λ (0, 1) Θεώρηµα Εστω ένα πολύτοπο P µε ακρότατα σηµεία y 1, y 2,..., y n. Κάθε σηµείο x P µπορεί να γραφτεί ως γραµµικός συνδυασµός των ακροτάτων του P n x = λ i y i, λ i [0, 1] i=1
Θεώρηµα Βέλτιστου Θεώρηµα Βέλτιστου Εστω πολύτοπο P και συνάρτηση f : R n R Εστω x = argopt x P f(x) (ϐέλτιστη λύση ορισµένη στο P) : x ακρότατο σηµείο του P όπου opt = max ή min
Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P
Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 i=1
Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 f(x ) = f( i=1 k λ i y i ) = i=1 k i=1 max i λ i (max i k λ i f(y i ) i=1 f(y i ) = f(y i ) f(y i )) = max f(y i ) i k i=1 λ i
Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 f(x ) = f( i=1 k λ i y i ) = i=1 k i=1 max i λ i (max i k λ i f(y i ) i=1 f(y i ) = f(y i ) f(y i )) = max f(y i ) i Λόγω γραµµικότητας x = y i, i = arg max f(y i ) i k i=1 λ i
Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί 5 3 30 Τεχνικοί 2 3 24 Ωρες λειτουργίας 1 3 16 Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος
Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί 5 3 30 Τεχνικοί 2 3 24 Ωρες λειτουργίας 1 3 16 Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος Βέλτιστος συνδυασµός συµβολαίων 1 και 2
Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί 5 3 30 Τεχνικοί 2 3 24 Ωρες λειτουργίας 1 3 16 Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος Βέλτιστος συνδυασµός συµβολαίων 1 και 2 Μεταβλητές x i : αριθµός συµβολαίων τύπου i = 1, 2
Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Εταιρία) εδοµένα A = x = [ x1 5 3 2 3 1 3 x 2 ] b = 30 24 16 c t = [ ] 8 6
Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Εταιρία) εδοµένα A = x = [ x1 5 3 2 3 1 3 x 2 Σύστηµα ] max z =c t x s.t. Ax b x 0 b = 30 24 16 c t = [ ] 8 6
Εφικτές Λύσεις (Feasible Solutions) x 2 10 8 6 A B OABC : Εφικτή Περιοχή O C 6 12 18 x 1
Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x)
Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας
Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1 2, 0) έχουµε f(x ) = 2
Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1, 0) 2 έχουµε f(x ) = 2 Μετακινούµε την ευθεία ϑέτοντας x = (2, 1)
Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1, 0) 2 έχουµε f(x ) = 2 Μετακινούµε την ευθεία ϑέτοντας x = (2, 1) Ο σταθερός συντελεστής αυξάνεται! f(x ) = 20
Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Παραγωγή) εδοµένα A = x = [ x1 1 3 1 1 2 1 x 2 ] b = 18 8 14 c t = [ c 1 c 2 ]
Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Παραγωγή) εδοµένα A = x = [ x1 1 3 1 1 2 1 x 2 Σύστηµα ] max z =c t x s.t. Ax b x 0 b = 18 8 14 c t = [ c 1 c 2 ]
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Θέτουµε c 1 = 1 και c 2 = 1. Η αντικειµενική συνάρτηση γίνεται : max z = x 1 + x 2 Για να ϐρούµε την κλίση της (εφαπτοµένη): x 1 + x 2 = a x 2 = a x 1 dx 2 dx 1 = 1 tan(φ f() ) = 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 14 8 6 M 1 M 2 M 3 O M 4 7 8 18 x 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Χώρος εφικτών λύσεων Θα συµβολίζουµε τον χώρο των εφικτών λύσεων ως D
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Χώρος εφικτών λύσεων Θα συµβολίζουµε τον χώρο των εφικτών λύσεων ως D Γραµµική έκφραση αντικειµενικής συνάρτησης Η ευθεία της αντικειµενικής συνάρτησης a ορίζεται από την εφαπτοµένη και µια τιµή a : x 1 + x 2 = a. Εάν D a τότε z = a
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x t = t(m 2 M 3 ) + M 3 = tm 2 + (1 t)m 3 x 2 M 2 M 3 M 2 x t t(m 2 M 3 ) + M 3 M 3 t(m 2 M 3 ) x 1 M 3
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) [ ] [ ] 3 6 Στο παράδειγµα έχουµε M 2 = και M 3 = 5 2 Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στο σηµείο x t είναι : f(x t ) = x t 1 + x t 2 = (3t + 6(1 t)) + (5t + 2(1 t) = 3t + 6 6t + 5t + 2 2t = 8
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) [ ] [ ] 3 6 Στο παράδειγµα έχουµε M 2 = και M 3 = 5 2 Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στο σηµείο x t είναι : f(x t ) = x t 1 + x t 2 = (3t + 6(1 t)) + (5t + 2(1 t) = 3t + 6 6t + 5t + 2 2t = 8 Για a = 8 : a D = [M2, M3] Απειρία ϐέλτιστων λύσεων, κάθε σηµείο της ευθείας (M 2, M 3 )
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4.
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος!
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος! Μεγιστοποίηση στη τιµή 24 : 24 D = {M 1 }
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος! Μεγιστοποίηση στη τιµή 24 : 24 D = {M 1 } Μοναδική ϐέλτιστη λύση!
Παράδειγµα 3 Γραφική λύση του προβλήµατος : max z = 2 x 1 +3 x 2 s.t. x 1 x 2 1 x 1 + 4x 2 2 6x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 1 1 2 1 3 1 2 x 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 1 1 2 x 1 x 2 1 1 3 1 2 x 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 1 1 2 x 1 x 2 1 1 3 1 2 x 1 + 4x 2 2 x 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 6x 1 + x 2 2 1 1 2 x 1 x 2 1 1 3 1 2 x 1 + 4x 2 2 x 1
Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 6x 1 + x 2 2 1 1 2 x 1 x 2 1 1 3 1 2 x 1 + 4x 2 2 Κενή Εφικτή Περιοχή! x 1
Παράδειγµα 4 Γραφική λύση του προβλήµατος : max z = x 1 + x 2 s.t. x 1 + 6x 2 100 x 1 + x 2 10 x 2 25 x 2 5 x 1, x 2 0
Παράδειγµα 4 x 2 25 x 2 25 16.66 10 x 1 + x 2 10 x 1 + 6x 2 100 5 x 2 5 x 1
Παράδειγµα 4 x 2 25 x 2 25 16.66 10 x 1 + x 2 10 x 1 + 6x 2 100 Η Εφικτή Περιοχή είναι µη ϕραγµένη! 5 x 2 5 x 1
Παράδειγµα 4 x 2 25 x 2 25 16.66 10 x 1 + x 2 10 x 1 + 6x 2 100 Η Εφικτή Περιοχή είναι µη ϕραγµένη! 5 x 2 5 x 1 Για οποιοδήποτε a 0 a D Η ϐέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο!
Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις :
Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο )
Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια )
Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια ) Τιµή Βέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο (D : µη ϕραγµένο)
Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια ) Τιµή Βέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο (D : µη ϕραγµένο) Καµία λύση (D = )