Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
5.1 Η έννοια της γραμμικότητας στα κυκλώματα Τα γραμμικά κυκλώματα αποτελούνται από γραμμικά στοιχεία. Γραμμικά είναι τα στοιχεία που η σχέση τάσης ρεύματος είναι ευθεία γραμμή. Όλα τα στοιχεία που έχουμε εξετάσει είναι γραμμικά. Μια εξαρτημένη πηγή με εξίσωση: είναι γραμμικό στοιχείο, ενώ μια άλλη με εξίσωση: ή δεν είναι γραμμικό στοιχείο. Σε ένα γραμμικό στοιχείο, αν η τάση ή το ρεύμα πολλαπλασιαστεί με μία σταθερά, τότε και το άλλο μέγεθος (το ρεύμα ή η τάση αντίστοιχα) πολλαπλασιάζεται με την ίδια σταθερά.
5.1 Η έννοια της γραμμικότητας στα κυκλώματα Οι πηγές ενός κυκλώματος λέγονται και διεγέρσεις, διότι είναι αυτές που προκαλούν την ανάπτυξη αποκρίσεων (ρευμάτων και τάσεων) στο κύκλωμα. Στο κύκλωμα έχουμε τέσσερις αποκρίσεις, τα ρεύματα και τις τάσεις στις δύο αντιστάσεις. Επιλύοντας το κύκλωμα μπορούμε να εκφράσουμε τις αποκρίσεις συναρτήσει των διεγέρσεων: I s + V R1 - I R1 I R2 R 1 =15 Ω + V R2 - V s Παρατηρούμε ότι κάθε απόκριση είναι γραμμικός συνδυασμός των διεγέρσεων.
Εάν έχουμε ένα γραμμικό κύκλωμα στο οποίο ενεργούν περισσότερες από μία ανεξάρτητες πηγές, οποιαδήποτε απόκριση του κυκλώματος, δηλαδή οποιοδήποτε ρεύμα ή οποιαδήποτε τάση σε οποιοδήποτε στοιχείο του κυκλώματος, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των αποκρίσεων που θα είχαμε εάν κάθε πηγή ενεργούσε μόνη της και οι υπόλοιπες ήταν μηδενικές. Μηδενική πηγή τάσης αντιστοιχεί σε βραχυκύκλωμα και μηδενική πηγή ρεύματος σε ανοικτοκύκλωμα. Προσοχή: Τυχόν εξαρτημένες πηγές παραμένουν πάντα ενεργές.
Παράδειγμα 5-1: Υπολογίστε τα ρεύματα του κυκλώματος με τη χρήση του θεωρήματος της επαλληλίας. Μηδενίζουμε την πηγή των 10 V και υπολογίζουμε τα ρεύματα που οφείλονται στην πηγή των 20 V: 20 V I 1 R 1 =10 Ω I 2 I 3 R 3 =20 Ω 10 V I 1 Α R 1 =10 Ω I 2 Α I 3 Α 20 V R 3 =20 Ω Κύκλωμα Α
Μετά μηδενίζουμε την πηγή των 20 V και υπολογίζουμε τα ρεύματα που οφείλονται στην πηγή των 10 V: I 1 Β R 1 =10 Ω I 3 Β I 2 Β R 3 =20 Ω 10 V Κύκλωμα Β
Τα ρεύματα που έχουμε στο κύκλωμα όταν ενεργούν και οι δύο πηγές ισούνται με το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που βρήκαμε ότι έχουμε όταν η κάθε πηγή ενεργεί μόνη της: 20 V I 1 R 1 =10 Ω I 2 I 3 R 3 =20 Ω 10 V
Παράδειγμα 5-2: Να υπολογιστούν τα ρεύματα Ι 1, Ι 2 και Ι 3 του κυκλώματος. Ξεκινάμε αφήνοντας ενεργή την πηγή ρεύματος με τιμή 1 Α. Αντικαθιστούμε την πηγή τάσης με βραχυκύκλωμα και την πηγή ρεύματος με ανοικτοκύκλωμα: 1 I 1 V 1 I 2 V 2 5 V + - R 1 =10 Ω Γ I 3 2 I 2 I 1 I 3 1 R 1 =10 Ω Γ Κύκλωμα Α
Στη συνέχεια αφήνουμε ενεργή την άλλη πηγή ρεύματος, που έχει τιμή 2 Α, ανοικτοκυκλώνουμε την πηγή ρεύματος 1 Α και βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης: I 2 Β I Β 1 R 1 =10 Ω I 3 Β 2 Γ Κύκλωμα Β Τέλος, αφήνουμε ενεργή την πηγή τάσης και ανοικτοκυκλώνουμε τις δύο πηγές ρεύματος: I 2 Γ R 1 =10 Ω 5 V + - I 1 Γ I 3 Γ Γ Κύκλωμα Γ
Τα τρία ζητούμενα ρεύματα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ρευμάτων: 1 I 1 V 1 I 2 V 2 R 1 =10 Ω 5 V + - I 3 2 Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι τα αποτελέσματά μας είναι σωστά ελέγχοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους Α και Β. Στον κόμβο Α πρέπει να ισχύει η σχέση: Γ Στον κόμβο Β πρέπει να ισχύει η σχέση:
Παράδειγμα 5-3: Χρησιμοποιήστε το θεώρημα της επαλληλίας για να υπολογίσετε την τάση v x του κυκλώματος. Μηδενίζουμε πρώτα την πηγή τάσης. Γράφουμε το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α: R=10 Ω + v x - 0,5 v x 1 10 V R=10 Ω + v xα - 0,5 v x Α 1 Κύκλωμα Α
Στη συνέχεια ανοικτοκυκλώνουμε την πηγή ρεύματος: R=10 Ω + v x - Η εξαρτημένη πηγή ρεύματος ισοδυναμεί με ανοικτοκύκλωμα. Η τιμή της ζητούμενης τάσης όταν ενεργούν και οι δύο πηγές ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των τιμών που βρήκαμε όταν ενεργεί η κάθε μία ξεχωριστά: 0,5 v x 10 V Κύκλωμα
Παράδειγμα 5-4: Υπολογίστε το ρεύμα i x στο κύκλωμα του σχήματος με χρήση του θεωρήματος της επαλληλίας. Εδώ έχουμε εξαρτημένη πηγή τάσης. Αρχικά μηδενίζουμε την πηγή τάσης. Η εξαρτημένη πηγή τάσης εφαρμόζεται στα άκρα της αντίστασης, οπότε από το νόμο του Ωμ παίρνουμε: R=10 Ω 5 i x 1 10 V + - i x R=10 Ω 5 i x 1 + - i x Κύκλωμα Α
Στη συνέχεια εξετάζουμε το δεύτερο κύκλωμα, όπου ενεργεί η πηγή τάσης και η πηγή ρεύματος είναι ανοικτοκυκλωμένη: R=10 Ω 5 i x 10 V + - i x Το ζητούμενο ρεύμα τώρα στο αρχικό κύκλωμα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των δύο ρευμάτων, δηλαδή ίσο με το ρεύμα του δεύτερου κυκλώματος: Κύκλωμα
Η μέθοδος της επαλληλίας δεν δίνει τη συντομότερη λύση. Το συγκεκριμένο κύκλωμα με τη μέθοδο βρόχων θα λυνόταν πιο σύντομα. Η πηγή ρεύματος μας δίνει την εξίσωση: 5 i x 1 10 V + - i x I 1 I 2 Ο νόμος τάσεων του Kirchhoff στον εξωτερικό βρόχο μας δίνει: Τελικά έχουμε:
Παράδειγμα 5-5: Υπολογίστε το ρεύμα i x του κυκλώματος. Αφήνουμε ενεργή την πηγή ρεύματος και μηδενίζουμε την πηγή τάσης. Γράφουμε την εξίσωση που προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α: 5 i x + 1 - R 1 =5 Ω i x 10 V Όμως: R 1 =5 Ω i x Οπότε: 5 i x + - 1 Κύκλωμα Α
Όταν ενεργεί μόνο η πηγή τάσης έχουμε ένα βρόχο, οπότε γράφουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο αυτόν: R 1 =5 Ω 5 i x 10 V + - i x Κύκλωμα Το ζητούμενο ρεύμα στο αρχικό κύκλωμα που ενεργούν και οι δύο πηγές ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ρευμάτων:
Ας λύσουμε το κύκλωμα και με τη μέθοδο κόμβων. Έχουμε: R 1 =5 Ω i x 5 i x + 1-10 V Ο νόμος του Ωμ στην αντίσταση R 2 που συνδέει τους δύο αγνώστους της παραπάνω εξίσωσης όμως, τώρα είναι διαφορετικός: Συνδυάζοντας τις δύο εξισώσεις βρίσκουμε:
Παράδειγμα 5-6: Έχουμε ένα γραμμικό κύκλωμα που διεγείρεται από δύο πηγές. Όταν η τιμή της πηγής ρεύματος είναι 0,5 Α και η τιμή της πηγής τάσης 5 V, το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση είναι 0,5 Α. Όταν η τιμή της πηγής ρεύματος είναι 1 Α και η τιμή της πηγής τάσης είναι 2 V, το ρεύμα της αντίστασης είναι 1,5 Α. α) Ποιο είναι το ρεύμα της αντίστασης όταν η πηγή ρεύματος έχει τιμή 2 Α και η πηγή τάσης έχει τιμή 50 V; β) Ποια πρέπει να είναι η τιμή της πηγής τάσης για να μην διαρρέεται η αντίσταση από ρεύμα, εάν η τιμή της πηγής ρεύματος είναι 1 Α; I s V s Γραμμικό κύκλωμα (περιέχει αντιστάσεις και εξαρτημένες πηγές) I R R
Αφού το κύκλωμά μας είναι γραμμικό, το ρεύμα της αντίστασης είναι γραμμικός συνδυασμός των διεγέρσεων: Μας δίνεται το ρεύμα για δύο ζεύγη τιμών των πηγών, άρα μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές: I s V s Γραμμικό κύκλωμα (περιέχει αντιστάσεις και εξαρτημένες πηγές) I R R Από τη λύση του παραπάνω συστήματος προκύπτουν οι τιμές των συντελεστών:
I s V s Γραμμικό κύκλωμα (περιέχει αντιστάσεις και εξαρτημένες πηγές) I R R Η σχέση που δίνει το ρεύμα της αντίστασης συναρτήσει των πηγών είναι: Βάζοντας τα δεδομένα βρίσκουμε:
Για να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα θέτουμε τα δεδομένα στην εξίσωση και λύνουμε για να βρούμε την τιμή της πηγής ρεύματος: I s V s Γραμμικό κύκλωμα (περιέχει αντιστάσεις και εξαρτημένες πηγές) I R R