Περιγραφή και ανάλυση δυναμικού προγράμματος μοντέλου παραγωγής Ν-προϊόντων

Περιγραφή και ανάλυση δυναμικού προγράμματος μοντέλου παραγωγής Ν-προϊόντων Ολυμπία Χατζηκωνσταντίνου, Γεώργιος Λυμπερόπουλος, Δημήτριος Παντελής Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πεδίον Άρεως Βόλος ohatzikon@mie.uth.gr, glib@mie.uth.gr, d_pandelis@mie.uth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το πρόβλημα του βέλτιστου στοχαστικού δυναμικού προγραμματισμού παρτίδων (SELSP) είναι ένα θεωρητικά και πρακτικά ενδιαφέρον πρόβλημα που απαντάται συχνά στη βιομηχανία. Στόχος του προβλήματος είναι να κατανεμηθεί η δυναμικότητα της παραγωγής μεταξύ διαφορετικών προϊόντων για να ικανοποιηθούν οι τυχαίες ζητήσεις κάθε προϊόντος. Στην παρούσα εργασία εξετάζουμε ένα πρόβλημα διακριτού χρόνου παραγωγής ενός αριθμού διαφορετικών προϊόντων σε μια βιομηχανία με πεπερασμένη χωρητικότητα. Οποτεδήποτε γίνει αλλαγή προϊόντος στην παραγωγική διαδικασία εγείρεται ένα κόστος αλλαγής. Όταν το απόθεμα των τελικών προϊόντων υπερβεί την χωρητικότητα της αποθήκης, εγείρεται ένα κόστος υπερχείλισης ανά μονάδα μη αποθηκευμένου προϊόντος. Τέλος όταν το απόθεμα δεν επαρκεί για να ικανοποιήσει τη ζήτηση εγείρονται κόστη χαμένων πωλήσεων ανά μονάδα μη ικανοποιημένης ζήτησης όλων των προϊόντων. Το πρόβλημα μορφοποιήθηκε ως μια Μαρκοβιανή διαδικασία αποφάσεων (MDP) διακριτού χρόνου, με μεταβλητές καταστάσεως το προϊόν για το οποίο είναι στημένο το σύστημα παραγωγής και τα επίπεδα αποθέματος των προϊόντων, και μεταβλητή αποφάσεως το προϊόν που θα παραχθεί την επόμενη χρονική περίοδο. Η επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων καθορίζει την πολιτική του προγράμματος παραγωγής που ελαχιστοποιεί το μέσο προσδοκώμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα για προβλήματα 2, 4 και 5 προϊόντων με βάση την ακριβή επίλυση του Μαρκοβιανού μοντέλου ενώ για τα προβλήματα 4 και 5 προϊόντων χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές μέθοδοι που βασίζονται στην αποσύνθεση του προβλήματος πολλών προϊόντων σε μικρότερα 3 προϊόντων. Λέξεις Κλειδιά: Δυναμικός Προγραμματισμός, Βέλτιστες Πολιτικές, Στοχαστικότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα από τα κλασικά προβλήματα του προγραμματισμού παραγωγής είναι το πρόβλημα εύρεσης βέλτιστου στοχαστικού δυναμικού προγράμματος παρτίδων (SLSP) όπου η δυναμικότητα της γραμμής παραγωγής πρέπει να κατανεμηθεί σε ένα αριθμό διαφορετικών προϊόντων των οποίων οι ζητήσεις είναι τυχαίες. Ο Sox et al. (1999) διακρίνει το πρόβλημα (SLSP) σε δύο κατηγορίες στο πρόβλημα stochastic economic lot scheduling problem (SELSP) και στο πρόβλημα stochastic capacitated lot sizing problem (SCLSP). Το SELSP είναι κατάλληλο για συνεχούς επεξεργασίας γραμμές παραγωγής και υποθέτει τον ορίζοντα προγραμματισμού άπειρο και τη ζήτηση σταθερή, ενώ το SCLSP είναι κατάλληλο για γραμμές παραγωγής διακριτών τεμαχίων ενώ υποθέτει τον ορίζοντα προγραμματισμού πεπερασμένο και τη ζήτηση μη-σταθερή. Γραμμές παραγωγής που παράγουν διακριτά τεμάχια (discrete parts manufacturing) απαντώνται σε βιομηχανίες παραγωγής Η/Υ και ηλεκτρονικών προϊόντων, ηλεκτρικού εξοπλισμού και συσκευών, εξοπλισμού μεταφοράς, μηχανημάτων κτλ. Από την άλλη μεριά οι βιομηχανίες επεξεργασίας (process industries) είναι συνεχούς ροής ενώ η πρώτη ύλη μπορεί να είναι το 1

πετρέλαιο ή προϊόντα άνθρακα, μη-μεταλλικά ανόργανα προϊόντα, βασικές χημικές ουσίες, τρόφιμα ή αφέψημα κτλ. Γενικά οι βιομηχανίες επεξεργασίας εστιάζουν στην παραγωγή υψηλού όγκου προϊόντων και χαμηλής ποικιλίας. Σε μια τυπική βιομηχανία η γραμμή παραγωγής είναι συνεχούς λειτουργίας και τα διαφορετικά προϊόντα ανήκουν στην ίδια οικογένεια και διαφέρουν σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά όπως για παράδειγμα η ποιότητα, το μέγεθος ή το πάχος κτλ, συχνά τα προϊόντα αυτά σχετίζονται με τις επιτρεπόμενες αλλαγές από τον ένα τύπο προϊόντος στον επόμενο ή τον προηγούμενο της αλυσίδας. Για παράδειγμα εάν η γραμμή παραγωγής παράγει 3 τύπους προϊόντος Α, Β και C, το Α είναι το πρώτο στην αλυσίδα ενώ το C είναι το τελευταίο, οι επιτρεπόμενες αλλαγές είναι μεταξύ των προϊόντων A και B, και μεταξύ των προϊόντων Β και C και όχι απευθείας μεταξύ των προϊόντων A και C (Liberopoulos et al. (2009)). Η καθοριστική κατηγορία του SELSP, η ονομαζόμενη ELSP, έχει λάβει αξιόλογη προσοχή από διάφορους ερευνητές τις τελευταίες δεκαετίες (Elmaghraby (1978) και Salomon (1991)). Αναλυτικές και ευρετικές λύσεις του προβλήματος ELSP δίνουν κυκλικά σχέδια παραγωγής όπου όλα τα προϊόντα παράγονται διαδοχικά σε κύκλο ξεκινώντας από το χαμηλότερο προϊόν πηγαίνοντας στο υψηλότερο προϊόν και επιστρέφοντας πάλι στο χαμηλότερο. Στο προηγούμενο παράδειγμα με τα 3 προϊόντα ένας πλήρης κύκλος παραγωγής αποτελείται από την εξής αλληλουχία προϊόντων A-B-C-B-A. Δυστυχώς τα κυκλικά προγράμματα παραγωγής δεν λειτουργούν αποδοτικά για το στοχαστικό πρόβλημα για δύο λόγους: Πρώτον διότι εστιάζουν στο μέγεθος της παρτίδας και όχι στη δυναμική κατανομή της δυναμικότητας της παραγωγής το οποίο κρίνεται απαραίτητο σε προβλήματα όπου η ζήτηση αλλάζει τυχαία. Και δεύτερον διότι σε ένα στοχαστικό πρόβλημα τα αποθέματα των τελικών προϊόντων υπάρχουν όχι μόνο για να μειώσουν τον αριθμό των αλλαγών όπως στην περίπτωση ενός καθοριστικού προβλήματος, αλλά και για να δημιουργήσουν ένα όριο κατά της εξάντλησης του αποθέματος. Στο στοχαστικό πρόβλημα η επιλογή του μεγέθους παρτίδας και η κατανομή της δυναμικότητας της παραγωγής λαμβάνεται υπόψη ταυτόχρονα ενώ η δυναμική συμπεριλαμβάνεται στο σχέδιο προγραμματισμού (Graves (1980)). Σε αυτή την παράγραφο μελετάμε ένα πρόγραμμα SELSP στο οποίο η μοναδική υπάρχουσα γραμμή παραγωγής πρέπει να παράγει διάφορα προϊόντα προκειμένου να ικανοποιηθούν τυχαίες σταθερές ζητήσεις (random stationary demand) για κάθε προϊόν από έναν κοινό αποθεματικό χώρο τελικών προϊόντων περιορισμένης χωρητικότητας. Υπενθυμίζεται ότι η ζήτηση η οποία δεν μπορεί να ικανοποιηθεί άμεσα θεωρείται ότι δεν μπορεί να ικανοποιηθεί σε μεταγενέστερη περίοδο και χάνεται. Ακόμη η διαθεσιμότητα των πρώτων υλών θεωρείται ότι είναι απρόσκοπτη, ενώ ο ρυθμός παραγωγής προϊόντων θεωρείται σταθερός. Τέλος υπενθυμίζεται πως όταν η γραμμή παραγωγής είναι ρυθμισμένη ώστε να παράγει ένα προϊόν, τότε οι μοναδικές αλλαγές στο παραγόμενο προϊόν που επιτρέπονται είναι από το συγκεκριμένο προϊόν στο αμέσως προηγούμενο ή στο αμέσως επόμενο της αλληλουχίας. Προκειμένου να απεικονιστεί το ενδιάμεσο προϊόν, για λόγους απλούστευσης θεωρείται πως κατά τη διάρκεια μίας μετάβασης από ένα προϊόν, έστω Α στο προϊόν Β, το ενδιάμεσο προϊόν που παράγεται είναι τύπου Α, ενώ κατά τη μετάβαση από το προϊόν Β στο Α το ενδιάμεσο παραγόμενο προϊόν είναι τύπου Β. Η υπόθεση αυτή θεωρείται ικανοποιητική γιατί με την εφαρμογή της δεν μεταβάλλονται μακροπρόθεσμα οι παραγόμενες ποσότητες των προϊόντων Α και Β σε σχέση με αντίστοιχη υπόθεση όπου γίνεται διαίρεση της ποσότητας του ενδιάμεσου προϊόντος στα δύο προϊόντα. Ακόμη θεωρείται πως όλοι οι απαιτούμενοι χρόνοι μετάβασης είναι σταθεροί και ίσοι μεταξύ τους. Η δομή του κόστους περιλαμβάνει το κόστος μετάβασης εξαρτώμενο από τα προϊόντα, το κόστος υπερχείλισης εξαρτώμενο από την ποσότητα 2

προϊόντος που δεν μπορεί να αποθηκευτεί, και το κόστος χαμένων πωλήσεων εξαρτώμενο από το μέγεθος της ζήτησης που δεν μπορεί να ικανοποιηθεί άμεσα. Το πρόβλημα SELSP περιγράφεται ως μια Μαρκοβιανή διαδικασία αποφάσεων διακριτού χρόνου, κατά την οποία λαμβάνεται η απόφαση αλλαγής ή όχι της ρύθμισης της γραμμής παραγωγής από το προϊόν που παραγόταν σε κάποιο γειτονικό του σε κάθε χρονική περίοδο. Η απόφαση αυτή λαμβάνεται με βάση την υπάρχουσα κατάσταση του συστήματος, η οποία προκύπτει από το συνδυασμό της ρύθμισης της παραγωγικής διαδικασίας και των αποθεμάτων τελικών προϊόντων για όλα τα προϊόντα, με στόχο την ελαχιστοποίηση του μακροπρόθεσμου μέσου κόστους για άπειρο χρονικό ορίζοντα. Εξαιτίας της θεωρητικής και πρακτικής σημασίας του, το πρόβλημα SELSP έχει λάβει σημαντική προσοχή στη βιβλιογραφία. Μία περιεκτική ανασκόπηση σχετικών εργασιών περιέχεται στην εργασία των Sox et al. (1999) και Winands et al. (2005). Από τις δύο αυτές εργασίες γίνεται προφανές ότι στη βιβλιογραφία υπάρχουν δύο προσεγγίσεις του προβλήματος SELSP. Η πρώτη αφορά στην ανάπτυξη ενός κυκλικού προγράμματος παραγωγής (cyclic schedule) θεωρώντας μία καθοριστική προσέγγιση του στοχαστικού προβλήματος, κατά την οποία αναπτύσσεται ένας κανόνας ελέγχου για το στοχαστικό πρόβλημα προκειμένου να υπολογιστεί το κυκλικό πρόγραμμα παραγωγής. Η δεύτερη προσέγγιση, η οποία χρησιμοποιείται σε αυτήν την παράγραφο, είναι η ανάπτυξη ενός δυναμικού προγράμματος παραγωγής το οποίο και καθορίζει ποιο προϊόν θα παραχθεί λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση του συστήματος. Ένας από τους πρώτους ερευνητές που ασχολήθηκε με το πρόβλημα SELSP διακριτού χρόνου με δυναμική αλληλουχία παραγωγής προϊόντων ήταν ο Graves (1980). Πρώτος ο Graves επέλυσε πρόβλημα παραγωγής ενός προϊόντος λαμβάνοντας υπόψη κόστη αποθέματος και έλλειψης καθώς και κόστη μετάβασης και μη συμπεριλαμβάνοντας στο μοντέλο του χρόνους μετάβασης, ενώ η απόφαση που έπρεπε να ληφθεί σε κάθε περίοδο ήταν αν θα παραχθεί προϊόν ή όχι. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τη λύση του προβλήματος του ενός προϊόντος ως βάση επέλυσε μέσω ενός ευρετικού αλγορίθμου ένα πρόβλημα παραγωγής πολλών προϊόντων. Πιο αναλυτικά ο ευρετικός αλγόριθμος επιλύεται συγκρίνοντας τα διαφορικά κόστη των διαφορετικών προϊόντων τα οποία προκύπτουν για κάθε ξεχωριστό και ισοδύναμο προϊόν με βάση την ανάλυση του ενός προϊόντος. Το ισοδύναμο προϊόν ήταν μία σκέψη του Graves που βοήθησε σε ένα πιθανό προγραμματισμό μιας γραμμής παραγωγής πολλών προϊόντων. Η ιδέα είναι ότι το ισοδύναμο απόθεμα των διαφορετικών προϊόντων μπορεί να υποδείξει την ανάγκη για άμεση παραγωγή σε περίπτωση που η ποσότητα του κάθε ενός προϊόντος ξεχωριστά θεωρηθεί σχεδόν επαρκής. Οι Qiu και Loulou (1995) προσέγγισαν το SELSP πρόβλημα θεωρώντας ότι η ζήτηση ακολουθεί κατανομή Poisson και λαμβάνοντας υπόψη καθοριστικούς χρόνους επεξεργασίας και χρόνους μετάβασης καθώς επίσης λαμβάνοντας υπόψη τα κόστη αποθέματος, ελλείμματος και τα κόστη μετάβασης. Το πρόβλημά τους μοντελοποιήθηκε ως μία ημι-μαρκοβιανή διαδικασία αποφάσεων (semi-markov decision process), με στόχο τον καθορισμό του είδους του προϊόντος που θα παραχθεί προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το μέσο προσδοκώμενο κόστος άπειρου χρονικού ορίζοντα. Οι αναφερόμενες χρονικές περίοδοι είναι χρονικά σημεία όπου είτε η γραμμή παραγωγής δεν είναι σε λειτουργία και κάποιες ζητήσεις έχουν έρθει είτε κάποιο προϊόν είναι έτοιμο για επεξεργασία και η γραμμή παραγωγής είναι ελεύθερη να μπει σε λειτουργία. Οι συγκεκριμένοι ερευνητές κάνοντας διαδοχικές προσεγγίσεις δημιούργησαν σχεδόν βέλτιστες πολιτικές ελέγχου επιλύοντας ένα πρόβλημα καθορισμένου αποθηκευτικού χώρου και υπολογίζοντας τα όρια σφάλματος. Επίσης παρουσίασαν αριθμητικά αποτελέσματα προβλημάτων δύο προϊόντων και σχολίασαν την δυσκολία των προβλημάτων μεγαλύτερης των δύο προϊόντων διάστασης. 3

Οι Leachman και Gascon (1988) ανέπτυξαν μια δυναμική περιοδική πολιτική ελέγχου η οποία καθορίζει ποια προϊόντα θα παραχθούν και σε ποιες ποσότητες με βάση τη λύση ενός ELSP προβλήματος μη σταθερών ζητήσεων (non-stationary demand). Η λύση που προκύπτει από το καθοριστικό μοντέλο τροποποιείται εάν δύο ή περισσότερα προϊόντα είναι κοντά στο να εξαντληθούν τα αποθέματά τους ή ήδη εκκρεμούν προηγούμενες παραγγελίες γι αυτά. Τέλος, οι Sox και Muckstadt (1997) και οι Karmarkar και Yoo (1994) ανέπτυξαν ένα στοχαστικό μοντέλο μαθηματικού προγραμματισμού πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα για τη λύση ενός προβλήματος SELSP το οποίο θα μπορούσε να ταξινομηθεί στην κατηγορία των προβλημάτων SCLSP με καθορισμένη παραγωγή και χρόνους μετάβασης το οποίο χρησιμοποιεί χαλάρωση Lagrange για την εύρεση βέλτιστης ή σχεδόν βέλτιστης λύσης για προβλήματα μικρού μεγέθους. Στη δική μας εργασία παρουσιάζουμε ένα εναλλακτικό πρόβλημα SELSP διακριτού χρόνου περιοδικού ελέγχου με βέλτιστη δυναμική αλληλουχία παραγωγής προϊόντων, το οποίο σχετίζεται περισσότερο με τις εργασίες του Graves (1980) και των Qiu και Loulou (1995). Η διαφορά είναι ότι παρουσιάζουμε ένα μοντέλο SELSP στο οποίο οι μόνες επιτρεπτές μεταβάσεις γίνονται στο αμέσως επόμενο ή αμέσως προηγούμενο προϊόν. Το τελευταίο χαρακτηριστικό απαντάται σε βιομηχανίες που παράγουν μεγάλο αριθμό από διάφορα προϊόντα ενώ η επίλυση του μοντέλου βασίζεται σε ευρετικές προσεγγίσεις όπου το πραγματικό πρόβλημα μορφοποιείται χρησιμοποιώντας πολλά μικρότερα υποπροβλήματα για τα οποία είναι υπολογιστικά πιο εύκολη η επίλυση. Για προβλήματα δύο ή τριών προϊόντων επιλύσαμε το MDP πρόβλημα και με τη χρήση διαδοχικών προσεγγίσεων βρήκαμε τη βέλτιστη πολιτική ελέγχου. Για τα προβλήματα με N προϊόντα όπου N > 3, αναπτύξαμε ένα ευρετικό αλγόριθμο ο οποίος βασίζεται στην αποσύνθεση ενός προβλήματος N-προϊόντων σε (N 2) υπο-προβλήματα 3-προϊόντων και επιλύσαμε κάθε ένα υπο-πρόβλημα μέσω διαδοχικών προσεγγίσεων. Κάθε ένα υπο-πρόβλημα 3- προϊόντων είναι μια προσέγγιση του πραγματικού προβλήματος N-προϊόντων, όπου το μεσαίο προϊόν του υπο-προβλήματος είναι το ένα από τα προϊόντα του πραγματικού προβλήματος, το αμέσως προηγούμενο (αριστερό) προϊόν του υπο-προβλήματος είναι το ισοδύναμο προϊόν που αποτελείται από όλα τα προϊόντα του πραγματικού προβλήματος τα οποία προηγούνται στην αλληλουχία έναντι του μεσαίου και στη συνέχεια έπονται τα επόμενα του μεσαίου (δεξιά) προϊόντα. Για παράδειγμα, εάν το πραγματικό πρόβλημα αποτελείται από πέντε προϊόντα, A-B-C-D-E, μορφοποιούμε τα ακόλουθα υποπροβλήματα 3- προϊόντων: A-B-(C+D+E), (A+B)-C-(D+E), and (A+B+C)-D-E, όπου (A+B) απεικονίζει το ισοδύναμο προϊόν το οποίο αποτελείται από τα προϊόντα A και B. Μετά την επίλυση των υπο-προβλημάτων, η πολιτική ελέγχου του ευρετικού αλγορίθμου για το πραγματικό πρόβλημα των N-προϊόντων είναι ένας συνδυασμός των βέλτιστων πολιτικών των υπο-προβλημάτων. Η συγκεκριμένη εργασία αποτελείται από τις εξής ενότητες. Στην ενότητα 2 περιγράφεται ο στοχαστικός δυναμικός προγραμματισμός και η επίλυση του MDP μοντέλου του πραγματικού προβλήματος των N-προϊόντων. Η ευρετική προσέγγιση επίλυσης των προβλημάτων με περισσότερα από 3 προϊόντα παρουσιάζεται στην ενότητα 3. Τέλος τα αριθμητικά αποτελέσματα των διαφόρων περιπτώσεων για προβλήματα 2, 4 και 5 προϊόντων, χρησιμοποιώντας τον ακριβή και ευρετικό τρόπο επίλυσης φαίνονται στην ενότητα 4, και τα συμπεράσματα φαίνονται στην ενότητα 5. 2 Μορφοποίηση και επίλυση προβλήματος με δυναμικό προγραμματισμό Στην παρούσα ενότητα εξετάζουμε ένα πρόβλημα διακριτού χρόνου παραγωγής N διαφορετικών προϊόντων σε μια βιομηχανία η οποία έχει πεπερασμένο αποθηκευτικό χώρο X. Οι αλλαγές που επιτρέπονται είναι μεταξύ γειτονικών προϊόντων n, n + 1, n = 1,, N 4

1. Ο χρόνος μετάβασης είναι ίσος με μία χρονική περίοδο. Σε κάθε χρονική περίοδο ο ρυθμός παραγωγής είναι σταθερός και ίσος με P ενώ η παραγωγή κάθε ενός προϊόντος καθορίζεται στην αρχή μιας περιόδου. Η παραγόμενη ποσότητα αποθηκεύεται σε ένα κοινό αποθηκευτικό χώρο τελικών προϊόντων ο οποίος έχει πεπερασμένη χωρητικότητα ίση με X μονάδες. Οποτεδήποτε το στοκ ασφαλείας των τελικών προϊόντων υπερβεί την χωρητικότητα της αποθήκης, εγείρεται ένα κόστος υπερχείλισης CS (spill-over cost) ανά μονάδα μη- αποθηκευμένου προϊόντος. Αφού η παραγόμενη ποσότητα προστεθεί μέσα στον αποθηκευτικό χώρο, ένα διάνυσμα τυχαίων ζητήσεων D (D 1,, D N ) πρέπει να ικανοποιηθεί μέσω του αποθέματος των τελικών προϊόντων. Οι ζητήσεις αυτές είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές με γνωστή από κοινού κατανομή πιθανότητας p( d1, d 2,, d N ) Pr( D1 d1, D2 d 2,, DN d N ). Όταν το στοκ ασφαλείας των προϊόντων δεν επαρκεί για να ικανοποιήσει τη ζήτηση εγείρονται κόστη χαμένων πωλήσεων CL n, όπου n 1, 2,, N (lost sales cost) ανά μονάδα μη ικανοποιημένης ζήτησης του προϊόντος n.επίσης ο ρυθμός παραγωγής P θεωρείται σταθερός και ίσος με τη συνολική προσδοκώμενη ζήτηση όλων προϊόντων. Το πρόβλημα μορφοποιήθηκε ως μια Μαρκοβιανή διαδικασία αποφάσεων διακριτού χρόνου όπου η κατάσταση του συστήματος στην αρχή της περιόδου ορίζεται ως ένα διάνυσμα y (s, x 1,, x N ), όπου s το προϊόν για το οποίο είναι στημένο το σύστημα παραγωγής κατά τη διάρκεια της συγκεκριμένης περιόδου και x n n = 1,,N, το επίπεδο αποθέματος για το προϊόν n στην αρχή της περιόδου. Σημειώνεται ότι s {1,, N}, και το σύνολο των επιτρεπτών επιπέδων αποθέματος καθορίζεται από τους ακεραίους αριθμούς x n, n = 1,, N, όπου 0 Σ n x n X. Το μέγεθος του χώρου καταστάσεων (state space) εξαρτάται από τον αριθμό των παραγόμενων προϊόντων N και ισούται με ½ N X N. Η μεταβλητή αποφάσεως u στην αρχή κάθε περιόδου ορίζει αν υπάρξει ή όχι μετάβαση σε ένα γειτονικό προϊόν ή αν μείνει αμετάβλητη η παραγωγική διαδικασία. Εάν η τρέχουσα κατάσταση είναι s οι επιτρεπτές μεταβάσεις ανήκουν στο σύνολο U(s), όπου U(1) = {1, 2}, U(N) = {N 1, N}, και U(s) = {s 1, s, s + 1}, s = 2,, N 1. Εάν ληφθεί η απόφαση μετάβασης σε διαφορετικό προϊόν η αλλαγή πραγματοποιείται στην αρχή της επόμενης περιόδου. Μια τέτοια απόφαση αυτή επιφέρει ένα κόστος αλλαγής CC την συγκεκριμένη περίοδο ενώ το συγκεκριμένο προϊόν θα παραχθεί την επόμενη χρονική περίοδο. Υποθέτουμε ότι η κατάσταση του συστήματος στην αρχή της περιόδου είναι y, η απόφαση που λαμβάνεται είναι u, ενώ η ζήτηση που πρέπει να ικανοποιηθεί είναι D. Θέτουμε g(y,u,d) το κόστος που επέρχεται κατά τη διάρκεια της συγκεκριμένης περιόδου και y (s, x 1,, x N ) = f(y,u,d) την κατάσταση του συστήματος στην αρχή της επόμενης περιόδου. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι s = u και x n = [x n + p(y) I n=s D n ] +, n = 1,, N, όπου p(y) είναι η παραγόμενη ποσότητα που προστίθεται στον αποθηκευτικό χώρο των τελικών προϊόντων όταν η παραγόμενη συνολική ποσότητα είναι ίση με P μονάδες και προτού ικανοποιηθεί η ζήτηση, δηλαδή p(y) min{p, X Σ n x n }, και I a είναι δυαδική συνάρτηση η οποία παίρνει την τιμή 1 εάν a είναι αληθές αλλιώς παίρνει την τιμή 0, και [x] + max{0, x}. Επιπρόσθετα, g(y,u,d) = CC I u s + CS (P p(y)) + Σ n CL n [D n x n p(y) I n=s ] +. Η αντικειμενική συνάρτηση έχει ως στόχο την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής u = μ(y) η οποία ελαχιστοποιεί το μακροχρόνιο (απείρου χρονικού ορίζοντα) μέσο προσδοκώμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου J. Η εύρεση της βέλτιστης πολιτικής απαιτεί τη χρήση των εξισώσεων Bellman, που γράφονται με τη μορφή J + V(y) = min u U(s) T u (V(y)), όπου V(y) είναι το διαφορικό κόστος ξεκινώντας από την κατάσταση y, και ο τελεστής T u ( ) ορίζεται ως T u (V(y)) E D { g(y,u,d) + V(y )}. Η βέλτιστη λύση των 5

εξισώσεων Bellman καθορίζει τη βέλτιστη πολιτική του συστήματος στην κατάσταση y, όταν υπολογιστεί ο όρος μ * (y). Αυτό επιτυγχάνεται επιλύοντας την εξίσωση Bellman μέσω της μεθόδου των διαδοχικών προσεγγίσεων. Ο όρος V k (y) δίνει τη συνάρτηση διαφορικού κόστους για την k επανάληψη. Αρχικά ορίζουμε V 0 (y) = 0 y. Οι τιμές της συνάρτησης για την (k + 1) επανάληψη δίνονται από την προηγούμενη επανάληψη μέσω της επαναληπτικής διαδικασίας υπολογισμού της συνάρτησης V k+1 (y) = T(V k (y)) T(V k (ŷ)), όπου T(V k (y)) = min u U(s) T u (V k (y)) και ŷ είναι μια αυθαίρετα επιλεγμένη αρχική κατάσταση. Σημειώνεται ότι σε κάθε επανάληψη το διαφορικό κόστος για την ειδική κατάσταση είναι ίσο με μηδέν. Υποθέτοντας ότι οι επαναλήψεις συγκλίνουν σε κάποιες τιμές V(y), με βάση την επαναληπτική εξίσωση αυτές οι τιμές θα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση T(V(ŷ)) + V(y) = T(V(y)). Τέλος μια σύγκριση της τελευταίας εξίσωσης και της εξίσωσης Bellman αποκαλύπτει τη τιμή του μέσου κόστους J = T(V(ŷ)). Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων για κάθε επανάληψη k = 1, 2, υπολογίζουμε τις μέγιστες και ελάχιστες διαφορές, V k U = max y {V k (y) V k 1 (y)} και V k L = min y {V k (y) V k 1 (y)}. Τέλος το πρόγραμμα τερματίζει όταν V k U V k L < ε T(V k (ŷ)), όπου ε είναι ένας μικρός θετικός αριθμός. 3 Επίλυση προβλήματος με χρήση ευρετικού αλγορίθμου Παρόλο που η ακριβής μέθοδος που παρουσιάζεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να καθορίσει την βέλτιστη πολιτική για οποιοδήποτε αριθμό προϊόντων, είναι υπολογιστικά ασύμφορη για περισσότερα από τρία προϊόντα. Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται μία ευρετική μέθοδος επίλυσης η οποία προσεγγίζει οποιοδήποτε πρόβλημα Ν-προϊόντων ( N 3 ) μέσω διαφορετικών υπο-προβλημάτων 3-προϊόντων όπου χρησιμοποιώντας τις λύσεις των υπο-προβλημάτων (λύση που καθορίζεται από την ακριβή μέθοδο) βρίσκεται μέσω του ευρετικού αλγορίθμου η βέλτιστη πολιτική του πραγματικού προβλήματος. Αναλυτικότερα, ο ευρετικός αλγόριθμος λειτουργεί ως ακολούθως. Έστω S το πραγματικό πρόβλημα N- προϊόντων. Για κάθε προϊόν n, n = 2,, N 1, μορφοποιούμε ένα υποπρόβλημα 3-προϊόντων το οποίο απεικονίζεται ως S n, στο οποίο το μεσαίο προϊόν είναι το προϊόν n, το αμέσως προηγούμενο προϊόν είναι το ισοδύναμο όλων των προϊόντων τα οποία προηγούνται του n, τα προϊόντα 1,..,n-1 ενώ το αμέσως επόμενο προϊόν είναι το ισοδύναμο προϊόν το οποίο περιλαμβάνει όλα τα προϊόντα που έπονται του προϊόντος n, τα προϊόντα n + 1,, N. Έτσι το S n είναι ένα προσεγγιστικό πρόβλημα του πραγματικού προβλήματος S. Για κάθε υπο-πρόβλημα S n, καθορίζουμε την κατάσταση του συστήματος μέσω του διανύσματος y n = (s n, w n, x n, z n ), όπου s n {1, 2, 3} και w n και z n είναι τα τελικά επίπεδα αποθεμάτων των ισοδύναμων προϊόντων που προηγούνται και έπονται του προϊόντος n αντίστοιχα και υπολογίζονται από τις σχέσεις w n x 1 + + x n 1 και z n x n+1 + + x N. Για κάθε υπο-πρόβλημα S n, η κατανομή της ζήτησης του μεσαίου προϊόντος είναι όμοια με τη κατανομή της ζήτησης του προϊόντος n του πραγματικού προβλήματος, η κατανομή της ζήτησης του ισοδύναμου προϊόντος που προηγείται του προϊόντος n είναι η κατανομή του αθροίσματος των ζητήσεων των προϊόντων 1,, n 1 του πραγματικού προβλήματος, ενώ η κατανομή της ζήτησης του ισοδύναμου προϊόντος που έπεται του προϊόντος n είναι η κατανομή του αθροίσματος των ζητήσεων των προϊόντων n + 1,, N του πραγματικού προβλήματος. Χρησιμοποιούμε την ακριβή μέθοδο για την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής μ * n (y n ) των υπο-προβλημάτων S n. Η ευρετική πολιτική του προβλήματος των Ν- προϊόντων μ * n (y n ) υπολογίζεται μέσω των βέλτιστων πολιτικών των υπο-προβλημάτων ως ακολούθως: μ(1, x 1,, x N ) = μ * 2 (1, ŵ 2, x 2, ž 2 ), μ(n, x 1,, x N ) = μ * N 1 (3, ŵ N 1, x N 1, ž N 1 ), και μ(n, x 1,, x N ) = μ * n (2, ŵ n, x n, ž n ), n = 2,, N 1, όπου ŵ n και ž n είναι τα συνολικά επίπεδα αποθεμάτων των ισοδύναμων προϊόντων που 6

προηγούνται ή έπονται του προϊόντος n αντίστοιχα όπου ŵ n = h(x 1,, x n 1 ), ž n = h(x n+1,, x n ) και h συνάρτηση που καθορίζονται στη συνέχεια. Αρχικά σημειώνεται ότι ŵ 2 = x 1 και ž N 1 = x N, επειδή στις συγκεκριμένες περιπτώσεις το ισοδύναμο προϊόν αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό προϊόν. Ομοίως και οι όροι ŵ n, n > 2, και ž n ορίζονται με τον ίδιο τρόπο. Μια αρχική προσέγγιση για τον υπολογισμό του συνολικού αποθέματος του ισοδύναμου προϊόντος προέκυψε από το άθροισμα των αποθεμάτων των προϊόντων 1,, n 1 και έτσι ŵ n = w n. Η συγκεκριμένη προσέγγιση είναι λογική και εστιάζει στην εκτίμηση των CS ενώ υποτιμάει τα LS όταν ένα ή περισσότερα ανεξάρτητα προϊόντα του ισοδύναμου προϊόντος υστερούν σε μέγεθος της παραγόμενης ποσότητας έναντι των υπολοίπων. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η παραγωγή είναι ρυθμισμένη στο να παράγει το προϊόν 4 και τα αποθέματα των προϊόντων 1-4 είναι x 1 = x 2 = 15, x 3 = 0, και x 4 = 6. Για το υπο-πρόβλημα S 4, το επίπεδο του αποθέματος του δεξιού προϊόντος να είναι x 4 = 6, και το συνολικό απόθεμα του ισοδύναμου προϊόντος που προηγείται του προϊόντος 4 να ισούται με w 4 = x 1 + x 2 + x 3 = 30. Σε αυτή την περίπτωση η βέλτιστη πολιτική του υποπροβλήματος S 4 πιθανόν να μην επιτρέψει αλλαγή στο προηγούμενο ισοδύναμο προϊόν εξαιτίας του ότι το επίπεδο του αποθέματος του ενδιάμεσου προϊόντος 4 ισούται με 6 μονάδες και είναι μικρότερο από το συνολικό επίπεδο αποθέματος του ισοδύναμου προϊόντος που προηγείται αυτού (30 μονάδες). Ο ευρετικός αλγόριθμος αποτυγχάνει στη συγκεκριμένη περίπτωση να δει ότι παρόλο που το άθροισμα των αποθεμάτων των προϊόντων που αποτελούν το ισοδύναμο προϊόν είναι σχετικά υψηλό ένα από τα προϊόντα που το αποτελούν, το x 3, είναι ίσο με μηδέν, και εκτός αν η παραγωγή αλλάξει στο προϊόν 3, ένα υψηλό κόστος διατήρησης αποθέματος επέρχεται στην τρέχουσα και στην επόμενη χρονική περίοδο. Λαμβάνοντας υπόψη αυτή την κατάσταση ψάχνουμε ένα συνολικό επίπεδο αποθέματος ŵ n, για το ισοδύναμο προϊόν το οποίο αποτελείται από τα προϊόντα 1,, n 1 και το οποίο θα επιφέρει την ίδια τιμή στο προσδοκώμενο κόστος χαμένων πωλήσεων με εκείνη που θα υπολογιστεί αθροίζοντας τα προσδοκώμενα κόστη χαμένων πωλήσεων των επιμέρους προϊόντων του ισοδύναμου προϊόντος. Το άθροισμα των κοστών των χαμένων πωλήσεων των επιμέρους προϊόντων δίνεται από τη σχέση LS = E[D 1 x 1 ] + + + E[D n 1 x n 1 ] +. Το προσδοκώμενο κόστος χαμένων πωλήσεων του ισοδύναμου προϊόντος για το δεδομένο επίπεδο αποθέματος w είναι ίσο με E[(D 1 + + D n 1 ) w] +. Επομένως ŵ n είναι η τιμή του w που κάνει τις παραπάνω εκφράσεις του LS να πάρουν όσο το δυνατό πιο κοντινή τιμή. Για να υπολογιστεί η παραπάνω σχέση θα πρέπει να βρεθεί η κατανομή της ζήτησης του ισοδύναμου προϊόντος μέσω της αθροιστικής κατανομής των ζητήσεων των επιμέρους προϊόντων. Στη περίπτωση αυτή εξαιτίας της υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας είναι προτιμότερη η εξής εναλλακτική προσέγγιση. Προσεγγίζουμε το άθροισμα των προσδοκόμενων χαμένων πωλήσεων για τα επιμέρους προϊόντα μέσω της σχέσης LS = [E(D 1 ) x 1 ] + + + [E(D n 1 ) x n 1 ] +. Εάν όλα τα επίπεδα αποθεμάτων x i είναι αρκετά υψηλά έτσι ώστε LS = 0, θέτουμε ŵ n = w n. Εναλλακτικά, ορίζουμε ê n = [E(D 1 ) + + E(D n 1 )] LS, και θέτουμε ŵ n να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των ê n και w n, για παράδειγμα., ŵ n = αê n + (1 α)w n, το οποίο στρογγυλοποιείται στο κοντινότερο ακέραιο, για 0 α 1. 4 Αριθμητικά αποτελέσματα Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα προβλημάτων 2, 4 και 5 προϊόντων χρησιμοποιώντας για την επίλυσή τους τον ακριβή και τον ευρετικό αλγόριθμο που παρουσιάσαμε στις παραπάνω ενότητες. Αρχικά επιλύσαμε το πρόβλημα των 2-προϊόντων (N = 2), όπου P = 5 ενώ η κατανομή της ζήτησης των 2-προϊόντων δίνεται στον Πίνακα 1. 7

Pr(D n =i) n \ i 0 1 2 3 4 5 6 E(D n ) 1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.15 0.15 0.1 3 2 0.15 0.15 0.4 0.15 0.15 0 0 2 Πίνακας 1: Κατανομή ζήτησης προβλήματος με 2 προϊόντα Στον Πίνακα 2 φαίνεται ο αριθμός των επαναλήψεων των διαδοχικών προσεγγίσεων που γίνονται μέχρι να γίνει η σύγκλιση, k c, όπου κριτήριο σύγκλισης είναι ο αριθμός ε = 0.001, και το βέλτιστο μακροχρόνιο μέσο κόστος, J, για διάφορους συνδυασμούς χωρητικότητας του χώρου αποθήκευσης των προϊόντων, X, και για διάφορες τιμές των παραμέτρων κόστους. Υποθέτουμε ότι το κόστος χαμένων πωλήσεων CL είναι όμοιο και για τα δύο προϊόντα (CL 1 = CL 2 = CL). Από τα αποτελέσματα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι όσο το X αυξάνει, το k c αυξάνει και το J μειώνεται, κάτι το αναμενόμενο. Επίσης όσο το J αυξάνει τόσο οι παράμετροι κόστους αυξάνονται. X = 40 X = 60 X = 80 X = 100 Περίπτωση CC CS CL k c J k c J k c J k c J 1 1 5 5 186 0.9824 474 0.618 895 0.4503 1447 0.354 2 1 10 10 188 1.7454 472 1.0965 891 0.7985 1444 0.6277 3 2 5 5 179 1.1640 448 0.7342 844 0.5354 1367 0.421 4 5 10 1 181 1.6842 437 1.0682 806 0.7806 1286 0.6146 5 5 1 10 211 1.6933 515 1.074 956 0.7848 1538 0.6178 6 2 10 10 186 1.9648 474 1.2361 895 0.9006 1447 0.7079 7 10 1 1 340 1.1409 369 0.7536 408 0.5587 588 0.4445 8 10 5 10 168 2.7141 411 1.7277 761 1.2644 533 0.9962 9 1 10 5 225 1.3610 555 0.855 1032 0.6228 1659 0.4896 10 1 5 10 253 1.3679 632 0.8593 1184 0.626 1908 0.4921 Πίνακας 2: Αποτελέσματα προβλήματος με 2-προϊόντα Το Διάγραμμα 1 δείχνει τη βέλτιστη πολιτική μετάβασης ως μία συνάρτηση των αποθεμάτων x 1 και x 2, για τις περιπτώσεις 1 και 3 του Πίνακα 2, για X = 40, και είναι αντιπροσωπευτικό και των άλλων περιπτώσεων. 45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 X 2 20 15 α c 20 15 10 X 2 α c 10 5 d 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 X 1 b 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 X 1 b Διάγραμμα 1: Βέλτιστη πολιτική μετάβασης για τις περιπτώσεις 1 (αριστερά) και 3 (δεξιά) του Πίνακα 2, για X = 40 Και στις 2 περιπτώσεις 1 και 3, η βέλτιστη πολιτική παίρνει διάφορες τιμές χωρίζοντας τον αποθεματικό χώρο σε διάφορες περιοχές, όπου η κάθε μία χαρακτηρίζεται και από μία διαφορετική πολιτική μετάβασης. Θέτοντας μ * (s, R) την βέλτιστη πολιτική όταν η μηχανή 8

είναι ρυθμισμένη να παράγει το προϊόν s και τα επίπεδα αποθέματος είναι η Περιοχή R, τότε μ * (1, a) = μ * (2, a) = 1, μ * (1, b) = μ * (2, b) = 2, μ * (1, c) = 1, μ * (2, c) = 2, μ * (1, d) = 2, μ * (2, d) = 1. Έτσι η βέλτιστη πολιτική αποτελείται από τις εξής μεταβάσεις: Όταν τα επίπεδα αποθέματος είναι μέσα στην περιοχή a, γίνεται μετάβαση για να παραχθεί το προϊόν 1, όταν είναι στην περιοχή b, γίνεται μετάβαση για να παραχθεί το προϊόν 2, όταν είναι στην περιοχή c, δεν πραγματοποιείται καμία μετάβαση, ενώ όταν είναι στην περιοχή d, γίνεται μετάβαση σε κάποιο άλλο προϊόν. Μια τυπική παραγωγική αλληλουχία όταν τα επίπεδα αποθέματος είναι μέσα και γύρω από την Περιοχή d, αλλάζει κάθε χρονική περίοδο από το ένα προϊόν στο άλλο. Όταν τα επίπεδα αποθέματος είναι στην περιοχή c, παράγεται το προϊόν 1 για διαδοχικές περιόδους μέχρι τα επίπεδα αποθεμάτων περάσουν το όριο μεταξύ των περιοχών c και b και έπειτα γίνεται αλλαγή και παράγεται το προϊόν 2 μέχρι τα επίπεδα αποθεμάτων του συγκεκριμένου προϊόντος να περάσουν το όριο μεταξύ των περιοχών c και a. Σημειώνεται ότι η περιοχή c είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση 3 σε σύγκριση με την περίπτωση 1, υποδεικνύοντας ότι στην περίπτωση 3 το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής κάνει μεγαλύτερες διαδρομές μεταξύ των δύο προϊόντων με λιγότερο συχνές αλλαγές, επειδή το κόστος αλλαγής στην περίπτωση 3 είναι διπλάσιο από εκείνο της περίπτωσης 1. Δεδομένου ότι η περιοχή c είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση 3 περιορίζει το μέγεθος της περιοχής d. Μια άλλη παρατήρηση είναι ότι ο χώρος αποθήκευσης είναι είτε περισσότερο είτε λιγότερο συμμετρικός για τα δύο προϊόντα με λίγο μεγαλύτερου μεγέθους περιοχή εκείνη του προϊόντος 1, επειδή το προϊόν 1 έχει υψηλότερη ζήτηση απ ότι το προϊόν 2. Έπειτα εστιάσαμε την προσοχή μας στα προβλήματα των 4 (N = 4) και 5 προϊόντων (N = 5). Για κάθε ένα πρόβλημα υποθέσαμε ότι η ζήτηση για κάθε προϊόν ακολουθεί όμοια κατανομή με μία από τις τυχαίες μεταβλητές D j όπου j = A, B,, E, F, των οποίων οι κατανομές δίνονται στον Πίνακα 3. Pr(D j = i) j \ i 0 1 2 3 E(D j ) A 0.65 0.25 0.05 0.05 0.5 B 0.4 0.5 0.05 0.05 0.75 C 0.25 0.5 0.25 0 1 D 0.25 0.25 0.5 0 1.25 E 0.25 0.25 0.25 0.25 1.5 F 0.05 0.2 0.45 0.3 2 Πίνακας 3: Κατανομές ζήτησης προβλημάτων 4 και 5 προϊόντων Για κάθε πρόβλημα αναλύσαμε 4 περιπτώσεις, κάθε μία από αυτές δίνει ένα διαφορετικό τρόπο απεικόνισης της συνολικής ζήτησης η οποία κατανέμεται μεταξύ των ανεξάρτητων προϊόντων. Σε κάθε περίπτωση, η συνολική αναμενόμενη ζήτηση είναι ίση με το ρυθμό παραγωγής. Πρώτα επιλύσαμε κάθε περίπτωση με δυναμικό προγραμματισμό, θέτοντας ε = 0.001 και στη συνέχεια κάθε περίπτωση την επιλύσαμε χρησιμοποιώντας τον ευρετικό αλγόριθμο. Για την εφαρμογή του ευρετικού αλγορίθμου χρησιμοποιήσαμε την γρηγορότερη εναλλακτική μέθοδο η οποία προσεγγίζει το άθροισμα των προσδοκώμενων χαμένων πωλήσεων κάθε ανεξάρτητου προϊόντος, η οποία περιγράφεται στο τέλος της ενότητας 3, για τιμές 0 a 1 με βήμα 0.1. Σε όλες τις περιπτώσεις υποθέτουμε CC = 1, CS = CL n = 1, n = 1,, 5, και P = 6. Τα αποτελέσματα του προβλήματος των 4 προϊόντων, για X = 30, φαίνονται στον Πίνακα 4. Οι συμβολισμοί F,C,F,C της στήλης 2 χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ότι η D 1 κατανέμεται ως D F, και η D 2 κατανέμεται ως D C, κτλ. Οι υπολογιστικοί χρόνοι (CPU) είναι σε ώρες. Για τον ευρετικό αλγόριθμο, φαίνεται ο συνολικός υπολογιστικός χρόνος ο οποίος απαιτείται για την επίλυση των προβλημάτων με 3-προϊόντα και όχι ο χρόνος που απαιτείται για την αποτίμηση της ευρετικής πολιτικής. Η βέλτιστη τιμή του α για τον ευρετικό αλγόριθμό είναι α * και το 9

μακροχρόνιο προσδοκώμενο κόστος J(α * ). Η τελευταία στήλη δείχνει τη διαφορά του κόστους μεταξύ της ευρετικής και της βέλτιστης πολιτικής. Σχέδιο Ακριβής λύση Ευρετική λύση % διαφορά Περίπτωση ζήτησης k c CPU J α * CPU J(α * ) κόστους 1 F,C,F,C 187 52.41 1.1835 0.1 0.024 1.3207 11.59 2 F,C,C,F 110 41.84 1.2881 0.1 0.054 1.3139 1.96 3 C,F,F,C 55 21.57 1.0034 0.7 0.024 1.2442 24.00 4 F,F,C,C 156 48.22 1.0927 0.5 0.038 1.2253 12.13 Πίνακας 4: Αποτελέσματα του προβλήματος των 4-προϊόντων Από τα αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι οι περιπτώσεις 1 και 2 έχουν υψηλότερα κόστη σε σύγκριση με τις περιπτώσεις 3 και 4. Αυτό συμβαίνει διότι στις τελευταίες δύο περιπτώσεις τα προϊόντα με τις υψηλές ζητήσεις είναι διπλανά στην αλληλουχία των επιτρεπτών μεταβάσεων, ενώ στις δύο πρώτες περιπτώσεις οποιαδήποτε μετάβαση μεταξύ 2 προϊόντων γίνεται αφού παραχθούν άλλα ενδιάμεσα προϊόντα, το οποίο επιφέρει υψηλότερα κόστη αλλαγών. Σε όλες τις περιπτώσεις εκτός της 3, το ευρετικό μέσο κόστος δεν εξαρτάται από την παράμετρο α, ενώ η περίπτωση 3 τείνει να έχει μικρότερο κόστος για α μεταξύ 0.5 και 0.8 και σημαντικά υψηλότερο για α μεταξύ 0.9 και 1. Η διαφορά του κόστους μεταξύ ευρετικής και ακριβούς λύσης είναι 1.96% για την περίπτωση 2, όπου τα προϊόντα 1 και 4 έχουν υψηλότερη ζήτηση, και 24% για την περίπτωση 3, όπου τα ενδιάμεσα προϊόντα 2 και 3 έχουν την υψηλότερη ζήτηση. Ο ευρετικός αλγόριθμος είναι περίπου 700 και 2,000 φορές γρηγορότερος από τον ακριβή αλγόριθμο. Τα αποτελέσματα του προβλήματος των 5-προϊόντων, για X = 20, φαίνονται στον Πίνακα 5. Οι περιπτώσεις 2 και 3 έχουν υψηλότερα κόστη επειδή απαιτούνται περισσότερες αλλαγές μεταξύ των προϊόντων που έχουν υψηλότερες ζητήσεις. Μια σημαντική διαφορά με το πρόβλημα των 4-προϊόντων είναι ότι το ευρετικό μέσο κόστος είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση του α, το οποίο σημαίνει ότι η βέλτιστη ευρετική πολιτική παρουσιάζεται όταν ŵ n = w n. Η διαφορά του κόστους μεταξύ ευρετικής και ακριβούς λύσης είναι μεταξύ 10% και 20%, και ο ευρετικός αλγόριθμος είναι 3,000 έως 10,000 γρηγορότερος από τον ακριβή. Σχέδιο Ακριβής λύση Ευρετική λύση % διαφορά Case ζήτησης k c CPU J α * CPU J(α * ) κόστους 1 C,C,F,C,C 48 32.27 2.944 0 0.010 3.414 15.96 2 E,D,A,D,E 87 142.77 4.076 0 0.014 4.918 20.66 3 E,B,E,B,E 65 125.51 3.851 0 0.023 4.293 11.48 4 B,D,F,D,B 35 38.05 2.652 0.1 0.008 3.036 14.48 Πίνακας 5: Αποτελέσματα προβλήματος 5-προϊόντων 5 Συμπεράσματα Μελετήσαμε ένα πρόβλημα SELSP στο οποίο η γραμμή παραγωγής πρέπει να παράγει διάφορα προϊόντα προκειμένου να ικανοποιήσει την τυχαία ζήτηση για κάθε προϊόν από ένα σύνηθες αποθηκευτικό χώρο FG περιορισμένης χωρητικότητας. Η μόνη επιτρεπτή μετάβαση είναι μεταξύ γειτονικών προϊόντων της γραμμής παραγωγής. Όλοι οι χρόνοι μετάβασης είναι καθοριστικοί. Έτσι μοντελοποιήσαμε αυτό το πρόβλημα ως μία διακριτού χρόνου MDP, όπου κάθε χρονική περίοδο θα πρέπει να λαμβάνεται απόφαση αν θα γίνει μία μετάβαση σε ένα γειτονικό προϊόν, λαμβάνοντας υπόψη την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος. Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του μακροχρόνιου απείρου χρονικού ορίζοντα προσδοκώμενου κόστους. Για προβλήματα 2 και 3 προϊόντων παρουσιάσαμε την αριθμητική επίλυση ενός MDP προβλήματος με βάση τη χρήση διαδοχικών προσεγγίσεων. Για προβλήματα με περισσότερα από 3 προϊόντα, αναπτύξαμε ένα ευρετικό αλγόριθμο που 10

βασίζεται στην προσέγγιση του πραγματικού προβλήματος μέσω υπο-προβλημάτων 3- προϊόντων. Τέλος παρουσιάζουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα για διάφορες περιπτώσεις προβλημάτων με 2, 4 και 5 προϊόντα, χρησιμοποιώντας τον ακριβή και τον ευρετικό τρόπο προσέγγισης. Για τα παραδείγματα των 4 και 5-προϊόντων, η διαφορά του κόστους μεταξύ της ακριβούς και της ευρετικής επίλυσης κυμαίνεται μεταξύ 1.96% και 24%. Το κύριο πλεονέκτημα του ευρετικού αλγορίθμου είναι ότι υπερτερεί σε υπολογιστικό χρόνο 700 έως 10,000 φορές έναντι της ακριβούς επίλυσης. Χρηματοδότηση έργου Το έργο συγχρηματοδοτείται: 75% της Δημόσιας Δαπάνης από την Ευρωπαϊκή Ένωση- Ευρωπαϊκό Κοινοτικό Ταμείο, 25% της Δημόσιας Δαπάνης από το Ελληνικό Δημόσιο- Υπουργείο Ανάπτυξης- Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας και από τον Ιδιωτικό Τομέα στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π Ανταγωνιστικότητα- Γ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Elmaghraby, S.E. 1978. The economic lot scheduling problem (ELSP): Review and extensions. Management Science 24 (6) 587-598. Graves, S.C. 1980. The multi-product production cycling problem. AIIE Transactions 12 (3) 233-240. Karmarkar, U.S., J. Yoo. 1994. The stochastic dynamic product cycling problem. European Journal of Operational Research 73 360-373. Liberopoulos, G., Kozanidis, G. Hatzikonstantinou, O. 2009. Production scheduling of a multi-grade PET resin plant. Computers and Chemical Engineering (in press: doi:10.1016/j.compchemeng.2009.05.017). Leachman, R.C., A. Gascon. 1988. A heuristic scheduling policy for multi-item, singlemachine production systems with time-varying, stochastic demands. Management Science 34 (3) 377-390. Salomon, M. 1991. Deterministic lotsizing models for production planning. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag, Berlin. Sox, C.R., P.L. Jackson, A. Bowman, J.A. Muckstadt. 1999. A review of the stochastic lot scheduling problem. International Journal of Production Economics 62 (3) 181-200. Sox, C.R., J.A. Muckstadt. 1997. Optimization-based planning for the stochastic lot-sizing problem. IIE Transactions 29 (5) 349-357. Qiu, J., R. Loulou. 1995. Multiproduct production/inventory control under random demands. IEEE Transactions on Automatic Control 40 (2) 350-356. Winands, E.M.M., I.J.B.F. Adan, G.J. van Houtum. 2005. The stochastic economic lot scheduling problem: A survey. Working paper. Beta Research School for Operations Management and Logistics, Technical University of Eindhoven. 11