Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται στην έκφραση του έργου που ισούται με δύναμη επί μετακίνηση. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισούται με την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης (εσωτερικό έργο). Η πρώτη μέθοδος που βασίζεται στην αρχή διατήρησης της ενέργειας (μέθοδος πραγματικού έργου) έχει σημαντικούς περιορισμούς: η μετακίνηση (μετάθεσηήστροφή) μπορεί να υπολογιστεί μόνο στην περίπτωση που ο φορέας φορτίζεται με ένα συγκεντρωμένο φορτίο και μόνο κατά τη διεύθυνση του επιβαλλόμενου εξωτερικού φορτίου.

Εισαγωγή ( ) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-3 Η αρχή των δυνατών έργων (ΑΔΕ) είναι η πλέον εύχρηστη μέθοδος, αφού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μετακίνησης οποιουδήποτε σημείου του φορέα, σε οποιαδήποτε διεύθυνση και για τυχαία φόρτιση. Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί σε ελαστικά ή ανελαστικά προβλήματα και σε περιπτώσεις υποχωρήσεων στηρίξεων και θερμοκρασιακών μεταβολών. Βασική παραδοχή: Θεωρούμε ότι τα φορτία ασκούνται αρκετά αργά, ώστε να μην παράγεται κινητική ενέργεια και θερμότητα.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων Δ03-4 Έργο Δύναμης: Ορίζεται το γινόμενο της δύναμης επί τη συγγραμμική της μετατόπιση (νοουμένου ότι η δύναμη είναι σταθερή). w = Fδ όπου δ είναι η συνιστώσα της μετατόπισης κατά τη διεύθυνση της δύναμης. Όταν η δύναμη κινείται κάθετα στον άξονα εφαρμογής της, το έργο είναι μηδέν.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων (...) Δ03-5 Αν η μετατόπιση δεν είναι συγγραμμική με τον άξονα εφαρμογής της δύναμης, το συνολικό έργο μπορεί να υπολογιστεί αθροίζοντας το έργο που παράγει κάθε συνιστώσα της δύναμης που δρα κατά τη διεύθυνση των συνιστωσών μετατοπίσεων δ και δ αντίστοιχα: x y w = F δ + F δ x x y y

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων (...) Δ03-6 Αν η δύναμη μεταβάλλεται (κατά μέτρο) όσο πραγματοποιείται η μετατόπιση, και αν η σχέση μεταξύ της δύναμης F και της συγγραμμικής μετατόπισης δ είναι γνωστή, τότε το έργο μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση. Η μετατόπιση διαιρείται σε μια σειρά από στοιχειώδη τμήματα απειροστού μήκους dδ. Το έργο που αφορά το στοιχειώδες τμήμα ισούται με dw = F dδ Το συνολικό έργο προκύπτει αθροίζοντας τη συνεισφορά όλων των dw: δ w = F dδ = Εμβαδόν κάτω από την καμπύλη F δ 0

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων (...) Δ03-7 Έργο Ροπής: Ορίζεται το γινόμενο της ροπής επί τη γωνία περιστροφής (νοουμένου ότι η ροπή είναι σταθερή). w = Mθ όπου θ είναι η γωνία περιστροφής. Ανηροπήμεταβάλλεται(κατά μέτρο) όσο πραγματοποιείται η περιστροφή, και αν η σχέση μεταξύ της ροπής M και της περιστροφής θ είναι γνωστή, τότε το έργο μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση: θ w = M dθ = Εμβαδόν κάτω από την καμπύλη M θ 0

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων (...) Δ03-8 Γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά Αν το υλικό ακολουθεί το νόμο του Hooke, δηλαδήανηεπιβαλλόμενηδύναμηήροπή μεταβάλλεται γραμμικά με τη μετατόπιση, καθώςαυξάνειαπότομηδένσεμιατελική τιμή F ή M, τότε το παραγόμενο έργο δίνεται από τις σχέσεις w = 1 Fδ 2 για δύναμη w 1 = Mθ 2 για ροπή

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Ελαστική Ενέργεια Παραμόρφωσης σε Δικτύωμα Δ03-9 Όταν μια ράβδος δικτυώματος φορτίζεται με εξωτερικό φορτίο P τότε η αξονική δύναμη F της ράβδου ισούται με P. Αν η ράβδος συμπεριφέρεται ελαστικά (ισχύει ο νόμος του Hooke), τότε η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης U που αποθηκεύεται στη ράβδο λόγω δύναμης που μεταβάλλεται γραμμικά από μηδέν μέχρι F, όταν το μήκος της ράβδου μεταβάλλεται κατά ΔL, ισούται με 1 U = FΔL 2 (1) F FL με Δ L = = (2) K AE όπου L είναι το μήκος της ράβδου, Α το εμβαδόν της διατομής, E το μέτρο ελαστικότητας, και F ητελικήτιμήτηςαξονικής δύναμης. 2 F L U = Αντικαθιστώντας στην (1) την (2) προκύπτει: 2AE

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-10 Ελαστική Ενέργεια Παραμόρφωσης σε Δικτύωμα (...) Στην περίπτωση που το μέγεθος της αξονικής δύναμης παραμένει σταθερό όσο το μήκος της ράβδου μεταβάλλεται κατά ΔL για παράδειγμα, σε θερμοκρασιακές μεταβολές η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης ισούται με: U = FΔL Η ενέργεια που αποθηκεύεται σε ένα σώμα μπορεί να απεικονιστεί γραφικά. Αν η μεταβολή του μεγέθους της αξονικής δύναμης της ράβδου σχεδιαστεί ως προς τη μεταβολή του μήκους ΔL, τότε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη ισούται με την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης U. Μεταβλητό μέγεθος δύναμης Σταθερό μέγεθος δύναμης

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-11 Ελαστική Ενέργεια Παραμόρφωσης σε Δοκούς Η μεταβολή της ελαστικής ενέργειας παραμόρφωσης du που αποθηκεύεται σε τμήμα δοκού λόγω ροπής Μ, που μεταβάλλεται γραμμικά από μηδέν μέχρι Μ, όταν οι πλευρές του τμήματος της δοκού περιστρέφονται κατά γωνία dθ, ισούται με du = 1 2 Mdθ (1) και dθ = Mdx (2) EI όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας και I είναι η ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο άξονα. Αντικαθιστώντας στην (1) την (2) προκύπτει: Mdx 2 L M = = 2 du U dx 2EI 0 2EI

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-12 Ελαστική Ενέργεια Παραμόρφωσης σε Δοκούς (...) Στην περίπτωση που το μέγεθος της ροπής παραμένει σταθερό όσο η γωνία περιστροφής της δοκού είναι dθ, η μεταβολήτης ελαστικής ενέργειας παραμόρφωσης ισούται με: du = Mdθ Αν η μεταβολή του μεγέθους της ροπής της δοκού σχεδιαστεί ως προς dθ, τότε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη ισούται με την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης U. Μεταβλητό μέγεθος ροπής Σταθερό μέγεθος ροπής

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-13 Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Πραγματικό Έργο) Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας: W = U όπου W είναι το έργο των εξωτερικών δυνάμεων και U είναι η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης (εσωτερικό έργο). Η μέθοδος της αρχής διατήρησης της ενέργειας μπορεί να εφαρμοστεί σε φορείς που φορτίζονται μόνο με ένα φορτίο.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-14 Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας σε Δικτυώματα Για να υπολογιστεί η μετακίνηση σε ένα σημείο του δικτυώματος λόγω του φορτίου P, που μεταβάλλεται γραμμικά από το μηδέν μέχρι την τελική τιμή P, εξισώνουμε το έργο των εξωτερικών δυνάμεων W = ( P 2)δ με το 2 εσωτερικό έργο U = ( F L) (2 AE) : P F δ = 2 L 2 2AE όπου P και δ είναι συγγραμμικά και το Σ δηλώνει άθροισμα της ενέργειας όλων των ράβδων του δικτυώματος.

Παράδειγμα Π3-1 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-15 Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πραγματικού έργου, να υπολογιστεί η οριζόντια μετακίνηση δ x του σημείου Β του δικτυώματος. Σε όλες τις ράβδους Α=2.4 in 2 και E=30,000 kips/in 2. Αφού το φορτίο P=30 kips είναι συγγραμμικό με τη ζητούμενη μετακίνηση, μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του πραγματικού έργου: W P F = δ = 2 L U x 2 2AE Οι τιμές των δυνάμεων των ράβδων F φαίνονται στο σχήμα. 2 2 2 30 (50) (25)(12) ( 40) (20)(12) ( 30) (15)(12) δ x = + + 2 2(2.4)(30,000) 2(2.4)(30,000) 2(2.4)(30,000) δ x = 0.6 in Αν και το σημείο Β μετακινείται και κατακόρυφα προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο σχήμα, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη μετακίνηση αυτή επειδή το φορτίο δεν ασκείται στην κατακόρυφη διεύθυνση. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-16 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα Η αρχή των δυνατών έργων (ΑΔΕ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μετακίνησης οποιουδήποτε σημείου του φορέα, σε οποιαδήποτε διεύθυνση και για τυχαία φόρτιση. Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί σε ελαστικά ή ανελαστικά προβλήματα και σε περιπτώσεις υποχωρήσεων στηρίξεων και θερμοκρασιακών μεταβολών. Η μέθοδος συνίσταται στην εφαρμογή ενός δυνατού (νοητού) φορτίου στο σημείο και κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Καθώς ο φορέας παραμορφώνεται υπό την επίδραση των πραγματικών φορτίων του φορέα, εξωτερικό δυνατό έργο W παράγεται από το δυνατό φορτίο καθώς «διανύει» τηνπραγματικήμετακίνησητουφορέα. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, ισοδύναμη ποσότητα δυνατής ενέργειας παραμόρφωσης αποθηκεύεται στο φορέα: W = U U (1)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-17 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) H δυνατή ενέργεια παραμόρφωσης U που αποθηκεύεται στο φορέα ισούται με το γινόμενο των εσωτερικών δυνάμεων N που αναπτύσσονται στα μέλη λόγω του δυνατού φορτίου (και μόνον αυτού) επί τις παραμορφώσεις ΔL (βραχύνσεις ή επιμηκύνσεις) των μελών που προκαλούνται από τα πραγματικά φορτία: 1 δ = N ΔL (2) Οι δυνάμεις και στα δύο μέλη της Εξ. (1) αφορούν στο δυνατό σύστημα, ενώ οι μετακινήσεις και οι παραμορφώσεις στο πραγματικό σύστημα.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-18 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Παραμορφώσεις ράβδων από εξωτερικό φορτίο P Οι παραμορφώσεις των ράβδων που οφείλονται σε εξωτερικό φορτίο μπορούν να εκφραστούν στη μορφή N Δ L = = K NL EA (3) Άρα, η διατύπωση της ΑΔΕ, Εξ. (2), παίρνει τη μορφή 1 δ = N Δ L = NNL EA (4)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-19 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Παραμορφώσεις ράβδων από θερμοκρασιακή μεταβολή ΔΤ Καθώς η θερμοκρασία του μέλους μεταβάλλεται, το μήκος του μεταβάλλεται. Συγκεκριμένα, αύξηση της θερμοκρασίας (ΔΤ>0) προκαλεί επιμήκυνση του μέλους και μείωση της θερμοκρασίας (ΔΤ<0) προκαλεί βράχυνση του μέλους. Σε κάθε περίπτωση η μεταβολή του μήκους του μέλους δίνεται από: Δ L = α ΔT L θερμ (5) όπου α = συντελεστής θερμικής διαστολής μέλους ΔΤ = μεταβολή θερμοκρασίας L = μήκος μέλους Άρα, η διατύπωση της ΑΔΕ, εξίσωση (2), παίρνει τη μορφή 1 δ = N Δ L = Ν α ΔT L (6)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-20 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Παραμορφώσεις ράβδων από κατασκευαστική ατέλεια ΔL κατ Είναι πιθανόν το μήκος ενός μέλους δικτυώματος να διαφέρει από το επιθυμητό λόγω κατασκευαστικής ατέλειας. Σε τέτοια περίπτωση, η μετακίνηση ενός κόμβου του δικτυώματος από την αναμενόμενη θέση του μπορεί να προσδιοριστεί απευθείας από την Εξ. (2): 1 δ = N ΔL κατ (7)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-21 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Παραμορφώσεις ράβδων από υποχώρηση στηρίξεων Δ Σε κατασκευές που θεμελιώνονται σε χαλαρά εδάφη μπορεί να παρατηρηθεί υποχώρηση των στηρήξεων τους. Η υποχώρησηαυτή, όταν είναι διαφορική, συνοδεύεται από περιστροφή των μέλων και μετακίνηση των κόμβων του φορέα. Αν ο φορέας είναι ισοστατικός, δεν αναπτύσσεται εσωτερική ένταση αφού η κατασκευή μπορεί να αναπροσαρμοστεί στη νέα θέση των στηρίξεων. Αντίθετα, αν ο φορέας είναι υπερστατικός, η υποχώρηση των στηρίξεων συνοδεύεται εν δυνάμει από ανάπτυξη μεγάλων εσωτερικών δυνάμεων. Το μέγεθος αυτών των δυνάμεων είναι συνάρτηση της ακαμψίας των μελών. Καθώς ο φορέας υπόκειται σε υποχώρηση Δ των στηρίξεων του, εξωτερικό έργο παράγουν, εκτός από το δυνατό φορτίο, και οι αντιδράσεις R στις μετατοπισμένες στηρίξεις. Άρα, η διατύπωση της ΑΔΕ, εξίσωση (2), παίρνει τη μορφή 1 δ + RΔ = N ΔL (8)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-22 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Μεθοδολογία για προσδιορισμό των μετακινήσεων κόμβων δικτυώματος βάσει της ΑΔΕ: N Πραγματική ένταση Για τη δοσμένη (πραγματική) φόρτιση, υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις N στις ράβδους του δικτυώματος (με τη μέθοδο των κόμβων ή τη μέθοδο των τομών). Δυνατή ένταση N Στον κόμβο που ζητείται η μετακίνηση, εφαρμόζουμε μια μοναδιαία δύναμη κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Για τη φόρτιση αυτή, που δεν περιλαμβάνει τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του φορέα, υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις N στις ράβδους του δικτυώματος (με τη μέθοδο των κόμβων ή τη μέθοδο των τομών) και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. Θεωρούμε τις εφελκυστικές δυνάμεις θετικές και τις θλιπτικές δυνάμεις αρνητικές.

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-23 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Διατύπωση της ΑΔΕ και προσδιορισμός της ζητούμενης μετακίνησης : όπου 1 δ R Δ ΔL κατ N N L α = δυνατό εξωτερικό μοναδιαίο φορτίο, ασκούμενο σε κόμβο του δικτυώματος κατά τη διεύθυνση της μετακίνησης = πραγματική μετακίνηση του θεωρούμενου κόμβου (προκαλούμενη από τα πραγματικά φορτία του φορέα) = οι αντιδράσεις στις μετατοπισμένες στηρίξεις λόγω του δυνατού εξωτερικού μοναδιαίου φορτίου = πραγματική υποχώρηση στηρίξεων = κατασκευαστική ατέλεια = εσωτερική αξονική δύναμη στη ράβδο του δικτυώματος προκαλούμενη από τα πραγματικά φορτία του φορέα = εσωτερική αξονική δύναμη στη ράβδο του δικτυώματος προκαλούμενη από το δυνατό εξωτερικό μοναδιαίο φορτίο = μήκος, E = μέτρο ελαστικότητας, A = εμβαδόν διατομής = συντελεστής θερμικής διαστολής, ΔΤ = μεταβολή θερμοκρασίας δ N 1 δ + RΔ = Ν Δ L = Ν L + α ΔT L + ΔL EA κατ (9)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ03-24 Αρχή Δυνατών Έργων: Δικτυώματα (...) Ανητιμήτουδ που προκύπτει από την Εξ. (9) είναι θετική, η μετακίνηση έχει την ίδια φορά με το επιβαλλόμενο μοναδιαίο φορτίο. Αντίθετα, ανητιμήτουδ είναι αρνητική, η μετακίνηση έχει αντίθετη φορά απ αυτήν του επιβαλλόμενου μοναδιαίου φορτίου.