Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την κορυφή σηµείο αναρτήσεως του κυκλικού σύρµατος και ολισθαίνουν κατά µήκος αυτού µε αµελητέα τριβή. Τι θα συµβεί; Θα φθάσουν στο κατώτατο σηµείο του σύρµατος; ΛΥΣΗ: Στη διάρκεια που οι χάντρες ολισθαίνουν πάνω στο κυκλικό σύρµα εξασκούν σ αυτό δυνάµεις που οι φορείς τους διέρχονται από το κέντρο του και επί πλέον για λόγους συµµετρίας οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνά µεων αυτών είναι αντίθετες. Αυτό σηµαίνει ότι το σύρµα δεν έχει την δυνα τότητα να µετακινηθεί οριζόντια, δήλαδη το νήµα που το συγκρατεί παραµένει συνεχώς κατακόρυφο µε αποτέλεσµα ο φορέας της δύναµης που εξασκεί στο σύρµα τάση του νήµατος να διέρχεται από το κέντρο του σύρµατος. Όλες λοιπόν οι δυνάµεις που δέχεται το σύρµα διέρχονται από το Σχήµα α Σχήµα β κέντρο του που σηµαίνει ότι δεν µπορεί να περιστρέφεται περί αυτό. Η µόνη εποµένως δυνατότητα κίνησης του σύρµατος είναι η κατακόρυφη µεταφορά του προς τα πάνω. Κάθε χάντρα κατά το πρώτο στάδιο της κίνησής της δέχεται από το σύρµα ακτινική δύναµη A µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος σχήµα α η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w r του βάρους της w αποτελεί για την χάντρα κεντοµόλο δύναµη, δηλαδη ισχύει η σχέση: w r - A = mv /R m"$ - A = mv /R A = m"$ - v /R 1 όπου v η ταχύτητα της χάντρας στη θέση που την εξατάζουµε και φ η γω νία µεταξύ της επιβατικής ακτίνας της χάντρας και της κατακόρυφης διεύ θυνσης. Εφαρµόζοντας για την χάντρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας ανάµεσα στην θέση εκκίνησης και στη θέση που την εξετά ζουµε, παίρνουµε την σχέση:
mv / = mr - R"$ v = R1 - "$ Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και έχουµε: A = m["$ - 1 - "$] = m3"$ - 3 Aπό την 3 προκύπτει ότι υπάρχει θέση της χάντρας στην οποία η δύναµη A µηδενίζεται, Στη θέση αυτή η γωνία φ παίρνει την τιµή φ 0 για την οποία ισχύει η σχέση: 3"$ 0 - = 0 "$ 0 = /3 4 Aπό την παραπάνω ανάλυση γίνεται φανερό ότι κατά το στάδιο που ισχύει 0 φ φ 0 οι δυνάµεις A 1, A που δέχεται το σύρµα από τις χάντρες έχουν φορά προς το κέντρο του σχήµα β και οι κατακόρυφες συνιστώσες τους A 1y, A y έχουν φορά προς τα κάτω, που σηµαίνει ότι είναι αδύνατη η κατα κόρυφη προς τα κάτω µεταφορική κίνηση του σύρµατος, µε την προυπόθεση φυσικά ότι το νήµα έχει επαρκή αντοχή. Ας δούµε τι θα συµβεί όταν φ 0 <φ< π/. Η δύναµη A έχει φρά προς το κοίλο µέρος του σύρµατος σχήµα γ και το µέτρο της αποδεικνύεται όπως και προηγουµένως ότι ακολουθεί τη σχέση: A = m - 3"$ 5 Η κατακόρυφη συνιστώσα A y της A έχει φορά προς τα κάτω και το µέτρο της είναι: 5 A y = A"$ A y = m - 3"$"$ 6 Σχήµα γ Σχήµα δ Eξάλλου οι δυνάµεις A 1, A που δέχεται το σύρµα από τις χάντρες έχουν στην περίπτωση που εξετάζουµε ακτινική διεύθυνση µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος σχήµα δ οι δε κατακόρυφες συνιστώσες τους A 1y, A y έχουν φορά προς τα πάνω, που σηµαίνει ότι υπάρχει δυνατότητα να χαλα ρώσει το νήµα και το σύρµα να αρχίσει µετακινούµενο προς τα πάνω. Θα
αναζητήσουµε λοιπόν την τιµή φ * της γωνίας φ για την οποία µηδενίζεται η τάση του νήµατος. Για την τιµή αυτή ισχύει η σχέση: 6 A 1y + A y = m/ A y = m/ m - 3"$ * "$ * = m/ 4-3"$ * "$ * = 1 8"$ * - 1" $ * = 1 1" $ * - 8"$ * + 1 = 0 7 H 7 αποτελεί µια εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς συνφ * και οι ρίζες της είναι συνφ * =1/ και συνφ * =1/6. Η πρώτη απορρίπτεται, διότι αντιβαίνει προς την φ * >φ 0, ενώ η δεύτερη είναι δεκτή. Άρα µόλις οι χάντρες υπερβούν την θέση φ=φ * το σύρµα θα εκτιναχθεί προς τα πάνω, προτού αυτές να φθάσουν στο κατώτατο σηµείο του κυκλικού σύρµατος. P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο ισορροπεί στην κορυφή µιας λείας κυρτής επιφάνειας, της οποίας η τοµή µε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το σφαιρίδιο έχει τη µορφή παραβολής, όπως φαίνεται στο σχήµα. Δίνουµε στο σφαιρίδιο µια ελαφρά ορι ζόντια ώθηση, αναγκάζοντάς το να αρχίσει κινούµενο επί της παρα βολής. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο δεν θα εγκαταλείψει την κυρτή επιφάνεια. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ της παραβολικής του τροχιάς, µε συντεταγµένες x και y ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy. Το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w και τη δύναµη επαφής A από την κυρτή επιφάνεια, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτή, δηλαδή έχει την διεύθυνση της ακτίνας ΜΚ της τροχιάς στο σηµείο Μ και φορά προς το κυρτό της µέρος. Εάν w r είναι η συνιστώσα του βάρους w κατά την διεύθυνση της ακτίνας ΜΚ, τότε η συνισταµένη των A και w r αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, οπότε θα ισχύει η σχέση: w r - A = mv /R w"$ - A = mv /R A = m"$ - v /R 1 όπου η v ταχύτητα του σφαιριδίου, φ η γωνία της ΚΜ µε την κατακόρυφη
διεύθυνση και R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ. Εφαρ µόζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µαταξύ των θέσεων Ο και Μ, παίρνουµε τη σχέση: mv / - 0 = my + 0 v = y Όµως οι συντεταγµένες x, y συνδέονται µε µια σχέση της µορφής y=px, γε γονός που το εγγυάται η παραβολική µορφή της τροχιάς του σφαιριδίου, οπότε η σχέση γράφεται: v = px 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και 3 παίρνουµε: A = m"$ - px /R 4 Aς δεχθούµε ότι το σφαιρίδιο σε κάποια θέση της παραβολικής τροχιάς του την εγκαταλείπει. Τότε στη θέση αυτή θα ισχύει Α=0 και η 4 δίνει: "$ = px /R 1 1 + " " = px R 5 Αλλά σε κάθε σηµείο της τροχιάς ισχύoυν οι σχέσεις: "" = dy dx [ 1 + dy/dx ] 3 / = px και R = d y / dx = 1 + 4p x 3 / p οπότε η σχέση 5 γράεται: 1 = 4p x 1 + 4p x 1 + 4p x 3 / 1 + 4p x 3 / 1 + 4p x = 1 / 4p x 1 + 4p x = 4p x 1 = 0 άτοπο Άρα δεν υπάρχει θέση της παραβολικής τροχιάς στην οποία το σφαιρίδιο να την εγκαταλείπει. Β Τρόπος Εφαρµόζουµε για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Οx και Οy, οπότε θα έχουµε τις σχέσεις: mdv x /= A x = Aµ" & mdv y /=m - A y = m-a$" dv x / = A/mµ" & dv y / = - A/m$" όπου Α x A y οι προβολές της δύναµης επαφής A στους άξονες Οx, Oy αντι 6
στοίχως. Έξάλλου οι προβολές v x, v y της ταχύτητας v του σφαιριδίου κάθε στιγµή ικανοποιούν την σχέση: v y = v x "" = pxv x Διαφορίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: dv y = pv x dx + pxdv x dv y = pv dx x + px dv x dv y = pv x + px dv x dv y = pv " $ + px dv x dv y = 4py" $ + px dv x dv y = 4p x " $ + px dv x 7 Συνδυάζοντας την 7 µε τις σχέσεις 6 παίρνουµε: - A m "$ = 4p x " $ + px A m µ$ A m pxµ" + $" = - 4p x $ " A µ" + px$" = mp px $ " + x A = m1-4p x " $ pxµ$ + "$ = m 1-4p x /1 + 4p x 4p x + 1/ 1 + 4p x A = m 1 + 4p x - 4p x 4p x + 1 1 + 4p x = m 4p x + 1 3/ > 0 Δηλαδή το σφαιρίδιο δεν χάνει ποτέ την επαφή του µε την κυρτή παραβολι κή επιφάνεια. P.M. fysikos Μια χάντρα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή υπό την επίδραση του βάρους της κατά µήκος ενός σύρµατος, που
έχει το σχήµα κυκλοειδούς καµπύλης, της οποίας οι παραµετρικές εξισώσεις είναι της µορφής: x = " + µ" $ = 1 - &"* - " " + όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. Το επίπεδο των αξόνων Οx, Οy είναι κατακόρυφο και η χάντρα τη χρονική στιγµή t=0 βρίσκε ται στη θέση Ax=-πα, α και έχει µηδενική ταχύτητα. i Να βρείτε το χρόνο που χρειάζεται η χάντρα για να διαγράψει το σύρµα. ii Να εκφράσετε το µήκος του τόξου που διαγράφει η χάντρα, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εφαρµόζοντας για την χάντρα την αρχή διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας για την κίνησή της από την αρχική θέση της Α στην τυχαία θέση Μx,y, όπου βρίσκεται κατά την χρονική στιγµή t µε ταχύτητα v, παίρνουµε τη σχέση: E A = E M U A + K A = U M + K M m + 0 = my + mv / 4 = 1 - "$ + v 1 + "$ = v 1 όπου m η µάζα της χάντρας. Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα 1+συνφ=συν φ/, οπότε η 1 γράφεται: v = 4"$ / v = "$ / Εξάλλου για το µέτρο της ταχύτητας v ισχύει η σχέση: v = dx $ & " + dy $ & " = d " d $ + *+ & +,µ d $ & "
v = d" & $ v = d" & $ 1 + *+ " + *+" +,µ " 1 + *+" = 4 d" & $ *+ " / v = d" & *+" / 3 $ Συνδυάζοντας τις σχέσεις και 3 παίρνουµε: d" = d = " η οποία ολοκληρούµενη δίνει: = " t + C H σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι φ=π, οπότε C =-π και η προηγούµενη σχέση γράφεται: = " t - 4 Όταν η χάντρα έχει διαγράψει την καµπύλη τροχιά της θα είναι φ=π και t=t ολ, οπότε η 4 δίνει: = " t $ - t " = $ 5 ii Από τη σχέση 4 προκύπτει: " $ * = " & & + t -, * = ", - & + t * = -µ & + t * οπότε η σχέση γράφεται: v = "µ $ t& ds = "µ $ t& ds = 4"µ $ t& d $ t& 6
Ολοκληρώνοντας την 6 πάιρνουµε: s = -4"$ & t * + C Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι s=0, οπότε από την προηγούµενη σχέση προκύπτει C =4α µε αποτέλεσ µα η σχέση αυτή να γράφεται: s = 4-4"$ & t + * s = 4-1 - "$,- & t. * 0 / 0 7 H 7 εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=t ολ που η χάντρα ολοκληρώνει την διαδροµή της, δίνει το συνολικό µήκος s ολ της κυκλοειδούς τροχιάς που διαγράφει η χάντρα, δηλαδή θα έχουµε: s " - = 4 / 1 - $&./ t " * 0, + 1 5 s ". = 4 01 - $& * / 0 + 1-3, 3 s " = 4 1 - $& = 8 P.M. fysikos