Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση Μελέτη της κίνησης βλήματος (Παράδειγμα -D) Μελέτη της κυκλικής κίνησης (Παράδειγμα -D). Μετασχηματισμός ταχυτήτων σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς Αδρανειακά συστήματα. Κινηματικά μεγέθη σε πολικές συντεταγμένες 1
Συστήματα συντεταγμένων Διάνυσμα θέσης υλικού σημείου ως προς ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο (Χ,Υ, Ζ). Χ x z Ζ Α ( x,, z) xˆi ˆjz kˆ Υ ˆ ˆ ˆ i, j,k μοναδιαία (σταθερά) x z dx, d, dz στοιχειώδη μήκη
Συστήματα συντεταγμένων Διάνυσμα θέσης υλικού σημείου ως προς ΠΟΛΙΚΟ συστημα αναφοράς (-D) με αρχή στο σημειο Ο (, ). uˆ Χ x O φ Α uˆ û Υ uˆ, ˆ u μοναδιαία (μεταβλητά) d, d στοιχειώδη μήκη 3
Συστήματα συντεταγμένων Διάνυσμα θέσης υλικού σημείου ως προς ΠΟΛΙΚΟ συστημα αναφοράς (3-D) με αρχή στο σημειο Ο (, ). z û Α uˆ û uˆ uˆ, uˆ, uˆ, μοναδιαία (μεταβλητά) x sin d, d, sin d στοιχειώδη μήκη 4
Διάνυσμα θέσης Το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου ορίζεται ως προς συγκεκριμένο συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο. xˆi ˆ j zkˆ 5
1 Διάνυσμα μετατόπισης Για υλικό σημείο που η θέση του σε διαδοχικές θέσεις της κίνησης ορίζεται από τα και ορίζουμε το διάνυσμα της μετατόπισης :. 1 Τα διανύσματα θέσης 1 και γράφονται υπό μορφή συνιστωσών ως 1 x ˆ ˆ ˆ 1i 1 j z1k x ˆ ˆ ˆ i j zk Η μετατόπιση γράφεται τότε ως x x ˆi ˆj z z kˆ xˆi ˆ j zkˆ 1 1 1 x x x 1 1 z z z 1 t 1 t 6
Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Ακολουθώντας τη γνωστή διαδικασία ορίζουμε τη μέση ταχύτητα ως μετατόπιση μέση ταχύτητα = χρονικό διαστημα avg t xˆi ˆ j zkˆ xˆi ˆ j zkˆ t t t t t Εφαπτομένη t + Δt Ορίζουμε την στιγμιαία ταχύτητα (στο εξής ταχύτητα) ως το όριο: lim t 0 t d Τροχιά 7
Έστω ότι το t τείνει προς το μηδέν, τότε συμβαίνουν τα εξής: 1. Το διάνυσμα τείνει προς το και το 0. 1. Η κατεύθυνση του λόγου (συνεπώς του vavg ) τείνει προς t την κατεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς στη θέση 1. 3. v v avg d ˆ ˆ ˆ dx ˆ d ˆ dz xi j zk i j kˆ ˆi ˆj kˆ x z Οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας δίνονται από τις εξισώσεις: t Εφαπτομένη t + Δt Τροχιά x dx d d z dz Εφαπτομένη Τροχιά 8
Μέση επιτάχυνση = Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση Ορισμός μέσης επιτάχυνσης: Μεταβολή ταχύτητας Χρονικό διάστημα Ορισμός στιγμιαίας επιτάχυνσης ως το όριο: a avg 1 t t d d ˆ ˆ ˆ d lim i j k ˆ d x i ˆ dz a j kˆ ˆi ˆj kˆ x z ax a az t 0 t Σημ.: Αντίθετα προς την ταχύτητα, το διάνυσμα της επιτάχυνσης δεν έχει κάποια ιδιαίτερη σχέση με την τροχιά. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης δίνονται από: dx d dz d ax a az a Τροχιά 9
Κίνηση βλήματος Κίνηση σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας αναφέρεται ως κίνηση βλήματος. Η αρχική ταχύτητα είναι 0. Η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσες είναι: g sin 0x 0 cos 0 0 0 0 Η κίνηση του βλήματος αναλύεται σε οριζόντια και κατακόρυφη κίνηση κατά μήκος του x- και - αξόνων αντίστοιχα. Οι δυο αυτές κινήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η κίνηση κατά τον άξονα x έχει μηδενική επιτάχυνση. Η κίνηση κατά τον άξονα έχει σταθερή επιτάχυνση a = -g. 10
Οριζόντια κίνηση: 0 Η ταχύτητα κατά τον x-άξονα μένει αμετάβλητη: cos (1) x x cos t x 0 0 o 0 0 Κατακόρυφη κίνηση: a x sin gt sin a ( ) g Κατά τον -άξονα έχουμε ελεύθερη πτώση gt 0 0 ( 3) o 0 0 t ( 4) si g Απαλοίφουμε το t μεταξύ των εξ. 3 και 4 n. 0 0 o g Εδώ x και είναι οι συντεταγμένες o o του σημείου βολής. Συνήθως το λαμβάνουμε ως αρχή των αξόνων. Οπότε: x 0 και 0. o Σημ.: Σε αυτή την ανάλυση αμελούμε την επιδραση της αντίστασης του αέρα o. 11
Εξίσωση τροχιάς : gt x 0 cos 0 t () 0 sin 0 t (4) Απαλοίφουμε το t μεταξύ των () και (4) και: g x x cos tan 0. 0 0 Αυτή η εξίσωση περιγράφει μια καμπύλη που ειναι η τροχιά του βλήματος. Η μορφή της είναι: ax bx. Ειναι παραβολή. 1
cos (1) x cos t () x 0 0 0 0 η Λύση : 0sin0 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο A. R sin Acos A sin A t gt 0 sin 0 gt (3) 0 sin 0 t (4) Βεληνεκές: Η απόσταση OA ορίζεται ως το βεληνεκές R Στο σημείο A έχουμε: 0. Από την εξ. (4) έχουμε: gt gt 0 sin0 t 0 t0 sin0 0. Αυτή η εξίσωση έχει λύσεις: Λύση 1η. t 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο O δεν έχει ενδιαφέρον. gt Από την η. λύση έχουμε: O A t sin 0 0 g. Αντικαθιστώντας στην εξ. () έχουμε: 0 0 R sin0 cos0 sin 0. g g max έγιστη τιμή του R για 45 : R 0 g 0 13
t A H g Μέγιστο Ύψος H H sin 0 0 g Η -συνιστώσα της ταχύτητας του βλήματος είναι sin gt. 0sin0 Στο σημείο A: 0 0sin0 gt t g 0 0 gt 0 sin0 g 0 sin0 ( ) 0 sin0 0 sin0 H t t 0 sin 0 H g g g 14
t A H g H sin 0 0 g d Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το μέγιστο ύψος από την εξ. (3) a= d Εδώ: 0 v sin, H 0, και a g 0 o 0 0 d 1 g= gd= d g d= d gh ( 0 sin 0) H 0 d 0 v sin 0 sin 0. g 0 0 15
Ομαλή κυκλική κίνηση: Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας με σταθερό μέτρο ταχύτητας v. Η ταχύτητα όμως δεν είναι σταθερή. Ο λόγος είναι ότι η κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει από σημείο σε σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση δεν είναι μηδενική. Η επιτάχυνση στην ομογενή κυκλική κίνηση έχει τα εξής χαρακτηριστικά: 1. Το διάνυσμα κατευθύνεται προς το κέντρο εξ ου και το όνομα κεντρομόλος.. Το μέτρο της a δίνεται από την Q a. R C P Ο χρόνος T που απαιτείται για μια πλήρη περιστροφή η περίοδος. δίνεται από την εξίσωση T. 16
Ομαλή κυκλική κίνηση: Ταχύτητα γεωμετρικά s Δφ 1 O 1 Δφ uˆ O û 1 O uˆ, uˆ uˆ ˆ 1 1 μέση ταχύτητα av Η στιγμιαία ταχύτητα θα είναι: 1 s uˆ ˆ u t t t s ds ds lim και διανυσματικά u ˆ ˆ u t 0 t u 17
Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση γεωμετρικά s 1 1 s s aav 1 R R t R t 1 s 1 a lim lim 1 t0 t R t0 t R a και διανυσματικά a uˆ R R Η στιγμιαία επιτάχυνση θα είναι: 18
Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά P C A C Θέση xp P xp cos, P sin cos, sin Όπου x και είναι οι συντεταγμένες του υλικού σημείου. P P 19
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά P C A C Ταχύτητα ˆi ˆj sin ˆi cos ˆj x P ˆ xp i ˆ j. sin x cos 0
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά P C A C Επιτάχυνση P παράγωγος της ταχύτητας ˆ xp i ˆ j. d d P ˆ xp i ˆ j. d dp = ˆ dxp a i ˆ j. d dx P P cos και sin. x 1
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά P C A C ˆ ˆ v a cos i sin j a ax a cos sin a / sin tan tan a κατευθύνεται προς το C. a / cos x
Σχετική κίνηση σε μία διάσταση: Η ταχύτητα σημείου P προσδιοριζόμενη από διαφορετικούς παρατηρητές A και B εξαρτάται από αυτούς. «Εξίσωση μετασχηματισμού» ταχυτήτων δηλαδή η σχέση των ταχυτήτων που μετρά ο κάθε παρατηρητής. Υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής B κινείται με γνωστή σταθερή ταχύτητα υ BA ως προς τον παρατηρητή A. Οι παρατηρητές A και B προσδιορίζουν της συντεταγμένες του σημείου P να είναι x PA και x PB, αντίστοιχα. xpa xpb xba. Όπου xba είναι η συντεταγμένη του B ως προς τον A. d d d Παραγωγίζουμε ως προς τον χρόνο: xpa xpb xba PA PB BA Εάν παραγωγίσουμε την τελευταία εξίσωση και dba a θεωρώντας ότι 0 PA apb Σημ.: Αν και οι παρατηρητές A και B μετρούν διαφορετικές ταχύτητες για το P, μετρούν την ίδια επιτάχυνση. (Αδρανειακά συστήματα) 3
Σχετική κίνηση σε δύο διαστάσεις : Εδώ ο παρατηρητής B κινείται με σταθερή ταχύτητα v BA ως προς τον A στο x-επίπεδο. Οι παρατηρητές A και B προσδιορίζουν το διάνυσμα θέσης του σημείου P ως PA και PB PA PB BA, αντίστοιχα.. Παραγωγίζουμε ως προς t d PA d PB d BA vpa vpb vba Παραγωγίζουμε την τελευταία εξίσωση ως προς το χρόνο t: v v v PA PB BA d d d dvba vpa vpb vb A. Παίρνοντας υπόψη ότι 0 apa ap B. Σημ.: Και εδώ οι δυο παρατηρητές μετρούν την ιδια επιτάχυνση για το σημείο P. 4
Περιστρεφόμενο μοναδιαίο u 1 Δu u Δθ το διάνυσμα Δu Δu n u Δθn Δθn Το n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του Δu. du Δu Δθ dθ lim lim u n n, u 1 Δt0 Δt Δt0 Δt 5
Καμπυλόγραμμη κίνηση 3D Υλικό σημείο κινούμενο σε καμπυλόγραμμη τροχιά Περιγραφή της κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες xiˆ j ˆ zkˆ τροχιά iˆ ˆj kˆ x z a a iˆ a ˆj a kˆ x z d dx ˆ d ˆ dz i j kˆ x dx d z dz d ˆ x ˆ z a i j kˆ a x d x a d a z d 6 z
Καμπυλόγραμμη κίνηση Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες Αυτές μας δίνουν μια φυσική περιγραφή για την καμπυλόγραμμη κίνηση και είναι οι πλέον χρήσιμες για την περιγραφή της. Η συντεταγμένη s μετρά τη θέση του σημείου P κατά μήκος της τροχιάς του ως προς το σημείο (αφετηρία) O. Η ταχύτητα υ είναι πάντοτε κατά την εφαπτόμενη, μοναδιαίο διάνυσμα u t. Το μοναδιαίο διάνυσμα u n είναι πάντοτε κάθετο στο u t, και κατευθύνεται προς τα κοίλα της καμπύλης. Το μοναδιαίο διάνυσμα u t είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο P, και κατευθύνεται προς την διεύθυνση αύξησης του s. v ds u t 7
Καμπυλόγραμμη κίνηση Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες της επιτάχυνσης υ ds u t υu t d d d du a ut ut t du t d u n Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης d d a u t u n 8
Ακτίνα καμπυλότητας και καθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης ds ( ) d ds d d d d a u t u d a ut u n n Εφαπτομενική συνιστώσα a t d Κάθετη συνιστώσα a n 9
Κυκλική κίνηση υ ds u s R Ταχύτητα και επιτάχυνση t υu t d d a ut u d d n ds d R R Μέτρο εφαπτομενικής επιτάχυνσης: d d at R R Μέτρο κάθετης (ακτινικής) συνιστώσας της επιτάχυνσης dθ an υ Rω υ R 30
Καμπυλόγραμμη κίνηση Πολικές συντεταγμένες τροχιά u d a d du d u du d u 31
Καμπυλόγραμμη κίνηση Πολικές συντεταγμένες Ταχύτητα u d d du u du d u d d u u d d 3
Καμπυλόγραμμη κίνηση Πολικές συντεταγμένες Επιτάχυνση d d u u du d u du d u d d d du d d d d du a u u u d d d d d a u u 33
Καμπυλόγραμμη κίνηση Πολικές συντεταγμένες Επιτάχυνση d d u u du d u du d u d d d d d a u u Θεωρούμε τον εναλλακτικό συμβολισμό d d dθ d θ,, θ και θ u a θ θ θ u θ 34
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3.76, 3.77, 3,79, 3,86, 3.89 35