ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Μία επιχείρηση κατασκευάζει τρία προϊόντα, έστω α, β και γ, τα οποία πουλάει προς 14, 15 και 22 αντίστοιχα. Οι παραπάνω τιμές θεωρούνται σταθερές και ανεξάρτητες από την κατάσταση της αγοράς στην οποία διατίθενται που υποτίθεται επίσης ότι μπορεί να απορροφήσει οποιεσδήποτε ποσότητες. Για την κατασκευή των προϊόντων αυτών απαιτούνται τέσσερα είδη πρώτων υλών. Οι τιμές των πρώτων υλών οι αναγκαίες μονάδες πρώτων υλών για κάθε τύπο προϊόντος και οι αντίστοιχες ποσότητες που διαθέτει η επιχείρηση μέσα σε κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Πρώτη ύλη Τιμή μονάδας ( ) Προϊόντα α β γ Διαθέσιμες πρώτες ύλες 1 3 0 2 3 50 2 2 3 2 1 200 3 0. 5 4 4 6 200 4 1 0 0 2 100 Στόχος της επιχείρησης είναι να βρει ποιες ποσότητες από κάθε προϊόν πρέπει να παράγει, ώστε να έχει το μεγαλύτερο κέρδος. Να ορισθούν λεπτομερώς οι μεταβλητές απόφασης και να διαμορφωθεί η αντικειμενική συνάρτηση και όλοι οι περιορισμοί του προβλήματος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Η διεύθυνση μίας βιομηχανίας, στην οποία ορισμένα μηχανήματα υποαπασχολούνται, εξετάζει την περίπτωση να παράγει τα προϊόντα 1, 2 και 3 στο χρόνο που τα μηχανήματα αυτά δεν απασχολούνται. Ο χρόνος αυτός εκτιμάται σε 500, 350 και 150 μηχανοώρες την εβδομάδα για τους τύπους μηχανημάτων Α, Β και Γ αντίστοιχα. Οι μηχανοώρες που χρειάζονται για την παραγωγή της μονάδας των προϊόντων σημειώνονται στον παρακάτω πίνακα. Το τμήμα πωλήσεων της βιομηχανίας προβλέπει ότι οι πωλήσεις των προϊόντων 1 και 2 μπορούν να υπερβούν τις δυνατότητες παραγωγής, ενώ οι πωλήσεις του προϊόντος 3 δε μπορούν να υπερβούν τις 20 μονάδες την εβδομάδα. Το ίδιο τμήμα προβλέπει επίσης ότι το κέρδος από την πώληση της κάθε μονάδας των προϊόντων 1, 2 και 3 θα είναι 30, 12 και 25 αντίστοιχα. Ποιο μαθηματικό πρότυπο πρέπει να λύσει η βιομηχανία για να προσδιορίσει τις ποσότητες προϊόντων που πρέπει να παράγει, εάν θέλει να έχει το μέγιστο κέρδος;

Μηχανήματα Προϊόν 1 2 3 Α 9 3 5 Β 5 4 0 Γ 3 0 2

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Μία εταιρεία που κατασκευάζει κανό απασχολεί 120 άνδρες, ο καθένας από τους οποίους εργάζεται 30 ώρες την εβδομάδα. Οι μισοί απασχολούνται στο τμήμα ξυλουργίας, 20 άνδρες στο τμήμα πλαστικών και οι υπόλοιποι στο τμήμα της ολοκλήρωσης του κανό. Η εταιρεία κατασκευάζει τα απλά κανό, από τα οποία έχει μοναδιαίο κέρδος 7 και τα πολυτελή που της αποδίδουν κέρδος 10. Ένα απλό κανό θέλει 4.5 ώρες εργασίας στο τμήμα ξυλουργίας και από δύο ώρες στο καθένα από τα υπόλοιπα δύο τμήματα. Οι ώρες εργασίας για τα πολυτελή κανό είναι 5, 1 και 4 για τα τμήματα ξυλουργίας, πλαστικών και ολοκλήρωσης αντίστοιχα. Υπολογισμοί marketing λένε ότι όχι λιγότερο από το 1/3 και όχι περισσότερο από τα 2/3 του συνολικού αριθμού των κανό πρέπει να είναι πολυτελή. Με ποιον τρόπο θα μεγιστοποιήσει η εταιρεία το συνολικό της κέρδος;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Μία μεταφορική εταιρεία έχει υπογράψει με κάποιον πελάτη συμβόλαια μεταφοράς πυρομαχικών, όπλων και φαρμάκων. Ο πελάτης δέχεται να παραλάβει όλες τις μεταφερόμενες σ αυτόν ποσότητες. Πυκνότητα Κέρδος (κιλά/κυβική παλάμη) ( /κιλό) Πυρομαχικά 30 0.20 Όπλα 40 0.30 Φάρμακα 20 0.10

Η εταιρεία χρησιμοποιεί δύο αεροπλάνα. Το αεροπλάνο Α δεν μπορεί να μεταφέρει περισσότερους από 15 τόνους ούτε περισσότερο από 0.1 κυβικά μέτρα εμπορεύματος. Το αεροπλάνο Β δεν μπορεί να μεταφέρει περισσότερους από 25 τόνους και πάνω από 0.2 κυβικά μέτρα εμπορευμάτων. Υπάρχει ένας ακόμη περιορισμός: δεν επιτρέπεται η μεταφορά περισσότερων από 100 κιλών φαρμάκων σε κάθε παράδοση (η παράδοση περιλαμβάνει δύο πτήσεις, μία του αεροπλάνου Α και μία του Β). Να διαμορφωθεί - με όλη την απαραίτητη τεκμηρίωση - το κατάλληλο μοντέλο για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος. Να σχολιασθεί επίσης σε ποια μονάδα μέτρησης είναι σκόπιμο να εκφρασθούν οι μεταβλητές απόφασης του προβλήματος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Τα δύο βασικά προϊόντα κάποιας επιχείρησης κατασκευάζονται σε γραμμή παραγωγής από τρεις μηχανές, έστω Μ 1, Μ 2 και Μ 3, κάθε μία από τις οποίες απασχολείται 7 ώρες τη μέρα σε πενθήμερη βάση. Το μοναδιαίο κόστος παραγωγής είναι 160 και 250 αντίστοιχα, ενώ τα ποσοστά κέρδους είναι της τάξης του 20% και 24%. Οι διάρκειες των παραγωγικών διαδικασιών (εκφρασμένες σε δευτερόλεπτα) παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα. Μ 1 Μ 2 Μ 3 Μ 2 ή Μ 3 Προϊόν Α 25 30 50 Προϊόν Β 40 15 40 20

Το πρώτο προϊόν ολοκληρώνεται σε τρεις διαδοχικές φάσεις, ενώ το δεύτερο προϊόν απαιτείται να περάσει από μία τέταρτη φάση που μπορεί να εκτελεσθεί είτε από τη μηχανή Μ 2 είτε από την Μ 3. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η επιχείρηση είναι ο προσδιορισμός των μονάδων που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το εβδομαδιαίο καθαρό κέρδος. Ζητείται ο σχεδιασμός (μεταβλητές - συνάρτηση - περιορισμοί) του κατάλληλου μοντέλου Γραμμικού Προγραμματισμού για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Μία οικογένεια αγροτών κατέχει 125 εκτάρια γης και έχει 40.000 $ απόθεμα για επένδυση. Κάθε μέλος μπορεί να προσφέρει 3500 ώρες εργασίας κατά τη διάρκεια των χειμερινών μηνών (μέσα Οκτωβρίου - μέσα Απριλίου) και 4000 ώρες κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού. Εάν κάποιες από αυτές τις ώρες εργασίας δεν είναι απαραίτητες τότε τα νεότερα μέλη της οικογενείας πηγαίνουν και εργάζονται στη διπλανή φάρμα για $ 5 ανά ώρα για τους χειμερινούς μήνες και $ 6 ανά ώρα για το καλοκαίρι. Έσοδα σε ρευστό μπορούν να υπάρξουν από τις τρεις καλλιέργειες και από τα δύο είδη κτηνοτροφίας. αγελάδες για παραγωγή γάλακτος και κότες. Κανένα επενδυτικό απόθεμα δε χρειάζεται για τις καλλιέργειες. Αντίθετα χρειάζεται μία επενδυτική δαπάνη της τάξης των $ 1200 για κάθε αγελάδα και $ 9 για κάθε κότα.

Κάθε αγελάδα χρειάζεται 1.5 εκτάριο γης, 100 ώρες ανθρώπινης προσωπικής εργασίας κατά τη διάρκεια των χειμερινών μηνών και άλλες 50 ώρες εργασίας για το καλοκαίρι. Κάθε αγελάδα θα δίνει έσοδα κάθε χρόνο για την οικογένεια $ 1000. Τα αντίστοιχα στοιχεία για κάθε κότα είναι καθόλου έκταση γης, 0.6 ώρες ανθρώπινης προσωπικής εργασίας το χειμώνα και 0.3 περισσότερες ώρες το καλοκαίρι με ετήσια έσοδα για κάθε κότα $ 5. Η φάρμα μπορεί να εκτρέφει 3000 κότες το μέγιστο και τα όρια χωρητικότητας του στάβλου επαρκούν για 32 το πολύ αγελάδες. Οι εκτιμώμενες προσωπικές ώρες εργασίας και τα έσοδα ανά εκτάριο καλλιέργειας και για τους τρεις τύπους είναι τα ακόλουθα. Χειμερινές ώρες Καλοκαιρινές ώρες Καθαρά ετήσια έσοδα ($) Σόγια Καλαμπόκι Βρώμη 20 35 10 50 75 40 500 750 350

Η οικογένεια θέλει να καθορίσει πόση έκταση γης πρέπει να καλλιεργηθεί για κάθε τύπο καλλιέργειας και πόσες κότες και αγελάδες πρέπει να κρατηθούν για να μεγιστοποιηθεί το καθαρό ετήσιο κέρδος. Να σχεδιασθεί το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού, προκειμένου να επιλυθεί αυτό το πρόβλημα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7 Ένας αγρότης έχει 200 στρέμματα γης και επιθυμεί να καλλιεργήσει είτε πατάτες είτε κολοκυθάκια είτε συνδυασμό και των δύο. Ανακάλυψε ότι υπάρχει επαρκής ζήτηση γι αυτά τα προϊόντα και δε σκέφτεται εναλλακτικές λύσεις. Η μέγιστη δυνατή απόδοση για τις πατάτες είναι πέντε τόνοι ανά στρέμμα, ενώ αν τα κολοκυθάκια μεγαλώσουν θα παραχθούν μόνο τρεις τόνοι ανά στρέμμα. Οι πατάτες μπορούν να πωληθούν με κέρδος 50 λίρες ανά τόνο, ενώ τα κολοκυθάκια 105 λίρες ανά τόνο. Υπάρχει μία οριοθετημένη ζήτηση και για τα δύο είδη. Το πολύ 750 τόνοι πατάτες και 300 τόνοι κολοκυθάκια πρέπει να παραχθούν το χρόνο, προκειμένου να διατεθούν απρόσκοπτα στην αγορά. Και οι δύο σπόροι θα χρειασθούν λιπάσματα και η αναλογία για κάθε σπόρο που μεγαλώνει έχει κάποιο όριο σε σχέση με το διαθέσιμο λίπασμα. Ο αγρότης χρησιμοποιεί δύο τύπους λιπάσματος, Α και Β, τους οποίους αναμιγνύει στην κατάλληλη αναλογία για κάθε σπόρο. Πιστεύει ότι το μίγμα για τις πατάτες πρέπει να αποτελείται από 40% λίπασμα Α και 60% λίπασμα Β. Το μίγμα για τα κολοκυθάκια

πρέπει να αποτελείται από 55% λίπασμα Α και 45% λίπασμα Β. Κάθε στρέμμα που είναι για τις πατάτες, χρειάζεται 0.4 τόνους λίπασμα και κάθε στρέμμα που είναι για τα κολοκυθάκια 0.5 τόνους λίπασμα. Υπάρχει ένα όριο στην ποσότητα του διαθέσιμου λιπάσματος. Ο αγρότης μπορεί να αγοράσει ως 30 τόνους από το λίπασμα Α και ως 100 τόνους από το Β. Το λίπασμα Α είναι καλύτερης ποιότητας. Ο αγρότης μπορεί να βελτιώσει την ποιότητα του Β προσθέτοντας βελτιωτικά συστατικά. Εάν το κάνει αυτό, οι βελτιωμένοι τόνοι του Β μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μερικό ή ολικό συμπλήρωμα για το 40% του Α που απαιτείται στο μίγμα για τις πατάτες. Ωστόσο, ο αγρότης εκτιμά ότι αυτό θα δημιουργήσει μία μείωση στην απόδοση κατά 10%. Δεν είναι δυνατή η χρησιμοποίησή του στο μίγμα για τα κολοκυθάκια, γιατί το αποτέλεσμα θα είναι καταστροφικό. Για κάθε τόνο του λιπάσματος Β που θα βελτιωθεί με αυτόν τον τρόπο, θα χρειασθούν 0.1 τόνοι από πρόσθετα συστατικά, με ένα επιπλέον κόστος 45 λιρών.

1) Να σχεδιασθεί (χωρίς να επιλυθεί) αυτό το πρόβλημα ως μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού με σκοπό τη μεγιστοποίηση του κέρδους. 2) Να παρατεθεί επιχειρηματολογία για το πώς θα ισχυροποιηθεί αυτός ο σχεδιασμός, υποθέτοντας ότι έχει ήδη προσδιοριστεί η άριστη λύση.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8 Ένα αεροπλάνο μεταφοράς εμπορευμάτων έχει τρία τμήματα για την αποθήκευση των εμπορευμάτων. μπροστά, στη μέση και στην ουρά. Τα τρία αυτά μέρη έχουν όρια χωρητικότητας σε βάρος και χώρο, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Τμήμα Μπροστά Μέση Ουρά Αποθηκευτική δυνατότητα (τόνοι) 12 18 10 Χωρητική δυνατότητα (κυβικές παλάμες) 7.000 9.000 5.000 Ακόμα, το βάρος του φορτίου στα αντίστοιχα τμήματα πρέπει να είναι σε ίδια αναλογία με τα όρια βάρους του κάθε τμήματος για να έχει το αεροπλάνο ισορροπία. Τα παρακάτω τέσσερα φορτία έχουν δοθεί για μεταφορά σε μία επόμενη πτήση.

Φορτίο 1 2 3 4 Βάρος (τόνοι) 20 16 25 13 Όγκος (κυβικές παλάμες/ τόνο) 500 700 600 400 Κέρδος ($ / τόνο) 280 360 320 250 Οποιαδήποτε ποσότητα από αυτά τα φορτία μπορεί να γίνει αποδεκτή για μεταφορά. Σκοπός είναι να καθοριστεί ποια ποσότητα από αυτά τα φορτία πρέπει να μεταφερθεί και πώς θα τακτοποιηθεί μέσα στα τμήματα του αεροπλάνου, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της πτήσης. Να σχεδιασθεί το κατάλληλο μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9 Ένας επενδυτής έχει τις διαθέσιμες προσοδοφόρες επενδυτικές δραστηριότητες Α και Β για κάθε ένα χρόνο από τους πέντε επόμενους. Κάθε δολάριο που επενδύεται στην αρχή του ενός χρόνου στη δραστηριότητα Α γίνεται 1.40 $ δύο χρόνια αργότερα. Κάθε δολάριο που επενδύεται στη δραστηριότητα Β κάθε χρόνο γίνεται 1.70 $ τρία χρόνια αργότερα. Επίσης, οι επενδυτικές δραστηριότητες Γ και Δ θα είναι διαθέσιμες στο προσεχές μέλλον. Κάθε δολάριο που επενδύεται στη Γ στην αρχή του χρόνου 2 θα γίνεται 1.90 $ στο τέλος του χρόνου 5. Κάθε δολάριο που επενδύεται στην πρόταση Δ στην αρχή του χρόνου 5 θα γίνεται 1.30 $ στο τέλος του χρόνου 5. Ο επενδυτής ξεκινά με 50.000 $ και επιθυμεί να μάθει τον τρόπο, με τον οποίο θα μεγιστοποιηθεί το ποσό χρημάτων που θα εισπράξει στην αρχή του έκτου χρόνου.

Να σχεδιασθεί το κατάλληλο μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού γι αυτό το επενδυτικό πρόβλημα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10 Να επιλυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex, το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max f(x) = 7/6x 1 + 13/10x 2 με τους περιορισμούς δομής x 1 /30 + x 2 /40 1 x 1 /28 + x 2 /35 1 x 1 /30 + x 2 /25 1 και x 1, x 2 0

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11 Να επιλυθεί με χρήση της μεθόδου Simplex το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max z(x) = 50x 1 + 120x 2 + 40x 3 + 80x 4 με τους περιορισμούς δομής 2x 1 + x 2 + x 3 450 3x 2 + x 3 + x 4 180 4x 1 + x 3 400 x 1 + x 2 + x 4 110 και x 1, x 2, x 3, x 4 0 Εάν οι μεταβλητές x i παριστάνουν τις αντίστοιχες ποσότητες των προϊόντων i που θα παραχθούν σε μία ορισμένη χρονική περίοδο και η αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει

το καθαρό κέρδος της επιχείρησης σε, ποια είναι τα συμπεράσματά σας από την επίλυση αυτού του προβλήματος; ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12 Έστω το παρακάτω πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: Μεγιστοποίηση της συνάρτησης Z = 3x 1 + 2x 2 με περιορισμούς δομής x 1 12 (Πηγή 1) x 1 + 3x 2 45 (Πηγή 2) 2x 1 + x 2 30 (Πηγή 3) και x 1 0, x 2 0 α) Να λυθεί το πρόβλημα με τη γραφική μέθοδο. Να αναγνωρισθούν όλες τις δυνατές γωνιακές σημείου εφικτές λύσεις γι αυτό το μοντέλο. β) Να επιλυθεί με την αλγεβρική μέθοδο Simplex.

γ) Να επιλυθεί με τη μέθοδο Simplex με χρήση πινάκων. δ) Να αναγνωρισθούν οι σκιώδεις τιμές για τις τρεις πηγές του τελικού πίνακα για τη μέθοδο Simplex. Με χρήση της γραφικής μεθόδου επίλυσης να αποδειχθεί ότι αυτές οι σκιώδεις τιμές είναι οι σωστές.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13 Οι επόμενοι υπολογισμοί αντιπροσωπεύουν το σχεδιασμό ενός προβλήματος παραγωγής προκειμένου να μεγιστοποιηθεί το κέρδος μίας επιχείρησης. F = 4x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 και x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 100 (A) x 2 + x 4 50 (B) 6x 1 + 3x 2-1.5x 3 +1.5x 4 220 (Γ) H χρήση της μεθόδου Sipmlex για την επίλυση του προβλήματος δίνει την εξής βέλτιστη λύση (όπου x 5 είναι η ψευδομεταβλητή που συνεργάζεται με τον περιορισμό Γ και x 6 η τεχνητή μεταβλητή που συνεργάζεται με τον περιορισμό Β): Βάση x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Αξία x 1 1 0 0-0. 2 0. 13 0. 6 19. 33 x 3 0 0 1 0. 2-0. 13 0. 4 30. 67

x 2 0 1 0 1 0-1 50 -f 0 0 0 0-0. 67 0-146. 67 1) Από τον τελικό πίνακα Simplex προκύπτει ότι υπάρχουν και άλλες βέλτιστες λύσεις. Να εξηγηθεί η αιτία αυτής της κατάστασης και πώς μπορεί να ανακαλυφθεί μέσα από τον τελικό πίνακα. 2) Υπάρχουν δύο άλλες βασικές βέλτιστες λύσεις. Ξεκινώντας από τον πίνακα που δόθηκε παραπάνω, να προσδιοριστεί ο τελικός πίνακας για κάθε μία από τις άλλες άριστες λύσεις. 3) Ο προϊστάμενος παραγωγής προτιμά την παραπάνω βέλτιστη λύση, η οποία περιέχει τις μεταβλητές x 1, x 2 και x 3 στη βάση. Γι αυτό αποφάσισε να εφαρμόσει αυτή τη λύση παρά τις δύο εναλλακτικές που υπολογίστηκαν στο ερώτημα (2). Παρόλα αυτά θα ήθελε να πετύχει ένα κέρδος κοντά στο 160. Μπορεί να είναι έτοιμος να χαλαρώσει τους περιορισμούς B και Γ για να πετύχει το στόχο του, όσο οι μεταβλητές x 1, x 2 και x 3 συνεχίζουν να έχουν μη μηδενικές τιμές. Τι συμβουλή θα του δίνατε;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14 Μία εταιρεία διατύπωσε ένα γραμμικό μοντέλο προγραμματισμού ως εξής: Μεγιστοποίηση της συνάρτησης f (x) = 12x 1 + 8x 2 + 10x 3 με τους περιορισμούς δομής 3x 1 + 2x 2 + x 3 120 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 300 x 1 + x 2 50 Ο τελικός πίνακας που δίνει τη βέλτιστη λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex είναι ο ακόλουθος:

Βάση x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Δεξιό μέλος x 3 * 0 1 0 0 2 * x 5 * 0 0-3 1-2 * x 2 1 1 0 0 0-1 * -f * 0 * -10 0 * -600 όπου x 4 και x 5 οι ψευδομεταβλητές για τον πρώτο και το δεύτερο περιορισμό και x 6 είναι η τεχνητή μεταβλητή για τον τρίτο περιορισμό. Δυστυχώς, μερικά μέρη του πίνακα στα οποία υπάρχουν αστερίσκοι έχουν καλυφθεί από καφέ κηλίδες. Να υπολογισθούν τα χαμένα σημεία και να συμπληρωθεί ο τελικός πίνακας.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15 Η Robotix κατασκευάζει δύο οικιακά ρομπότ - τον Mavis και τον Charles - το καθένα με διαφορετικές δυνατότητες. Και τα δύο απαιτούν ειδικά κυκλώματα, από τα οποία μόνο 1000 μπορούν να αποκτηθούν κάθε εβδομάδα. Ο Mavis χρειάζεται τρία από αυτά, και ο Charles δύο. Η εργασία είναι περιορισμένη στις 400 ώρες την εβδομάδα. Η κατασκευή του κάθε Mavis καταναλώνει δύο ώρες εργασίας και κάθε Charles μία ώρα. Τα κέρδη είναι 500 και 300 λίρες αντίστοιχα για κάθε Mavis και Charles που πωλείται. Η Robotix έχει υπογράψει συμβόλαιο με κάποιο σημαντικό πελάτη να φτιάχνει και να προμηθεύει 200 Charles κάθε εβδομάδα. Το πακέτο Mathprog χρησιμοποιήθηκε για να παραχθεί ο παρακάτω πίνακας Simplex για το πρόβλημα της Robotix:

X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 αξία Zmax 0 0-75 0-75 -110000 X 1 1 0 0. 25 0 0. 75 100 X 2 0 1 0. 00 0-1. 00 200 S 2 0 0-0. 50 1-0. 50 0 α) Να δοθεί μια πλήρης ερμηνεία του παραπάνω πίνακα. β) Με υπερωρίες, η εταιρία μπορεί να αυξήσει τις ώρες εργασίας σε 480 ώρες. Θα δίνατε μια τέτοια συμβουλή; γ) Προβλέπεται ότι σύντομα η Robotix θα έχει 100 λιγότερα διαθέσιμα κυκλώματα. Με ποιον τρόπο θα επηρεάσει αυτή η αλλαγή την παραγωγή των προϊόντων της εταιρείας;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16 Η κατασκευαστική εταιρεία Pontlins απέκτησε πρόσφατα μία έκταση 40 εκταρίων στο Bridley-on Sea όπου σκοπεύει να κτίσει ένα καινούργιο οικογενειακό κέντρο διακοπών. Τα σχέδια δεν έχουν ακόμα ολοκληρωθεί, αλλά έχει αποφασισθεί ότι το 70% της έκτασης θα δοθεί για εστιατόρια, κοινωνικές και ψυχαγωγικές λειτουργίες. Από τον υπόλοιπο χώρο, ένα εκτιμούμενο 75% θα χρειασθεί για μονοπάτια, δρόμους, χόρτο και πεζοδρόμια. Τα τμήματα με τα ξύλινα σπίτια έχουν τρία σχέδια. Λεπτομέρειες δίνονται παρακάτω: Σχέδιο Βασική περιοχή Μονάδες κατοικίας Κόστος κατασκευής (λίρες) Ετήσια έσοδα ανά μονάδα κατοικίας (λίρες) Οικονομικό 0.05 15 200.000 3.200 Πολυτελές 0.075 10 150.000 3.800 Ανώτερο 0.1 6 100.000 5.000

Τα οικονομικά είναι περιορισμένα και η Pontlins δε μπορεί να ξοδέψει περισσότερα από 9 εκατομμύρια λίρες για την κατασκευή των ξύλινων σπιτιών. Πόσες κατοικίες από κάθε σχέδιο πρέπει να κατασκευάσει η εταιρεία, ώστε να μεγιστοποιήσει τα συνολικά της έσοδα;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 17 Ένας άγγλος έμπορος κρασιού εισάγει δύο τύπους κρασιού, έστω Α και Β, από αμπέλια που βρίσκονται μακριά και αφού το επεξεργαστεί, το βάζει σε μπουκάλια και έτσι παράγει τις δύο δικές του μάρκες, το Fein Wein και το Party Plonk. Τα δύο κρασιά Α και Β κοστίζουν 0.80 και 0.20 λίρες ανά λίτρο αντίστοιχα συμπεριλαμβανομένης της επεξεργασίας και της εμφιάλωσης. Το Fein Wein αποτελείται από 60% κρασί Α και 40% κρασί Β, ενώ το Party Plonk έχει 20% κρασί Α και 80% κρασί Β. Ο έμπορος πουλάει στα μαγαζιά 2 λίρες ανά λίτρο το Fein Wein και 1.20 λίρες ανά λίτρο το Party Plonk. Η επεξεργασία, τα μπουκάλια και η διανομή κοστίζουν 0,5 λίρες ανά λίτρο και για τις δύο μάρκες. Ο έμπορος έχει συμφωνήσει να αγοράσει τουλάχιστον 24.000 λίτρα κρασί Α αυτό το χρόνο και υπάρχουν διαθέσιμα το πολύ 120.000 λίτρα κρασί Β. Εκτιμάται ότι οι πωλήσεις του Fein Wein κατά τη διάρκεια του χρόνου θα φθάσουν στα 50.000, λίτρα αλλά η ζήτηση για το Party Plonk είναι αβέβαιη. Ο έμπορος διαθέτει φέτος μόνο 60.000 λίρες για να αγοράσει τα κρασιά Α και Β.

Πόσα λίτρα από τις δύο μάρκες πρέπει να παράγει ο έμπορος για να μεγιστοποιήσει το κέρδος του;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18 Μία βιομηχανική επιχείρηση που έχει την έδρα της στην πρωτεύουσα διεξάγει τις δραστηριότητές της σε τρία περιφερειακά παραρτήματα (εργοστάσια), τα οποία έχουν αρκετή περίσσεια παραγωγικής δυναμικότητας. Και τα τρία εργοστάσια έχουν τον απαιτούμενο εξοπλισμό και τη δυνατότητα παραγωγής ενός συγκεκριμένου νέου προϊόντος και έχει ήδη αποφασισθεί η χρησιμοποίηση μέρους της επιπλέον δυναμικότητάς τους γι αυτό το σκοπό. Το προϊόν μπορεί να κατασκευασθεί σε τρία μεγέθη - μεγάλο, μεσαίο και μικρό - με καθαρό μοναδιαίο κέρδος 35, 30 και 25 αντίστοιχα. Τα τρία εργοστάσια της επιχείρησης, έστω Χ, Ψ και Ω, διαθέτουν το απαραίτητο επιπλέον ανθρώπινο δυναμικό και τεχνολογικό εξοπλισμό για την παραγωγή 750, 900 και 450 μονάδων ανά ημέρα του νέου προϊόντος αντίστοιχα, ανεξάρτητα από τις εκάστοτε επικρατούσες συνθήκες.

Ωστόσο οι διαθέσιμοι χώροι αποθήκευσης αποτελούν ακόμη περιορισμό στους ρυθμούς παραγωγής. Τα εργοστάσια Χ, Ψ και Ω διαθέτουν για την αποθήκευση της καθημερινής παραγωγής του νέου προϊόντος 1300, 1200 και 5000 m 2 αντίστοιχα. Κάθε παραγόμενη μονάδα του μεγάλου μεγέθους απαιτεί για την αποθήκευσή της 2m 2, κάθε μονάδα του μεσαίου μεγέθους απαιτεί 1.5m 2 και τέλος κάθε μονάδα του μικρού μεγέθους απαιτεί 1.2m 2. Οι προβλέψεις των πωλήσεων δείχνουν ότι οι ποσότητες που μπορούν να πουληθούν κάθε μέρα από καθένα από τα τρία μεγέθη είναι 900, 1200 και 750 μονάδες αντίστοιχα. Για να διατηρηθεί ένα ομοιόμορφο φορτίο εργασίας μεταξύ των εργοστασίων και για να υπάρχει κάποια ελαστικότητα, έχει αποφασισθεί ότι η πρόσθετη αυτή παραγωγή που θα ανατεθεί σε κάθε εργοστάσιο πρέπει να χρησιμοποιήσει το ίδιο ποσοστό του υπάρχοντος επιπλέον ανθρώπινου δυναμικού και τεχνολογικού εξοπλισμού. Η διοίκηση της επιχείρησης επιθυμεί να μάθει τις ποσότητες κάθε μεγέθους που θα παράγει καθένα από τα εργοστάσια, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19 Μία μεγάλη πολυεθνική εταιρεία αποφάσισε να επενδύσει σημαντικό μέρος των πλεονασμάτων της κατασκευάζοντας τρία νέα εργοστάσια, τα οποία προορίζονται για την παραγωγή τριών πρωτοποριακών προϊόντων, έστω Α, Β και Γ αντίστοιχα. Από αυτά, αφενός μεν το προϊόν Α χρησιμοποιείται για την παραγωγή των Β και Γ, αφετέρου δε το προϊόν Β χρησιμοποιείται για την παραγωγή του Γ με τον ακόλουθο τρόπο: Για να παραχθούν δύο μονάδες του προϊόντος Β απαιτείται η κατανάλωση μίας μονάδας του προϊόντος Α. Για να παραχθεί μία μονάδα του προϊόντος Γ απαιτείται η κατανάλωση δύο μονάδων του Β και μίας μονάδας του Α. Η διοίκηση της εταιρείας επιθυμεί να επενδύσει στις τρεις βιομηχανίες το ποσό των 5.000.000, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη της από την εξαγωγή των τριών νέων προϊόντων. Τα κέρδη από την πώληση της κάθε μονάδας βρίσκονται στην αναλογία 1 : 3 : 11 για τα προϊόντα Α, Β και Γ αντίστοιχα. Οι δυναμικότητες παραγωγής

για κάθε 100.000 που επενδύονται σε καθένα από τα τρία εργοστάσια είναι αντίστοιχα 1000, 500 και 300 μονάδες ετησίως για τα προϊόντα Α, Β και Γ. Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος διανομής του συνολικού ποσού της επένδυσης στα τρία εργοστάσια, εάν ληφθεί υπόψη ότι η ζήτηση για εξαγωγή των προϊόντων Α και Β είναι απεριόριστη, ενώ μόνο 1500 μονάδες του προϊόντος Γ μπορούν να εξαχθούν ετησίως;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20 Η εταιρεία Red Sash Canning παράγει κονσέρβες με αντζούγιες και σαρδέλες για τα super markets όλης της χώρας. Η παραγωγή είναι σχεδιασμένη σε μηνιαία βάση. Οι αποφάσεις για τον επόμενο μήνα είναι υπό σκέψη αυτή τη στιγμή και η εταιρεία χρειάζεται τη βοήθειά σας. Σχεδιάστε την προσέγγιση που θα υιοθετούσατε σε καθένα από τα παρακάτω ερωτήματα: 1) Διαμορφώστε το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού με χαρτί και μολύβι, πριν χρησιμοποιηθεί Η/Υ. 2) Περιγράψτε κάθε μεταβλητή και περιορισμό με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε λύση να είναι από μόνη της επεξηγηματική. Η Red Sash λειτουργεί δύο κονσερβοποιητές, οι οποίοι πρέπει να δίνουν 300 ώρες κονσερβοποίησης το μήνα. Η εταιρεία κάνει συχνούς ελέγχους για την ποιότητα των προϊόντων της. Όλες οι κονσέρβες εξετάζονται ηλεκτρονικά για ελαττώματα. Τον επόμενο μήνα θα είναι διαθέσιμες 640 ώρες για ηλεκτρονική εξέταση.

Ως αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, η εταιρεία έχει προβλήματα ρευστού και έθεσε προϋπολογιστικά όρια στην αγορά των ψαριών και των υλικών κονσερβοποίησης για τον επόμενο μήνα 140.000 και 56.000 αντίστοιχα. Περισσότερες πληροφορίες για τις λειτουργίες της Red Sash δίνονται παρακάτω: Ρυθμός κον/σης (κονσέρβες ανά ώρα) Ρυθμός τέστ (κονσέρβες ανά ώρα) Κόστος ψαριών ( ανά κονσέρβα) Κόστος υλικών κον/σης ( ανά κονσέρβα) Κέρδος ( ανά κονσέρβα) Αντσούγιες 1600 800 0. 30 0. 11 0. 26 Σαρδέλες 2000 800 0. 20 0. 08 0. 20 α) Πριν πάρει οποιαδήποτε τελική απόφαση, η εταιρεία θέλει τις συστάσεις σας, τις συμβουλές σας και τις εκτιμήσεις σας. 1) Ποιο πιστεύετε ότι πρέπει να είναι το πλάνο της επιχείρησης; 2) Τι συνολικό κέρδος πρόκειται θα δώσει;

β) Η Red Sash θέλει και απαντήσεις και στα εξής ερωτήματα: 1) Θα δοθούν χρήματα για την αύξηση του διαθέσιμου χρόνου ελέγχου; 2) Τι θα γίνει εάν αυξηθεί ο προϋπολογισμός των υλικών κονσερβοποίησης; 3) Τι θα συμβεί εάν αυξηθεί ο προϋπολογισμός των εμπορευμάτων ψαριών; 4) Υπερωρίες μπορούν να κάνουν οι κονσερβοποιητές με κόστος 150 λίρες την ώρα. Συμβουλεύετε ότι είναι σκόπιμο να γίνουν υπερωρίες; γ) Αν οι προϋπολογισμοί των εμπορευμάτων ψαριών και των υλικών κονσερβοποίησης συνδυασθούν, μπορεί να βγάλει η εταιρεία περισσότερο κέρδος; Αν ναι, πως;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21 Έστω ότι x 1, x 2, x 3 και x 4 αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς των μονάδων των προϊόντων 1, 2, 3 και 4 αντίστοιχα, τα οποία θα παραχθούν την επόμενη περίοδο. Σκοπός είναι η μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους, χρησιμοποιώντας τους περιορισμούς για τις τρεις μηχανές A, B και Γ. Το πρόβλημα μετατράπηκε σε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού σύμφωνα με το ακόλουθο μοντέλο: Maxf = 4x 1 + 6x 2 + 3x 3 + x 4 και 1.5x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 550 (ώρες μηχανής Α) 4x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 700 (ώρες μηχανής Β) 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 200 (ώρες μηχανής Γ) x 1, x 2, x 3, x 4 0 H λύση που προέκυψε χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα LINDO έχει ως εξής:

: LOOK ALL MAX 4x 1 + 6x 2 + 3x 3 + x 4 SUBJECT TO 2) 1.5x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 550 3) 4x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 700 4) 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 200 END : GO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 525.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 1.000000.050000 X 2 25.000000.000000

X 3 125.000000.000000 X 4.000000 3.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2).000000.300000 3) 425.000000.000000 4).000000 1.800000 NO. ITERATIONS = 2 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS??yes RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT COEF ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE X 1 4.000000.050000 INFINITY X 2 6.000000 3.000000.076923 X 3 3.000000 9.000000.999999 X 4 1.000000 3.500000 INFINITY

ROW CURRENT RHS ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE 2) 550.000000 250.000000 416.666600 3) 700.000000 INFINITY 425.000000 4) 200.000000 625.000000 62.500000 1) Ποιο είναι το βέλτιστο πλάνο παραγωγής; 2) Ποιες μηχανές έχουν περίσσεια δυναμικότητας και πόσο; 3) Είναι δυνατή η αύξηση της δυναμικότητας των μηχανών κατά 100 ώρες συνολικά με κόστος 1.50 λίρες ανά επιπλέον ώρα. Αξίζει να γίνει αυτό και αν ναι πού πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι επιπλέον ώρες; Τι αλλαγή θα υπάρξει στο συνολικό κέρδος; 4) Η διοίκηση σκέφτεται να αυξήσει το κέρδος από τα προϊόντα 3 και 4 περιστασιακά με 2 λίρες ανά μονάδα. Πώς θα επηρεάσει αυτό το βέλτιστο πλάνο παραγωγής και πώς το συνολικό κέρδος;

5) Η διοίκηση αποφάσισε ότι δε θέλει ο χρόνος που ξοδεύεται από την παραγωγή των προϊόντων με τη μηχανή Α να είναι περισσότερος από το 50% του συνολικού χρόνου παραγωγής που απαιτείται για τις A, B και Γ. Να εκφρασθεί αυτός ο νέος περιορισμός, έτσι ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δεδομένο εισόδου από το πρόγραμμα LINDO.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22 Ένα φυτώριο φύτεψε φυλλοβόλους και αειθαλείς θάμνους σε μία έκταση 30000 τ.μ. Ένας αειθαλής θάμνος απαιτεί 1 τ.μ ενώ ένας φυλλοβόλος 2 τ.μ. Οι δύο τύποι θάμνων έχουν διαφορετικές κλιματολογικές απαιτήσεις, έτσι ώστε ο αριθμός του ενός είδους να μη ξεπερνάει το διπλάσιο αριθμό του άλλου είδους. Για να είναι σίγουρο ότι οι καλοί πελάτες έχοντας λογικές παραγγελίες δε θα ξεπεράσουν τον αριθμό των θάμνων, ο αριθμός των φυλλοβόλων κρατήθηκε μεταξύ 7000 και 9000 φυτών, ενώ των αειθαλών οριοθετήθηκε μεταξύ 11500 και 14250. Επιπλέον, το φυτώριο έχει μακροχρόνια συμβόλαια για μερικά χρόνια αργότερα, που απαιτούν να έχει οποιαδήποτε στιγμή του ζητηθεί 20000 θάμνους. Δυστυχώς, οι αειθαλείς θάμνοι απαιτούν διπλάσια προσοχή από τους φυλλοβόλους καθώς μεγαλώνουν και έτσι το φυτώριο μπορεί να προμηθεύσει μόνο 36000 φυλλοβόλους και 18000 αειθαλείς θάμνους ή κάποιο δυνατό συνδυασμό αυτών των δύο. Μέχρι πρόσφατα το περιθώριο κέρδους για τους φυλλοβόλους θάμνους ήταν τρεις φορές μεγαλύτερο από αυτό των αειθαλών, αλλά κάποια μεταβολή στην αγορά τα

εξίσωσε. Τι επίδραση θα έχει αυτή η αλλαγή στον αριθμό των θάμνων, εάν ο υπεύθυνος του φυτωρίου θέλει να μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23 Έστω ότι έχετε κληρονομήσει 6000 και θέλετε να τα επενδύσετε. Μόλις μαθεύτηκαν τα νέα, δύο φίλοι σας έκαναν την προσφορά να γίνετε συνέταιρος σε δύο διαφορετικά οικονομικά σχέδια, το καθένα σχεδιασμένο από τον κάθε φίλο σας. Και στις δύο περιπτώσεις η επένδυση θα σας απασχολήσει για κάποιο διάστημα το καλοκαίρι και θα πρέπει να δώσετε κάποιο ποσό. Για να γίνετε πλήρης συνέταιρος στο σχέδιο του πρώτου φίλου χρειάζονται 500 και 400 απασχόλησης ώρες και το κέρδος (αγνοώντας το χάσιμο χρόνου) θα είναι 4500. Τα αντίστοιχα νούμερα για την δεύτερη περίπτωση είναι 400 και 500 ώρες με κέρδος 4500. Οι φίλοι σας όμως είναι αρκετά ελαστικοί και σας δίνουν την ευκαιρία να κάνετε οποιαδήποτε συνεργασία θέλετε. Το διαμενόμενο κέρδος μεταξύ των συνεταίρων θα είναι αντίστοιχο με τον βαθμό συνεργασίας. Επειδή αναμένεται ένα πολυάσχολο καλοκαίρι με μέγιστη απασχόληση 600 ωρών, αποφασίσατε να συνεργαστείτε και με τους δύο φίλους σας με όποιο τρόπο συνεργασίας θα σας προσφέρει το μεγαλύτερο κέρδος. Λύστε το πρόβλημα και βρείτε την κατάλληλη λύση, απαντώντας διαδοχικά στα ακόλουθα ερωτήματα:

α) Δημιουργείστε το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού για το πρόβλημα. β) Λύστε το πρόβλημα γραφικά. Ποιο είναι το συνολικό υποτιθέμενο κέρδος; γ) Υποδείξτε κάθε μία από τις 4 δυνατές υποθέσεις Γραμμικού Προγραμματισμού. Είναι κάποια υπόθεση πιο αμφίβολη από άλλες; Εάν ναι, τι πρέπει να γίνει;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24 Μία εταιρεία σκοπεύει να μεγιστοποιήσει τα συνολικά της κέρδη παράγοντας και πουλώντας τρία νέα προϊόντα. Αυτό το πρόβλημα έχει διατυπωθεί σαν μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού, όπου B, R και D αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των μονάδων του προϋπολογισμού, των κανονικών προϊόντων και των πολυτελών προϊόντων κάθε εβδομάδας αντίστοιχα. Υπάρχουν περιορισμοί στο διαθέσιμο χρόνο παραγωγής στα τμήματα κοψίματος, ραψίματος και πακεταρίσματος καθώς και μελέτες marketing που υπαγορεύουν χαμηλά επίπεδα παραγωγής στα κανονικά και στα πολυτελή προϊόντα. Η διατύπωση και η λύση που δόθηκε από το πακέτο επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού LINDO έχει ως εξής: : LOOK ALL MAX 3.75 B + 7.63 R + 8.07 D SUBJECT TO 2) 1.5 B + 2 R + D 9600 (Τμήμα κοψίματος) 3) 4 B + 5 R + 10 D 38400 (Τμήμα ραψίματος)

4) B + 1.5 R + D 6000 (Τμήμα πακεταρίσματος) 5) R 1000 6) D 3000 END : GO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUCTION VALUE 1) 37028.3984 VARIABLE VALUE REDUCED COST B 0.000000 2.354000 R 1680.000000 0.000000 D 3000.000000 0.000000 ROW SLACK OR DUAL PRICES SURPLUS 2) 3240.000000 0.000000

3) 0.000000 1.526000 4) 480.000000 0.000000 5) 680.000000 0.000000 6) 0.000000-7.190001 NO OF ITERATIONS = DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS??YES RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT COEFFICIENT ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE B 3.750000 2.354000 INFINITY R 7.630000 INFINITY 2.942500 D 8.070000 7.190001 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE 2 9600.000000 INFINITY 3240.000000 3 38400.000000 1599.999878 3400.000000 4 6000.000000 INFINITY 480.000000 5 1000.000000 680.000000 INFINITY 6 3000.000000 340.000000 240.000000 α) Ποιες είναι οι ώρες λειτουργίας (σε ποσοστό από το συνολικό διαθέσιμο χρόνο), για τα τμήματα κοψίματος, ραψίματος και πακεταρίσματος στη βέλτιστη λύση; β) Πρέπει η διοίκηση να αυξήσει την χωρητικότητα του τμήματος Ραψίματος σε 600 λεπτά εάν το κόστος της αλλαγής είναι 120 ; Αν ναι (ή όχι) για ποιον ακριβώς λόγο; γ) Το κόστος κατασκευής μίας μονάδας ενός προϊόντος είναι 10. Ποιες είναι οι τιμές πώλησης των προϊόντων που συμπεριλαμβάνονται στη βέλτιστη λύση;