Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που προσδιορίζεται από: 1) Μέτρο ή μήκος 2) Διεύθυνση 3) Φορά Κατεύθυνση Αναπαρίσταται γεωμετρικά με ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα (βέλος) Α Αναπαρίσταται αλγεβρικά με μία διατεταγμένη n-άδα n αριθμών στο χώρο : π.χ. A =< 2,1, 3 > ή σαν πίνακας στήλη 2 A = 1 3 Διαφοροποιείται από το αριθμητικό ή βαθμωτό μέγεθος (scalar)
Ίσα (ή ισοδύναμα) Διανύσματα Έχουν ίδιο: 1) Μέτρο 2) Διεύθυνση (Παράλληλα) 3) Φορά Π.χ. Γεωμετρικά: Α Β A= C D E C D E Αλγεβρικά: Πρέπει να έχουν τις συνιστώσες τους μία προς μία ίσες
Διάνυσμα θέσης 2D A =< 2,3 >
Διάνυσμα θέσης 3D z A A =< 2,3,3> y x
Διάνυσμα που ορίζεται από δύο σημεία 3D: 2D: PQ =< x x, y y, z z > 2 1 2 1 2 1 PQ =< x x, y y > 2 1 2 1
Άθροισμα Διανυσμάτων Γεωμετρικά: Κανόνας Τριγώνου: Κανόνας Παραλληλογράμμου: Αλγεβρικά: Σε 2D A=< a1, a2 > A+ =< a1+ b1, a2 + b2 > =< b, b > Σε 3D A+ A+ =< a + b, a + b, a + b > A 1 1 2 2 3 3 A A+ 1 2 A=< a1, a2, a3 > =< b, b, b > 1 2 3
Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα: Γεωμετρικά: λ A Διεύθυνση ίδια με το Α (Παράλληλα Διανύσματα). Μέτρο ίσο με λ φορές το μέτρο του A. Φορά ίδια με του A αν λ>0 και αντίθετη από το Α αν λ<0. A 2A A 1 2 A Αλγεβρικά: Σε 2D Σε 3D λa=< λa, λa > 1 2 λa=< λa, λa, λa > 1 2 3 A=< a, a > λ 1 2 A=< a, a, a > λ 1 2 3
Αφαίρεση Διανυσμάτων A = A+ ( ) Γεωμετρικά: Αλγεβρικά: Σε 2D A=< a1, a2 > A =< a1 b1, a2 b2 > =< b, b > Σε 3D A A ή A =< a b, a b, a b > 1 1 2 2 3 3 A A 1 2 A=< a1, a2, a3 > =< b, b, b > 1 2 3
Μέτρο ή μήκος Διανύσματος Συμβολίζεται ως Γεωμετρικά: Το μήκος του βέλους A ή A Αλγεβρικά: Σε 2D A = a + a 2 2 1 2 A =< a, a > 1 2 Σε 3D A = a + a + α 2 2 2 1 2 3 A=< a, a, a > 1 2 3 Τριγωνική Ανισότητα A+ A +
Πρότυπα Μοναδιαία Διανύσματα Έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα και δείχνουν προς την θετική φορά των αξόνων. Είναι κάθετα μεταξύ τους. y 2D 3D z ĵ î x x ˆk î ĵ y iˆ =< 1, 0 > ˆj =< 0,1 > iˆ =< 1,0,0> ˆj =< 0,1, 0 > kˆ =< 0, 0,1 >
Αλγεβρική αναπαράσταση σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες 2D A=< a1, a2 > A= aiˆ+ a ˆj = a < 1, 0 >+ a < 0,1 > 1 2 1 2 Τετμημένη: α 1 α2 Κλίση διανύσματος: Τεταγμένη: α 2 α1 3D A=< a1, a2, a3 > A= aiˆ+ a ˆj + α kˆ = a < 1,0,0 >+ a < 0,1,0 >+ a < 0,0,1 > 1 2 3 1 2 3 Τετμημένη: Τεταγμένη: Κατηγμένη: α 1 α 2 α 3
Ιδιότητες Πράξεων Διανυσμάτων A+ = + A A+ 0 = A 0A = 0 c( d A) = ( cd) A ( c + d) A = ca + da ( A+ ) + C = A+ ( + C) A+ ( A) = 0 1A= A c( A + ) = ca + c
Εφαπτόμενα και κάθετα μοναδιαία διανύσματα σε σημείο καμπύλης f x = x f x = x 2 ( ), '( ) 2 f(2) = 4, f '(2) = 4 2 2 v =< 1, 4 >, v = 1 + 4 = 4.12 v u = =< 0.24, 0.97 > v n = < 0.97, 0.24 >
Εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο Διανυσμάτων (Dot or Scalar Product) A = Acos θ, 0 θ π A = 2D A = ab + ab 3D A A 2 2 2 1 1 2 2 A = ab + ab + ab 2 1 1 2 2 3 3 θ A Το εσωτερικό γινόμενο είναι ΑΡΙΘΜΟΣ A=< a1, a2 > =< b, b > 1 2 A=< a1, a2, a3 > =< b, b, b > 1 2 3
Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου A = A A ( + C) = A + AC ( ca) = c( A ) 2 A A= A A = A A 0 A = 0 Ανισότητα Cauchy-Schwarz: A A, A, 0 H ισότητα ισχύει αν-ν A// Προσοχή: A = 0 A = AC Το A C ( ) δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι με A 0 δεν ορίζεται Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων: 1 A θ = cos A ο A = 0 θ = 90 ( A ) 0 A > 0 θ < 90 0 A < 0 θ > 90 iˆ iˆ= 1, ˆj ˆj = 1, kˆ kˆ= 1 iˆ ˆj = 0, iˆ kˆ= 0, ˆj kˆ= 0 A = 0 ή = 0 δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι = C
Εφαρμογές Εσωτερικού Γινομένου Έλεγχος καθετότητας (ορθογωνιότητας) δύο διανυσμάτων Εύρεση γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων Εύρεση συνημιτόνων κατεύθυνσης (3D) Προβολή ενός διανύσματος πάνω σε άλλο Ανάλυση διανύσματος σε δύο συνιστώσες, μία κάθετη και μία παράλληλη ως προς δοσμένο διάνυσμα Υπολογισμός έργου σταθερής δύναμης
Προβολή Διανύσματος πάνω σε Διάνυσμα ΜοναδιαίοΔιάνυσμα στην κατεύθυνση του : A u v Διανυσματική προβολή A proj A u = ( A uˆ ) ˆ u = = A cosθ 2 Αριθμητική συνιστώσα της προβολής A = A cosθ v Ανάλυση σε παράλληλο και ορθογώνιο διάνυσμα A u v = + = proj A + A proj A A u ( ) u ˆ =
Συνημίτονα κατεύθυνσης 0 αβγ,, π A=< x, y, z > Ai ˆ cos a = = A A ˆj cos β = = A Ak ˆ cosγ = = A x A y A z A α β γ 2 2 2 cos + cos + cos = 1
Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο (Cross or vector product) Γεωμετρικά Είναι διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στα A και Η φορά καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού Το μέτρο του διανύσματος είναι Asinθ A = Asin θ n, 0 θ π ( ) Ορίζεται μόνον στον θ είναι η γωνία από το A προς το 3 R
Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο Αλγεβρικά A = ab ab, ab ab, ab ab 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 iˆ ˆj kˆ A = a a a 1 2 3 b b b 1 2 3
Ιδιότητες Εξωτερικού γινομένου ( ca) ( d) = ( c d )( A ) ( + ) = + ( + ) = + A C A A C A C A C C A = A 0 A = 0 A C = AC C A A = 0 A// A 2 = A 2 2 A ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) iˆ ˆj = ˆj iˆ = kˆ ( ˆ ) ˆj kˆ= k ˆj = iˆ ( ˆ) kˆ iˆ= iˆ k = ˆj iˆ iˆ= ˆj ˆj = kˆ kˆ= 0 Ταυτότητα Jacobi: A C + C A + C A = ( ) ( ) ( ) 0 Προσοχή: A = A C με A 0 δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι = C
Εφαρμογές Εξωτερικού γινομένου Έλεγχος παραλληλίας (ή συγγραμμικότητας) δύο διανυσμάτων (ή έλεγχος συνευθειακών σημείων) Εύρεση εμβαδού παραλληλογράμμου, τριγώνου Εύρεση καθέτου διανύσματος σε επίπεδο που ορίζεται από τρία σημεία Εύρεση ροπής δύναμης
Μικτό ή τριπλό γινόμενο (Triple product) A C ( ) Γεωμετρική Ερμηνεία Το μικτό γινόμενο είναι αριθμός Αλγεβρικά a a a A C = b b b ( ) 1 2 3 1 2 3 c c c 1 2 3
Ιδιότητες Μικτού γινομένου Η κυκλική μετάθεση των διανυσμάτων δεν μεταβάλλει το γινόμενο A C = C A= C A ( ) ( ) ( ) ( A ) C = A ( C) Η εναλλαγή δύο διανυσμάτων δημιουργεί αντίθετο γινόμενο A C = A C = C A= A C ( ) ( ) ( ) ( ) Αν δύο διανύσματα είναι ίδια τότε το γινόμενο δίνει 0 π.χ. ( A ) A= 0 = ( A ) C 0 Τα AC,, συνεπίπεδα
Ευθείες και Επίπεδα - Βασικές Περιπτώσεις Ευθεία στο χώρο που διέρχεται από σημείο και είναι παράλληλη προς δοσμένο διάνυσμα Ευθεία στο χώρο που διέρχεται από δύο σημεία Ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων Τομή δύο ευθειών στο χώρο Επίπεδο που διέρχεται από σημείο και είναι κάθετο σε δοσμένο διάνυσμα Επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία Γωνία μεταξύ επιπέδων Ευθεία τομής δύο επιπέδων Σημείο τομής ευθείας με επίπεδο Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση σημείου από επίπεδο
Ευθεία που διέρχεται από σημείο και είναι παράλληλη προς δοσμένο διάνυσμα Διανυσματική μορφή r = r + tv < t< 0, Παραμετρικές εξισώσεις x= x + tv, y= y + tv, z= z + tv 0 1 0 2 0 3 Συμμετρικές εξισώσεις x x y y z z = = v v v 0 0 0 1 2 3
Επίπεδο που διέρχεται από σημείο και είναι κάθετο σε δοσμένο διάνυσμα Διανυσματική μορφή n PP 0 = 0 Αλγεβρική μορφή ( ) ( ) ( ) A x x + y y + C z z = ή 0 0 0 0 Ax + y + Cz = D n= AC,,
Ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων P και Q Διανυσματική μορφή r = (1 t) r + tr, 0 t 1 0 1 r, r όπου 0 1 είναι τα διανύσματα θέσης των P και Q Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων θ Καθορίζεται από τη γωνία μεταξύ των δύο κάθετων προς τα επίπεδα διανυσμάτων n1, n2
Απόσταση σημείου από ευθεία d = PS v v Απόσταση σημείου από επίπεδο n d = PS n