ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια. Συγκεκριμένα θα παρουσιάσουμε έναν τρόπο προσέγγισης των γεωδαισιακών καμπυλών με την βοήθεια του θεωρήματος του Clairat.
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Τις γεωδαισιακές καμπύλες θα μπορούσαμε να τις χαρακτηρίσουμε με δυο ισοδύναμους τρόπους με τους οποίους θα χαρακτηρίζαμε τις ευθείες στο επίπεδο Είναι οι πιο ευθείες καμπύλες της επιφάνειας, δηλαδή καμπύλες για τις οποίες τα εφαπτόμενα διάνυσμά τους παραμένουν σταθερά, ή ισοδύναμα να είναι παράλληλα Είναι οι επιφανειακές καμπύλες που ελαχιστοποιούν τοπικά το μήκος.
ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΗΚΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ L ( t) dt a ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ k( s) ( s) ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΡΕΨΗ ( s) B( s) N ( s) ΠΡΩΤΟ ΚΑΘΕΤΟ ( s) N( s) k( s) ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΑΘΕΤΟ B( s) T( s) N ( s)
ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Πρώτη θεμελιώδης μορφή E, d F, dd G d I p ( ), Μοναδιαίο κάθετο, Μήκος επιφανειακής καμπύλης L a ( t ) dt a E F G dt Εμβαδόν τμήματος επιφάνειας A R EG F dd da R R Γωνία δυο επιφανειακών καμπυλών
ΚΑΘΕΤΗ ΚΑΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ (ορισμός) Το διάνυσμα της επιτάχυνσης γράφεται: k n k g N k n k n k g k ψ k g Ισχύει: γ k k n k g k n k cos k g k sin
ΚΑΘΕΤΗ ΚΑΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ (ένας χρήσιμος τύπος) Ορισμός Π N Όταν = 0 τότε η επιφανειακή καμπύλη γ ονομάζεται κάθετη τομή της επιφάνειας. Σε αυτή την περίπτωση η επιφανειακή καμπύλη προκύπτει από την τομή ενός επιπέδου Π που είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο. n (θ) ψ T ΚΑΘΕΤΗ ΤΟΜΗ S
ΚΑΘΕΤΗ ΚΑΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Πρόταση Η καμπυλότητα k, η κάθετη καμπυλότητα k n και η γεωδαισιακή καμπυλότητα k g μιας κάθετης τομής ικανοποιούν τις σχέσεις: k n k και k 0 g n=± N P Με άλλα λόγια σε μια κάθετη τομή το κάθετο διάνυσμα της καμπύλης και το κάθετο διάνυσμα του εφαπτόμενου χώρου είναι ίσα, (αμελώντας το πρόσημο) δηλαδή n = ±N Ο Π
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Γεωδαισιακή καμπύλη Το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι μηδέν Η επιτάχυνση είναι κάθετη στην επιφάνεια Το διάνυσμα της ταχύτητας είναι παράλληλο κατά μήκος της γ η γεωδαισιακή καμπυλότητα είναι μηδέν Οι κάθετες τομές μιας επιφάνειας
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Παράδειγμα Θα δείξουμε ότι οι μέγιστοι κύκλοι σφαίρας είναι γεωδαισιακές Ένας μέγιστος κύκλος είναι η τομή της σφαίρας με ένα επίπεδο Π που περνά από το κέντρο Ο της σφαίρας. Άρα αν το P είναι ένα σημείο του μεγίστου κύκλου, τότε το διάνυσμα ΟP ανήκει στο Π και είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας στο P. Άρα το Π είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο T p S στο σημείο P, επομένως k g = 0, δηλαδή η γ είναι γεωδαισιακή. Ο n= N P Π T p S
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Παράδειγμα Η τομή ενός γενικευμένου κυλίνδρου με ένα επίπεδο Π ορθογώνιο στους γεννήτορες του κυλίνδρου είναι γεωδαισιακή. Πράγματι, το μοναδιαίο διάνυσμα Ν είναι παράλληλο στο Π και συνεπώς το Π είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο, άρα k g =0 Διαφορετικά το κάθετο διάνυσμα της καμπύλης είναι ίσο με το κάθετο του εφαπτόμενου χώρου, δηλ. n = N Π n Οι παράλληλοι ενός γενικευμένου κυλίνδρου είναι γεωδαισιακές
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Θεώρημα Μια επιφανειακή καμπύλη γ=σ((t),(t)) είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν για οποιοδήποτε τμήμα της που περιέχεται σε ένα τμήμα επιφάνειας ικανοποιούνται οι ακόλουθες δυο εξισώσεις: G F E F E dt d G F E G F dt d Το παραπάνω σύστημα διαφορικών εξισώσεων γενικά είναι δύσκολο να επιλυθεί. Γι αυτό, όπως θα δούμε και πιο κάτω, αναζητάμε εναλλακτικές μεθόδους εύρεσης γεωδαισιακών σε μια επιφάνεια.
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Θεωρούμε μια παραμέτρηση του ορθού κυκλικού κυλίνδρου μοναδιαίας ακτίνας, ως σ(,υ)=(cos,sin,υ) (,υ)ϵd=[0,π) R. Είναι Ε=, F=0 και G=. Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι: Άρα γ(t)=σ((t),υ(t))=(cos(at+b),sin(at+b),ct+d) Αν a = 0 τότε = b και γ(t) = (cosb,sinb,ct+d) και η γεωδαισιακή είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα z. (γ(t) = (cosb,sinb,d) +t(0,0,)) Aν a 0, τότε είναι κυκλική έλικα. 0 0 0 0 0 ) ( 0 ) ( dt d dt d dt d dt d G F E G F dt d G F E F E dt d d t c t b t a t c t a t ) ( ) ( ) ( ) ( Παράδειγμα Θα βρούμε τις γεωδαισιακές του κυκλικού κυλίνδρου x +y = στον R 3 λύνοντας το σύστημα των γεωδαισιακών εξισώσεων.
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Στην επιφάνεια εκ περιστροφής σ(,υ)=(f()cosυ,f()sinυ,g()) Κάθε μεσημβρινός είναι γεωδαισιακή Ο παράλληλος = 0 είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν το 0 είναι κρίσιμο σημείο της f. To σύστημα των γεωδαισιακών ( t ) d dt f ( ) f ( ) f ( ) 0
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ n=n n=n γεωδαισιακή Όχι γεωδαισιακή n=n γεωδαισιακή Θα μπορούσαμε εύκολα να αποφανθούμε ότι οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι μιας επιφάνειας εκ περιστροφής είναι γεωδαισιακές αφού σε κάθε μεσημβρινό το κάθετο διάνυσμα της καμπύλης είναι ίσο με το κάθετο της επιφάνειας, ενώ στους παράλληλους αυτό συμβαίνει μόνο αν το επίπεδο αυτού είναι κάθετο στην επιφάνεια
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ένα σημαντικό θεώρημα Θεώρημα του Clairat Έστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας μιας επιφάνειας εκ περιστροφής S, έστω ρ: S R η απόσταση ενός σημείου της S από τον άξονα περιστροφής, και έστω ψ η γωνία του και των μεσημβρινών της S. Εάν η γ είναι γεωδαισιακή, τότε το γινόμενο ρ sinψ =ρ είναι σταθερό πάνω στην γ. Αντίστροφα Εάν το ρ sinψ είναι σταθερό επάνω σε κάποια επιφανειακή καμπύλη γ και αν κανένα τμήμα της γ δεν είναι τμήμα κάποιου παράλληλου της S, τότε η γ είναι γεωδαισιακή.
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Το θεώρημα του Clairat μας βοηθά να περιγράψουμε την ποιοτική συμπεριφορά των γεωδαισιακών μιας οποιασδήποτε επιφάνειας εκ περιστροφής S όταν η επίλυση των γεωδαισιακών εξισώσεων είναι δύσκολη έως αδύνατη. Πράγματι, από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν οι σχέσεις : C sin C C Η σταθερά C είναι διαφορετική για κάθε γεωδαισιακή και έχει μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν C = 0 τότε μεσημβρινοί. 0 σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Αν C > 0 τότε από την εξίσωση βλέπουμε ότι γεωδαισιακή οριοθετείτε στο μέρος της επιφάνειας S που βρίσκεται σε απόσταση. C C 0 C Αν C = ρ δηλαδή τμήμα της επιφάνειας S βρίσκεται σε απόσταση ρ από τον άξονα τότε οι γεωδαισιακές εξισώσεις γίνονται 0 ) ( 0 f C C δηλαδή παίρνουμε τους παράλληλους της επιφάνειας της επιφάνειας εκ περιστροφής, οι οποίοι όπως γνωρίζουμε δεν είναι όλοι γεωδαισιακές. Αποδεικνύεται ότι: Εάν η επιφάνεια S βρίσκεται σε απόσταση C < ρ από τον άξονα τότε η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο της S.
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Παράδειγμα Θεωρούμε το μονόφυλλο υπερβολοειδές που λαμβάνεται από την περιστροφή της υπερβολής x z, x > 0 του επιπέδου xz γύρω από τον άξονα z. Είναι προφανές ότι κάθε σημείο της επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή της υπερβολής γύρω από τον άξονα z θα απέχει απόσταση ρ από τον άξονα των z. Αν C = 0 τότε οι γεωδαισιακές (όπως αναφέραμε παραπάνω) είναι οι μεσημβρινοί. Αν 0 C (θυμίζω ρ τότε η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο του υπερβολοειδούς και θα εκτείνεται από το - έως το +, όπως φαίνεται στο διπλανό Σχήμα. 0 C
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Αν C >, (ρ τότε επειδή z η γεωδαισιακή περιορίζεται σε ένα από τα δυο χωρία z C ή z C τα οποία φράσσονται από τους κύκλους Γ + και Γ - αντίστοιχα ακτίνας C. Έστω p ένα σημείο του Γ - και θεωρούμε την γεωδαισιακή καμπύλη γ που περνά από το p και εφάπτεται στον Γ - στο σημείο p. Τότε: ρ = C και C C 0 δηλαδή 0 άρα προκύπτει C 0 ο παράλληλος κύκλος Γ -. x z x Όμως η γ δεν μπορεί να περιέχεται στον Γ -, αφού για να είναι ο Γ - γεωδαισιακή θα πρέπει το 0 να είναι κρίσιμο σημείο, άρα η γ πρέπει να κατευθύνεται στο χωρίο κάτω από το Γ -. Στο χωρίο κάτω από τον Γ - είναι: και η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο ως το z = -. C 0 C >
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Αν C =, θεωρούμε την γεωδαισιακή καμπύλη γ που περνά από ένα σημείο p. Αν το p βρίσκεται στην μέση του υπερβολοειδούς, δηλαδή στον μοναδιαίο κύκλο Γ του επιπέδου xy, τότε C = ρ = και ψ = π/, άρα η γ είναι γεωδαισιακή (κάθετη τομή) και είναι εφαπτόμενη του κύκλου Γ στο p. C = Αν υποθέσουμε ότι το p βρίσκεται στο χωρίο κάτω από τον Γ. Η γεωδαισιακή καμπύλη γ θα προσεγγίζει τον Γ προς μια κατεύθυνση, διότι αν έμενε πάντοτε κάτω από έναν παράλληλο ακτίνας +ε, τότε κοντά στον παράλληλο θα έχουμε ~ 0 Συνεπώς η γ κινείται σπειροειδώς και πλησιάζει τον Γ αλλά δεν τον φτάνει ποτέ. Δηλαδή η γ τέμνει κάθε παράλληλο, άτοπο.
ΟΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΩΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ Ορισμός Έστω S μια κανονική επιφάνεια του R 3 και γ: Ι =(-ε,ε) S μια καμπύλη κλάσης C. Μια μεταβολή της γ είναι μια λεία απεικόνιση γ(τ, t): (-δ, δ) (ε, ε) S τέτοια ώστε για κάθε tϵi είναι γ 0 (t) = γ(t), ( γ(0,t) = γ(t) ) Αν I = [a, b] τότε η γ τ (t) λέγεται γνήσια μεταβολή αν για κάθε τ ϵ(-δ, δ) ισχύει γ(τ,a) = γ(a) = p και γ(τ,b) = γ(b) = q. γ 3 (, t) ( t) h( t) h( t) : a, b R h( a) h( b) 0 Για παράδειγμα η όπου με
ΟΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΩΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ Συναρτησοειδές μήκος τόξου L ) L ( t) dt (, a b ( ( t)) b a Κρίσιμο σημείο d L( ( t)) d 0 0 Η γ είναι γεωδαισιακή
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Έχουν γεωδαισιακή καμπυλότητα μηδέν Γεωδαισιακές καμπύλες Είτε είναι ευθείες ή n = ± N Πληρούν το σύστημα των γεωδαισιακών εξισώσεων Είναι τοπικά οι καμπύλες ελάχιστου μήκους
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEMANN Η εύρεση γεωδαισιακών καμπυλών σε μια πολλαπλότητα Riemann δεν είναι γενικά μια εύκολη υπόθεση. Σημαντικά ερωτήματα, όπως για παράδειγμα κατά πόσον μια γεωδαισιακή καμπύλη είναι μια κλειστή, δεν είναι εύκολο να απαντηθούν. To πρόβλημα απλουστεύεται ελαφρώς εάν υποθέσουμε αυξημένη συμμετρία, για παράδειγμα στη μελέτη γεωδαισιακών σε μια ομάδα Lie G (εφοδιασμένη με μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική) ή σε έναν ομογενή χώρο G/H (εφοδιασμένο με μια G-αναλλοίωτη μετρική Riemann).