Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης
Μεηαηποπή 346 10 ζε δςαδικο 346 10 1) 346/2 = 173 με ςπόλοιπο 0 2) 173/2 = 86 με ςπόλοιπο 1 3) 86/2 = 43 με ςπόλοιπο 0 4) 43/2 = 21 με ςπόλοιπο 1 5) 21/2 = 10 με ςπόλοιπο 1 6) 10/2 = 5 με ςπόλοιπο 0 7) 5/2 = 2 με ςπόλοιπο 1 8) 2/2 = 1 με ςπόλοιπο 0 1 [ x0 x1 x x0 x1 x1 x x0 01 ] 0 [ x x x x x x x 1 0 ] [ x x x x x x 0 1 0 ] [ x x x x x 1 0 1 0 ] [ x x x x 1 1 0 1 0 ] [ x x x 0 1 1 0 1 0 ] [ x x 1 0 1 1 0 1 0 ] [ x 0 1 0 1 1 0 1 0 ] 9) 1/2 = 0 με ςπόλοιπο 1
Μεηαηποπή 346 10 ζε δεκαεξαδικό 346 10 1) 346/16 = 21 με ςπόλοιπο 10 = Α 2) 21/16 = 1 με ςπόλοιπο 5 0x15Α [ Α ] [ 5 Α ] 3) 1/16 = 0 με ςπόλοιπο 1
Αζκηζη: Μεηαηποπή δεκαδικού ζε δεκαεξαδικό 135, 139, 196 4
135-128 16 8 139-128 16 8 196-192 16 12 C 7 11 B 4 (87) 16 =(135) 10 (8B) 16 =(139) 10 (C4) 16 =(139) 10
Θζματα διάλεξησ μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν Μθ Αρικμθτικζσ μζκοδοι μετατροπισ Μετατροπι από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτθμα Mετατροπι από το οκταδικό ςτο δυαδικό Προςκεςθ και αφαιρεςθ μθ προςθμαςμενων ακεραιων 6
μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν Η μζκοδοσ αφορά τθ μετατροπή του κλαςματικοφ μζρουσ μιασ παράςταςθσ ενόσ αρικμοφ από το R ςτο Q είναι γνωςτι ςαν μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν με τθ βάςθ του ςυςτιματοσ μετάβαςθσ και με αρικμθτικι του ςυςτιματοσ αναχϊρθςθσ 7
Αλγόρικμοσ διαδοχικϊν πολλαπλαςιαςμϊν Β0: Αρχικόσ πολλαπλαςιαςτζοσ = Παράςταςθ ςτο R Β1: Πολλαπλαςιάηουμε (Πολ/μόσ ςτο R) τον πολ/ςτζο με το Q. Β2: Μετατρζπουμε το ακζραιο μζροσ του γινομζνου από το R ςτο Q και το ςθμειϊνουμε Β3: ΑN το κλαςματικό μζροσ του γινομζνου είναι μθδζν ΣΟΣΕ πθγαίνουμε ςτο βιμα B4 ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ τοποκετοφμε το κλαςματικό μζροσ του γινομζνου ςτθ κζςθ του πολ/ςτζου και πθγαίνουμε ςτο βιμα Β1 Β4: χθματίηουμε τθ νζα παράςταςθ ςτο Q, με MSD μετά το βαςικό ςθμείο το πρϊτο από τα ακζραια μζρθ των διαδοχικϊν πολ/μϊν και LSD το τελευταίο. 8
Mετατροπι του.65625 10 ςτο δυαδικό.65625.3125.625.25.5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1.31250 0.6250 1.250 0.5 1.0 1 0 1 0 1 Άρα 0.65625 10 = 0.10101 Τπάρχει περίπτωςθ οι ςυνεχείσ πολ/μοί να μθ δϊςουν ποτζ γινόμενο με μθδενικό κλαςματικό μζροσ. Σότε κατά τθ κρίςθ μασ ςταματάμε τουσ πολ/μοφσ ζχοντασ υπόψθ ότι όςουσ περιςςότερουσ πολ/μοφσ εκτελζςουμε τόςο μεγαλφτερθ ακρίβεια επιτυγχάνουμε. 9
Μετατροπι του 0.1 10 ςτο δυαδικό ςφςτθμα 0.1 0.2 0.4 0.8 0.6 0.2 0.4 0.8 0.6 0.2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0.2 0.4 0.8 1.6 1.2 0.4 0.8 1.6 1.2 0.4 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 Άρα 0.1 10 = (0.0001100110...) 2 μετατροπι κατά προςζγγιςθ 10
Μετατροπι του αρικμοφ 0,5626 ςτο δυαδικό ςφςτθμα Βάζη 0,5626 2 = 1,125 1 0,125 2 = 0,25 0 0,25 2 = 0,5 0 0,5 2 = 1,0 1 Έηζι ο ανηίζηοισορ δςαδικόρ απιθμόρ ηος 0,5625 είναι ο 0,1001. 11
Δεκαδικόσ με ακζραιο και κλαςματικό μζροσ θ μετατροπι ενόσ αρικμοφ του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ που διακετει ακζραιο και κλαςματικό μζροσ γίνεται: Μετατρζποντασ ξεχωριςτά το ακζραιο και το κλαςματικό μζροσ και ςυνδυάηοντασ μετά τα αποτελζςματα. 12
Μετατροπι του αρικμοφ 41,6875 ςτο δυαδικό ςφςτθμα Βάςη Πηλίκο Υπόλοιπο 41:2 = 20 + 1 20:2 = 10 + 0 10:2 = 5 + 0 5:2 = 2 + 1 2:2 = 1 + 0 1:2 = 0 + 1 1 0 1 0 0 1 Βάζη Ακζραιο Μζροσ 0,6875 2 = 1,3750 1 0,3750 2 = 0,75 0 0,75 2 = 1,5 1 0,5 2 = 1,0 1 Έηζι ο ανηίζηοισορ δςαδικόρ απιθμόρ ηος 41,6875 είναι ο 101001,1011. 13
Μη αριθμητικζσ μζθοδοι μετατροπήσ Oι μζκοδοι αυτζσ αφοροφν μετατροπζσ παραςτάςεων αρικμϊν από το δυαδικό, ςτο οκταδικό, ι δεκαεξαδικό και αντίςτροφα ςτθρίηονται ςτθ ςχζςθ που υπάρχει μεταξφ των βάςεων των τριϊν ςυςτθμάτων, όπου 8 = 2 3 και 16=2 4. 14
Μετατροπή από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτημα κάκε οκταδικό ψηφίο αντιςτοιχεί ςε τρία (3) δυαδικά ψηφία Οκηαδικό 0 1 2 3 4 5 6 7 Γσαδικό 000 001 010 011 100 101 110 111 15
Μετατροπή από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτημα Χωρίηουμε τθ δυαδικι παράςταςθ του αρικμοφ ςε ομάδεσ των 3 bits. Αν ο αρικμόσ είναι ακζραιοσ, αρχίηουμε τθν ομαδοποίθςθ από τα δεξιά προσ τα αριςτερά. Αν ο αρικμόσ ζχει ακζραιο και κλαςματικό μζροσ, θ ομαδοποίθςθ γίνεται προσ δφο κατευκφνςεισ. Η μία από το δυαδικό ςθμείο και προσ τα δεξιά και θ άλλθ από το δυαδικό ςθμείο και προσ τα αριςτερά. Μετά τθν ομαδοποίθςθ μετατρζπουμε τισ τριάδεσ ςε οκταδικά ψθφία. 16
101 110 110 5 6 6 101110110 2 = (;) 8 566 8 Αν τα ψθφία του δυαδικοφ αρικμοφ δεν είναι αρκετά για να ςυμπλθρϊςουμε ακζραιο αρικμό από τριάδεσ, τότε ςυμπληρώνουμε την ελλιπή τριάδα με μη ςημαντικά μηδενικά 17
Μετατροπή από το δυαδικό ςτο 1011011110 2 = (;) 8 001 011 011 110 οκταδικό ςφςτημα 1 3 3 6 1336 8 18
1110011.0011011 2 = (;) 8 1110011.0011011 2 = (;) 8 001 110 011. 001 101 100 1 6 3. 1 5 4 163.154 8 19
(11011110011) 2 = (011 011 110 011) 2 = (3363) 8 ( 20
(10110001101011. 111100000110 ) 2 ( 26153.7406 ) 8 21
Mετατροπή από το οκταδικό ςτο δυαδικό Αν ζχουμε ζναν αρικμό με παράςταςθ ςτο οκταδικό ςφςτθμα αναλφουμε ζνα προσ ζνα τα ψθφία του ςε ομάδεσ των τριϊν bit, διατθρϊντασ τθ κζςθ του βαςικοφ ςθμείου. Σα ψθφία του δυαδικοφ ςυνενϊνονται και ςχθματίηουν τθν παράςταςθ του αρικμοφ ςτο δυαδικό. Tα μθ ςθμαντικά ψθφία (μθδενικά) απομακρφνονται. 22
732.2005 8 = (;) 2 7 3 2. 2 0 0 5 111 011 010. 010 000 000 101 Άρα 732.2005 8 = 111011010.010000000101 2 23
(123.45) 8 = (;) 2 (123.45) 8 = (001 010 011.100 101) 2 1 2 3. 4 5 24
Μετατροπή από το δυαδικό ςτο δεκαεξαδικό Ακολουκοφμε τθν ίδια μζκοδο με αυτιν τθσ μετατροπισ από το δυαδικό ςτο οκταδικό με μια μόνο διαφορά. Η ομαδοποίθςθ γίνεται ςε ομάδεσ των τεςςάρων Bits αντί των τριϊν 25
101110110 2 = 0001 0111 0110 101110110 2 = (;) 16 1 7 6 (176) 16 Παρατθροφμε και πάλι, ότι ςυμπλθρώνουμε τθ αρχικι παράςταςθ με μθδενικά από δεξιά (για το κλαςματικό μζροσ) και από αριςτερά (για το ακζραιο μζροσ) για να ςχθματίςουμε πλιρθσ τετράδεσ 26
111011.101101 2 = (;) 16 111011.101101 2 0011 1011. 1011 0100 3 Β. Β 4 = 3Β.Β4 16 27
2ΒΕD.A1 16 =(;) 2 2 B E D. A 1 0010 1011 1110 1101. 1010 0001 2ΒΕD.A1 16 = (10101111101101.10100001) 2 απομακρφνουμε τα μθδενικά που βρίςκονται αριςτερά ι δεξιά και δεν επθρεάηουν τθν αρικμθτικι τιμι τθσ παράςταςθσ του αρικμοφ 28
Mετατροπι από το δεκαεξαδικό ςτο οκταδικό και αντίςτροφα Ενδιάμεςθ μζκοδοσ ζχει δυο βιματα. το πρϊτο βιμα γίνεται θ μετατροπι τθσ δεκαεξαδικισ παράςταςθσ τοφ αρικμοφ ςτο δυαδικό ςφςτθμα με τθν μζκοδο των τετράδων. το δεφτερο βιμα γίνεται θ μετατροπι τθσ δυαδικισ παράςταςθσ, που δθμιουργικθκε από το πρϊτο βιμα, ςτο οκταδικό με τθ μζκοδο των τριάδων. Η μζκοδοσ λειτουργεί και αντίςτροφα. 29
2BED 16 = (;) 8 2 B E D ΒΗΜΑ 1: 0010 1011 1110 1101 10101111101101 2 BHMA 2 010 101 111 101 101 2 5 7 5 5 25755 8 30
(CB3.15) 16 = (CB3.15) 16 =(;) 2 (1100 1011 0011.0001 0101) 2 C B 3. 1 5 31
(673.124) 8 = ( 110 111 011. 001 010 100 ) 2 (306.D) 16 = ( 0011 0000 0110. 1101 ) 2 32
Προςκεςθ και αφαιρεςθ μθ προςθμαςμενων ακεραιων Oι βαςικζσ πράξεισ ς' ζνα ςφςτθμα αρίκμθςθσ είναι θ πρόςκεςθ και αφαίρεςθ. Η πρόςκεςθ παραςτάςεων αρικμϊν ςτα κεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ, γίνεται πάντα με τθν ίδια μζκοδο και είναι ανεξάρτθτθ τθσ βάςθσ του ςυςτιματοσ. Εκείνο που αλλάηει από ςφςτθμα ςε ςφςτθμα είναι ο πίνακασ πρόςκεςθσ του ςυςτιματοσ. Ο πίνακασ μιασ βαςικισ πράξθσ περιζχει όλουσ τουσ ςυνδυαςμοφσ των ψθφίων του ςυςτιματοσ ανά δφο. 33
Πίνακασ πρόςκεςθσ δεκαδικοφ ςυςτιματοσ + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Σε κάθε ζεύγορ τηθίυν ηος δεκαδικού ζςζηήμαηορ ανηιζηοισεί ένα τηθίο ηος ζςζηήμαηορ και ένα κπαηούμενο (ηα μηδενικά κπαηούμενα παπαλείπονηαι). Το κπαηούμενο είναι ηο μηδέν ή ηο ένα κπαηούμενο 34
πρόςκεςθ Γίνονται τόςεσ μονοψιφιεσ προςκζςεισ όςα και τα ψθφία των προςκετζων. Κάκε μονοψιφια πρόςκεςθ δζχεται ζνα κρατοφμενο (κρατοφμενο ειςόδου) από τθ προθγουμζνθ και παράγει ζνα κρατοφμενο (εξόδου) για τθν επομζνθ. Σο κρατοφμενο ειςόδου προςτίκεται ςτο αποτζλεςμα τθσ μονοψιφιασ πρόςκεςθσ. Η πρόςκεςθ των LSD των δφο προςκετζων ζχει αρχικό κρατοφμενο 0. Σο κρατοφμενο τθσ τελευταίασ πρόςκεςθσ είναι και το MSD του αποτελζςματοσ 35
δυαδικι πρόςκεςθ + 0 1 0 0 1 x y z 1 1 10 FA C S 36
μονοψήφια πρόςθεςη Κρατοφμενα 1 1 1 1 1 0 1 0 Προςκετζοσ 1 0 1 1 1 0 1 Προςκετζοσ + 0 1 0 0 1 0 1 'Άκροιςμα 1 0 0 0 0 0 1 0 x y z S C 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 37
παραδειγματα 1 0 1 1 0 + 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 + 0 1 0 0 1 0 1 38
δανεικό τηθίο Αφαίρεςη - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 1 1 0 19 18 17 16 15 14 13 12 2 2 1 0 19 18 17 16 15 14 13 3 3 2 3 0 19 18 17 16 15 14 4 4 3 2 1 0 19 18 17 16 15 5 5 4 3 2 1 0 19 18 17 16 6 6 5 4 3 2 1 0 19 18 17 7 7 6 5 4 3 2 1 0 19 18 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 19 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Η ππάξη ηηρ αθαίπεζηρ ππαγμαηοποιείηαι με ηην ςπόθεζη όηι ο μειυηέορ είναι μεγαλύηεπορ από ηον αθαιπεηέο 39
Διαδικαςία τθσ Αφαίρεςθσ Η διαδικαςία αποτελείται από ζνα πλικοσ από μονοψιφιεσ αφαιρζςεισ όςεσ και το πλικοσ των ψθφίων του μειωτζου (ι αφαιρετζου). Κάκε μια από τισ μονοψιφιεσ αφαιρζςεισ δζχεται ζνα δανεικό ψθφίο ειςόδου Β-in από τθν προθγουμζνθ και παράγει ζνα δανεικό ψθφίο εξόδου B-out για τθ επομζνθ Σο δανεικό ψθφίο ειςόδου μιασ αφαίρεςθσ προςτίκεται ςτον αφαιρετζο πριν γίνει θ αφαίρεςθ. Η διαδικαςία των διαδοχικϊν αφαιρζςεων αρχίηει από το LSB προσ το MSB με δανεικό ψθφίο τθσ πρϊτθσ αφαίρεςθσ το μθδζν. 40
αφαίρεςθ ςτο δυαδικό ςφςτθμα - 0 1 0 0 11 1 1 0 41
Πίνακασ αλικειασ μονοψιφιασ αφαίρεςθσ bin X Y S = X-(Y+B-in) b-out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 42
Δανεικά ψθφία 0 1 0 0 0 1 1 0 -------------------------------------------------------- Μειωτζοσ 1 0 1 1 1 0 0 Αφαιρετζοσ 0 1 0 1 0 0 1 ------------------------------------------------------- Διαφορά 0 1 1 0 0 1 1 43
Παραδείγματα 1 0 1 1 0-0 1 0 0 1 1 0 1 0 1-0 1 0 0 1 44
πρακτικι μζκοδο πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ Πίνακεσ μονοψιφιασ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ μποροφν να αναπτυχκοφν για το οκταδικό και για το δεκαεξαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ Κρατ. 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 Χ 1 9 Β 9 16 1 9 11 9 + Τ C 7 E 6 16 + 12 7 14 6 X +Y E 1 9 F 16 14 17 25 15 14 16+1 16+9 15 E 1 9 F 45
Αναπαράςταςθ Ακεραίων Δεν υπάρχει υπολογιςτισ που να μπορεί να αποκθκεφςει όλουσ τουσ ακζραιουσ ςε αυτό το διάςτθμα τιμϊν 46
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Ζνασ μη προςημαςμζνοσ ακζραιοσ είναι ζνασ ακζραιοσ χωρίσ πρόςθμο που μπορεί να πάρει τιμζσ από το 0 μζχρι το κετικό άπειρο Επειδι δεν υπάρχει υπολογιςτισ που να μπορεί να αναπαραςτιςει όλουσ τουσ ακζραιουσ ςε αυτό το διάςτθμα τιμϊν, ορίηεται μια ςτακερά που ονομάηεται μζγιςτοσ μη προςημαςμζνοσ ακζραιοσ και ζτςι ζνασ μθ προςθμαςμζνοσ ακζραιοσ μπορεί να πάρει τιμζσ από το 0 μζχρι αυτι τθ ςτακερά Ο μζγιςτοσ μθ προςθμαςμζνοσ ακζραιοσ εξαρτάται από τον αρικμό των μπιτ Ν που χρθςιμοποιεί ο υπολογιςτισ για τθν αναπαράςταςθ ενόσ μθ προςθμαςμζνου ακζραιου Διάςτθμα τιμϊν: 0 (2 N 1) 47
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Αριθμός μπιη Διάζηημα ηιμών 8 0 255 16 0 65.535 Η αποκικευςθ μθ προςθμαςμζνων ακζραιων είναι μια απλι διαδικαςία θ οποία περιγράφεται με τα επόμενα βιματα: Ο αρικμόσ μετατρζπεται ςτο δυαδικό ςφςτθμα. Αν το πλικοσ των μπιτ είναι μικρότερο από Ν, τότε προςτίκενται μθδενικά ςτα αριςτερά του δυαδικοφ αρικμοφ ϊςτε να υπάρχουν ςυνολικά Ν μπιτ. 48
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Αποκθκεφςτε τον αρικμό 7 ςε μια κζςθ μνιμθσ 8 μπιτ Λφςθ Πρϊτα μετατρζπουμε τον αρικμό ςτο δυαδικό ςφςτθμα (111). Προςκζτουμε πζντε μθδενικά ϊςτε να ζχουμε ζνα ςφνολο από Ν (8) μπιτ (00000111). Ο αρικμόσ κατόπιν αποκθκεφεται ςτθ κζςθ μνιμθσ. 49
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Αποκθκεφςτε τον αρικμό 258 ςε μια κζςθ μνιμθσ 16 μπιτ Λφςθ Πρϊτα μετατρζπουμε τον αρικμό ςτο δυαδικό ςφςτθμα (100000010). Προςκζτουμε επτά μθδενικά ϊςτε να ζχουμε ζνα ςφνολο από Ν (16) μπιτ (0000000100000010) Σζλοσ, ο αρικμόσ αποκθκεφεται ςτθ κζςθ μνιμθσ 50
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Αν ο ακζραιοσ προσ αποκικευςθ είναι μεγαλφτεροσ από το μζγιςτο μθ προςθμαςμζνο τότε ζχουμε μια κατάςταςθ που ονομάηεται υπερχείλιςη Δεκαδικός Δέζμεσζη 8 μπιη Δέζμεσζη 16 μπιη 7 00000111 0000000000000111 234 11101010 0000000011101010 258 Υπερχείλιζη 0000000100000010 24.760 Υπερχείλιζη 0110000010111000 1.245.678 Υπερχείλιζη Υπερχείλιζη Αποθήκεσζη μη προζημαζμένων ακεραίων ζε δύο διαθορεηικούς σπολογιζηές με δέζμεσζη 8 και 16 μπιη ανηίζηοιτα 51
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Ερμθνεφςτε τον αρικμό 00101011 ςτο δεκαδικό ςφςτθμα, ζχοντασ ωσ δεδομζνο ότι ο αρικμόσ ζχει αποκθκευτεί ωσ μθ προςθμαςμζνοσ ακζραιοσ Λφςθ Εφαρμόηοντασ τθ διαδικαςία μετατροπισ από δυαδικό ςε δεκαδικό που παρουςιάςτθκε, βρίςκουμε ότι ο αρικμόσ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα είναι ο 43 52
Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ. 53
Ερωτιςεισ - ςυηιτθςθ