ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣOΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 / 0 / 05 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω A και Β τα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B P A B Μοάδες 8 Α. Να δώσετε το ορισμό της διακύμασης τω παρατηρήσεω t, t,, t μιας μεταβλητής Χ Μοάδες Α. Έστω f μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A ; Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το εδεχόμεο α πραγματοποιούται συγχρόως τα Α και Β είαι το A B β. Μετά από τη ομαδοποίηση τω δεδομέω έχουμε απώλεια πληροφοριώ για τις αρχικές τιμές. γ. Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται στη περίπτωση που έχουμε ποιοτική μεταβλητή δ. Σε μία καοική καταομή το εύρος ισούται περίπου με 6 φορές τη μέση τιμή. ε. Για τη παράγωγο μιας σύθετης συάρτησης ισχύει: f g f g g Μοάδες 0 ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίακας ααφέρεται στα ύψη μαθητώ εός σχολείου σε εκατοστά, όπως αυτά έχου ταξιομηθεί σε τέσσερις κλάσεις. Ύψη Μαθητώ Σχετική Συχότητα [64, 70) f [70, 76) f [76, 8) f [8, 88) f 4 Α ισχύει: f f f 0, 9 0, f 0, 4 f 0, f τότε: B. Να αποδείξετε ότι: f 0,, f 0, 4 και f 0, B. Να βρείτε το μέσο ύψος τω μαθητώ. Μοάδες 7 Α οι μαθητές είαι 50 Β. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχου ύψος τουλάχιστο 80 εκατοστά. Β4. Α δύο μαθητές με ύψος κάτω από 70 εκατοστά φύγου από το σχολείο, τότε α βρείτε το έο μέσο ύψος τω μαθητώ. Μοάδες 8
ΘΕΜΑ Γ Έστω 0,,, ω, ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης με ω < ω και Α ω,ω έα εδεχόμεό του, ώστε α ισχύου: P P A και P 0 P P ω Γ. Να βρείτε τις πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχομέω του Ω. Γ. Α η καμπύλη της συάρτησης f α 4 5 Μοάδες 7 έχει εφαπτομέη στο 0 παράλληλη στη ευθεία ε: y 8 και τα ω, ω είαι θέσεις τοπικώ ακροτάτω της f, τότε: α βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, ω, ω. Μοάδες 7 Γ. Για α, ω, ω 5,. Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου: f 4 6 B λ / lm λ 5 λ. Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω: Γ: α πραγματοποιούται συγχρόως τα Α και Β Δ: α πραγματοποιείται τουλάχιστο έα από τα Α, Β Μοάδες 7 Μοάδες 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Έα κουτί περιέχει μία κόκκιη σφαίρα Κ και τρεις μαύρες τις Μ, Μ και Μ. Αφαιρούμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί, τη καταγράφουμε και στη συέχεια αφαιρούμε τυχαία μια δεύτερη σφαίρα και τη καταγράφουμε επίσης. α. Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. Μοάδες 6 β. Να παραστήσετε με ααγραφή το εδεχόμεο, που προσδιορίζοται από τη ατίστοιχη ιδιότητα: Α: Και οι δύο σφαίρες είαι μαύρες και α υπολογίσετε τη πιθαότητα του παραπάω εδεχομέου Μοάδες 6 Δ. Δίεται ο δειγματικός χώρος Ω ο οποίος αποτελείται από ισοπίθαα απλά εδεχόμεα πεπερασμέου πλήθους και A εδεχόμεό του για τα οποία ισχύει P A Δίεται επίσης η συάρτηση: f N A N A N 8, A Α η f δε παρουσιάζει ακρότατα, τότε: α. Να αποδείξετε ότι P A β. Α η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M Μοάδες 7,, τότε α βρείτε το Ν(Ω). Μοάδες 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9 / 4 / 05 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για το εδεχόμεο Α εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A P A όπου Α το συμπλήρωμα του Α. μοάδες 8 Α. Να δώσετε το ορισμό του εύρους R εός δείγματος. μοάδες 4 Α. Θεωρούμε μια συάρτησης f και 0 έα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0 ; μοάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση., τότε για τα εδεχόμεα Α και Β ισχύει πάτα ότι Α Β α. Α P Α P B β. Α Α, Β ασυμβίβαστα εδεχόμεα, τότε P A B P A γ. Η μέση τιμή είαι μέτρο θέσης. δ. Α Α, Β εδεχόμεα εός πειράματος τύχης, τότε B A A B ε. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόο ποιοτικώ δεδομέω. μοάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίοται οι θετικές παρατηρήσεις,,,, μιας μεταβλητής Χ με τυπική απόκλιση s και μέση τιμή. Θεωρούμε επίσης τη συάρτηση: f s s Οι εφαπτόμεες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία της A, f και B 5, f 5 είαι παράλληλες. Β. Να δείξετε ότι s μοάδες 5 Β. Να μελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. μοάδες 5 Β. Να βρείτε το όριο lm f f μοάδες 4 Β4. Να βρείτε τη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f που έχει το ελάχιστο συτελεστή διεύθυσης. μοάδες 6
Β5. Έστω y,,,, θετικές παρατηρήσεις οι οποίες συδέοται με τις παρατηρήσεις της μεταβλητής Χ με τη σχέση y 6,,,,. Α ισχύει y 4, α βρείτε τη μέση τιμή της μεταβλητής Χ. μοάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίεται η συάρτηση 9 (f ) 0 0 5. Γ. Να μελετήσετε τη f ως προς τη μοοτοία. Μοάδες 7 Γ. Α οι πιθαότητες P A B και P A τω εδεχομέω Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω είαι διαφορετικές μεταξύ τους και ίσες με τις θέσεις τω τοπικώ ακρότατω της f, α αποδείξετε ότι: P A B και P A 5 Γ. Να αποδείξετε ότι: P B 4 Γ4. Να υπολογίσετε τις πιθαότητες: α. Να πραγματοποιηθεί μόο το Β. β. Να πραγματοποιηθεί το Α ή α μη πραγματοποιηθεί το Β. Μοάδες ΘΕΜΑ Δ Δ. Εξετάζουμε δύο δείγματα μεγέθους και μ ως προς μία ποσοτική μεταβλητή Χ. Α και y είαι οι μέσες τιμές τω παρατηρήσεω τω δύο δειγμάτω, α δείξετε ότι για τη μέση τιμή z του συόλου τω παρατηρήσεω τω δύο δειγμάτω ισχύει: μ y α. z μ μοάδες 6 z β. y z μ μοάδες 5 Δ. Μια ομάδα μαθητώ αποτελείται από μ αγόρια και κορίτσια. Επιλέγουμε τυχαία έα από τους μαθητές της ομάδας. Έστω Α το εδεχόμεο ο μαθητής που επιλέχθηκε είαι αγόρι και Κ το εδεχόμεο α είαι κορίτσι. Για τους μαθητές της ομάδας γωρίζουμε ακόμη ότι: η μέση τιμή της ηλικίας όλω τω μαθητώ είαι 6 χρόια. Η μέση τιμή της ηλικίας τω μ αγοριώ είαι 6 χρόια, εώ η μέση χρόια. τιμή τω κοριτσιώ είαι 6 ln e
Το είαι πραγματικός αριθμός με 0 e, για το οποίο η πιθαότητα του εδεχομέου Α είαι μέγιστη. α. Να δείξετε ότι ο λόγος τω αγοριώ προς τα κορίτσια είαι μ ln e μοάδες β. Να δείξετε ότι η πιθαότητα του εδεχομέου Α εκφράζεται από τη συάρτηση f ln e ln e. μοάδες γ. Να υπολογίσετε το αριθμό. μοάδες 4 δ. Να δείξετε ότι η πιθαότητα του εδεχομέου Κ είαι διπλάσια της πιθαότητας του εδεχομέου Α. μοάδες 5 Δίεται ότι: s και s t t ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΘΔΜΑ Α ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟOΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΓΔΝΙΚΗ ΠΑΙΓΔΙΑ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 6 / 04 / 05 Α. Έζηω A θαη Β αζπκβίβαζηα ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθύ ρώξπ Ω. Να απδείμεηε όηη: P A B P A P B Α. Να δώζεηε ηλ ξηζκό ηπ δεηγκαηηθύ ρώξπ ελόο πεηξάκαηο ηύρεο. Μοάδες 8 Μοάδες 4 Α. Έζηω t,t,,t η παξαηεξήζεηο κηαο κεηαβιεηήο Χ. Τη ξίδπκε ωο κέζε ηηκή ηωλ ηηκώλ απηώλ; Μοάδες Α4. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξηάζεηο ππ αθιπζύλ, γξάθληαο ζη ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάθος δίπια ζη γξάκκα ππ αληηζηηρεί ζε θάζε πξόηαζε. α. Τ ελδερόκελ λα πξαγκαηπηύληαη ζπγρξόλωο ηα Α θαη Β είλαη η A B β. Ιζρύεη f f g g όππ f, g παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο. γ. Τ δηάγξακκα ζπρληήηωλ ρξεζηκπηείηαη ζηελ πεξίπηωζε ππ έρπκε πζηηθή κεηαβιεηή δ. Αλ P A P B, ηόηε ηα ελδερόκελα Α θαη Β είλαη αζπκβίβαζηα. ε. Γηα δύ ζπκπιεξωκαηηθά ελδερόκελα Α θαη Α ηζρύεη P A P A. Μοάδες 0 ΘΔΜΑ Β Γίλεηαη παξαθάηω πίλαθαο: f F 4 ι 4 5 θ 6 8 Σύλι 4 8 Αλ γλωξίδπκε όηη κ lm θαη όηη ζη θπθιηθό δηάγξακκα η ηόμ α 48 6 ηπ θπθιηθύ ηκέα είλαη ίζ κε 8 0, ηόηε: B. Να απδείμεηε όηη κ 0,8 θαη λ 0,5 B. Να κεηαθέξεηαη ζη ηεηξάδηό ζαο ηλ παξαπάλω πίλαθα θαη λα ηλ ζπκπιεξώζεηε. Μοάδες 4 Β. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζ. Μοάδες 6
Β4. Να εμεηάζεηε αλ η δείγκα είλαη κηγελέο. Μοάδες 6 Β5. Γίλεηαη επηπιέλ δεηγκαηηθόο ρώξο Ω ω,ω,ω,ω,ω,ω θαη ηα ελδερόκελα 4 5 6 Α ω,ω,ω θαη Β ω,ω,ω,ω. Αλ γηα ηηο πηζαλόηεηεο ηωλ απιώλ ελδερκέλωλ 4 5 6 ηπ Ω ηζρύεη P ω f,,,,4,5,6, λα ππιγίζεηε ηελ πηζαλόηεηα ηπ ελδερκέλπ P B A Μοάδες 4 ΘΔΜΑ Γ Έζηω,,, παξαηεξήζεηο κηαο κηγελύο κεηαβιεηήο Χ ππ αθιπζεί ηελ θαλληθή θαηαλκή. Γλωξίδπκε όηη η 5,85% ηωλ παξαηεξήζεωλ βξίζθεηαη ζη δηάζηεκα 7,9 Γ. Να απδείμεηε όηη γηα ηε κέζε ηηκή θαη ηε ηππηθή απόθιηζε ηπ παξαπάλω δείγκαηο ηζρύεη 0 θαη s Γ. Αλ επηιέμπκε ηπραία κία παξαηήξεζε ππιγίζεηε ηελ πηζαλόηεηα ηπ ελδερκέλπ Α,,,, / 9 Γ. Να ππιγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απόθιηζε ηωλ ηηκώλ y Μοάδες 4,,,, όππ c ξπζκόο κεηαβιήο ηεο f ln, 0 γηα e Μοάδες 6 Γ4. Γηα c λα βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηκέλεο (ε) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f ηπ εξωηήκαηο Γ ζη ζεκεί ηεο A,f Γ5. Αλ M,y ηπραί ζεκεί ηεο επζείαο (ε), ηόηε λα βξείηε: c, Μοάδες ) η κήθο ηπ ηκήκαηο ΟΜ, όππ Ο ε αξρή ηωλ αμόλωλ, ωο ζπλάξηεζε ηπ Μοάδες ) ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ηπ Μ από η Ο (ε απόζηαζε δύ ζεκείωλ A,y θαη B,y δίλεηαη από ηλ ηύπ AB y y ) ΘΔΜΑ Γ Έζηω Α θαη Β ηα ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθύ ρώξπ Ω. Γλωξίδπκε όηη: Η πηζαλόηεηα λα κελ πξαγκαηπηεζεί η Α είλαη 0,7 Η πηζαλόηεηα λα πξαγκαηπηεζεί η Β είλαη 0,55 Η πηζαλόηεηα λα πξαγκαηπηεζεί κόλ έλα από ηα Α, Β είλαη 0,65 Θεωξύκε επίζεο ηλ επόκελ πίλαθα θαηαλκήο
θιάζεηο f N F [0, ) 8 [, ) 0 P B A [, ) P A B [, ) P A B [, ) Σύλι Γ. Να απδείμεηε όηη P A B = 0, θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηπηεζεί η Β ή λα κελ πξαγκαηπηεζεί η Α. Μοάδες 7 Γ. Αλ ε κέζε ηηκή ηωλ παξαηεξήζεωλ γηα ηλ παξαπάλω πίλαθα θαηαλκήο είλαη 9, λα απδείμεηε όηη η πιάηο ηωλ θιάζεωλ είλαη c 4 Γ. Να κεηαθέξεηε ηλ παξαπάλω πίλαθα ζη ηεηξάδηό ζαο ζωζηά ζπκπιεξωκέλ θαη ζηε ζπλέρεηα λα θαηαζθεπάζεηε η ηζηόγξακκα πιύγωλ ηωλ απόιπηωλ ζπρληήηωλ. Μοάδες Γ4. Να ππιγίζεηε η εκβαδόλ ηπ ρωξίπ ππ πεξηθιείεηαη από η πιύγωλ ηωλ ζπρληήηωλ, ηλ ξηδόληη άμλα θαη ηηο επζείεο θαη 8 Γ5. Γίλεηαη ελδερόκελ Γ ηπ ίδηπ δεηγκαηηθύ ρώξπ Ω ηπ πίπ ε πηζαλόηεηα είλαη P Γ 0,65. Να απδείμεηε όηη: 0, P B Γ Ρ Α Γ 0,85 Γίλεηαη όηη: s θαη s t t ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΦΙΑ
ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΓΔΝΙΚΗ ΠΑΙΓΔΙΑ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 5 / 5 / 05 ΘΔΜΑ Α Α. Έζηω ε ζπλάξηεζε f, κε. Να απδείμεηε όηη f. μοάδες 8 Α. Έζηω,,, θ η ηηκέο κίαο κεηαβιεηήο Χ, ππ αθξά ηα άηκα ελόο δείγκαηο * κεγέζπο λ, όππ κ,, κε κ. Τη λκάδεηαη απόιπηε ζπρλόηεηα λ ππ αληηζηηρεί ζηελ ηηκή, κε =,,, θ; μοάδες 4 Α. Πόηε έλα πείξακα λκάδεηαη πείξακα ηύρεο; μοάδες Α4. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξηάζεηο ππ αθιπζύλ, γξάθληαο ζη ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάθος δίπια ζη γξάκκα ππ αληηζηηρεί ζε θάζε πξόηαζε. α. Αλ Α Β, ηόηε B A β. Σηελ θαλληθή θαηαλκή η 95% ηωλ παξαηεξήζεωλ βξίζθληαη ζη δηάζηεκα X s,x s γ. Η δηαθύκαλζε είλαη κέηξ ζέζεο. δ. Αλ ε ζπλάξηεζε f έρεη ζη 0 όξη έλα πξαγκαηηθό αξηζκό lm (f ) 0, ηόηε 0 lm (f ), δειαδή αλ ε. Οη αζξηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο ρξεζηκπηύληαη κόλ ζηελ πεξίπηωζε ππ έρπκε πηηηθέο κεηαβιεηέο. μοάδες 0 ΘΔΜΑ Β Γίλεηαη δεηγκαηηθόο ρώξο,,,4,5 θαη ηα ελδερόκελά ηπ: A / f 04 έχει ακρότατα / s 6 όππ s ε δηαθύκαλζε ηωλ αξηζκώλ: 4θ 7, θ, θ +, κε. Β. Να δείμεηε όηη A 4,5 θαη B,4,5 μοάδες 8 7 Β. Αλ επηπιέλ ηζρύεη PB 0 θαη P B A, λα ππιγίζεηε ηηο πηζαλόηεηεο ηωλ 0 ελδερκέλωλ: α. λα πξαγκαηπηείηαη κόλ η Α, μοάδες β. λα πξαγκαηπηείηαη ηπιάρηζηλ έλα από ηα Α θαη Β, μοάδες γ. λα πξαγκαηπηύληαη ζπγρξόλωο ηα Α θαη Β. μοάδες Β. Να βξεζεί ε κηθξόηεξε θαη ε κεγαιύηεξε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο Ρ X, όππ Χ είλαη ελδερόκελ ηπ Ω, ηέηη ώζηε A X B μοάδες 8
ΘΔΜΑ Γ Έλα δείγκα.000 παξαηεξήζεωλ,,,.000 κίαο κεηαβιεηήο X είλαη κηγελέο θαη αθιπζεί ηελ θαλληθή θαηαλκή. Γλωξίδπκε όηη.60 παξαηεξήζεηο βξίζθληαη ζη δηάζηεκα 8, ηπ πίπ ηα άθξα είλαη ραξαθηεξηζηηθέο ηηκέο ηεο θαλληθήο θαηαλκήο X s,x s,x s,x. Γ. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή X θαη ηελ ηππηθή απόθιηζε s ηωλ παξαπάλω παξαηεξήζεωλ. μοάδες 8 Γ. Γηα X 0 θαη s, λα βξείηε η πιήζο ηωλ παξαηεξήζεωλ ππ είλαη: α. πάλω από, β. ζη δηάζηεκα 0, Γ. Να ππιγίζεηε η άζξηζκα 000 μοάδες 6 μοάδες 5 X Γ4. Αλ y γηα,,,000, λα βξείηε ηελ ηππηθή απόθιηζε ηωλ y θαη ζηε ζπλέρεηα s λα εμεηάζεηε αλ ξίδεηαη ζπληειεζηήο κεηαβιήο ηωλ ηηκώλ απηώλ. μοάδες 6 ΘΔΜΑ Γ Έζηω Α θαη Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθύ ρώξπ Ω κε PA επίζεο ηε ζπλάξηεζε: 4 4 f 5 4 Γ. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε f ωο πξο ηε κληλία. 4 θαη PB. Θεωξύκε μοάδες 7 Γ. Να απδείμεηε όηη f f P A B f Γ. Γίλεηαη επίζεο παξαθάηω πίλαθαο: θιάζεηο λ [0, ) 4P A B [, ) 6 P A B [, ) f 0 Σύλι α. λα κεηαθέξεηε ηλ παξαπάλω πίλαθα θαη λα ηλ ζπκπιεξώζεηε, β. λα βξείηε ηε κέζε ηηκή, γ. λα βξείηε ηε πηζαλόηεηα λα πξαγκαηπηείηαη κόλ η Β. μοάδες 6 μοάδες 6 μοάδες μοάδες Γίλεηαη όηη: s θαη s t t