ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 45. 4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Το ομοιόθετο σημείου ν πάρουμε δύο σημεία Ο, και στην ημιευθεία Ο πάρουμε ένα σημείο ', τέτοιο ώστε Ο = 2 O, τότε λέμε ότι το σημείο είναι ο- μοιόθετο του με κέντρο Ο και λόγο λ = 2. ν σημείο της ημιευθείας Ο, τέτοιο ώστε Ο = Ο, τότε το 2 είναι ομοιόθετο του με κέντρο Ο και λόγο λ = 2. Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε το ομοιόθετο ενός σημείου με κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται ομοιοθεσία. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο ομοιοθεσίας, ενώ αριθμός λ ονομάζεται λόγος ομοιοθεσίας. Προφανώς το κέντρο Ο έχει ομοιόθετο τον εαυτό του. Το ομοιόθετο ευθυγράμμου τμήματος Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2 το ομοιόθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το ευθύγραμμο τμήμα, όπου, τα ομοιόθετα των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος. Επειδή Ο = 2 Ο και Ο = 2 Ο θα Ο Ο έχουμε = = 2,οπότε //. Ο Ο ενικά τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα.
46 ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Το ομοιόθετο γωνίας ια να βρούμε το ομοιόθετο μιας γωνίας x ˆ y με κέντρο Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ ( π.χ. λ = 2 ), παίρνουμε ένα σημεία στη πλευρά x, ένα σημείο στη πλευρά y και βρίσκουμε τα σημεία ', ', που είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των,,. Ορίζεται έτσι η γωνία x ˆ y = ˆ που είναι ομοιόθετη της γωνίας x ˆ y. ν συγκρίνουμε τις δύο γωνίες διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες, δηλαδή, x ˆ y = x ˆ y. Άρα Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες. Το ομοιόθετο πολυγώνου Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2, το ομοιόθετο ενός τετραπλεύρου είναι το τετράπλευρο, όπου,, είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των κορυφών του,,,. Οι πλευρές και οι γωνίες του τετραπλεύρου είναι ομοιόθετες με τις α- ντίστοιχες πλευρές και γωνίες του, οπότε ισχύουν A = = = = 2 και ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ =. ˆ ύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Οι ανάλογες πλευρές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες.
ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 47 ν το πολύγωνο Π είναι ομοιόθετο του Π με λόγο λ, τότε το Π είναι - μεγέθυνση του Π, όταν λ > - σμίκρυνση του Π, όταν 0 < λ < και - ίσο με το Π, όταν λ =. Το ομοιόθετο κύκλου ια να βρούμε το ομοιόθετο ενός κύκλου ( Κ, ρ ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ(π.χ.λ=2), παίρνουμε ένα σημείο A στoν κύκλο ( Κ, ρ ) και βρίσκουμε τα σημεία Κ, που είναι αντιστοίχως τα ο- μοιόθετα των Κ,. Ορίζεται έτσι ένας κύκλος (Κ, ρ ), όπου ρ = Κ, που είναι ομοιόθετος του κύκλου ( Κ, ρ ). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά.στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο α) λ = 5 το ομοιόθετο του είναι το β) λ = 2 το ομοιόθετο του είναι το.. γ) λ = το ομοιόθετο του είναι το.. δ) λ = 5 το ομοιόθετο του Ε είναι το.. ΠΝΤΗΣΗ α) λ = 5 το ομοιόθετο του είναι το Ε β) λ = 2 το ομοιόθετο του είναι το γ) λ = το ομοιόθετο του είναι το δ) λ = 5 το ομοιόθετο του Ε είναι το
48 ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 2. Σε ποια από τα παρακάτω σχήματα τα πολύγωνα είναι ομοιόθετα; ΠΝΤΗΣΗ Επειδή η τετραγωνισμένη επιφάνεια στην οποία βρίσκονται τα παραπάνω σχήματα, μας δίνει την δυνατότητα να συγκρίνουμε πλευρές και γωνίες παρατηρούμε ότι στο πρώτο και το τρίτο σχήμα τα πολύγωνα είναι ομοιόθετα ενώ στο δεύτερο σχήμα δεν είναι ομοιόθετα.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Ευθύγραμμο τμήμα Κέντρο ομοιοθεσίας Λόγος ομοιοθεσίας Ομοιόθετο τμήματος ΚΡ ΡΝ ΣΜ ΣΜ ΚΡ Λ ΠΝΤΗΣΗ Ευθύγραμμο τμήμα Κέντρο ομοιοθεσίας Λόγος ομοιοθεσίας Ομοιόθετο τμήματος ΚΡ ΡΝ /2 ΣΜ ΣΜ / ΚΡ Λ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΛΗΜΤ ΣΚΗΣΗ Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά cm. α) Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του με κέντρο και λόγο ί) λ= ii) λ =2. 2 β) Να υπολογίσετε τις πλευρές των τετραγώνων που σχεδιάσατε..
ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 49 α) ια τον σχεδιασμό του ομοιοθέτου του με κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο λ = 2, που είναι το ΕΖΗ βρίσκουμε την θέση των σημείων : A Ε Η Ζ Κ Ε : έτσι ώστε Ε = 2, που είναι το μέσο της πλευράς Θ Ι Ζ : έτσι ώστε Ζ = 2, που είναι το μέσο της διαγωνίου Η : έτσι ώστε Η = 2, που είναι το μέσο της πλευράς ια τον σχεδιασμό του ομοιοθέτου του με κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο λ = 2, που είναι το ΘΙΚ βρίσκουμε την θέση των σημείων, Θ και Ι διπλασιάζοντας τις πλευρές και αντίστοιχα και το σημείο Ι διπλασιάζοντας την διαγώνιο. β) Είναι Ε = ΕΖ = ΖΗ = Η = =, 5 cm και αντίστοιχα για το ΘΙΚ 2 είναι Θ= ΘΙ = ΙΚ = Κ = 2 =6 cm ΣΚΗΣΗ 2 Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθετες πλευρές = 2 cm και = 9cm. Με κέντρο την κορυφή και λόγο λ = 2 να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου και να υπολογίσετε τις πλευρές του. ρίσκουμε τα ομοιόθετα των σημείων και που είναι αντίστοιχα τα σημεία και Ε αντί- Ε στοιχα έτσι ώστε : = 2 = 2 2cm = 8cm και AE = 2 = 2 9cm = 6cm.
440 ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Θα υπολογίσουμε τώρα την υποτείνουσα του με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος. Έτσι έχουμε : () 2 = () 2 + () 2 = (2cm) 2 + (9cm) 2 = 44cm 2 + +8cm 2 = 225cm 2,οπότε = 225cm 2 2 2 = 5 cm και Ε = = 5cm = 0cm. ΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου του διπλανού σχήματος με κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο Ο εκτός του τριγώνου και λόγο λ =. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του νέου τριγώνου. Επειδή το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισο- σκελές, είναι = = Ο 2cm. Με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος θα υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας. Είναι () 2 = () 2 + () 2 = (2cm) 2 + (2cm) 2 = 4cm 2 + 4cm 2 = 8cm 2 Άρα = 8cm 2 = 4 2 cm = 4 2 cm= 2 2 cm. ρίσκουμε τα ομοιόθετα, και των σημείων, και έτσι ώστε : Ο = (Ο), Ο = (Ο) και Ο = (Ο). Είναι τέλος = () = (2cm) = 6cm, = (2cm) = 6cm και = () = (2 2 cm) = 6 2 cm ΣΚΗΣΗ 4 Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο ενός κύκλου ( Ο, ρ ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο λ =. Να αποδείξετε ότι ο νέος κύκλος θα έχει τριπλάσιο μήκος και εννιαπλάσιο εμβαδόν.
ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 44 Επειδή το κέντρο ομοιοθεσίας Ο συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου, οι δύο κύκλοι θα είναι ομόκεντροι.εάν τώρα είναι ένα τυχαίο σημείο του κύκλου ( Ο,ρ ) τότε για να βρούμε το ομοιόθετό θα σχεδιάσουμε το τμήμα Ο = (Ο) = ρ. Ο ομοιόθετος κύκλος του ( Ο,ρ ) θα έχει ακτίνα R = ρ. Το μήκος S του κύκλου (Ο,ρ) είναι S = 2πρ. ντίστοιχα το μήκος S του κύκλου (Ο, R) είναι S = 2πR = 2π(ρ) = 6πρ = (2πρ) = S. Το εμβαδόν του κύκλου (Ο,ρ) είναι Ε = πρ 2, ενώ το εμβαδόν Ε = π(ρ) 2 = π 9ρ 2 = 9πρ 2 = =9Ε. Επομένως έχει εννεαπλάσιο εμβαδόν. Ο ΣΚΗΣΗ 5 Να τοποθετήσετε στο σχήμα τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ αν γνωρίζετε ότι: - Το Κ είναι ομοιόθετο του με κέντρο και λόγο /. - Το είναι ομοιόθετο του Λ με κέντρο Κ και λόγο 2. - Το ΛΜ είναι ομοιόθετο του με κέντρο και λόγο 2/. - Το είναι ομοιόθετο του ΚΝ με κέντρο και λόγο. Το Κ είναι ομοιόθετο του με κέντρο και λόγο /, σημαίνει ότι Κ =. Το είναι ομοιόθετο του Λ με κέντρο Κ και λόγο 2 σημαίνει ότι Κ = 2ΚΛ. Το ΛΜ είναι ομοιόθετο του με κέντρο ΛΜ 2 και λόγο 2/ σημαίνει ότι =. Το είναι ομοιόθετο του ΚΝ με κέντρο και λόγο σημαίνει ότι = ΚΝ Μ Λ Ν Κ
442 ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ ΣΚΗΣΗ 6 Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου τέμνονται στο σημείο Κ. Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του με λόγο 2 και κέντρο ομοιοθεσίας α) το σημείο Κ β) το σημείο γ) ένα εξωτερικό του σημείο. Να συγκρίνετε τα τρία ομοιόθετα σχήματα και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Στην περίπτωση που το κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο Κ τότε το ομοιόθετο του με κέντρο το Κ και λόγο λ=2 είναι το, το ομοιόθετο του με κέντρο το Κ και λόγο λ=2 είναι το, το ομοιόθετο του με κέντρο το Κ και λόγο λ=2 είναι το, το ομοιόθετο του με κέντρο το Κ και λόγο λ=2 είναι το. ηλαδή το ομοιόθετο του είναι το ίδιο το. β) Στην περίπτωση που το κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο τότε το ομοιόθετο του με κέντρο το και λόγο λ=2 είναι το ίδιο το, το ομοιόθετο του με κέντρο το και λόγο λ=2 είναι το, το ομοιόθετο του με κέντρο το και λόγο λ=2 είναι το, το ομοιόθετο του με κέντρο το και λόγο λ=2 είναι το. ηλαδή το ομοιόθετο του είναι το ίδιο το όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ) Και στην τρίτη περίπτωση ό- πως φαίνεται στο διπλανό σχήμα το ομοιόθετο του είναι το και είναι όπως στις άλλες περιπτώσεις ίσο με το αρχικό = Κ = Μ = = ΣΚΗΣΗ 7 Σ' ένα τετραγωνισμένο χαρτί να χαράξετε ένα σύστημα αξόνων και να πάρετε τα σημεία (-,), (2,2) και (0,-2). α) Να σχεδιάσετε τρίγωνο ομοιόθετο του με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο λ = 2. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Με ποια σχέση συνδέονται οι συντεταγμένες των κορυφών των δύο τριγώνων ;
ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 44 β) Να σχεδιάσετε τρίγωνο ομοιόθετο του με κέντρο το σημείο Κ(,), λόγο λ = 2 και να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Ισχύει η ανάλογη σχέση για τις συντεταγμένες των κορυφών αυτών των τριγώνων ; α) Οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου φαίνονται στο διπλανό σχήμα Οι συντεταγμένες βλέπουμε του είναι διπλάσιες από τις συντεταγμένες του. β) Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει ανάλογη σχέση για τις συντεταγμένες των κορυφών αυτών των τριγώνων. (-2,2) (-,) 4 2-6 -4-2 2 4 6 Ο (-,) (-,) - -2 - -4 5 4 2 - -2 - (0,-2) (0,-4) (2,2) Κ(,) (2,2) (,) (4,4) -8-6 -4-2 2 4 6 8 (0,-2) ΣΚΗΣΗ 8 (-,-5) -4-5 Στις πλευρές, τριγώνου να ορίσετε τα σημεία, Ε αντιστοίχως, ώστε = Ε και Ε =. Να αποδείξετε ότι Ε// και Ε =.
444 ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Επειδή είναι : Ε = = συμπεραίνουμε ότι Ε //. κόμα όμως συμπεραίνουμε ότι το Ε είναι ομοιόθετο του, άρα Ε =, αφού ο λόγος ομοιοθεσίας είναι λ=. ΣΚΗΣΗ 9 Να κατασκευάσετε το ομοιόθετο του πενταγώνου Ε στην ο- μοιοθεσία κατά την οποία τα σημεία, είναι ομοιόθετα των κορυφών, αντιστοίχως. Παρατηρούμε ότι το κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο τομής των και,δηλαδή το Κ και ο 5 λόγος ομοιοθεσίας είναι λ =. 2 Κατασκευάζουμε και τα ομοιόθετα των άλλων κορυφών, και Ε όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα οπότε δημιουργείται το ομοιόθετο του πενταγώνου το Ε. Κ Ε Ε