Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn

Σχετικά έγγραφα
Κρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Παραγωγή μεγάλων πρώτων αριθμών

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Αλγεβρικές παραστάσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ

project RSA και Rabin-Williams

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών

Τι είναι τα πολλαπλάσια ;

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

a = a a Z n. a = a mod n.

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Ασκήσεις και δραστηριότητες

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Αριθμητής = Παρονομαστής

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Transcript:

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn if b i =1 then z=zx (modn) παράδειγμα Δίνονται x=5, b=65, n=103 1.Το b στο δυαδικό σύστημα γράφεται b= 6 + 0 = 64+1. Η εφαρμογή του αλγορίθμου φαίνεται στον πίνακα: i b i Z 6 1 1 *5=5 5 0 5 =5 4 0 5 =65=7(mod103) 3 0 7 =49 0 49 =3 (mod 103) 1 0 3 =97 (mod 103) 0 1 97 *5=77 (mod 103) Παράδειγμα Δίνονται x=37, b=117, n=34. Θέλουμε να υπολογιστεί το z=x b modn= 37 117 mod34 1.Το b στο δυαδικό σύστημα γράφεται b= 6 + 5 + 4 + + 0. Η εφαρμογή του αλγορίθμου φαίνεται στον πίνακα: i b i Z 6 1 1 *37=37 5 1 37 *37=109 (mod 34) 4 1 109 *37=53(mod 34) 3 0 53 =181 (mod 34) 1 181 *37 =73 (mod 34) 1 0 73 =145 (mod 34) 0 1 145 *37=1 (mod 34) Άσκηση 976 3533 mod( 11413). Κρυπτογράφηση του μηνύματος «ΕΠΙΘΕΣΗ ΣΤΙΣ ΟΚΤΩ» l 1

Tests Παραγοντοποίησης Πρόταση: Άν δεν υπάρχει πρώτος p < n που να διαιρεί το n τότε ο n είναι πρώτος. Ισοδύναμα: Αν ο n σύνθετος τότε έχει διαιρέτη διάφορο της μονάδας και μικρότερο από το n Απόδειξη: n σύνθετος n=ab (a>1, b>1) Αν a,b μεγαλύτεροι από n τότε ΑΤΟΠΟ a > n και b > n δηλαδή ab > n Ορισμός: Ένας Monte Carlo πιθανοθεωρητικός αλγόριθμος είναι ένας αλγόριθμος στον οποίο η απάντηση yes είναι πάντα σωστή ενώ η απάντηση no μπορεί να είναι και λάθος. Λέμε ότι ο αλγόριθμος έχει πιθανότητα λάθους e όταν δίνει τη λάθος απάντηση no με πιθανότητα το πολύ e. Τετραγωνικό Υπόλοιπο: p P, p, x Z, 1 x p-1 Ο x λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο mod p όταν η ισοδυναμία y b =x modp με y Z p έχει λύση. Παράδειγμα1 P=17, x=5 τότε η y =5 mod17 έχει λύση? Δηλαδή υπάρχει κλάση y mod17 τέτοια ώστε y =5 mod17? Παίρνω όλα τα y=0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,13,14,15,16,17 και τα υψώνω στο τετράγωνο. Έπειτα για mod17 βλέπω ποιο θα μου δώσει 5. Είναι y = 0,1,4,9,16,8,,-,-4, Τελικά το 5 δεν βρέθηκε άρα η ισοδυναμία δεν έχει λύση. Παράδειγμα P=5 και y = mod5. Να βρεθεί αν η ισοδυναμία έχει λύση. y 0 1 3 4 y 0 1 4 4(mod5) 1(mod5) Η ισοδυναμία δεν έχει λύση, δηλαδή το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod5. ος τρόπος (Κριτήριο του Euler) p 1 x τετραγωνικό υπόλοιπο modp x = 1(mod p) 5 1 Για p=5, x= έχω x = 1(mod5)

Σύμβολο Legendre α Ν, 0, αν a 0(mod p) a = 1, αν α τετραγωνικό υπόλοιπο mod p p 1, αν α όχι τετραγωνικό υπόλοιπο mod p Ισχύει αν p P, p, α Ν τότε a p a p 1 mod p Αν n=p a1 1 p a p as s, n 1() και α Ν τότε το σύμβολο του Jacobi ορίζεται a s i a a πολλαπλασιαστικά: : = n i = 1 p i Συμπέρασμα: Αν n Ν, n>1, n περιττός τότε n 1 a 1) Αν n = πρώτος a mod n για κάθε α n n 1 a ) Αν n =σύνθετος για κάποιο α μπορεί να ισχύει a mod n n Π.χ. για α=10 και n=91 ισχύει αν και ο n δεν είναι πρώτος. ή όχι. Ορισμός: Τέτοια n λέγονται ψευδοπρώτοι (του Euler) ως προς τη βάση α. Ισχύει: Για κάθε περριττό σύνθετο n, ο n είναι ψευδοπρώτος για το πολύ τους μισούς από τους ακεραίους α, 1 α n-1. Με βάση τα παραπάνω διατυπώνουμε το ακόλουθο Test των Solovay-Strassen n Ν, n περιττός 1. Εκλέγουμε τυχαία έναν ακέραιο α, 1 α n-1 n 1 a. Αν a mod n τότε : απάντηση= «Ο n είναι πτρώτος» n Αλλιώς: απάντηση= «Ο n είναι σύνθετος» Συμπέρασμα: Το test των Solovay-Strassen είναι ένας Monte Carlo αλγόριθμος με πιθανότητα λάθους το πολύ ½. Αν δώσει απάντηση «ο n είναι σύνθετος» είναι σωστή, αλλιώς μπορεί να είναι σωστή ή λάθος.

a n m1 m 1. Αν n περιττός ακέραιος και m 1 m (modn) = n n Κανόνες Υπολογισμού συμβόλου του Jacobi. Aν n περιττός ακέραιος τότε: 1, αν n ± 1(mod8) = n 1, αν n ± 3(mod8) m1 m m1 m 3. n=1() = * n n n Ιδιαίτερα αν m= k m t, t περιττός = n n k t * n 4. Αν m,n περιττοί ακέραιοι n, m m = n n, m αν m n 3(mod 4) σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ1: 7411 Ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή άρα δεν 983 χρησιμοποιώ την ιδιότητα (1). Ο αριθμητής δεν έχει άρα δεν χρησιμοποιώ ούτε την ιδιότητα (). Από την ιδιότητα (4): 7411 3(mod 4) 983 3(mod 4) Οπότε: 7411 983 = λόγω της (4) 983 7411 187 = λόγω της (1) 7411 117 = 7411 7411 117 = 7411 7411 = 117 40 = 117 5 = 117 117 3 4 λόγω της (3) λόγω της () λόγω της (4) λόγω της (1) λόγω της (3)

5 = 117 λόγω της () 117 = 5 λόγω της (4) = 5 λόγω της (1) = -1 λόγω της () ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Θα αποδείξουμε ότι 10 91 1 10 mod91, δηλαδή ότι ο σύνθετος n=91=7*13 91 είναι ψευδοπρώτος ως προς τη βάση 10. 10 5 Καταρχήν υπολογίζουμε το σύμβολο του Jacobi = * 91 91 91 91 3(mod 8) = 1 91 10 5 91 Επομένως = = λόγω της (4) 91 91 5 1 = = 1 5 Αρκεί να δείξουμε ότι 10 45-1(mod 91). Είναι 10 3 1000-1 mod 91 οπότε 10 45 =( 10 3 ) 15 (-1) 15 (mod 91) (-1)(mod 91). Δηλαδή αποδείξαμε ότι 10 10 45 mod 91 91 Άλλα Tests Ελέγχου Πρώτων Αριθμών Test ελέγχου πρώτων αριθμών δοκιμής και επιτυχίας Έστω n περιττός ακέραιος. Παίρνουμε έναν περιττό ακέραιο m και ελέγχουμε αν m/n. Αν m 1,n και m/n τότε ο n είναι σύνθετος. Αν m 1,n αλλά όχι m/n τότε παίρνουμε άλλον m. Αφήνουμε το m να διατρέξει τους περιττούς ακεραίους από 3 μέχρι και n. Αν πάντα ο m δεν διαιρεί τον n τότε ο n είναι πρώτος. Το test αυτό είναι ιδιαίτερα χρονοβόρο, αλλά πρακτικό για μικρά n.

Παραγοντοποίηση Fermat Η μέθοδος είναι αποτελεσματική όταν ο n είναι γινόμενο δύο ακεραίων που ο ένας είναι κοντά στον άλλο. Τότε ο n είναι ίσος με την διαφορά δύο τετραγώνων ένας από τους οποίους είναι πολύ μικρός. Πρόταση: Αν n θετικός περιττός ακέραιος μία 1-προς-1 αντιστοιχία ανάμεσα στις παραγοντοποιήσεις του n=ab, a b>0 και τις παραστάσεις του n της μορφής n=t -s, t,s N. H αντιστοιχία δίνεται από τις σχέσεις : a + b a b t =, s =, α=t+s, b=t-s a + b a b a + b a b Απόδειξη: Αν n=ab, γραφουμε : n=ab = οπότε t =, s = Αντίστροφα: Αν n=t -s παραγοντοποιούμε n=(t+s)(t-s). Η αντιστοιχία είναι 1-1. Αν a b τώρα n=ab κοντά τα a,b τότε ο s = είναι μικρός και ο t λίγο μεγαλύτερος του n Αλγόριθμος: Δοκιμάζουμε διαδοχικές τιμές του t, ξεκινώντας από t=[ n ]+1 μέχρι να βρούμε t - n= s τέλειο τετράγωνο. Παράδειγμα Έστω n=00819 τότε [ 00819 ]+1=449 449-00819=78 Παίρνουμε t=450 οπότε 450-00819=1681=41 00819= 450-41 = (450+41) (45041) = 491*409 Αν τα a,b όχι αρκετά κοντά τότε θα μπορούσαμε ίσως να παραγοντοποιήσουμε το n, αφού όμως προσπαθήσουμε αρκετές φορές: t= [ n ]+1, [ n ]+, Υπάρχει γενίκευση του αλγορίθμου που δουλεύει καλύτερα: Επιλέγουμε μικρό k και θέτουμε διαδοχικά t=[ kn ]+1, [ kn ]+,... μέχρι να βρούμε t -kn =s =. Τότε (t+s)(t-s)=kn. Αυτό σημαίνει ότι t+s και n έχουν κάποιο μη-τετριμμένο παράγοντα, τον οποίο υπολογίζουμε από Μ.Κ.Δ (t+s,n). Παράδειγμα: n=141467. Αν χρησιμοποιούσαμε τον παράγοντα Fermat θα θέταμε διαδοχικές τιμές t=377,378, Αν όμως θέσουμε t=[ 3 n ]+1=65, τότε 655-3*141467=68 οπότε ΜΚΔ(655+68,141467)=41 141467=41*587 Ο λόγος για τον οποίο η μέθοδος δουλεύει για k=3 είναι ότι το b 3α. Για k=3, κάνουμε μόνο 4 δοκιμές για τα t, ενώ αν βάζαμε k=1 θα χρειαζόταν 31 δοκιμές!!

Αν n N, n>1, n περιττός και n<10 1 ελέγχουμε αν n πρώτος δοκίμαζοντας όλους τους περιττούς ακεραίους μέχρι [ n ] αν διαιρούν το n. Για μεγάλους φυσικούς υπάρχουν πολλά tests. Θα αναφερθούμε στο (p-1). Pollard s (p-1) -μέθοδος Αν p κάποιος, προς το παρόν, άγνωστος πρώτος διαιρέτης του n και συμβεί ο p-1 να μην έχει μεγάλους πρώτους παράγοντες τότε: 1. Διαλέγουμε έναν ακέραιο k, ο οπίος είναι πολλαπλάσιο (σχεδόν) όλων των ακεραίων μικρότερων κάποιου φράγματος Β. (Το k=b! ή Ε.Κ.Π όλων των ακεραίων Β). Διαλέγουμε ακέραιο α, α n- (π.χ. α=) 3. Υπολογίζουμε για j= μέχρι Β (ή k) το α=α j modn. 4. Υπολογίζουμε d=μ.κ.δ.(α-1, n) 5. Αν 1<d<n τότε d/n (επιτυχία) αλλιώς δεν βρήκαμε διαιρέτη του n (αποτυχία). Σε περίπτωση αποτυχίας αλλάζουμε το α ή και το k και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Παράδειγμα: n=540143. Ας πάρουμε Β=8. k=ε.κ.π{1,,3,4,5,6,7,8}=840. Υπολογίζουμε το 840 mod540143=53047 και στη συνέχεια το Μ.Κ.Δ(540143,53047) =41. Επομένως, 540143=41*183. Test ελέγχου πρώτων αριθμών των Miller-Rabin 1. n περιττός ακέραιος και n-1 = k m.. Διαλέγουμε τυχαίαακέραιο α, 1 α n-1. 3. Yπολογίζουμε το b=a m modn. 4. Αν b=1modn τότε η απάντηση είναι «ο n είναι πρώτος» και quit. 5. για i=0 μέχρι k-1 κάνε 6. αν b= -1 modn τότε η απάντηση είναι «ο n είναι πρώτος» και quit. 7. αλλιώς b=b modn και η απάντηση είναι «ο n σύνθετος»