HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016 1 1
Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) 2/18/2016 2 2
Τι είδαµε µέχρι τώρα Προτασιακός λογισµός Προτάσεις (ατοµικές, σύνθετες) Τελεστές (not, and, or, xor, εάν...τότε) Πίνακες αληθείας Ταυτολογίες / αντιφάσεις Ισοδυναµία προτάσεων (µε βάση τους πίνακες αληθείας) 2/18/2016 3 3
Πάλι πίσω στη φυσική γλώσσα αν στην καθοµιλουµένη πούµε: (1) αν έρθει η Μαρία, θα πάω στο πάρτυ µάλλον εννοούµε (2) Θα πάω στο πάρτυ αν και µόνο αν η Μαρία πάει στο πάρτυ Τι νόηµα έχει στον προτ. λογ. η παρακάτω πρόταση; έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ Αν έρθει η Μαρία, τότε θα πάω στο πάρτυ. Η πρόταση αυτή όµως δεν µας λέει τι θα γίνει αν δεν έρθει η Μαρία στο πάρτυ Η (2) έχει άλλο νόηµα: Αν έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ αλλά και ταυτόχρονα, αν δεν έρθει η Μαρία, δεν θα πάω στο πάρτυ Εποµένως, για να αποδώσουµε το νόηµα της (2), χρειαζόµαστε ένα τελεστή διαφορετικό από τον («εάν τότε») 2/18/2016 4 4
Τελεστής «αν και µόνο αν» Η πρόταση p q είναι αληθής αν η p και η q έχουν την ίδια τιµή αληθείας. Η p q δεν σηµαίνει ότι η p και η q είναι αληθείς. Η p q δεν σηµαίνει ότι η µία από αυτές είναι η αιτία της άλλης Σηµειώστε ότι αυτός ο πίνακας αληθείας είναι η άρνηση της αποκλειστικής διάζευξης ηλαδή, p q (p q) p q p q F F T F T F T F F T T T 2/18/2016 5 5
Ας δούµε......την αλήθεια της p q, όπου 1. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =4 ΑΛΗΘΗΣ 2. p= Η Κρήτη δεν βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =5 ΑΛΗΘΗΣ 3. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= Το Τόκυο βρίσκεται στην Ελλάδα ΨΕΥ ΗΣ 2/18/2016 6 6
Η διαφορά µεταξύ και Έστω σύνθετες προτάσεις P και Q. Η πρόταση P Q είναι µία σύνθετη πρόταση. Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι η πρόταση P Q είναι ταυτολογία. H P Q είναι µία πρόταση για µία πρόταση Αντίστοιχη είναι και η διαφορά µεταξύ του τελεστή και της λογικής συνεπαγωγής 2/18/2016 7 7
Η διαφορά µεταξύ και Η P Qλέει αν η P και η Q έχουν την ίδια τιµή αληθείας. Η P Q λέει ότι καµία εκχώρηση τιµών αληθείας στις P και Q δεν µπορεί να κάνει την P Qψευδή Εποµένως, η P Qµπορεί µόνο να ισχύει µεταξύ επιλεγµένων σύνθετων προτάσεων P και Q.... Με άλλα λόγια, η P Q έχει την έννοια ότι Η P Qείναι ταυτολογία για οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις ατοµικές προτάσεις που συνθέτουν τις P, Q. 2/18/2016 8 8
Σχετικά µε την πρόταση p q Για µία πρόταση της µορφής p q: Η αντίστροφή της είναι: q p Η αντιθετική της είναι: p q Η αντιστροφοαντίθετή της είναι: q p Είναι κάποια από αυτές ισοδύναµη µε την p q; 2/18/2016 9 9
Απόδειξη της ισοδυναµίας της p q και της αντιστροφοαντίθετής της, χρησιµοποιώντας πίνακες αληθείας: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T 2/18/2016 10 10
Επίσης: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T Εποµένως, η αντίστροφη και η αντιθετική µιας πρότασης, είναι λογικά ισοδύναµες µεταξύ τους 2/18/2016 11 11
Ας δούµε ένα παράδειγµα Έστω p = το τρίγωνο Τ είναι ισόπλευρο Έστω q = το τρίγωνο Τ είναι ισοσκελές p q: Αν το Τ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισοσκελές q p: Αν το Τ δεν είναι ισοσκελές, τότε δεν είναι ισόπλευρο q p: Αν το Τ είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο p q: Αν το Τ δεν είναι ισόπλευρο, τότε δεν είναι και ισοσκελές 2/18/2016 12 12
Ανασκόπηση των τελεστών Είδαµε τον τελεστή άρνησης και πέντε δυαδικούς τελεστές: p q p p q p q p q p q p q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T 2/18/2016 13 13
Για να σκεφτούµε τώρα... Τελικά, πόσοι δυαδικοί τελεστές µπορούν να οριστούν; 2/18/2016 14 14
Για να σκεφτούµε τώρα... Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας µπορεί να είναι T ή F, εποµένως µπορούµε να έχουµε 2x2x2x2=16 δυαδικούς τελεστές p q Τελεστής F F? F T? T F? T T? 2/18/2016 15 15
Ανασκόπηση των τελεστών p q F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 2/18/2016 16 16
Παράδειγµα p q p τελεστής q F F T F T F T F F T T F 2/18/2016 17 17
Παράδειγµα p q p τελεστής q σύγκριση µε: p q F F T F F T F T T F F T T T F T Όνοµα: NOR 2/18/2016 18 18
Ανασκόπηση των τελεστών Όλοι οι τελεστές µπορούν να γραφούν ισοδύναµα µε χρήση µόνο των τελεστών άρνησης και σύζευξης. Πως µπορούµε να το δείξουµε αυτό; Έχουµε ήδη δείξει ότι έχοντας την άρνηση και την σύζευξη, µπορούµε να εκφράσουµε την διάζευξη. p q ( p q) Εποµένως, χρησιµοποιώντας αυτούς τους τρεις πλέον τελεστές, µπορούµε να «εκφράσουµε» τον κάθε πίνακα αληθείας πως;;; 2/18/2016 19 19
Ανασκόπηση των τελεστών περιγράφοντας τον πίνακα αληθείας του τελεστή. Π.χ., για τον τελεστή Ζ : p q p Z q F F F F T T T F F T T T p Ζ q ( p q) (p q) 2/18/2016 20 20
Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ατοµικές προτάσεις: p 1, p 2, p 3,.. Προτάσεις: Όλες οι ατοµικές προτάσεις είναι προτάσεις Για κάθε έκφρασηα, αν ηαείναι πρόταση, τότε η α είναι επίσης πρόταση Για κάθε έκφρασηακαιβ, εάν οι α,βείναι προτάσεις, και εάν ο L είναι κάποιος δυαδικός τελεστής, τότε και η (α L β) είναι πρόταση 2/18/2016 21 21
Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω εκφράσεις είναι προτάσεις σύµφωνα µε τον τυπικό αυτό ορισµό; p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/2016 22 22
Απλοποιώντας τα πράγµατα... Σύµβαση 1: οι εξωτερικές παρενθέσεις µπορούν να παραλειφθούν: Σύµβαση 2: η προσεταιριστικότητα µας επιτρέπει να παραλείψουµε κι άλλες παρενθέσεις, π.χ. οι p 1 p 2 p 3 και p 1 p 2 p 3 είναι πλέον προτάσεις 2/18/2016 23 23
Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω είναι προτάσεις, όταν χρησιµοποιούµε αυτές τις δύο συµβάσεις; p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/2016 24 24
Μερικοί εναλλακτικοί συµβολισµοί Όνοµα: not and or xor implies iff Προτασιακός λογισµός: Άλγεβρα Boole: p pq + C/C++/Java (λέξεις):! &&!= == C/C++/Java (bitwise): ~ & ^ Λογικές πύλες: 2/18/2016 25 25
Ένα πρόβληµα Ο Κώστας βρίσκεται σε µία χώρα που κατοικείται από δύο τύπους ανθρώπων, κάποιους που λένε πάντα την αλήθεια, και κάποιους που λένε πάντα ψέµατα. Θέλει να φτάσει στην πρωτεύουσα της χώρας, αλλά, φτάνοντας σε κάποια διασταύρωση, είναι σε δίλληµα για το εάν θα πρέπει να πάει δεξιά ή αριστερά. Για καλή του τύχη, βλέπει δύο ανθρώπους και αποφασίζει να τους ρωτήσει τι να κάνει. Αυτοί, θέλοντας να τον ταλαιπωρήσουν λίγο, του δίνουν τις εξής απαντήσεις: 2/18/2016 26 26
Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Τότε ο Α λέει: Α: O B λέει ψέµατα! Ο Β ξαναπαίρνει το λόγο και λέει: Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Ο Κώστας σηµειώνει κάτι σε ένα κοµµάτι χαρτί και αποφασίζει τελικά να πάρει τον αριστερό δρόµο ΕΚΑΝΕ ΚΑΛΑ;;;;; 2/18/2016 27 27
Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Α: O B λέει ψέµατα! Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα 2/18/2016 28 28
και η λύση του Έστω p = Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό Έστω q= O δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Έστω r= O Β λέει ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 29 29
και η λύση του Ξέρουµε ότι όλοι οι κάτοικοι αυτής της χώρας, και εποµένως και ο Β λέει πάντα αλήθεια ή πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 30 30
και η λύση του Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 31 31
και η λύση του Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 32 32
και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 33 33
και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια εποµένως η πρόταση του Α r= O B λέει ψέµατα! είναι αληθής!!! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 34 34
και η λύση του Άρα, p αληθής, q ψευδής δηλ. η πρόταση q= Oδρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα είναι ψευδής, κι εποµένως ο Κώστας έκανε καλά που έστριψε αριστερά! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 35 35
Έχουµε µάθει για: Τελεστές προτασιακού λογισµού Συµβολισµούς Γλωσσικά ανάλογα Πίνακες αληθείας Λογική ισοδυναµία Θα µάθουµε ακόµα: Περισσότερα για λογικές ισοδυναµίες. Πως να τις αποδεικνύουµε 2/18/2016 36 36
Νόµοι ισοδυναµίας Παρόµοιοι µε τις ταυτότητες στην άλγεβρα Πρότυπα που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να ταιριάξουµε ένα τµήµα µιάς άλλης πρότασης ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ: T τυχαία ταυτολογία F τυχαία αντίφαση 2/18/2016 37 37
Νόµοι ισοδυναµίας - παραδείγµατα Ουδέτερο στοιχείο: p T p p F p Απορροφητικό στοιχείο: p T T p F F p p p p p p ιπλή άρνηση: Αντιµεταθετική: Προσεταιριστική: p p p q q p p q q p (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 2/18/2016 38 38
Κι άλλοι νόµοι ισοδυναµίας Επιµεριστική: De Morgan s: (p q) p q (p q) p q p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Ταυτολογία/αντίφαση: p p T p p F Augustus De Morgan (1806-1871) 2/18/2016 39 39
Εναλλακτικοί ορισµοί τελεστών µέσω ισοδυναµιών Μερικές ισοδυναµίες µπορούν να θεωρηθούν ως ορισµοί ενός τελεστή βάση άλλων: XOR: Εάν...τότε: p q (p q) (p q) p q (p q) (q p) p q p q Αν και µόνο αν: p q (p q) (q p) p q (p q) 2/18/2016 40 40
Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: ( r s) s r. 2/18/2016 41 41
Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) ( r s) [De Morgan] r s [ ιπλή άρνηση] r s s r. [Αντιµεταθετική] 2/18/2016 42 42
Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (2) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: (p q) (p r) p q r. (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού του ] (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού της ] (p q) ((p r) (p r)) [DeMorgan] ( p q) ((p r) (p r)) συνεχίζεται... 2/18/2016 43 43
παράδειγµα, συνεχίζεται... ( p q) ((p r) (p r)) (q p) ((p r) (p r)) q ( p ((p r) (p r))) q ((( p (p r)) ( p (p r))) [προσεταιρ.] q ((( p p) r) ( p (p r))) [ταυτολογία] q ((T r) ( p (p r))) q (T ( p (p r))) q ( p (p r)) συνεχίζεται... [ αντιµεταθ.] [ προσεταιρ.] [επιµεριστική] [απορ. στοιχείο] [ουδέτερο στοιχείο] 2/18/2016 44 44
Τέλος παραδείγµατος q ( p (p r)) q ( p ( p r)) [DeMorgan] [Προσεταιριστική] q (( p p) r) [p p p] q ( p r) (q p) r p q r [Προσεταιριστική] [Αντιµεταθετική] Ο.Ε.. (όπερ έδει δείξαι το οποίο έπρεπε να δείξουµε...) 2/18/2016 45 45
Προτασιακός λογισµός Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων προτάσεων Έστω οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Τότε µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα εν έχει κρύο Πως; 2/18/2016 46 46
Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 47 47
Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 48 48
Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 49 49
Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 50 50
Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K 2/18/2016 51 51
Προτασιακός λογισµός Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι : ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ 2/18/2016 52 52
Προτασιακός λογισµός και µε βάση αυτά που λέγαµε νωρίτερα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ αποτελεί ταυτολογία! Μπορούµε να το κάνουµε είτε µε πίνακα αληθείας, είτε χρησιµοποιώντας λογικές ισοδυναµίες Θα επιχειρήσουµε το 2 ο 2/18/2016 53 53
Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 2/18/2016 54 54
Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] 2/18/2016 55 55
Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετη της 2) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 4. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 4) 5. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/18/2016 56 56