ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 1.1 [1 μονάδα] Αποδείξτε ότι η πρόταση ((p q) p) q είναι ταυτολογία (α) χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας (β) χωρίς πίνακες αλήθειας (α) p q p p q (p q) p ((p q) p) q T T F T F T T F F T F T F T T T T T F F T F F T (β) ((p q) p) q [((p q) p)] q ( (p q) p) q (p q) (p q) T (ορισμός του αν...τότε) (de Morgan) (προσεταιριστική) (ταυτολογία) Άσκηση 1.2 [1 μονάδα] Αν p: "x < 50" και q: "x > 40". (α) Γράψτε όσο μπορείτε πιο απλά τις παρακάτω προτάσεις a. p b. q c. p q d. p q e. p q f. p q (β) Μία από τις παραπάνω προτάσεις είναι πάντα αληθής και μία είναι πάντα ψευδής. Εντοπίστε τις (α) a. x 50 b. x 40 c. 40<x<50 d. x<50 ή x>40 e. x 50

2 f. x 50 και x 40 (β) Η (d) είναι αληθής για όλα τα x ενώ η (f) είναι πάντα ψευδής- δεν υπάρχει x που να την ικανοποιεί Άσκηση 1.3 [2 μονάδες] Μετατρέψτε τις παρακάτω προτάσεις σε προτάσεις του προτασιακού λογισμού. ΠΡΟΣΟΧΗ: Δηλώστε καθαρά πώς ορίζονται οι ατομικές προτάσεις (π.χ. p= Βρέχει, q= Θα πάω σινεμά κλπ 1. Παρόλο που βρέχει θα πάω για τρέξιμο 2. Η τρελάθηκα ή είδα έναν ιπτάμενο δίσκο (μπορεί και τα δύο!) 3. Δεν θα πάρω πτυχίο εκτός αν περάσω Διακριτά και Προγραμματισμό 4. Αν βρέχει θα πάω σινεμά διαφορετικά θα πάω για τένις 5. Ο ΠΑΟΚ θα πάρει το πρωτάθηλημα εκτός κι αν τιμωρηθεί, οπότε θα το πάρει ο Ολυμπιακός 6. Με την προϋπόθεση ότι ο Αργυρός είναι δίκαιος θα περάσω το ΗΥ118 αν διαβάσω 7. Αν δε νιώθω καλά την Κυριακή δεν θα πάω εκδρομή εκτός κι αν είναι ζέστη και λιακάδα 8. Αν με πιάσει θα με σκοτώσει εκτός κι αν πληρώσω το χρέος 9. Θα υπάρχω θες δε θες 10. Η παράδοση όλων των σετ ασκήσεων στο ΗΥ118 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να πάρω 10 στο μάθημα 1. Β: Βρέχει, Τ: Πάω για τρέξιμο Β Τ 2. Τ: Τρελλάθηκα, Ι: Είδα έναν ιπτάμενο δίσκο Τ Ι 3. Π: Παιρνω πτυχίο, Δ: Περνάω τα Διακριτά, Ρ: Περνάω Προγραμματισμό (Δ Ρ) Π Π (Δ Ρ) 4. Β: Βρέχει, Σ: Πηγαίνω σινεμά, Τ: Πηγαίνω για τένις (Β Σ) ( Β Τ) 5. Τ: Ο ΠΑΟΚ τιμωρείται, Π: Ο ΠΑΟΚ παίρνει πρωτάθλημα, Ο: Ο Ολυμπιακός παίρνει πρωτάθλημα ( Τ Π) (Τ Ο) 6. Α: Ο Αργυρός είναι δίκαιος, Δ: Διαβάζω, Π: Περνάω το ΗΥ118 Α (Δ Π) 7. Κ: Νιώθω καλά, Ζ: Κάνει ζέστη την Κυριακή, Λ: Έχει λιακάδα την Κυριακή, Ε: Πάω εδρομή Κ [ (Ζ Λ) Ε] 8. Π: Με πιάνει, Σ: Με σκοτώνει, Χ: Πληρώνω το χρέος Π ( Χ Σ) 9. Υ: Υπάρχω, Θ: Θες (Θ Υ) ( Θ Υ) (μάλιστα, μπορείτε να δείτε ότι η παραπάνω πρόταση είναι ισοδύναμη με την πρόταση Υ).

3 10. Π: Παραδίδω όλα τα σετ ασκήσεων, Α: Παίρνω 10 στο μάθημα ( Π Α) (Π Α) (Α Π) (Π Α) Άσκηση 1.4 [2 μονάδες] Ορίζουμε τον τελεστή ΟΥΤΕ που τον συμβολίζουμε με ως εξής: Η πρόταση p OYTE q είναι αληθής μόνο όταν και οι δύο προτασεις p και q είναι ψευδείς. Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι ψευδής 1. Δημιουργείστε τον πίνακα αλήθειας του τελεστή 2. Αποδείξτε οτι η p p είναι ισοδύναμη με την p 3. Αποδείξτε ότι η (p q) (p q) είναι ισοδύναμη με την p q 4. Βρείτε μια πρόταση ισοδύναμη με την p q χρησιμοποιώντας μόνο τον τελεστή 1. P q p q T T F T F F F T F F F T 2. P p p p T F F F T T 3. P q p q (p q) (p q) p q p q (από (2)) T T F T T T F F T T F T F T T F F T F F 4. Αν θυμηθούμε ότι p q p q και με βάση τα (2) και (3) η πρόταση που ζητάμε είναι η ((p p) q)) ((p p) q) Πράγματι ((p p) q)) ((p p) q) ((p p) q) p q p q Άσκηση 1.5 [2 μονάδες]

4 Χρησιμοποιείστε τις κατάλληλες πύλες (OR, NOT, AND κλπ) για να μετατρέψετε σε λογικό κύκλωμα την πρόταση ( p q) ( p (s q)). Φροντίστε να κάνετε όσο το δυνατόν μεγαλύτερη οικονομία στις πύλες. Η «σπάταλη» λύση είναι η: Αν όμως αντικαταστήσουμε τις πύλες ΝΟΤ και OR με NOR και περιορίσουμε τους πολλαπλούς υπολογισμούς (π.χ. το p υπολογίζεται 2 φορές) το κύκλωμά μας μπορεί να γίνει «οικονομικότερο»: Άσκηση 1.6 [2 μονάδες] Dr Watson: Το έγκλημα, αν δεν το έκανε η υπηρέτρια ή ο μπάτλερ το έκανε ο μάγειρας ή ο κηπουρός. Αν το έγκλημα έγινε στο γραφείο τότε το περίστροφο ήταν το φονικό όπλο. Επιπλέον, αν το περίστροφο ήταν το φονικό όπλο τότε το έκανε ο μπάτλερ. Ο μάγειρας το έκανε αν και μόνο αν το έγκλημα έγινε στη τραπεζαρία. Αλλά δεν έγινε ούτε στη τραπεζαρία ούτε στο γραφείο. Ο κηπουρός το έκανε μόνο αν ήταν ερωτευμένος με την υπηρέτρια και, αν ήταν ερωτευμένος με την υπηρέτρια τότε ο θάνατος προκλήθηκε από δηλητήριο. Αλλά απ την άλλη, αν ο θάνατος δεν προκλήθηκε από δηλητήριο, τότε είτε το έκανε ο μάγειρας είτε δεν το έκανε υπηρέτρια. Δεν είναι αλήθεια ότι το περίστροφο ήταν το φονικό όπλο ή ότι ο θάνατος προκλήθηκε με δηλητήριο. Sherlock Holmes: Στοιχειώδες Watson. Φυσικά ο μπάτλερ το έκανε Τυποποιείστε το απόσπασμα του Arthur Conan Doyle και αποδείξτε ότι ο Sherlock Holmes έχει δίκιο.

5 Έστω: Μ: To έκανε ο Μάγειρας, Κ: Το έκανε ο κηπουρός, Υ: Το έκανε η Υπηρέτρια, Β: Το έκανε ο Μπάτλερ, Γ: Έγινε στο γραφείο, Τ: Έγινε στην τραπεζαρία, Δ: Έγινε με δηλητήριο, Π: Έγινε με περίστροφο, Ε: Ο κηπουρός είναι ερωτευμένος με την υπηρέτρια Οι προτάσεις του Dr Watson μεταφέρονται ως εξής 1. (Υ Β) (Μ Κ) 2. Γ Π 3. Π Β 4. Μ Τ 5. Τ Γ 6. Κ Ε 7. Ε Δ 8. Δ Μ Υ 9. (Π Δ) Από την (9) και εφόσον (Π Δ) Π Δ προκύπτει ότι Π: Ψευδής και Δ: Ψευδής Από την 7 και εφόσον Δ: Ψευδής προκύπτει ότι Ε: Ψευδής Από την 6 και εφόσον Ε: Ψευδής προκύπτει και οτι Κ: Ψευδής Από την 5 προκύπτει ότι T:Ψευδής και Γ:Ψευδής άρα και λόγω της 4 M:Ψευδής Εφόσον Δ: Ψευδής, άρα Δ: Αληθής, από την 8 προκύπτει ότι Μ Υ: Αληθής Αλλά Μ:Ψευδής, άρα και Υ:Ψευδής ( Υ:Αληθής) Στην (1) to 2o μέλος είναι Ψευδής (K:Ψευδής και M: Ψευδής) άρα υποχρεωτικά και το 1 ο μέλος είναι Ψευδής άρα το Υ Β είναι Αληθής. Εφόσον όμως Υ:Ψευδής τότε αναγκαστικά Β:Αληθής Άρα, πράγματι, ένοχος είναι ο μπάτλερ!!!