ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών. Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ακέραιοι με β 0. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με. Είναι, δηλαδή, Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το = {, -3, -2, -, 0,, 2, 3,...}, ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το = {0,, 2, 3,...}. Για τα σύνολα Τα σύνολα α = α,β β,, και ισχύει:. ακέραιοιμε β 0 -{0}, -{0}, -{0} και -{0} τα συμβολίζουμε α β, όπου α, β συντομότερα με *, *, * και * αντιστοίχως. Πράξεις και διάταξη στο Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθεια τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Οι ιδιότητες των πράξεων αυτών είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις. Στη συνέχεια ορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίας είναι οι: ) Αν α β και β γ, τότε α γ

2) α β α + γ β + γ 3) α β αγ βγ ενώ α β αγ βγ,όταν,όταν γ 0 γ 0 4) Αν α β και γ δ,τότε α γ β δ α β και γ δ Αν και, τότε αγ βδ α, β, γ, δ 0 5) Αν α, β 0 και v *, τότε ισχύει η ισοδυναμία: α β α ν β ν α 6) 0 (αβ 0 και β 0) β 7) Αν αβ > 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία α β. α β Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α, β με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, β) = { α < < β}: ανοικτό διάστημα [α, β] = { α β}: κλειστό διάστημα [α, β) = { α < β}:κλειστό-ανοικτό διάστημα (α, β] = { α < β}: ανοικτό-κλειστό διάστημα. Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, ) = { > α} (α, ) = { α} (, α) = { < α} (, α) = { α} Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με (, ).

Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής: α α, αν α, αν α 0 α 0 Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, ενώ η απόλυτη τιμή του α-β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β. Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: ) α 2 = α 2 2) 3) αβ = α. β 4) α 2 α α β α β 5) α β α+β α + β 6) - 0 < δ 0 - δ < < 0 + δ, δ> 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα: i) Α ii) Α 2 Λύση i) Είναι 0-0 0 και 0 < 0 ή. Άρα Α = -, 0,.

ii) Είναι Άρα A,. 3 2 2 3 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A των τετμημένων των σημείων της C f. β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(a) των τεταγμένων των σημείων της C f. γ) Η τιμή της f στο 0 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας = 0 και της C f. Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f, μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων -f και f. α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης - f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (, -f()) που είναι συμμετρικά των Μ(, f()), ως προς τον άξονα. β) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. Για τις μετατοπίσεις γραφικών παραστάσεων ισχύουν: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = φ() +, με > 0 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδες προς τα πάνω.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = φ()-, με >0 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδες προς τα κάτω. = φ()+ = φ() = φ() 0 0 = φ()- β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = φ(-), με > 0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδες προς τα δεξιά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = φ(+), με > 0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδες προς τα αριστερά. = φ(+) = φ() 0 0-0 0 0 0 + = φ(-) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: α) Για να βρούμε τα σημεία τομής της C f με τον, θέτω f() = 0, δηλ. = 0 και παίρνω τα αντίστοιχα με τον, θέτω = 0 και παίρνω το αντίστοιχο. Σε κάθε περίπτωση πρέπει A f β) Για να βρούμε τα A f για τα οποία η C f βρίσκεται: πάνω από τον, λύνω στο Α f την ανίσωση f()>0 κάτω από τον, λύνω στο Α f την ανίσωση f()<0. γ) Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού Α f, A g αντίστοιχα. Για να βρούμε για ποια A με Α = Α f A g, η C f : τέμνει τη C g, λύνω στο Α την εξίσωση f() = g() βρίσκεται πάνω από τη C g, λύνω στο Α την f() > g() βρίσκεται κάτω από τη C g, λύνω στο Α την f() < g(). δ) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α f θα λέμε ότι είναι: άρτια, όταν για κάθε A, ισχύουν: i) και -A, ii) f(-) = f()

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα. περιττή, όταν για κάθε A, ισχύουν: i) και -A, ii) f(-) = -f() Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο (0, 0). Γραφικές παραστάσεις γνωστών βασικών συναρτήσεων Η πολυωνυμική συνάρτηση f() = α + β Η πολυωνυμική συνάρτηση f() = α 2, α 0 Η πολυωνυμική συνάρτηση f() = α 2 + β + γ, α 0, Α f = R Η γραφική παράσταση της f είναι μια παραβολή, όπου: β Δ Η κορυφή της συμπίπτει με το σημείο K, και 2α 4α β Ο άξονας συμμετρίας της συμπίπτει με την ευθεία = 2α α > 0 Δ > 0 α > 0 Δ = 0 α > 0 Δ < 0 0 2 0 0 0 2 0 0 α < 0 Δ > 0 α < 0 Δ = 0 α < 0 Δ < 0

Η πολυωνυμική συνάρτηση f() = α 3, α 0. α Η ρητή συνάρτηση f() =, α 0. α Η ρητή συνάρτηση f() =, α 0.

, 0 Επειδή g() =, η γραφική παράσταση της = αποτελείται από δύο, 0 κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της = και ο άλλος η συμμετρική της ως προς τον άξονα. Οι τριγωνικές συναρτήσεις: f() = ημ, f() = συν, f() = εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις f() = ημ και f() = συν είναι περιοδικές με περίοδο Τ =2π, ενώ η συνάρτηση f() = εφ είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η εκθετική συνάρτηση f() = α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: 2 αν α >, τότε: α α 2 ενώ 2 αν 0 < α <, τότε: α α Η λογαριθμική συνάρτηση f() = log α, 0 < α. 2

Υπενθυμίζουμε ότι: ) log α = α = 4) log α ( 2 ) = log α + log α 2 2) log α α log = και α α 5) logα = log α - log α 2 2 k 3) log α α = και log α = 0 6) log α = κlog α 7) αν α >, τότε: log α < log α 2 < 2 ενώ αν 0 < α <, τότε: log α < log α 2 > 2. 8) α = e lnα, αφού α = e lnα. Οι παραπάνω τύποι ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. ) Πεδίο ορισμού συνάρτησης Όταν γνωρίζωτον τύπο της f τότε πεδίο ορισμού θεωρείται το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οοποίο η f() έχει νόημα πραγματικού αριθμού, έστι όταν ο τύπος της f περιέχει i) κλάσμα: απαιτώ ο παρονομαστής να είναι 0 ii) ριζικό κάθε τάξης: απαιτώ το υπόριζο να είναι 0 iii) λογάριθμο: απαιτώ η λογαριθμιζόμενη ποσότητα να είναι > 0. 2) Ισότητα συναρτήσεων Ορισμός: Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού τα Α f, Α g αντίστοιχα τότε ισχύει: f = g Af Ag A(ί ί ύ) f() g(), A(ί ύ ) Όταν μου ζητάνε να εξετάσω αν δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, ακολουθώ την εξής διαδικασία Αρχικά εξασφαλίζω την ισότητα των Α f, Α g i) Αν Α f Α g τότε και f g. ii) Αν Α f = Α g τότε εξετάζω αν και οι τύποι των f και g ταυτίζονται. Αν προκύψει f() = g() τότε απαντώ f = g. Αν προκύψει f() g() τότε απαντώ f g. ΣΧΟΛΙΟ

Αν Α f Α g και οι τύποι των f, g είναι ίδιοι, τότε το ευρύτερο σύνολο, δηλαδή το μέγιστο δυνατό σύνολο στο οποίο μπορούμε να πούμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες είναι το Α = Α f Α g Επίσης και σε κάθε σύνολο Β Α f Α g θα ισχύει f = g. 3) Πράξεις συναρτήσεων Άθροισμα: f + g τότε (f + g)()= f() + g() με Α f+g = Α f Α g Διαφορά: f - g τότε (f - g)()= f() - g() με Α f-g = Α f Α g Γινόμενο: f g τότε (f g)()= f() g() με Α f g = Α f Α g Πηλίκο: f g τότε ( f f() )() = g g() με A f {Af A g / g() 0} g 4) Άρτια Περιττή συνάρτηση f άρτια στο Α A A f( ) f(), A f περιττή στο Α A A f( ) f(), A ΣΧΟΛΙΟ Η C f μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0) ενώ η C f μιας άρτιας είναι συμμετρική ως προς τον άξονα. 5) Σύνθεση συναρτήσεων Εφαρμογή Έστω οι συναρτήσεις f() = 3 2 και g() = με πεδία ορισμού τα σύνολα Α f = R * και Α g = R {}. α) Να υπολογιστούν οι τιμές: f(g(0)), f(g(3)), f(g(2)), f(g()) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι i) f(g()) ii) g(f()) Λύση α) g(0) = 0 2 0 = 2, άρα f(g(0)) = f(2) = 3 2 g(3) = 3 2, άρα f(g(3)) = f( 3 2 2 ) = 6 g(2) = 2 2 2 = 0, άρα f(g(2)) = f(0) δεν ορίζεται αφού 0Α f g() = δεν ορίζεται αφού 0Α g, άρα δεν ορίζεται και f(g()) β) f(g()): Πρέπει αρχικά το Α g για να ορίζεται η εσωτερική συνάρτηση g() στη συνέχεια πρέπει και η τιμή g() Α f για ναορίζεται η f(g()). Άρα προκύπτει το σύστημα

Ag 2 g() Af g() 0 0 2 Άρα η συνάρτηση f(g()) ορίζεται στο σύνολο Α = R-{,2} g(f()) σκεπτόμενοι ανάλογα προκύπτει το σύστημα: 0 Af 0 3 f() Ag f() 3 Άρα η συνάρτηση g(f()) ορίζεται στο σύνολο Β = R-{0,3} ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε ότι ορίζονται σε διαφορετικά σύνολα ΣΧΟΛΙΟ 2 Για τις συναρτήσεις f(g()) και g(f()) μπορούμε επίσης να γράψουμε: 3 f(g()) = g() = 3 3 3( ) =,,2 2 2 2 3 2 f() 2 (3 2) 3 2 g(f()) =, 0,3 f() 3 (3 ) 3 Έστω οι συναρτήσεις f, g με αντίσοιχα πεδία ορισμού τα σύνολα Α f, A g τότε f(a f ) θα είναι το σύνολο τιμών της f ενώ g(a g ) θα είναι το σύνολο τιμών της g. Σχήμα Αν f(a f ) Α g = Ø, τότε : Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται η σύνθεση g(f()) Σχήμα 2 Αν f(a f ) A g A f f f(a f ) f() A g A g f f(a f ) f() A f g(f()) g Στην περίπτωση αυτή ορίζεται η σύνθεση g(f()) και έχει πεδίο ορισμού το Α f. Σχήμα 3

Αν f(a f ) Α g Ø f(a f ) A g f f() A f g(f()) g Στην περίπτωση αυτή ορίζεται η σύνθεση g(f()) και το πεδίο ορισμού της Α θα είναι υποσύνολο του Α f (A A f ). Ορισμός Έστω δύο συναρτήσεις f, g που ορίζονται στα σύνολα Α f, A g αντίστοιχα. Τότε ορίζουμε μια νέα συνάρτηση τη σύνθεση της f από τη g με πεδίο ορισμού το σύνολο Α gof = {ϵa f /f() ϵ A g } Ø και τότε (gof)() = g(f()) Ερώτηση Πως βρίσκουμε κατασκευάζουμε μία σύνθεση δύο συναρτήσεων f, g; Απάντηση Έστω να κατασκευάσουμε την gof ο ) Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των f, g έστω τα Α f, A g αντίστοιχα, εκτός και αν αυτά δίνονται από την άσκηση. 2 ο ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της gof, που είναι το σύνολο Af Α gof = { ϵa f /f() ϵ A g }, λύνοντας το σύστημα:ω, τότε f() Ag i) Αν Α gof = Ø, δεν ορίζεται η σύνθεση gof ii) Αν Α gof Ø, τότε ορίζεται η gof και βρίσκουμε τον τύπο της, αντικαθηστώντας στον τύπο της g όπου τον τύπο της f() δηλαδή (gof)() = g(f()), ϵ Α gof. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: 2 3 2 i) f ii) f ln Λύση i) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν 2-3 + 2 0 και 0. Το τριώνυμο όμως 2-3+2 έχει ρίζες τους αριθμούς και 2. Έτσι, η ανίσωση 2-3+2 0 αληθεύει, όταν και μόνο όταν ή 2.

Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α = (-, 0) (0, ] [2, + ). ii) Η συνάρτηση f ορίζεται, όταν και μόνο όταν - ln 0. Είναι όμως l - ln 0 ln ln lne 0 < e. Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α = (0, e]. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f() =, ii) g() =, iii) h() = - Λύση i) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ() = και έπειτα την f() = φ(). ii) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ() = έπειτα την g() = φ(). και iii) Επειδή h() = g(-), η γραφική παράσταση της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά.

η Κατηγορία ασκήσεων Εύρεση πεδίου ορισμού Παράδειγμα: Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 2 ) f() ln 2) g() 5 6 3) h() 2 e ln Λύση Λύση Λύση 2η Κατηγορία ασκήσεων Ισότητα συναρτήσεων Παράδειγμα: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες: Λύση 3 f() 2 και g() =