Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5
Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται από µια σχέση εισόδουεξόδου Η µαθηµατική παράσταση της σχέσης εισόδου-εξόδου ενός συστήµατος είναι: Στο επίπεδο του χρόνου µία διαφορική εξίσωση: d y d d y dy y u d d d u d Στο µιγαδικό επίπεδο µια συνάρτηση µεταφοράς: G Y U µε Η εσωτερική κατάσταση e ενός συστήµατος εκφράζει εκτός από την εξωτερική σχέση εισόδου-εξόδου και δύο επιπρόσθετα εσωτερικά χαρακτηριστικά του συστήµατος: τα εσωτερικά µεγέθη ier giude και την εσωτερική δοµή ier rucure του συστήµατος Τα εσωτερικά µεγέθη ενός συστήµατος -οστής τάξης είναι: οι ανεξάρτητες µεταβλητές κατάστασης e vrile,,,, που ονοµάζονται µεταβλητές εσωτερικής ή το διάνυσµα µεταβλητών εσωτερικής κατάστασης e vecr: [ ] T Η εσωτερική δοµή ενός συστήµατος περιγράφεται µαθηµατικά από τις εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης e equi: u y C D u Η µετάβαση από τις εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης στη σχέση εισόδουεξόδου είναι µονοσήµαντη Σε δεδοµένες εξισώσεις κατάστασης αντιστοιχεί µία συνάρτηση µεταφοράς: G C I D 5
Εσωτερική δοµή ενός συστήµατος Οι εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης ενός συστήµατος µπορούν να παρασταθούν µε διαγράµµατα βαθµίδων Ειδικότερα: Οι πίνακες,, C και D καθορίζουν τη δοµή του συστήµατος ο χαρακτηριστικός πίνακας συστήµατος την εσωτερική του δοµή, ο πίνακας εισόδου τη σχέση εισόδου u και εσωτερικής κατάστασης, ο πίνακας εξόδου C τη σχέση εσωτερικής κατάστασης και εξόδου y ο συντελεστής D την άµεση σχέση εισόδου u και εξόδου y Γενικότερα διαπιστώνουµε ότι: µέσω της εισόδου u ελέγχουµε, επηρεάζουµε την εσωτερική κατάσταση του συστήµατος, ενώ µέσω της εξόδου y παρατηρούµε, διαπιστώνουµε την εσωτερική κατάσταση του συστήµατος 5 3
5 4 Κανονικές µορφές εξισώσεων εσωτερικής κατάστασης Η µετάβαση από τη σχέση εισόδου-εξόδου στις εξισώσεις κατάστασης είναι πολυσήµαντη Από τις πολλές δυνατές µορφές εξισώσεων εσωτερικής κατάστασης, που αντιστοιχούν σε ένα σύστηµα µε δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς: U Y G µε ύο από αυτές αποτελούν τις κανονικές µορφές rl ή cicl fr εσωτερικής κατάστασης Πρώτη κανονική µορφή Ένα σύστηµα -οστής τάξης µε δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς έχει εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης πρώτης κανονικής µορφής fir ή phe-vrile cicl fr, όταν ο χαρακτηριστικός πίνακας του συστήµατος είναι συµπληρωµατικής µορφής cpi fr: u [ ] y εύτερη κανονική µορφή Ένα σύστηµα -οστής τάξης µε δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς έχει εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης δεύτερης κανονικής µορφής ecd cicl fr όταν ο χαρακτηριστικός πίνακας του συστήµατος είναι ανεστραµµένης συµπληρωµατικής µορφής: u [ ] y
Αναλογικά διαγράµµατα κανονικών µορφών Το αναλογικό διάγραµµα πρώτης κανονικής µορφής είναι: Το αντίστοιχο αναλογικό διάγραµµα δεύτερης κανονικής µορφής είναι: Συµπερασµατικά: Το χαρακτηριστικό της πρώτης κανονικής µορφής είναι ότι η είσοδος u επηρεάζει άµεσα µόνο τον πρώτο ολοκληρωτή, ενώ οι ολοκληρωτές και οι αντίστοιχες µεταβλητές εσωτερικής κατάστασης αριθµούνται αντίστροφα, από το τέλος προς την αρχή Το χαρακτηριστικό της δεύτερης κανονικής µορφής είναι ότι η έξοδος y είναι ίση µε την τελευταία µεταβλητή εσωτερικής κατάστασης ολοκληρωτές αριθµούνται κανονικά από την αρχή προς το τέλος, ενώ οι 5 5
Ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα Η εσωτερική κατάσταση ενός συστήµατος µπορεί κάτω από ορισµένες συνθήκες να είναι µη ελέγξιµη ή µη παρατηρήσιµη Ελεγξιµότητα Ορισµός Ελεγξιµότητα clliliy ονοµάζεται η ικανότητα της εισόδου u ενός συστήµατος να επηρεάζει όλες τις µεταβλητές εσωτερικής του κατάστασης,,, Ένα τέτοιο σύστηµα ονοµάζεται ελέγξιµο crllle Αντίστοιχα, η κατάσταση ενός συστήµατος λέγεται πλήρως ελέγξιµη, όταν υπάρχει συνάρτηση εισόδου u ικανή να πραγµατοποιήσει τη µετάβαση από µια αρχική κατάσταση στην τρέχουσα κατάσταση Η συνθήκη ελεγξιµότητας crlliliy cdii εξαρτάται βασικά από τον πίνακα εισόδου Ορισµός Πίνακας ελεγξιµότητας clliliy ri P ορίζεται ο πίνακας τάξης : µε ορίζουσα: P de P P Συνθήκη ελεγξιµότητας Πλήρως ελέγξιµο είναι ένα σύστηµα: όταν ο πίνακας ελεγξιµότητας P έχει βαθµό, δηλαδή ορίζουσα διάφορη του µηδενός: P ή όταν, κατά το µετασχηµατισµό του συστήµατος στη θεµελιώδη µορφή του, ο θεµελιώδης πίνακας εισόδου: M δεν έχει µηδενικά στοιχεία 5 6
Παρατηρησιµότητα Ορισµός Παρατηρησιµότητα erviliy ονοµάζεται η ικανότητα όλων των µεταβλητών εσωτερικής κατάστασης,,, ενός συστήµατος να επηρεάζουν την έξοδο y Ένα τέτοιο σύστηµα ονοµάζεται παρατηρήσιµο ervle Αντίστοιχα, η κατάσταση ενός συστήµατος λέγεται πλήρως παρατηρήσιµη, όταν για δεδοµένη είσοδο u είναι δυνατός ο καθορισµός κάθε κατάστασης του συστήµατος µόνο από µετρήσεις στην έξοδο y Η συνθήκη παρατηρησιµότητας erviliy cdii εξαρτάται βασικά από τον πίνακα εξόδου C Ορισµός Πίνακας παρατηρησιµότητας erviliy ri Q ορίζεται ο πίνακας τάξης : C C Q µε ορίζουσα: Q de Q C Συνθήκη παρατηρησιµότητας Πλήρως παρατηρήσιµο είναι ένα σύστηµα: όταν ο πίνακας παρατηρησιµότητας Q έχει βαθµό, δηλαδή ορίζουσα διάφορη του µηδενός: Q ή όταν, κατά το µετασχηµατισµό του συστήµατος στη θεµελιώδη µορφή του, ο θεµελιώδης πίνακας εξόδου: C C M δεν έχει µηδενικά στοιχεία 5 7
Μη ελέγξιµα και µη παρατηρήσιµα συστήµατα Προβλήµατα ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας εµφανίζονται βασικά σε δύο περιπτώσεις: Όταν δεν υπάρχει άµεση σύνδεση της εισόδου ή αντίστοιχα της εξόδου µε την εσωτερική κατάσταση του συστήµατος Στο παράδειγµα του σχήµατος η µεταβλητή δεν επηρεάζει την έξοδο y, άρα είναι µη παρατηρήσιµη, ενώ η µεταβλητή δεν επηρεάζεται από την είσοδο u, άρα είναι µη ελέγξιµη 3 Όταν παρατηρείται απλοποίηση πόλου του συστήµατος Στο παράδειγµα του σχήµατος τα δύο συστήµατα έχουν ίσες συναρτήσεις µεταφοράς: G G Το δεύτερο όµως σύστηµα, του οποίου η ρίζα και ο πόλος ταυτίζονται και αλληλοαναιρούνται, έχει µια ανεξέλεγκτη και µη παρατηρήσιµη εσωτερική µεταβλητή κατάστασης που εξαρτάται από τον απλοποιηµένο πόλο 5 8
5 9 Παραδείγµατα Παράδειγµα : ίνονται οι εξισώσεις κατάστασης συστήµατος: 4 u [ ] y Εξετάζουµε την ελεγξιµότητα και την παρατηρησιµότητα του Πίνακας ελεγξιµότητας: [ ] 6 P και 6 P, άρα σύστηµα ελέγξιµο Πίνακας παρατηρησιµότητας: 3 3 C C Q και Q, άρα σύστηµα µη παρατηρήσιµο Που οφείλεται η µη παρατηρησιµότητα; Εξετάζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος και την πιθανότητα απλοποίησης ρίζας-πόλου D I C G Είναι: 4 4 I µε 3 6 5 4 Άρα: [ ] [ ] 6 5 4 4 G ή 3 3 G Η µη παρατηρησιµότητα του συστήµατος οφείλεται στην απλοποίηση του πόλου
Παράδειγµα : ίνεται σύστηµα µε άγνωστη εσωτερική κατάσταση και συνάρτηση µεταφοράς: 4 8 G 3 9 3 5 Θα εξετάσουµε την ελεγξιµότητα και την παρατηρησιµότητα των εσωτερικών καταστάσεων πρώτης και δεύτερης κανονικής µορφής Πρώτη κανονική µορφή: u 5 3 9 και [ 8 4] y Πίνακας ελεγξιµότητας: P [ ] 9, P, άρα σύστηµα ελέγξιµο 9 58 Πίνακας παρατηρησιµότητας: C 8 4 Q C 6 84 53, Q, άρα µη παρατηρήσιµο C 7965 53 4695 C εύτερη κανονική µορφή: ' 5 3 9 ' 8 ' 4 ' u και [ ] y C Προκύπτει αντίστοιχα: P Q, άρα σύστηµα µη ελέγξιµο, άρα παρατηρήσιµο 5
Που οφείλονται η µη παρατηρησιµότητα και η µη ελεγξιµότητα στις δύο κανονικές µορφές; Εξετάζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος και την πιθανότητα απλοποίησης ρίζας-πόλου 4 8 4 G 3 3 9 3 5 9 3 5 3 Ο παρανοµαστής Q 9 3 5 ισούται µε µηδέν για το οποίο προκύπτει µε δοκιµή Άρα το Q διαιρείται µε το Από τη διαίρεση προκύπτει: 3 9 3 5 8 5 ή Q 3 5 Άρα 4 4 G 3 5 3 5 Η µη παρατηρησιµότητα και η µη ελεγξιµότητα στις δύο κανονικές µορφές οφείλονται στον απλοποιούµενο πόλο 5
Ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα Σύνοψη Ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: G Y U µε έχει εξισώσεις κατάστασης: u y C D u Πρώτη κανονική µορφή, Συνάρτηση µεταφοράς:, [ ] C, D G C I D Ελεγξιµότητα Πίνακας ελεγξιµότητας: P Συνθήκη ελεγξιµότητας: p de P! Παρατηρησιµότητα Πίνακας παρατηρησιµότητας: C C Q C Συνθήκη παρατηρησιµότητας: Q de Q! 5