ΘΕΜΑ A. Θεωρούµε τη συνάρτηση f:r R ώστε να ισχύει f(+f())=+f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι α. Η f είναι β. f(0)= και f() 0. (Μονάδες 0) Β. Έστω συν

Transcript

1 ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A. Έστω πολυώνυµο P()=α ν ν +α ν ν + + α +α ο µε α ν 0, ν Ν * και o R. Να δείξετε ότι lim P() = P( ). o Β. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; o (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας (Σ) Σωστό ή (Λ) Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ) Αν η εξίσωση +β+γ=0 έχει ρίζα τον αριθµό +i τότε θα έχει και το i. ) Για κάθε z, z C ισχύει Re(z +z )=Re(z )+Re(z ). ) Αν η συνάρτηση f: A R έχει αντίστροφη f τότε f o f και f o f είναι ίσες συναρτήσεις. 4) f() Αν lim = τότε lim f() = lim g(). o g() o o 5) ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : Μιγαδικοί:.,.,. Σχολικού βιβλίου Ανάλυση:.,.,.,.4,.5 (Σχολικού βιβλίου) Έστω µια συνάρτηση f: A R µε Α R που είναι στο Α, τότε f γνήσια µονότονη στο Α. ΘΕΜΑ (Μονάδες 0) ίνεται ότι ο µιγαδικός w= + i είναι ρίζα της εξίσωσης z +βz+γ=0, όπου β, γ πραγµατικοί αριθµοί. α) Να αποδείξετε ότι β= και γ=. (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι w = και w =w (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει z w = + w w (Μονάδες 8)

2 ΘΕΜΑ A. Θεωρούµε τη συνάρτηση f:r R ώστε να ισχύει f(+f())=+f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι α. Η f είναι β. f(0)= και f() 0. (Μονάδες 0) Β. Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(+)=f()+f(), για κάθε, R και f() lim = 008. Να δείξετε ότι: α) lim f() = 0 (Μονάδες 4) β) f() + f() + lim = 008 γ) f() f() lim = 008 ΘΕΜΑ 4 Α. ίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο πιο κάτω σχήµα: y (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) 0 Βάση του σχήµατος α) Να λυθεί η εξίσωση f( )=0. (Moνάδες 5) β) Να βρείτε την µονοτονία της συνάρτησης g()=f(f()) στο διάστηµα [,0]. (Moνάδες 5) Β. Θεωρούµε την συνάρτηση f:[0,+ ) R που ικανοποιεί την σχέση f() e f() = για κάθε 0. α) Να δείξετε ότι f() 0 για κάθε 0. β) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. γ) Nα λυθεί η ανίσωση (f()) (f()+f()) f() f() f(). C f (Moνάδες ) (Moνάδες 7) (Moνάδες 5)

3 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σελ. 67 Β. Θεωρία σελ. 4 Γ. α Λ όταν οι β, γ R τότε έχει συζυγείς µιγαδικές ρίζες η ου βαθµού εξίσωση. β Σ ισχύει από τον ορισµό της πρόσθεσης µιγαδικών. γ Λ γιατί έχουν διαφορετικά πεδία ορισµού η f of το Α και η fof το f(a). f() f() δ Λ π.χ f()= και g()= µε 0 = και lim = ενώ δεν υπάρχουν g() g() τα lim f() ε Λ π.χ η f()=, και lim g(), 0 είναι στο R δεν είναι γνήσια µονότονη στο R. > 0 ΘΕΜΑ ο α) Αφού ο µιγαδικός w= + i είναι ρίζα της z +βz+γ=0 µε β, γ R θα είναι ως γνωστόν και ο w = i Σύµφωνα τώρα µε τους τύπους Vietta θα έχουµε ότι w+w= β και w w=γ οπότε αντίστοιχα θα ισχύει ( )= β και ( ) +( ) =γ απ όπου προκύπτει β= και γ= β) ( ος τρόπος) Λόγω (α) επειδή β= και γ= ο w είναι ρίζα της εξίσωσης z +z+=0 άρα ισχύει w +w+=0 () εποµένως w = w οπότε w =ww =w( w )= w w= λόγω () τώρα επειδή w = w w= w = w και επειδή από Vietta ww= w= w προκύπτει w =w ( ος τρόπος) w =( + i ) =( ) ( ) i +( )(i ) +(i ) =.=

4 w =( + ) =( ) +( )i +(i ) = = i =w γ) Είναι w =w 0 w=(w ) 0 w=w (αφού w = από (α)) άρα w =(w ) (αφού είναι w =w από (α) ) =w 6 =w 60 w =(w ) 0 w =w w + w + w = + w = επειδή w = και w = w w + = = οπότε θα έχουµε z w = ή z i = που σηµαίνει ότι οι εικόνες του z είναι σηµεία κύκλου κέντρου Κ(, ) ακτίνας. ΘΕΜΑ ο Α. α) Για, R µε f( )=f( ) έχουµε ότι ισχύει +f( )=+f( ) οπότε και f(+f( ))=f(+f( )) και λόγω υπόθεσης +f( )= +f( ) και αφού f( )=f( ) προκύπτει ότι = εποµένως f είναι συνάρτηση. β) Για =0 στην f(+f())=+f() έχουµε f(+f(0))=f(0) επειδή f +f(0)=0 άρα f(0)= Έστω τώρα ότι f()=0 τότε για = στην f(+f())=+f() έχουµε f(+f())=+f() οπότε f()= και αφού υποθέσαµε ότι f()=0 προκύπτει ότι 0= άτοπο άρα f() 0. f() Β. α) Αν g()= για 0 τότε lim g() =008 και επειδή f()= g() θα ισχύει ότι lim f() = lim g() =0 008=0 β) Έχουµε lim( f() + f() + ) = = =0 4

5 0 και lim 0 εποµένως εδώ έχουµε µορφή και πρώτα διώχνουµε τα 0 0 = απόλυτα ως εξής: επειδή lim( f() + ) = < 0 θα είναι f()+ <0 κοντά στο o =0 και επειδή lim(f() + ) = 0 θα είναι 0 > f() + f() + f()+ >0 κοντά στο o =0 εποµένως η g()= κοντά στο o =0 παίρνει την µορφή f() + (f() + ) f() + f() g()= = f() f() = = f() f() Οπότε lim g() = lim lim =008 (από υπόθεση lim = 008) γ) Επειδή lim f() = limf(o + ) ως γνωστόν από την θεωρία θα έχουµε ότι o f() f() f( + ) f() f( + ) f() lim = lim = lim + ΘΕΜΑ 4 ο Αφού f(+)=f()+f() έχουµε ίσο µε f() + f() f() f() = lim = lim =008 Α.α) επειδή βάσει του σχήµατος η γραφική παράσταση της f τέµνει τον µόνο στα = = 0 σηµεία - και θα ισχύει f( )=0 ή ή = = = ή = ή =4 ή =0. = ή = β) < 0 f f( ) f( ) < f( ) f(0) 0 f( ) < f( ) f(0) f(f( )) > f(f( )) f() f(f( )) > f(f( )) f() Άρα η g()=(fo f)() είναι γνησίως φθίνουσα στο [,0]. f [0,] B.α) Επειδή 0 από f()e f() = έχουµε f()e f() 0 και αφού e f() >0 για κάθε θα ισχύει f() 0 για [0,+ ). β) Έστω ότι υπάρχουν, [0,+ ) ώστε για < να ισχύει f( ) f( ) 0 () 5

6 ( ) f( ) τότε θα ισχύει και f e = e >0 () οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη f( ) f() έχουµε f( ) = e f( ) άρα άτοπο e Άρα για κάθε, [0,+ ) µε < θα ισχύει f( )<f( ) που σηµαίνει ότι f είναι γνήσια αύξουσα στο [0,+ ). γ) Έχουµε (f()) (f()+f())f() f()f() f () (f()+f())f() f()f() 0 µε f()=ψ έχουµε ψ (f()+f()ψ f()f()) 0 () επειδή οι ρίζες του τριωνύµου είναι f(), f() µεf()<f() (αφού < και f γνήσια αύξουσα) η () ισχύει µόνο όταν f() ψ f() οπότεf() f() f() και αφού f γνήσια αύξουσα. 6