ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε µια νέα ποσότητα που ονοµάζεται κέντρο µάζας (ΚΜ ή ) η οποία ακολουθεί τους νόµους του Newton Για σώµατα η θέση του κέντρου µάζας ορίζεται m m x x x cm m x + m x m + m
ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας περισσότερων σωµάτων Αν είχαµε N σώµατα τότε το κέντρο µάζας ορίζεται από την σχέση: x cm m x M N όπου M m Aν το σύστηµά µας δεν αποτελείται από διακριτά σηµεία αλλά είναι ένα συνεχές σώµα τότε το κέντρο µάζας δίνεται από την σχέση x x cm M xdm x dm Για Ν διακριτά σώµατα σε 3 διαστάσεις η παραπάνω σχέση γράφεται r cm N N m r m Για συνεχή κατανοµή µάζας έχουµε: r cm M r dm όπου dmρdv απειροστή µάζα dm σε απειροστό όγκο dv
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 3 Κέντρο μάζας Η τελευταία σχέση είναι μια διανυσματική εξίσωση που ουσιαστικά περιέχει 3 βαθμωτές εξισώσεις ως προς τους 3 άξονες συντεταγμένων m x cm x m y cm y z cm M M Διαισθητικά το κέντρο της βαρυτικής μάζας (κέντρο βάρους) ενός σώματος είναι το σημείο στο οποίο η βαρύτητα δεν προκαλεί καμιά κίνηση. m z M Το κέντρο μάζας αντιστοιχεί σε ένα σημείο στο χώρο. Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει στο σημείο αυτό κάποια μάζα. q Πως βρίσκουμε το κέντρο μάζας ενός συστήματος O σωστότερος τρόπος είναι να λύσουμε τα ολοκληρώματα ή να πάρουμε τα αθροίσματα. Αλλά μερικές φορές συμμετρίες του συστήματος βοηθάνε να βρούμε πιο εύκολα το κέντρο μάζας
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 4 Εύρεση του κέντρου µάζας q Συµµετρίες: Ένα οµογενές συνεχές παραλληλόγραµµο έχει το κέντρο µάζας του στο γεωµετρικό του κέντρο. Θεωρώ το κέντρο αυτό σα την αρχή των αξόνων dm r r q Άθροισµα επιµέρους τµηµάτων: Ø Χωρισµό του σώµατος σε επιµέρους συµµετρικά σώµατα. Ø Εύρεση της συνολικής µάζας του κάθε επιµέρους τµήµατος. Ø Εύρεση του κέντρου µάζας χρησιµοποιώντας κάθε επιµέρους τµήµα σαν υλικό σηµείο µε µάζα και θέση τη µάζα και θέση του κέντρου µάζας του q Διαφορά επιµέρους τµηµάτων: Για κάθε µάζα dm σε θέση r υπάρχει µια στοιχειώδης µάζα dm στη συµµετρική θέση r. Οι δύο όροι r dm + (-r )dm. Το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε µάζα-θέση του συστήµατος Ίδια µε την προηγούµενη µέθοδο αλλά στην περίπτωση αυτή αφαιρούµε συγκεκριµένα κανονικά γεωµετρικά σώµατα
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 5 Εύρεση κέντρου µάζας q Πειραµατική µέθοδος Πολλές φορές το σώµα τελείως ανώµαλο και οι άλλες µέθοδοι δεν δουλεύουν. Πειραµατικά µπορούµε να βρούµε το κέντρο µάζας κρεµώντας το σώµα από τυχαία σηµεία. Ø Όταν ένα σώµα ισορροπεί ελεύθερα κρεµασµένο από κάποιο σηµείο, η µάζα του θα κρέµεται µε το κέντρο µάζας στην κατακόρυφο ευθεία από το σηµείο στήριξης και κάτω από το σηµείο αυτό µια και θα ελαττώνει τη δυναµική ενέργεια. Ø Το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι κατακόρυφοι σε δυο διαδοχικές προσπάθειες στήριξης ορίζουν το του σώµατος. g
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 6 Παραδείγµατα Κέντρο µάζας 3 µαζών Να βρεθεί η θέση του κέντρου μάζας των 3 μαζών του σχήματος Λύση Ορίζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως παρακάτω y Tα διανύσματα θέσης των m m μαζών θα είναι: d r r dˆ x r dˆ y m d m m r m x r 3 r M ( r m + r m + r 3 m 3 ) (m + m + m) (mdˆ x + mdˆ y + ) r 4m (mdˆ x + mdˆ y ) r d 4 ( ˆ x + ˆ y )
Κέντρο μάζας με διαχωρισμό τμημάτων ΦΥΣ 3 - Διαλ. 7 Που βρίσκεται το κέντρο μάζας () ενός τμήματος φύλου μετάλλου όπως στο σχήμα με επιφανειακή μάζα (μάζα/εμβαδό επιφάνειας) σ Λύση y To χωρίζουμε σε τμήματα Α και Α L r A A Α Α r L L/ x Χρησιμοποιούμε συμμετρία: Το του Α είναι στο κέντρο του παρ/μου με πλευρές L και L/. Ανάλογα και για το Α. Τα διανύσματα θέσης των είναι r L x 4 ˆ + L y ˆ r r 3L 4 ˆ x + L 4 ˆ y M m Ar + m A ( ) r L + L 4 (L * $ ) # L 4 ˆ Οι ολικές μάζες των τμημάτων είναι x + L y ˆ % ' + L $ & 4 # 3L 4 ˆ m A L L L m A L L L 4 x + L y 4 ˆ % + '- &, r 5L x ˆ + 5L y ˆ
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 8 y L Κέντρο µάζας αφαιρετική µέθοδος Να βρεθεί το κέντρο µάζας ενός φύλλου µετάλλου πλευράς L από το οποίο αποκόπηκε ένα τετράγωνο τµήµα πλευράς L/. Λύση r r L Το πρόβληµα είναι το ανάστροφο του προηγούµενου Μπορούµε να υπολογίσουµε το του αρχικού τετραγώνου και το του αποκοµµένου τµήµατος και να τα προσθέσουµε. x Μάζες των τµηµάτων r L x ˆ + L y ˆ r 3L 4 ˆ x + 3L 4 ˆ y m A L L L m A L L Διανύσµατα θέσης L 4 m A #L 4 r M (m Ar + m A r ) L L 4 ) # L L x ˆ + L y $ % ˆ & ' ( L # + 4 $ % * 3L 4 ˆ x + 3L y 4 ˆ &, ' (. r 5L x - ˆ + 5L y ˆ
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 9 Κέντρο µάζας συνεχούς κατανοµής µάζας Να βρεθεί το κέντρο µάζας µιας ράβδου µήκους L, µάζας Μ και πυκνότητας λ Μ/L Λύση dm Χωρίς να υπολογίσουµε ξέρουµε ότι το κέντρο µάζας είναι σε x cm L/ (συµµετρία) Aς το ελέγξουµε µε υπολογισµούς: dm dx x cm M M xdm L M xdx x cm x L M L M (L)L M ML M x cm L
ΦΥΣ 3 - Διαλ. Εύρεση κέντρου µάζας Ένα ακόµα παράδειγµα Να βρεθεί το κέντρο µάζας ενός ηµισφαιρικού κελύφους (άδεια σφαίρα) ακτίνας R και πυκνότητας µάζας σ Kg/m Λύση R θ Rcosθ Rsnθ Κοιτάµε σε ένα κύκλο σε γωνία θ πάνω από τον ορίζοντα. Η κυκλική λωρίδα έχει µάζα: dm (da) (µ#$%)(&'($%) dm (# Rcos$)(Rd$) Όλα τα σηµεία στο κύκλο αυτό έχουν y Rsnθ άρα y M y dm / (Rsn$)(R # cos$d$) R # / y R # sn cosd R sn / y R Πόσο είναι το x?
ΦΥΣ 3 - Διαλ. Δυναµική συστήµατος σωµάτων Είπαµε ότι το µπορεί να αντικαταστήσει το σύνολο των σωµάτων του συστήµατός µας σαν ένα υλικό σηµείο µε µάζα την µάζα των σωµάτων και διάνυσµα θέσης r cm. Ø H ταχύτητα του θα είναι: V d r d ( m r + m r ) M M m d r + m d r $ # % & ' για Ν σώµατα V () m v Ø H επιτάχυνση a d V για Ν σώµατα d ( v + v ) M m # a M m Από την () έχουµε: M V m Από την () έχουµε: M a d v + m d v a F $ % & v () V M m v + m v a M m a + m a ( ) ( ) P m $ ( F + F ) d # P v a M F + F ( )
ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κινητική ενέργεια κέντρου µάζας Έστω r r r' το διάνυσµα θέσης r r ενός + r σώµατος ως προς το r v cm v v + v KE (m v ) m ( v + v ) # KE m ( v + v ) # ( v + v ) ( v + v ) ( v + v ) v + v + v v ταχύτητα σώµατος ως προς ΚΜ Άρα η κινητική ενέργεια µπορεί να γραφεί: Τα m r # d m r # d m v KE m v + m v + v # m v $ r ορίζονται ως προς το σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το Αλλά από τον ορισµό του έχουµε rcm N N KE M v + m r m (,) m v +
ΦΥΣ 3 - Διαλ. 3 Σύστηµα αναφοράς κέντρου µάζας To σύστηµα αναφοράς µε αρχή το κέντρο µάζας ενός συστήµατος σωµάτων λέγεται σύστηµα αναφοράς κέντρου µάζας. Στο σύστηµα αυτό η ολική ορµή των σωµάτων του συστήµατος είναι µηδέν r M m r Αν διαλέξουµε σαν αρχή των αξόνων το κέντρο µάζας τότε r Ενώ οι θέσεις των σωµάτων σχετικά µε αυτό το σύστηµα θα ναι r M m r # m r # d m r # m v # p # tot p
Κέντρο µάζας - Παράδειγµα Ανδρέας Γιάννης ΦΥΣ 3 - Διαλ. 4 Ο Γιάννης και ο Ανδρέας στέκονται πάνω σε µια παγωµένη λίµνη σε m απόσταση. Ο Γιάννης έχει µάζα 6kg ενώ ο Ανδρέας έχει µάζα 9kg. Στο µέσο της απόστασής τους υπάρχει ένα ποτήρι µπύρα πάνω στο πάγο. Τραβάνε τα άκρα ενός αβαρούς σχοινιού το οποίο εκτείνεται µεταξύ τους. Όταν ο Ανδρέας έχει κινηθεί κατά 6.m προς το ποτήρι, πόσο έχει κινηθεί ο Γιάννης και προς πια κατεύθυνση? Σύστηµα: Ανδρέας Γιάννης - Σχοινί Λύση Βρίσκουµε το : F (αποµονωµένο) Έστω σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το ποτήρι και θετική φορά αυτή προς το Γιάννη. H νέα θέση του Ανδρέα είναι -4.m αφού κινήθηκε κατά 6.m προς το ποτήρι Έστω x η νέα θέση του Γιάννη. Αφού το είναι ακίνητο: x 36 + 6x 5. x m Αλλά p και x 9kg p # p $% # ( )(m) + ( 6kg) ( m) 9 + 6.m O Γιάννης είναι πολύ κοντά στο ποτήρι. H απόσταση που κινούνται είναι ανάλογη του αντιστρόφου του λόγου των µαζών p f $% Γιατί? P P f # m A $% + m & $& # m & m A ' $ % $ & d A d &