ISBN:

Ακριβείς και ευρετικοί αλγόριθμοι μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας Ευτυχία Κωσταρέλου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Λ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος 38334 Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Λ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος 38334 Περίληψη Η απελευθέρωση των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας που λαμβάνει χώρα σε διάφορες χώρες του κόσμου τα τελευταία χρόνια έχει προσελκύσει το έντονο ενδιαφέρον πολλών επιστημόνων, οι οποίοι, παρά το διαφορετικό υπόβαθρό τους, έχουν έναν κοινό στόχο: την ανάπτυξη καινοτόμων εργαλείων που θα αναβαθμίσουν ουσιαστικά τη λειτουργία των αγορών αυτών. Το πρόβλημα της ανάπτυξης βέλτιστων προσφορών για έναν παραγωγό ενέργειας που συμμετέχει σε μία αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και συνάμα πιο δύσκολα προβλήματα που απαντώνται στην καθημερινή λειτουργία των αγορών αυτών. Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε ένα μοντέλο μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για το πρόβλημα αυτό, και δύο αλγόριθμους, έναν ακριβή κι έναν ευρετικό για την επίλυσή του. Ο ευρετικός αλγόριθμος βασίζεται σε ένα σημαντικό αποτέλεσμα από τη θεωρία του μεικτού ακέραιου παραμετρικού προγραμματισμού που είναι γνωστό από τη δεκαετία του 1970. Ο ακριβής αλγόριθμος βασίζεται σε μια διαδικασία που περιλαμβάνει την επαναμορφοποίηση του προβλήματος μέσω των συνθηκών βελτιστότητας ΚΚΤ, και την παραγωγή τομών που αποκόπτουν λύσεις οι οποίες δεν είναι εφικτές. Η σημασία του ευρετικού αλγόριθμου έγκειται στο γεγονός ότι εκτός από τη δυνατότητα απευθείας εύρεσης ικανοποιητικών λύσεων για το πρόβλημα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των τομών αυτών. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Αγορές ηλεκτρικής ενέργειας, βέλτιστη στρατηγική υποβολής προσφορών, μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός, ακέραιος παραμετρικός προγραμματισμός. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε μια απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας ημερήσιου προγραμματισμού συμμετέχουν μονάδες παραγωγής ενέργειας που υποβάλουν ελεύθερα τις προσφορές τους για την ενέργεια που παράγουν σε κάθε χρονική περίοδο ενός χρονικού ορίζοντα, και ένας ανεξάρτητος διαχειριστής του συστήματος ο οποίος εκκαθαρίζει την αγορά καθορίζοντας τις ποσότητες παραγωγής για κάθε μονάδα παραγωγής και ικανοποιώντας ταυτόχρονα την ημερήσια ζήτηση για ηλεκτρική ενέργεια σε κάθε χρονική περίοδο. Κάθε μονάδα που συμμετέχει χαρακτηρίζεται από το τεχνικό της ελάχιστο και μέγιστο και από το κόστος εκκίνησης και παραγωγής, και καλείται να υποβάλλει μια προσφορά για την ποσότητα ενέργειας που θα προσφέρει στο σύστημα. Με τα τεχνικά χαρακτηριστικά και τις προσφορές των μονάδων γνωστά, ο διαχειριστής λύνει το πρόβλημα εκκαθάρισης της αγοράς ελαχιστοποιώντας το συνολικό κόστος που απαιτείται για την ικανοποίηση της συνολικής ζήτησης. Στόχος ενός οποιουδήποτε μεμονωμένου παραγωγού είναι η προσφορά που θα υποβάλει να μεγιστοποιεί το συνολικό ατομικό του κέρδος που θα προκύψει μετά από την εκκαθάριση της αγοράς. Στην παρούσα εργασία, μορφοποιούμε το πρόβλημα ενός μεμονωμένου παραγωγού ως ένα μοντέλο μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού, στο άνω επίπεδο του οποίου μεγιστοποιείται το συνολικό του κέρδος, και στο κάτω επίπεδο του οποίου ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος ικανοποίησης της ζήτησης. Υιοθετούμε ένα σχήμα εκκαθάρισης της αγοράς που αποζημιώνει κάθε συμμετέχουσα μονάδα με την πλήρη καταβολή του κόστους εκκίνησης, καθώς και μια ενιαία τιμή εκκαθάρισης (οριακή τιμή συστήματος) για κάθε παραγόμενη MWh. Κύριος στόχος είναι η ανάπτυξη αποτελεσματικών μεθοδολογιών επίλυσης για το μοντέλο αυτό, καθώς και για άλλα με παραπλήσια δομή. 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Για τη μαθηματική μορφοποίηση του προβλήματος, χρησιμοποιούμε την παρακάτω σημειογραφία: Σύνολα: 54

U: Μονάδες παραγωγής, με δείκτη Η: Χρονικός ορίζοντας, με δείκτη h Μεταβλητές απόφασης: P 1,h Τιμή προσφοράς ενέργειας του μεμονωμένου παραγωγού, δηλαδή του παραγωγού 1, για τη χρονική περίοδο h Q,h Ποσότητα ενέργειας του παραγωγού για τη χρονική περίοδο h ST,h Δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η μονάδα παράγει θετική ποσότητα ενέργειας τη χρονική περίοδο h, και 0 αλλιώς Y,h Δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η κατάσταση της μονάδα μεταβληθεί από OFF στην περίοδο h-1 σε ON στην περίοδο h, και 0 αλλιώς p h Σκιώδης τιμή του περιορισμού ικανοποίηση της ενεργειακής ζήτησης τη χρονική περίοδο h Παράμετροι: P,h Τιμή προσφοράς ενέργειας του παραγωγού τη χρονική περίοδο h Q Τεχνικό μέγιστο του παραγωγού min Q Τεχνικό ελάχιστο του παραγωγού P Ανώτατο όριο τιμής προσφοράς της ενέργειας c 1 Μοναδιαίο κόστος παραγωγής του μεμονωμένου παραγωγού, δηλαδή του παραγωγού 1 SUC Κόστος εκκίνησης του παραγωγού Ζήτηση ενέργειας τη χρονική περίοδο h D h Το πρόβλημα που εξετάζουμε μορφοποιείται ως εξής: P1, h = h 1 1, h (1) h H h Max F ( p c ) Q s.t. c1 P1, P, h H (2) Min f = ( Ph, Qh, + SUCYh, ) (3) STh,, Yh,, Qh, h H U Qh, = Dh h H (4) U s.t., min STh, Q Qh, STh, Q, U, h H (5) Y,, h, STh, STh, 1 U h H (6) ST,h, Y,h δυαδικές, U, h H (7) Q,h > 0, U, h H (8) Η αντικειμενική συνάρτηση (1) μεγιστοποιεί το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού. Το κέρδος αυτό εξαρτάται από την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς στη χρονική περίοδο h, p h, που είναι η σκιώδης τιμή του περιορισμού εκκαθάρισης της αγοράς (4) που διασφαλίζει την ικανοποίηση της ζήτησης. Το κόστος εκκίνησης δεν περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση (1), δεδομένου ότι σύμφωνα με το συγκεκριμένο σχήμα εκκαθάρισης οι παραγωγοί αποζημιώνονται πλήρως για το κόστος αυτό. Ο περιορισμός (2) επιβάλλει ένα κάτω και ένα άνω όριο στις τιμές προσφοράς του κάθε παραγωγού. Το πρόβλημα του κάτω επίπεδου ορίζεται από τις (3) - (8). Η αντικειμενική συνάρτηση (3) ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος ικανοποίησης της ζήτησης. Ο περιορισμός (4) εξασφαλίζει ότι η ζήτηση για ενέργεια θα ικανοποιηθεί. Ο περιορισμός (5) εξασφαλίζει ότι το τεχνικό ελάχιστο και το τεχνικό μέγιστο της κάθε μονάδας παραγωγής δε θα παραβιαστούν. Ο περιορισμός (6) σηματοδοτεί τη μεταβολή της κατάστασης λειτουργίας της μονάδας από OFF στην περίοδο h-1 σε ON στην περίοδο h. Συνεπακόλουθα, απαιτείται γνώση της αρχικής κατάστασης κάθε μονάδας παραγωγής (ST,0 ). Τέλος, οι περιορισμοί (7) και (8) επιβάλλουν την ακεραιότητα και τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης, αντίστοιχα. Το πρόβλημα (1)-(8) είναι ένα μεικτό ακέραιο διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης. Μια βασική ιδιότητά του είναι ότι μπορεί να μην υπάρχει βέλτιστη λύση, ακόμη και όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου δεν είναι μοναδική, επειδή ο διαχειριστής είναι αδιάφορος ως προς την επιλογή 55

μίας εξ αυτών. Πολλοί κανόνες έχουν προταθεί για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος. Στην παρούσα εργασία, υιοθετούμε τη λεγόμενη «αισιόδοξη» προσέγγιση (Loridan and Morgan, 1996), σύμφωνα με την οποία μεταξύ πολλαπλών βέλτιστων λύσεων στο κάτω επίπεδο επιλέγεται η πιο ευνοϊκή για το άνω επίπεδο. 3. ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η ευρετική μεθοδολογία επίλυσης που προτείνουμε είναι μια επαναληπτική διαδικασία σύμφωνα με την οποία βρίσκουμε τη βέλτιστη τιμή μιας οποιασδήποτε τιμής προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού, κρατώντας σταθερές σε λογικές αρχικές τιμές όλες τις υπόλοιπες τιμές προσφοράς του ίδιου παραγωγού. Η διαδικασία αυτή μπορεί να εφαρμοστεί διαδοχικά για κάθε μία από τις τιμές προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού, μέχρι να ολοκληρωθεί ένας κύκλος, ένα σημείο δηλαδή στο οποίο η τρέχουσα τιμή κάθε προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού είναι βέλτιστη για τις τρέχουσες τιμές όλων των υπολοίπων προσφορών του ίδιου παραγωγού. Εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία πολλές φορές με διαφορετικές αρχικές τιμές για τις προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού, μπορούμε να βρούμε διάφορες εναλλακτικές λύσεις, η καλύτερη από τις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της ολικά βέλτιστης λύσης του προβλήματος. Η διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης τιμής μιας προσφοράς κρατώντας σταθερές όλες τις υπόλοιπες κάνει χρήση ενός σημαντικού αποτελέσματος από τη θεωρία του μεικτού ακέραιου παραμετρικού προγραμματισμού που βασίζεται στο γεγονός ότι οι προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού εμφανίζονται μόνο στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος βελτιστοποίησης του κόστους ικανοποίησης της συνολικής ζήτησης. Οι Kozanidis et al. (2011) χρησιμοποιούν το αποτέλεσμα αυτό για την επίλυση του προβλήματος στην περίπτωση που ο χρονικός ορίζοντας αποτελείται από μία χρονική περίοδο. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου εκφρασμένη παραμετρικά συναρτήσει της τιμής-προσφοράς είναι κατά τμήματα γραμμική και κοίλη (Noltemeier, 1970), οι συγγραφείς ανέπτυξαν έναν ακριβή αλγόριθμο επίλυσης που βρίσκει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος συγκρίνοντας το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού για κάθε διαφορετική λύση που προκύπτει στο κάτω επίπεδο, μεταβάλλοντας την τιμή προσφοράς. 3.1 Αριθμητικό Παράδειγμα Στην ενότητα αυτή, εξετάζουμε μια μελέτη περίπτωσης με 3 μονάδες παραγωγής και χρονικό ορίζοντα 3 περιόδων. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά, το κόστος εκκίνησης και οι τιμές προσφοράς (σε /MWh) των μονάδων παραγωγής για κάθε χρονική περίοδο παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Η ζήτηση για ενέργεια για τις χρονικές περιόδους 1, 2 και 3 είναι 500 MWh, 360 MWh και 440 MWh, αντίστοιχα. Το μεταβλητό κόστος του μεμονωμένου παραγωγού είναι 15 /MWh, και το άνω όριο στην τιμή προσφοράς είναι 60 /MWh. Πίνακας 6 Τεχνικά χαρακτηριστικά, κόστος εκκίνησης και τιμές προσφοράς των μονάδων παραγωγής Μονάδα () min Q (MW) Q (MW) SUC ( ) (P,1, P,2, P,1 ) 1 400 240 5-2 500 200 10 (40, 40, 25) 3 300 100 15 (20, 35, 21) Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει τα αποτελέσματα της εφαρμογής του παραμετρικού αλγορίθμου για την πρώτη και την τελευταία (5 η ) επανάληψη της ευρετικής διαδικασίας. Στην πρώτη επανάληψη, κρατούνται σταθερές και ίσες με το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος οι προσφορές για τις χρονικές περιόδους 2 και 3 και αναζητείται η βέλτιστη προσφορά για την πρώτη χρονική περίοδο. Στην 1 η γραμμή του πίνακα παρουσιάζεται η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου στη μορφή (Q,1,Q,2,Q,3 ), η οριακή τιμή συστήματος καθώς και η μονάδα που την καθορίζει, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου (f*), και η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του άνω επιπέδου (F). Το μέγιστο κέρδος που ο μεμονωμένος παραγωγός μπορεί να επιτύχει ισούται με 2,000 και επιτυγχάνεται όταν το P 1,1 είναι ίσο με 20, οδηγώντας σε συνολικό κόστος συστήματος 22,640. Στη δεύτερη επανάληψη, κρατούνται σταθερές οι προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού για τις χρονικές περιόδους 1 και 3 στις τιμές 20 και 15, αντίστοιχα, και αναζητείται η βέλτιστη τιμή προσφοράς για τη δεύτερη χρονική περίοδο. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι την εμφάνιση ενός κύκλου, κάτι που συμβαίνει στην 5 η επανάληψη. Η τρέχουσα λύση εκείνη τη στιγμή είναι και αυτή που επιστρέφει ο αλγόριθμος. Για το συγκεκριμένο μικρό αριθμητικό παράδειγμα, η λύση που 56

επιστρέφει η ευρετική διαδικασία τυχαίνει να είναι και η ολικά βέλτιστη, κάτι που δεν ισχύει απαραίτητα σε μεγάλα προβλήματα. Για το λόγο αυτό, ο χρήστης μπορεί να επαναλάβει την όλη διαδικασία, ξεκινώντας με διαφορετικές αρχικές τιμές για τις προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού. Πίνακας 2 Εφαρμογή ευρετικής διαδικασίας επίλυσης Επανάληψη h Βέλτιστη τιμή Βέλτιστη λύση Οριακή τιμή Οριακή του P 1,h κάτω προβλήματος συστήματος μονάδα f * F Q1: (400, 360, 340) 1 1 P 1,1 =20, P 1,2 =15, P 1,3 =15 Q2: (0, 0, 0) (P 1,1, 15, 15) (1, 1, 1) 22,640 2,000 Q3: (100, 0, 100) P 1,1 =20, Q1: (400, 360, 340) P 1,2 =34.85, 5 2 P 1,3 =21 Q2: (0, 0, 0) Q3: (100, 0, 100) (20, P 1,2, 21) (1, 1, 1) 31,826 11,186 4. ΑΚΡΙΒΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Στην ενότητα αυτή, αναπτύσσουμε μια ακριβή διαδικασία επίλυσης για το πρόβλημα, η οποία κάνει χρήση και της παραπάνω ευρετικής διαδικασίας. Η ύπαρξη δυαδικών μεταβλητών απόφασης στη μορφοποίηση του προβλήματος, σε συνδυασμό με την επιβολή ενός κάτω ορίου στην ποσότητα ενέργειας που κάθε μονάδα πρέπει να παράγει για να εισέλθει στην αγορά, απαγορεύουν την εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται στη χρήση των συνθηκών βελτιστότητας ΚΚΤ του κάτω προβλήματος. Για να ξεπεραστεί η δυσκολία αυτή στην περίπτωση που το πρόβλημα του κάτω επιπέδου είναι μεικτό ακέραιο γραμμικό, οι Gümüs και Flodas (2005) πρότειναν την αναδιατύπωση του κάτω προβλήματος ως συνεχές μέσω της απεικόνισης του μεικτού ακέραιου πολυέδρου του (SheraliandAdams 1990; 1994), και την αντικατάσταση του κάτω προβλήματος με τις συνθήκες KKT. Δυστυχώς, η εφαρμογή αυτής της προσέγγισης δεν είναι εφικτή παρά μόνο για πολύ μικρά προβλήματα. Ως εκ τούτου, ακολουθούμε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση, η οποία περιλαμβάνει τη μετατροπή του μεικτού ακέραιου γραμμικού προβλήματος του κάτω επιπέδου σε συνεχές, αντικαθιστώντας τους περιορισμούς ακεραιότητας κάθε δυαδικής μεταβλητή z i, με έναν ισοδύναμο μη γραμμικό περιορισμό z i (1-z i ) = 0. Εξαλείφοντας τους μη γραμμικούς όρους όπως πρότειναν οι Fortny-AmatandMcCarl (1981) και κάνοντας χρήση έξυπνων τεχνικών μοντελοποίησης ακέραιου προγραμματισμού (Williams, 1999), μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα εντελώς ισοδύναμο πρόβλημα ενός επιπέδου, το οποίο αποτελείται από μια τετραγωνική αντικειμενική συνάρτηση και μεικτούς ακέραιους γραμμικούς περιορισμούς. Από την αναγκαιότητα των συνθηκών ΚΚΤ, η βέλτιστη λύση της αντικειμενικής συνάρτησης αυτού του προβλήματος παρέχει ένα άνω όριο στη βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση του αρχικού διεπίπεδου προβλήματος. Εάν η λύση είναι αυτή είναι εφικτή, τότε είναι και η βέλτιστη για το αρχικό διεπίπεδο πρόβλημα. Εάν όχι, ένα κάτω όριο στη βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να ληφθεί μέσω της επίλυσης του προβλήματος του κάτω επιπέδου για τις συγκεκριμένες τιμές προσφοράς της λύσης αυτής. Στη συνέχεια, μία ισχύουσα ανισότητα θα πρέπει να προστεθεί στο μοντέλο, η οποία θα εξασφαλίζει ότι για τις τρέχουσες τιμές προσφοράς του παραγωγού, η λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου δεν μπορεί να είναι διαφορετική από την πραγματικά βέλτιστη. Για την εύρεση της ανισότητας αυτής, χρησιμοποιείται ο ευρετικός αλγόριθμος που παρουσιάζεται παραπάνω. Οι Geoffrion και Nass (1977) απέδειξαν ότι η κατά τμήματα γραμμικότητα και κοιλότητα μιας μεικτής ακεραίας παραμετρικής αντικειμενικής συνάρτησης ισχύει επίσης στην περίπτωση που πολλοί συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης μεταβάλλονται ταυτόχρονα, με τον ίδιο όμως ρυθμό. Αυτό μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε διαστήματα τιμών για τις προσφορές του άνω επιπέδου για τις οποίες η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επίπεδου παραμένει η ίδια. Με αυτό τον τρόπο, προκύπτει μία τομή η οποία ορίζει ότι όταν κάθε προσφορά ανήκει στο αντίστοιχο διάστημα, πρέπει κατ 'ανάγκη να επιστρεφόμενη λύση του προβλήματος του κάτω επίπεδου να είναι η βέλτιστη για το πρόβλημα του κάτω επίπεδου. Η διαδικασία συνεχίζεται προσθέτοντας τομές για 57

κάθε μη εφικτή λύση που προκύπτει, έως ότου η ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος αναγνωριστεί. 4.1 Αριθμητικό Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά δεδομένα του παραδείγματος της ενότητας 3.1, μετασχηματίζοντας το μοντέλο με τη χρήση των συνθηκών ΚΚΤ, και λύνοντας το ισοδύναμο μοντέλο ενός επιπέδου παίρνουμε τη λύση που φαίνεται στο πάνω μέρος του Πίνακα 3. Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή, καθώς αν λύσουμε το πρόβλημα του κάτω επίπεδου για τιμές των προσφορών P 1,1, P 1,2 και P 1,3 ίσες με 40, 60 και 25 αντίστοιχα, η λύση που παίρνουμε είναι αυτή που φαίνεται στο κάτω μέρος του ίδιου πίνακα. Πίνακας 3 Λύση του ισοδύναμου προβλήματος ενός επιπέδου και προκύπτουσα λύση του κάτω προβλήματος Τιμές τωνp 1,h 40, 60, 25 40, 60, 25 Ποσότητες ενέργειας Q1: (300, 360, 240) Q2: (200, 0, 200) Q3: (0, 0, 0) Q1: (0, 0, 0) Q2: (200, 200, 200) Q3: (300, 160, 240) Οριακή τιμή συστήματος Οριακή μονάδα f * F (40, 60, 25) (1, 1, 1) 52,620 26,100 (20, 35, 25) (3, 3, 3) 37,660 0 Η βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος βρίσκεται μεταξύ των τιμών 0 και 26,100. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα διαστήματα των τριών τιμών προσφοράς εντός των οποίων η βέλτιστη λύση του Πίνακα 3 δεν αλλάζει. Τα διαστήματα αυτά είναι το [38.25, 60], το [56.85, 60] και το [24.3, 60], αντίστοιχα. Συνεπώς, η πρώτη ισχύουσα ανισότητα που θα προστεθεί στο μοντέλο θα εξασφαλίζει ότι όταν ο μεμονωμένος παραγωγός επιλέξει P 1,1 που ανήκει στο διάστημα [38.25, 60] καιp 1,2 που ανήκει στο διάστημα [56.85, 60] και P 1,3 που ανήκει στο διάστημα [24.3, 60], τότε τα Q 1,h θα πρέπει να είναι μηδέν. Στη συνέχεια, λύνουμε ξανά το πρόβλημα μετά την προσθήκη της συγκεκριμένης ισχύουσας ανισότητας και αν η λύση που θα προκύψει δεν είναι εφικτή, εισάγουμε με τον ίδιο τρόπο μια επιπρόσθετη ισχύουσα ανισότητα. Ο αλγόριθμος συνεχίζει ομοίως, μέχρι να βρει την ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ/ ΤΡΕΧΟΥΣΑ ΕΡΕΥΝΑ Οι δύο αλγόριθμοι που προτείνουμε μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλά παρόμοια μοντέλα βελτιστοποίησης υποβολής στρατηγικών προσφορών που περιέχουν συνεχείς ή/και διακριτές μεταβλητές, στα οποία οι μη-γραμμικότητες περιορίζονται μόνο στην αντικειμενική συνάρτηση του άνω επιπέδου. Επιπλέον, η παρούσα μορφοποίηση μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω ώστε να συμπεριλάβει πρόσθετες πτυχές του πραγματικού προβλήματος, όπως ο ελάχιστος χρόνος που θα πρέπει να παραμείνει μια μονάδα ανοιχτή (κλειστή) από τη στιγμή της εκκίνησής της (του σβησίματός της), και η μέγιστη επιτρεπόμενη μεταβολή της ποσότητας ενέργειας που παράγει μία μονάδα σε δύο διαδοχικές περιόδους. Τελειώνοντας, τονίζεται ότι μελλοντικά θα πρέπει να εκτιμηθεί πειραματικά η υπολογιστική απόδοση των δύο αλγορίθμων σε πραγματικές περιπτώσεις του υπό εξέταση προβλήματος. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Fortny-Amat J., McCarl B., 1981.A representation and economic interpretation of a two-level programming problem, Jornal of the Operational Research Society, Vol. 32, pp. 783-792. Geoffrion A.M. and Nass R., 1977.Parametric and postoptimality analysis in integer linear programming, Management Science, Vol. 23, No. 5, pp.453-466. Gümüs Z.H., Flodas C.A., 2005.Global optimization of mixed-integer bilevel programming problems, Comptational Management Science, Vol. 2, No. 3, pp. 181-212. G. Kozanidis, E. Kostarelo, P.Andrianesis and G. Liberopolos, 2011. Mixed integer bilevel programming for optimal bidding strategies in day-ahead electricity markets with indivisibilities, Proceedings of the 1st 58

International Symposim & 10th Balkan Conference on Operational Research (BALCOR), Thessaloniki, Greece, 8 pages. Loridan P., Morgan J., 1996.Weak via strong Stackelberg problem: New reslts. Jornal of Global Optimization, Vol. 8, No. 3, pp. 263 287. Noltemeier H., 1970.Sensitivetätsanalyse bei diskreten linearen optimierngsproblemen, in M. Beckmann and H.P. Knzi (eds.), Lectre Notes in Operations Research and Mathematical Systems, 30, Springer-Verlag, New York. Sherali H.D., Adams W.P., 1990.A hierarchy of relaxations between the continos and convex hll representations for zero-one programming problems. Siam Jornal of Discrete Mathematics, Vol. 3, No. 3, pp. 411-430. Sherali H.D., Adams W.P., 1994.A hierarchy of relaxations and convex-hll characterizations for mixed integer 0-1 programming problems. Discrete Applied Mathematics, Vol. 52, pp. 83-106. Williams H.P., 1999. Model bilding in mathematical programming, John Wiley & Sons, Inc., England. 59