Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1

Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για την εξαγωγή της κατανομής δειγματοληψίας βασίζεται στους κανόνες πιθανοτήτων και στους νόμους αναμενόμενης τιμής και διασποράς. Πάρτε για παράδειγμα τη ρίψη ενός και δύο ζαριών. Copyright 2009 Cengage Learning 9.2

Γενίκευση Μπορούμε να γενικεύσουμε τον αριθμητικό μέσο και τη διασπορά της δειγματοληψίας: Η τυπική απόκλιση της κατανομής δειγματοληψίας αποκαλείται τυπικό σφάλμα: Copyright 2009 Cengage Learning 9.3

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Η κατανομή του δειγματικού μέσου ενός τυχαίου δείγματος κάθε πληθυσμού είναι κατά προσέγγιση κανονική για ένα επαρκώς μεγάλο μέγεθος δείγματος. Όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος τόσο περισσότερο η κατανομή δειγματοληψίας της Χ μοιάζει σε μια κανονική κατανομή. Copyright 2009 Cengage Learning 9.4

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Εάν η κατανομή του συνολικού πληθυσμού είναι κανονική, τότε η κατανομή του δειγματικού μέσου Χ είναι επίσης κανονική για όλες τις τιμές του n. Εάν η κατανομή του συνολικού πληθυσμού δεν είναι κανονική, τότε η κατανομή του δειγματικού μέσου Χ πλησιάζει την κανονική κατανομή μόνο για μεγάλες τιμές του n. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, ένα μέγεθος δείγματος 30 είναι επαρκές για να μας επιτρέψει να χρησιμοποιήσουμε την κανονική κατανομή ως προσέγγιση της κατανομής του δειγματικού μέσου. Copyright 2009 Cengage Learning 9.5

Κατανομή Δειγματικού Μέσου 1. 2. 3. Εάν η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X είναι κανονική, τότε η κατανομή του δειγματικού μέσου Χ είναι κανονική. Εάν η Χ δεν είναι κανονική, τότε η κατανομή του δειγματικού μέσου Χ προσεγγίζει την κανονική κατανομή για επαρκώς μεγάλα μεγέθη δείγματος. Σημείωση: ο ορισμός «επαρκώς μεγάλο» εξαρτάται από την απόκλιση της αρχικής κατανομής από την κανονική κατανομή. Copyright 2009 Cengage Learning 9.6

Κατανομή Δειγματικού Μέσου Μπορούμε να εκφράσουμε την κατανομή δειγματικού μέσου ως X Z / n Copyright 2009 Cengage Learning 9.7

Κατανομή Δειγματικού Μέσου Οι παραπάνω συνόψεις υποθέτουν ότι ο πληθυσμός είναι άπειρος. Ωστόσο, εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος, το τυπικό σφάλμα είναι x n N n N 1 όπου N το μέγεθος του πληθυσμού και N n N 1 είναι ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 9.8

Κατανομή Δειγματικού Μέσου Εάν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος, ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού πλησιάζει τη μονάδα και μπορεί να αγνοηθεί. Κάθε πληθυσμός που είναι τουλάχιστον 20 φορές μεγαλύτερος από το μέγεθος του δείγματος θεωρείται μεγάλος. Στην πράξη, οι περισσότερες εφαρμογές εμπεριέχουν πληθυσμούς που θεωρούνται μεγάλοι. Κατά συνέπεια, ο συντελεστής διόρθωσης πεπερασμένου πληθυσμού συνήθως παραλείπεται. Copyright 2009 Cengage Learning 9.9

Παράδειγμα 9.1(α) Ο υπεύθυνος ενός εργοστασίου εμφιάλωσης παρατήρησε ότι το περιεχόμενο σόδας σε κάθε φιάλη των «32 ουγκιών» είναι στην πραγματικότητα μια τυχαία μεταβλητή κανονικής κατανομής, με ένα αριθμητικό μέσο 32.2 ουγκιές και μια τυπική απόκλιση 0.3 ουγκιές. Εάν κάποιος πελάτης αγοράσει μια φιάλη, ποια είναι η πιθανότητα η φιάλη αυτή να περιέχει περισσότερο από 32 ουγκιές σόδα; Copyright 2009 Cengage Learning 9.10

Παράδειγμα 9.1(α) Θέλουμε να βρούμε το P(X > 32), όπου η X είναι κανονική τ.μ. και µ = 32.2 και σ =0.3 P(X 32) P X 32 32.2.3 P(Z.67) 1.2514.7486 «υπάρχει πιθανότητα περίπου 75% μια μεμονωμένη φιάλη σόδας να έχει περιεχόμενο περισσότερο από 32 ουγκιές» Copyright 2009 Cengage Learning 9.11

Παράδειγμα 9.1(β) Ο υπεύθυνος ενός εργοστασίου εμφιάλωσης παρατήρησε ότι το περιεχόμενο σόδας σε κάθε φιάλη των «32 ουγκιών» είναι στην πραγματικότητα μια τυχαία μεταβλητή κανονικής κατανομής, με ένα αριθμητικό μέσο 32.2 ουγκιές και μια τυπική απόκλιση 0.3 ουγκιές. Εάν κάποιος πελάτης αγοράσει μια συσκευασία των τεσσάρων φιαλών, ποια είναι η πιθανότητα η μέση ποσότητα των τεσσάρων φιαλών να είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές; Copyright 2009 Cengage Learning 9.12

Παράδειγμα 9.1(β) Θέλουμε το P(X > 32), όπου η Χ είναι κανονικής κατανομής με µ = 32.2 και σ =0.3 Τι γνωρίζουμε: 1) Η X είναι κανονικής κατανομής, επομένως το ίδιο ισχύει και για το X. 2) = 32.2 ουγκιές 3) Copyright 2009 Cengage Learning 9.13

Παράδειγμα 9.1(β) Εάν κάποιος πελάτης αγοράσει μια συσκευασία των τεσσάρων φιαλών, ποια είναι η πιθανότητα η μέση ποσότητα των τεσσάρων φιαλών να είναι μεγαλύτερη από 32 ουγκιές; «υπάρχει πιθανότητα περίπου 91% ο μέσος των τεσσάρων φιαλών να υπερβαίνει τις 32 ουγκιές» Copyright 2009 Cengage Learning 9.14

Μιλώντας με Γραφήματα Μέσος=32.2 ποια είναι η πιθανότητα μία φιάλη να περιέχει περισσότερες από 32 ουγκιές; Ποια είναι η πιθανότητα ο μέσος τεσσάρων φιαλών να υπερβαίνει τις 32 ουγκιές; Copyright 2009 Cengage Learning 9.15

Παράδειγμα Μισθοί Αποφοίτων Σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων Στις διαφημιστικές καταχωρήσεις ενός μεγάλου πανεπιστημίου ο κοσμήτορας της Σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων στις Η.Π.Α. ισχυρίζεται ότι ο μέσος μισθός των αποφοίτων της Σχολής ένα χρόνο μετά την αποφοίτηση είναι $800 την εβδομάδα με μια τυπική απόκλιση $100. Ένας δευτεροετής φοιτητής στη Σχολή Διοίκησης Επιχειρήσεων, που μόλις έχει ολοκληρώσει το μάθημα της στατιστικής, θέλει να ελέγξει εάν ο ισχυρισμός του κοσμήτορα είναι αληθής. Copyright 2009 Cengage Learning 9.16

Παράδειγμα Μισθοί Αποφοίτων Σχολής Διοίκησης Επιχειρήσεων Διεξάγει μια έρευνα ανάμεσα σε 25 άτομα που αποφοίτησαν πριν από ένα έτος και προσδιορίζει τον εβδομαδιαίο μισθό τους. Διαπιστώνει ότι ο δειγματικός μέσος είναι $750. Για να ερμηνεύσει το εύρημά του χρειάζεται να υπολογίσει την πιθανότητα ένα δείγμα 25 ατόμων να έχει ένα μέσο $750 ή μικρότερο όταν ο πληθυσμιακός μέσος είναι $800 και η τυπική απόκλιση $100. Μετά τον υπολογισμό της πιθανότητας χρειάζεται να εξάγει κάποια συμπεράσματα. Copyright 2009 Cengage Learning 9.17

Παράδειγμα Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα που υπάρχει ο δειγματικός μέσος να είναι μικρότερος από $750. Επομένως αναζητούμε το P(X 750) Η κατανομή της X, δηλαδή ο εβδομαδιαίος μισθός, είναι πιθανό να είναι θετικά ασύμμετρη, όχι όμως επαρκώς ασύμμετρη ώστε να καταστήσει την κατανομή του X μη κανονική. Ως αποτέλεσμα, υποθέτουμε ότι το X είναι κανονικής κατανομής με μέσο x 800 και τυπική απόκλιση x / n 100/ 25 20 Copyright 2009 Cengage Learning 9.18

Παράδειγμα Επομένως, P(X 750) X x P x P(Z 2.5).5.4938.0062 750 800 20 Η πιθανότητα να δούμε ένα δειγματικό μέσο τόσο χαμηλό όσο $750 όταν ο μέσος του πληθυσμού είναι $800, είναι εξαιρετικά μικρή. Επειδή το ενδεχόμενο αυτό είναι εξαιρετικά απίθανο, θα πρέπει να καταλήξουμε στο ότι ο ισχυρισμός του κοσμήτορα δεν δικαιολογείται. Copyright 2009 Cengage Learning 9.19

Κανονική Προσέγγιση Διωνυμικής Κατανομής Διωνυμική κατανομή με n=20 και p=0,5 με υπερτιθέμενη μια κανονική προσέγγιση με μ=10 και σ=2.24. Copyright 2009 Cengage Learning 9.20

Κανονική Προσέγγιση Διωνυμικής Κατανομής Διωνυμική κατανομή με n=20 και p=0,5 με υπερτιθέμενη μια κανονική προσέγγιση με μ=10 και σ=2.24 από πού προέκυψαν αυτές οι τιμές;! Είδαμε ότι: Επομένως: και Copyright 2009 Cengage Learning 9.21

Κανονική Προσέγγιση Διωνυμικής Κατανομής Η κανονική προσέγγιση διωνυμικής κατανομής λειτουργεί βέλτιστα όταν ο αριθμός των δοκιμών, n, (μέγεθος δείγματος) είναι μεγάλος, και η πιθανότητα επιτυχίας, p, είναι πλησίον του 0.5 Για να αποφέρει καλά αποτελέσματα, η προσέγγιση θα πρέπει να ικανοποιεί δύο συνθήκες: 1) np 5 2) n(1 p) 5 Copyright 2009 Cengage Learning 9.22