1 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΤΟ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΙΚΟ ΠΑΡΚΟ ΑΣΠΑΙΤΕ Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολογίας Εργαστήριο Συλλογής και Επεξεργασίας Δεδομένων Διδάσκοντες: Σπύρος Αδάμ, Λουκάς Μιχάλης, Παναγιώτης Καράμπελας Εξαμηνιαία Εργασία Β Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική Η παράδοση και εξέταση των αποτελεσμάτων σας θα γίνει τη Πέμπτη 31 ΜΑΙ, 2012. Καμία εργασία δεν θα γίνει αποδεκτή μετά την καταληκτική ημερομηνία και δεν θα λαμβάνεται υπόψη στη διαμόρφωση της τελικής βαθμολογίας. Παραδοτέα: Πλήρης αναφορά με τις διαδικασίες, εκτυπώσεις των αποτελεσμάτων (γραφήματα, session windows), παρατηρήσεις σας κλπ. σε σχέση με κάθε υποερώτημα που τίθεται. Η παράδοση της αναφοράς θα πρέπει να γίνεται και ηλεκτρονικά (με usb stick) και έντυπα κατά την ημέρα παράδοσης της εργασίας. Οι χειρόγραφες αναφορές δεν θα γίνονται δεκτές. Ένα.zip αρχείο που θα περιέχει τα αρχεία που αντιστοιχούν στα ερωτήματα Α,Β της άσκησης. Βαθμολόγηση: 50%: υλοποίηση 50%: αναφορά με πλήρη και κατατοπιστικό σχολιασμό Επικοινωνία: Σπύρος Αδάμ (spadam@aspete.gr) (Θέμα: project 1) Λουκάς Μιχάλης (l.michalis@webmail.aspete.gr) Παναγιώτης Καράμπελας (pkarampelas@gmail.com)
ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σκοπός της Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι να εξετάσουμε την έννοια και τη χρήση της κανονικής κατανομής και των μεθόδων της επαγωγικής στατιστικής, μέσα από μία πραγματική εφαρμογή / μελέτη, τη στατιστική ανάλυση των δεδομένων, από τη παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, σ ένα φωτοβολταικό πάρκο. Εφαρμόζοντας τις μεθόδους της στατιστικής, επιχειρούμε να αναλύσουμε τα δεδομένα από κάποιες μέρες λειτουργίας του πάρκου και να καταλήξουμε σε συμπεράσματα, για τις δυνατότητες παραγωγής ενέργειας, αυτής της μονάδας. Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της στατιστικής συμπερασματολογίας, αναλύουμε τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας, από δύο εβδομάδες λειτουργίας του πάρκου, από 3 ΜΑΙ 17 ΜΑΙ, 2012 και εξετάζουμε εάν τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης υποστηρίζουν ή αντίθετα, μας οδηγούν να απορρίψουμε τα δεδομένα της σχεδίασης του πάρκου που για μία μονάδα συνολικής ισχύος P = 100 kw, προβλέπουν μία ετήσια παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, ίση με 130000 kwh. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε στην άσκηση είναι χαρακτηριστικές των μεθόδων, αλλά και του βασικού στόχου της στατιστικής που είναι να μας επιτρέπει να διατυπώνουμε μία υπόθεση ή μία πρόβλεψη για διάφορα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού ή για παραμέτρους της λειτουργίας ενός συστήματος, για παράδειγμα την υπόθεση ότι η μέση ετήσια παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, σ ένα φωτοβολταικό πάρκο ονομαστικής ισχύος P = 100 kw, είναι 130000 kwh και να μπορούμε να ελέγχουμε με στατιστική σημαντικότητα την ισχύ ή όχι αυτών των υποθέσεων, χρησιμοποιώντας ένα μικρό δείγμα δεδομένων. Όμως, η πρόβλεψη ή υπόθεση που μπορούμε να διατυπώσουμε δεν περιορίζεται μόνον στη παραγωγή ενέργειας από το συγκεκριμένο πάρκο. Μπορούμε να διατυπώνουμε και να ελέγχουμε υποθέσεις για διάφορα χαρακτηριστικά και παραμέτρους της σχεδίασης και της λειτουργίας ενός συστήματος, όπως για παράδειγμα, για το βαθμό που η μεταβολή στην ένταση και τα χαρακτηριστικά της ηλιακής ακτινοβολίας, στη διάρκεια μίας ημέρας, επηρεάζει την απόδοση και την παραγωγή ενέργειας από ένα φωτοβολταικό σύστημα ή κατά πόσο μία διαφορετική σχεδίαση, για παράδειγμα ένα panel που περιστρέφεται, ακολουθώντας τη τροχιά του ήλιου, μπορεί να παράγει περισσότερη ενέργεια, από ένα άλλο που παραμένει στερεωμένο και αμετακίνητο στο έδαφος. Διαφοροποιήσεις και μετατροπές στη σχεδίαση ενός συστήματος, συχνά εξετάζονται και ελέγχονται στη πράξη. Συστήματα που είναι σχεδιασμένα να ακολουθούν διαφορετικές αρχές λειτουργίας, συχνά εγκαθίστανται και λειτουργούν παράλληλα, στον ίδιο χώρο. Τα δεδομένα της λειτουργίας τους συλλέγονται και αναλύονται, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της στατιστικής, για να ελέγξουμε την ισχύ της υπόθεσης ότι ένας μηχανισμός λειτουργεί αποδοτικότερα από έναν άλλο. Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να εξετάσουμε και να κατανοήσουμε ένα από τα βασικότερα εργαλεία της στατιστικής μεθοδολογίας, τη κανονική κατανομή. Στο Β 2
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μέρος, εξετάζουμε τη σημαντικότερη χρήση της κανονικής κατανομής. Ανεξάρτητα από το σχήμα της κατανομής ενός πληθυσμού, η κανονική κατανομή περιγράφει πως κατανέμονται οι εκτιμήσεις για μία παράμετρο αυτού του πληθυσμού, από όλα τα δυνατά τυχαία δείγματα που μπορούμε να συλλέξουμε από αυτό το πληθυσμό [Χαλικιάς Ι., 2010]. Ο βασικός σκοπός της ανάλυσης δεδομένων είναι να εκτιμήσουμε / προβλέψουμε διάφορα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού, από τα χαρακτηριστικά ενός δείγματος. Διατυπώνουμε υποθέσεις και προβλέψεις και προκειμένου να ελέγξουμε κατά πόσο μπορεί να ισχύουν παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα τιμών ή δεδομένων από το πληθυσμό. Με βάση μόνον τις παρατηρήσεις από το δείγμα προχωρούμε να ελέγξουμε την ισχύ της υπόθεσης ή της πρόβλεψης που έχουμε διατυπώσει, εξετάζοντας σε ποια περιοχή της κατανομής των δειγμάτων από το πληθυσμό, βρίσκεται η εκτίμηση από το συγκεκριμένο δείγμα. Ανάλογα με τη θέση που βρίσκεται η εκτίμηση από ένα δείγμα, στη κατανομή των δειγμάτων από το πληθυσμό, μπορούμε να αποφασίσουμε εάν η εκτίμηση από αυτό το δείγμα, υποστηρίζει ή όχι την υπόθεση που έχουμε διατυπώσει. Στο Β Μέρος, εξετάζουμε τα βήματα αυτής της διαδικασίας που ονομάζεται έλεγχος υποθέσεων και είναι η βασική μέθοδος της επαγωγικής στατιστικής, μέσα από προβλήματα που περιλαμβάνουν την εφαρμογή αυτής της μεθόδου, για να εξετάσουμε υποθέσεις / προβλέψεις, για διάφορες παραμέτρους της λειτουργίας ενός φωτοβολταικού πάρκου. Μέρος Α : Κανονική Κατανομή Θέμα Α Η ημερήσια κατανάλωση ηλεκτρικού ρεύματος στην Αγγλία έχει βρεθεί πειραματικά ότι ακολουθεί, κατά προσέγγιση, την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 2,23584MW και τυπική απόκλιση, σ = 35,7843MW. Για τον καλύτερο συντονισμό της παραγωγής ηλεκτρικού ρεύματος, να υπολογιστούν: Ερώτημα Α1. Η πιθανότητα η ημερήσια κατανάλωση να είναι μεγαλύτερη από 39MW: Ερώτημα Α2. Η πιθανότητα η ημερήσια κατανάλωση να είναι μεταξύ των 25 και 39 MW. Ερώτημα Α3. Η πιθανότητα η ημερήσια κατανάλωση να είναι μικρότερη από 14 MW. Ερώτημα Α4. Ποια είναι η μικρότερη κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας Χ 44, η οποία να έχει πιθανότητα 44%, δηλαδή αυτή η ημερήσια κατανάλωση Χ 44, για την οποία ισχύει, P(Χ>Χ 44 ) = 0,44. 3
ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ερώτημα Α5. Να γίνει το διάγραμμα της παραπάνω κατανομής με τη χρήση διαγράμματος χρονοσειράς (Time Series Plot) αφού πρώτα δημιουργήσετε μια στήλη με τιμές από -140 έως 140 με βήμα 0,1 (Patterned Data) και αφού στη συνέχεια υπολογίσετε την πυκνότητα πιθανότητας (probability density) για κάθε τιμή αυτής της στήλης με μέση τιμή 2,23584MW και τυπική απόκλιση 35,7843. Στη συνέχεια να δημιουργήσετε με τη χρήση του διαγράμματος χρονοσειράς (Time Series Plot) το διάγραμμα της κατανομής βάζοντας στο Time Scale>Stamp τις τιμές από το διάστημα (-140, 140) που έχετε φτιάξει. Διευκρινίσεις: Να περιγραφούν όλα τα βήματα για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων και των διαγραμμάτων αναλυτικά. Να προσθέσετε στην αναφορά σας και τα στιγμιότυπα (screenshots) σε κάθε βήμα. Μέρος Β Έλεγχος Υποθέσεων Σ αυτό το μέρος, χρησιμοποιούμε ένα δείγμα δεδομένων από ένα φωτοβολταικό πάρκο, για να ελέγξουμε διάφορες υποθέσεις και ισχυρισμούς για τη λειτουργία του πάρκου, εφαρμόζοντας μία από τις βασικές μεθόδους της επαγωγικής στατιστικής, τον έλεγχο υποθέσεων. Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η μέθοδος που ακολουθούμε για να ελέγχουμε εάν υποθέσεις που διατυπώνουμε για διάφορα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού ισχύουν ή όχι, αναλύοντας ένα μικρό δείγμα δεδομένων, από τη λειτουργία του συστήματος. Στα προβλήματα σ αυτό το μέρος της άσκησης, χρησιμοποιούμε τον έλεγχο υποθέσεων, για να ελέγξουμε διάφορες υποθέσεις για τη λειτουργία και την απόδοση ενός φωτοβολταικού πάρκου. Θέμα B.1 Το φωτοβολταικό πάρκο αυτής της άσκησης είναι ένα πάρκο συνολικής ισχύος P = 100kW. Στη βάση αυτής της ισχύος, προβλέπεται μία ετήσια παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας 130000 kwh. Διαιρώντας δια 365, η μέση ημερήσια παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από το πάρκο, προβλέπεται να είναι 356,15 kwh. Ορίζουμε αυτή τη πρόβλεψη ως τη μηδενική υπόθεση Η 0 που πρόκειται να ελέγξουμε: H 0 : Ημερήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο = 356,15 kwh Ως εναλλακτική υπόθεση Η 1 ορίζουμε την υπόθεση ότι η παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από το συγκεκριμένο φωτοβολταικό πάρκο είναι μεγαλύτερη από 356,15 KWh H 1 : Ετήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο > 356,15 kwh 4
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο αρχείο 100kW PVPark.xls, ελέγξτε εάν πρέπει να αποδεχτούμε ή να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση Η 0, με επίπεδο σημαντικότητας α = 5%. Θέμα Β.2 Εάν γνωρίζουμε την συνολική ισχύ λειτουργίας ενός φωτοβολταικού πάρκου, όπως για παράδειγμα σ αυτή την άσκηση, υπάρχει ένας πρακτικός τρόπος να υπολογίσουμε την ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να παράγει αυτό το πάρκο, ανά ημέρα ή κατ έτος. Αυτός ο τρόπος βασίζεται στο εξής απλό συλλογισμό, που αναπτύσσεται συνοπτικά στα παρακάτω βήματα. 1. Ένα φωτοβολταικό σύστημα βασίζεται στην ενέργεια από τον ήλιο, άρα μπορεί να παράγει ηλεκτρική ενέργεια μόνον κατά τη διάρκεια της ημέρας, όσο υπάρχει ηλιοφάνεια. Η διάρκεια της ηλιοφάνειας σε μία ημέρα, διαφέρει από ημέρα σε ημέρα και από εποχή σε εποχή. Όμως, για μία πρώτη εκτίμηση της παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από ένα φωτοβολταικό πάρκο, μπορούμε να πάρουμε τη διάρκεια της ηλιοφάνειας να είναι 10 ώρες, κατά μέσο όρο, κάθε ημέρα ενός χρόνου. Άρα, ένα φωτοβολταικό σύστημα μπορεί να λειτουργεί και να παράγει ηλεκτρική ενέργεια μόνον κατά τις 10 από τις 24 ώρες, κάθε ημέρας, δηλαδή περίπου 40% της ημέρας. 2. Ένα φωτοβολταικό σύστημα παράγει τη μέγιστη ενέργεια που υποδηλώνεται από την ονομαστική ισχύ λειτουργίας του P ον, μόνον κατά το χρονικό διάστημα που ο ήλιος είναι στη κατακόρυφο από την επιφάνεια του. Σε κάθε άλλη θέση / γωνία του ήλιου, το φωτοβολταικό σύστημα παράγει ενέργεια με μικρότερο ρυθμό παραγωγής, από την ονομαστική ισχύ P ον (Εικόνα 3). Ιδιαίτερα, κατά την ανατολή και τη δύση του ήλιου, όταν η θέση του ήλιου είναι χαμηλά και η γωνία που σχηματίζει με τη κατακόρυφο από την επιφάνεια του φωτοβολταικού έχει μία τιμή κοντά στις 90 (Εικόνα 3), τότε η απόδοση του φωτοβολταικού είναι μηδενική. Για να υπολογίσουμε τη μηδενική απόδοση ενός πίνακα φωτοβολταικών στοιχείων, στα διαστήματα κατά την ανατολή και τη δύση του ήλιου, αφαιρούμε 2 ώρες από τις 10 ώρες της δυνατής λειτουργίας αυτού του συστήματος, ώστε οι ώρες της δυνατής λειτουργίας του περιορίζονται στις 8 ή στο 1/3 της ημέρας. 3. Ακόμα, όταν επιχειρούμε να εκτιμήσουμε την απόδοση ενός φωτοβολταικού συστήματος, χρειάζεται να λάβουμε υπόψη τις ημέρες που μπορεί να έχει συννεφιά, σ ένα χρόνο, αλλά και απώλειες στον inverter του φωτοβολταικού. Εκτιμούμε αυτές τις απώλειες, αφαιρώντας δύο (2) ακόμα ώρες, από τις ώρες της δυνατής λειτουργίας του φωτοβολταικού συστήματος που έτσι περιορίζονται στις 6 ώρες την ημέρα, κατά μέσο όρο. Επομένως, καταλήγουμε στην εκτίμηση ότι ένα φωτοβολταικό σύστημα μπορεί να παράγει ενέργεια μόνον στις 6 ώρες από τις 24 ώρες κάθε ημέρας ή κατά το ¼ της ημέρας, κατά μέσο όρο. Εάν η ονομαστική ισχύς του φωτοβολταικού συστήματος είναι P ον = 100kW, όπως στην άσκηση, τότε: 5
ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Εικόνα 3: Ο ρυθμός παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας (πραγματική ισχύς λειτουργίας ενός φωτοβολταικού) καθορίζεται από τη γωνία θ που σχηματίζει η κατακόρυφος από την επιφάνεια του φωτοβολταικού, με την ευθεία από το φωτοβολταικό στη θέση του ήλιου. Ενέργεια που παράγει το φωτοβολταικό στη διάρκεια μίας ημέρας = = 100 kw 6 h = 600 kwh 4. Σ αυτή την εκτίμηση, χρειάζεται μία τελευταία διόρθωση. Αυτή θα ήταν η ενέργεια που θα παρήγαγε το φωτοβολταικό σύστημα, εάν στη διάρκεια των 6 ωρών, ο ήλιος παρέμενε στη κατακόρυφο από την επιφάνεια του φωτοβολταικού. Όμως, ο ήλιος μπορεί να είναι σ αυτή τη θέση, μόνον για ένα μικρό διάστημα της ημέρας. Στο υπόλοιπο διάστημα, η θέση του αλλάζει και ο ρυθμός παραγωγής ενέργειας από το φωτοβολταικό, αλλάζει ανάλογα. Για να λάβουμε υπόψη τη μεταβολή στο ρυθμό παραγωγής ενέργειας από ένα φωτοβολταικό σύστημα, ανάλογα με τη θέση του ήλιου, πολλαπλασιάζουμε την εκτίμηση που υπολογίσαμε παραπάνω, για την ημερήσια παραγωγή ενέργειας επί 0,64, εκτιμώντας ότι κάθε πίνακας φωτοβολταικών στοιχείων θα παράγει μόνον το 64% της ενέργειας που θα παρήγαγε, εάν ο ήλιος παρέμενε διαρκώς στη κατακόρυφο από την επιφάνειά του. Έτσι, καταλήγουμε στην εκτίμηση ότι ένα φωτοβολταικό σύστημα με ονομαστική ισχύ P ον = 100kW παράγει ηλεκτρική ενέργεια που κατά μέσο όρο, σε μία ημέρα θα είναι: 6
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ενέργεια που παράγει ένα φωτοβολταικό ονομαστικής ισχύος Pον = 100 kw, στη διάρκεια μίας ημέρας = = 600 kwh 0,64 = 384 kwh Εάν αυτή είναι η ημερήσια παραγωγή ενάργειας από ένα φωτοβολταικό πάρκο, κατά μέσο όρο, τότε η ετήσια παραγωγή, θα είναι: Ενέργεια που παράγει ένα φωτοβολταικό, ονομαστικής ισχύος Pον = 100 kw, στη διάρκεια ενός χρόνου = = 384 kwh 365 ημέρες = 140160 kwh Στη βάση αυτής της εκτίμησης, ορίζουμε τη μηδενική υπόθεση Η 0, όπως παρακάτω: H 0 : Ημερήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο = 384 kwh Ως εναλλακτική υπόθεση Η 1 ορίζουμε την υπόθεση ότι η παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από το συγκεκριμένο φωτοβολταικό πάρκο είναι μεγαλύτερη από 384 kwh H 1 : Ημερήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο > 384 kwh Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο αρχείο 100kW PVPark.xls, ελέγξτε εάν πρέπει να αποδεχτούμε ή να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση Η 0, με επίπεδο σημαντικότητας α = 1%. Θέμα B.3 Όταν ελέγχουμε μία υπόθεση, δεν μπορούμε πάντοτε να αποφύγουμε τα σφάλματα. Τα δυνατά σφάλματα που μπορεί να κάνουμε, κατά τον έλεγχο μίας υπόθεσης είναι δύο. Μπορεί εσφαλμένα να απορρίψουμε αυτή την υπόθεση, ενώ στη πραγματικότητα, αυτή είναι αληθινή (Σφάλμα τύπου Ι). Εναλλακτικά, μπορεί να αποδεχτούμε μία υπόθεση που στη πραγματικότητα δεν ισχύει (Σφάλμα τύπου ΙΙ). Οι δύο αυτοί τύποι σφάλματος παριστάνονται σχηματικά, παρακάτω. H0 είναι αληθινή H0 είναι ψευδής Αποδεχόμαστε την H0 Σφάλμα τύπου ΙΙ Απορρίπτουμε την H0 Σφάλμα τύπου Ι Εξετάζουμε τον έλεγχο της υπόθεσης του προβλήματος Β.2, όπου η μηδενική υπόθεση Η 0 και η εναλλακτική υπόθεση Η 1 ορίζονται, όπως παρακάτω: 7
ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ H 0 : Ημερήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο = 384 kwh και H 1 : Ημερήσια παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο > 384 kwh Στον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H 0 με επίπεδο σημαντικότητας α = 1%, υπολογίστε τη πιθανότητα για κάθε τύπο σφάλματος, δηλαδή: (a) Τη πιθανότητα, κατά τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης, να διαπράξουμε το σφάλμα τύπου Ι και (b) Τη πιθανότητα να διαπράξουμε το σφάλμα τύπου ΙΙ. Θέμα B.4 Μία εκτίμηση είναι ότι ένας πίνακας φωτοβολταικών στοιχείων που είναι στερεωμένος και αμετακίνητος στο έδαφος παράγει το 64% της ενέργειας που μπορεί να παράγει ένας πίνακας που μπορεί να στρέφεται, ακολουθώντας τη τροχιά του ήλιου, ώστε σε κάθε χρονική στιγμή, η κατακόρυφος από την επιφάνεια του, να περνάει από τη θέση / το σημείο του ήλιου. Στη βάση αυτής της εκτίμησης, διατυπώνουμε και επιχειρούμε να ελέγξουμε τη παρακάτω υπόθεση: H 0 : Ηλεκτρική ενέργεια που παράγει ένας σταθερός φωτοβολταικός πίνακας = 0,64 της ενέργειας που παράγει ένας στρεφόμενος πίνακας. ενώ, εναλλακτικά, διατυπώνουμε την υπόθεση: H 1 : Ηλεκτρική ενέργεια που παράγει ένας σταθερός φωτοβολταικός πίνακας > 0,64 της ενέργειας που παράγει ένας στρεφόμενος πίνακας. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο αρχείο 100kW PVPark.xls, ελέγξτε εάν πρέπει να αποδεχτούμε ή να απορρίψουμε τη παραπάνω μηδενική υπόθεση Η 0, με επίπεδο σημαντικότητας α = 5%. 8